文档内容
2022-2023 学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
12.1 全等三角形
题型导航
全 题型1 全等图形的识别
等 题型2 利用全等图形求正方形网格中角度之和
三 题型3
全等三角形的概念
角 题型4
全等三角形的性质
形
题型变式
【题型1】全等图形的识别
1．（2022·全国·八年级单元测试）下列图形中与如图所示的图形全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等图形）即可得．
【详解】解：观察四个选项可知，只有选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等图形，熟记全等图形的概念是解题关键．
【变式1-1】
2．（2021·全国·七年级专题练习）请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__________．
【答案】（1）（4）（5）（6）．
【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可．
【详解】解：（1）（5）是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，（4）是将其中一个图形翻
折后得到另一个图形的，（6）是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，（2）（3）形状相同，但大小
不等．
故答案是：（1）（4）（5）（6）．
【点睛】本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义．
【题型2】利用全等图形求正方形网格中角度之和
1．（2021·山东·禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则
∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
【答案】B
【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由
∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．【详解】
∵在△ABC和△DBE中
，
∴△ABC△DBE（SAS），
∴∠3=∠ACB，
∵∠ACB+∠1=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠2=45°
∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，
故选B．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
【变式2-1】
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P＋
∠Q＝__________度．
【答案】45
【分析】如图，直接利用网格得出对应角 ，进而得出答案．【详解】
如图，易知 ，∴ ，
∵BQ是正方形的对角线，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形，正确借助网格分析是解题关键．
【题型3】全等三角形的概念
1．（2022·广西·一模）下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个等边三角形是全等形
C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D．两个全等图形的面积一定相等
【答案】D
【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．
【详解】全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等，则A、C选
项错误；
边长相等的所有等边三角形是全等，所以B选项错误；
故选：D．
【点睛】考查的是全等图形的性质，掌握全等图形的性质是解题的关键
【变式3-1】
2．（2021·全国·八年级单元测试）以下说法中，正确的是（填写序号）__________．
①周长相等的两个三角形全等；
②有两边及一角分别相等的两个三角形全等；
③两个全等三角形的面积相等；
④面积相等的两个三角形全等．
【答案】③
【分析】根据全等三角形的判定及性质即可判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：周长相等的两个三角形不一定全等，如一个三角形的三边长为3，6，8，另一个三角形的边
长为4，5，8，故①错误；
有两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等，如两个直角三角形有一个直角对应相等，一个直角三角
形的两条直角边与另一个直角三角形一条直角边和斜边相等，则这个两个三角形不全等，故②错误；
两个全等三角形的面积相等，故③正确；
面积相等的两个三角形不一定全等，如两个三角形的同底等高，而这两个三角形不一定全等，故④错误；
故答案为：③．
【点睛】本题考查全等三角形的判定、全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形
的判定定与性质解答．
【题型4】全等三角形的性质
1．（重庆市沙坪坝区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，点B、E、C、F在同一直线上，
， ， ，则EC的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】B
【分析】先根据全等三角形的性质可得 ，再根据线段和差即可得．
【详解】解： ，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
【变式4-1】
2．（2021·江苏南京·八年级阶段练习）如图，已知 ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=25°，则
∠BAE的度数为______°． △【答案】115
【分析】由三角形内角和定理和全等三角形的性质进行计算．
【详解】∵∠B=80°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=70°，
∵∠DAC=25°，
∴∠EAC=∠EAD-∠DAC=45°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=70°+45°=115°．
故答案为：115．
【点睛】考查的是全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的全等三角形的对应边相等、全等三角
形的对应角相等．
专项训练
一．选择题
1．（2022·浙江·八年级专题练习）如图， ， ，则 的对应边是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据全等三角形中对应角所对的边是对应边，可知BC=DA．
【详解】解：∵ABC≌ CDA，
∠BAC=∠DCA， △
∴∠BAC与∠DCA是对应角，
∴BC与DA是对应边（对应角对的边是对应边）．
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形中对应边的找法，解题的关键是掌握书写的特点．
2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，已知 ABC≌ DCB，∠A=75°，∠DBC=40°，则∠DCB的度数
为（ ） △ △
A．75° B．65°
C．40° D．30°
【答案】B
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而求出答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DCB，
∴∠D=∠A=75°，∠ACB=∠DBC=40°，
∴∠DCB=180°-75°-40°=65°，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角的度数是解题关键．
3．（2021·山东·禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则
∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
【答案】B
【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．
【详解】
∵在△ABC和△DBE中
，
∴△ABC△≌DBE（SAS），
∴∠3=∠ACB，
∵∠ACB+∠1=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠2=45°
∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，
故选B．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
4．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝
88°，则∠E的度数是（ ）
A．50° B．44° C．34° D．30°
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义∠ACD＝∠BCD＝ ∠BCA，根据全等三角形的性质得到 ，根
据三角形的外角性质求出∠BCD，再求出∠B，然后利用全等三角形的性质求∠E即可．
