文档内容
第 12 章 全等三角形全章复习攻略与检测卷
【目录】
倍速学习六种方法
【2个概念】
1.全等形的概念
2.全等三角形的定义
【2个性质】
1.全等三角形的性质
2.角的平分线的性质
【2个判定】
1.三角形全等的判定
2.角的平分线的判定
【2个技巧】
1.证明线段（或角）相等的方法
2.几何证明中添加辅助线的技巧
【2个应用】
1.全等三角形的实际应用
2.角的平分线的实际应用
【1种思想】
1.转化思想
【检测卷】
【倍速学习六种方法】
【2 个概念】
1.全等形的概念
【例1】（2022秋•西乡塘区校级期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（ ）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全部
【解答】解：①、②、③和④可以完全重合的，因此全等的图形是①和②③④．
故选：D．
【变式】（2022秋·浙江·八年级专题练习）下列个图形中，是全等图形的是（ ）
A． ， ， ， B． 与 C． ， ， D． 与
【答案】D
【详解】解：由图可知， 与 是全等图形，
2.全等三角形的定义
【例2】（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．两个直角三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等
C．全等三角形的面积一定相等 D．面积相等的两个三角形全等
【答案】C
【详解】解：A、两个直角三角形不一定全等，故错误，不符合题意；
B、形状相同的两个三角形不一定全等，故错误，不符合题意；
C、全等三角形的面积一定相等，故正确，符合题意；
D、面积相等的两个三角形不一定全等，故错误，不符合题意；
【2 个性质】
1.全等三角形的性质
【例3】（2022秋•梁子湖区期末）如图，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，则∠C的度数为（
）A．20° B．25° C．30° D．35°
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，
∴∠DBE＝∠ABC＝80°，
∵∠D＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠DBE﹣∠D＝35°，
故选：D．
【变式】（2022秋•扬州期中）如图，已知△ABF≌△CDE．若∠B＝45°，∠DCF＝25°，求∠EFC的度数；
【解答】解：（1）∵△ABF≌△CDE，∠B＝45°，
∴∠D＝∠B＝45°，
∵∠DCF＝25°，
∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；
2.角的平分线的性质
【例4】（2023春•即墨区期末）如图，射线OC是∠AOB角平分线，D是OC射线上一点，DP⊥OA于点
P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：作DE⊥OB于E，如图，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴DE＝DP＝4，
∴S△ODQ ＝ ×3×4＝6．
故选：D．
【变式 】（2023春•龙川县校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果
DE＝6cm，∠CAD＝28°，求CD的长度及∠B的度数．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝6cm，∠BAD＝∠CAD＝28°，
∴∠BAC＝2∠CAD＝56°，
∴∠B＝90°﹣∠CAD＝34°．
【2 个判定】
1.三角形全等的判定
【例5】如图，已知AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC．求证：△ACD≌△AEB．
【解答】证明：∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE，
在△ACD和△AEB中，，
∴△ACD≌△AEB（SAS）．