【详解】解：∵CD平分∠BCA，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关
键．
5．（2022·全国·八年级课时练习）如图，把 沿线段 折叠，使点 落在点 处；若 ，
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出 ，利用平行线的性质可得出
则 即可求．
【详解】解：∵ 沿线段 折叠，使点 落在点 处，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理、平行线的性质；解题的关键是，理解折叠就
是得到全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决．
6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，若 则下列结论中不成立的是（ ）
A．
B．
C．DA平分
D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐个判断即
可．
【详解】解：A．∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，故本选项不符合题意；
B．如图，∵△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E，
∵∠AOE＝∠DOC，∠E＋∠CAE＋∠AOE＝180°，∠C＋∠COD＋∠CDE＝180°，
∴∠CAE＝∠CDE，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝∠CDE，故本选项不符合题意；
C．∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∴∠B＝∠BDA，
∴∠BDA＝∠ADE，
∴AD平分∠BDE，故本选项不符合题意；D．∵△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性
质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
二、填空题
7．（2021·全国·八年级课时练习）如图，已知 ，请写出图中一组相等的线段__________．
【答案】 或 或 （答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的性质可得对应线段相等．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ．
故答案为： 或 或 （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，对应边相等，能准确找到对应边是解题关键．
8．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）
【答案】②③【分析】根据全等图形的定义，两个图形必须能够完全重合才行．
【详解】观察图形，发现②③图形可以和①图形完全重合
故答案为：②③．
【点睛】本题考查全等的概念，任何一组图形，要想全等，则这组图形必须能够完全重合．
9．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，D是坐标平面上一点，
若以A，B，D为顶点的三角形与 全等，则点D的坐标是________．
【答案】D（-1，3），D（4，-1），D（-1，-1）
1 2 3
【分析】若要 ，则D点可在AB的上方或下方，分别讨论即可．
【详解】如图，要和 全等，且有一边为AB的三角形，
D点可为：D（-1，3），D（4，-1），D（-1，-1）
1 2 3
故答案为：D（-1，3），D（4，-1），D（-1，-1）．
1 2 3
【点睛】本题考查判定全等三角形的概念，注意不要遗漏可能的情况是解题关键．
10．（2021·全国·八年级单元测试）如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝98°，∠EAB＝20°，则
∠BAD的度数为 _____．【答案】
【分析】根据全等三角形的性质得出 ，根据三角形的内角和定理求出 ，再求出答案
即可．
【详解】解： ， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是能熟记全等三角形的性质．
11．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以
2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点
D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为______时，
ABP与 PCQ全等．
△ △
【答案】2或
【详解】可分两种情况：① ABP≌△PCQ得到BP＝CQ，AB＝PC，② ABP≌△QCP得到BA＝CQ，PB
＝PC，然后分别计算出t的值△，进而得到v的值． △
【解答】解：①当BP＝CQ，AB＝PC时， ABP≌△PCQ，
∵AB＝8cm， △∴PC＝8cm，
∴BP＝12﹣8＝4（cm），
∴2t＝4，解得：t＝2，
∴CQ＝BP＝4cm，
∴v×2＝4，
解得：v＝2；
②当BA＝CQ，PB＝PC时， ABP≌△QCP，
∵PB＝PC， △
∴BP＝PC＝6cm，
∴2t＝6，解得：t＝3，
∵CQ＝AB＝8cm，
∴v×3＝8，
解得：v＝ ，
综上所述，当v＝2或 时， ABP与 PQC全等，
△ △
故答案为：2或 ．
【点睛】此题考查了动点问题，全等三角形的性质的应用，解一元一次方程，正确理解全等三角形的性质
得到相等的对应边求出t是解题的关键．
三、解答题
12．（2021·全国·八年级课时练习）如图， ， 和 ， 和 是对应边． 和
相等吗？为什么？
【答案】相等，理由见解析【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠DCE，再根据等式的性质两边同时减去∠ACE可得结
论．
【详解】证明：∵
∴ ．
∴ ，
即 ．
【点睛】题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．
13．（2022·全国·八年级课时练习）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B
出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts，且t≤5
（1）PC＝ cm（用含t的代数式表示）
（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以 cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在
这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出 的值；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1）(10﹣2t)；（2）当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
【分析】（1）根据题意求出BP，然后根据PC=BC-BP计算即可；
（2）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）∵点P的速度是2cm/s，
∴ts后BP=2tcm，
∴PC=BC−BP=(10−2t)cm，
故答案为：(10﹣2t)；
（2）由题意得： ，∠B=∠C=90°，
∴只存在△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，
当△ABP≌△PCQ时，
∴AB=PC，BP=CQ，
∴10−2t=6，2t=vt，
解得，t=2，v=2，当△ABP≌△QCP时，
∴AB=QC，BP=CP，
∴2t=10-2t， vt=6，
解得，t=2.5，v=2.4，
∴综上所述，当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
14．（2022·全国·八年级课时练习）如图，D、A、E三点在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点
E，且△ABD≌△CAE，AC=4．
(1)求∠BAC的度数；
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1)90°
(2)8
【分析】(1)根据垂直的定义得到∠D=90°，求得∠DBA+∠BAD=90°，根据全等三角形的性质得到
∠DBA=∠CAE，等量代换即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质得AC=AB=4，再根据三角形的面积求出答案．
（1）
解：∵BD⊥DE，
∴∠D=90°，
∴∠DBA+∠BAD=90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠DBA=∠CAE
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠BAC=90°；
（2）
解：∵△ABD≌△CAE，
∴AC=AB=4，又∵∠BAC=90°
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=4×4÷2=8．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的面积公式，证得△ABC是直角三角形是解决本题的关
键．
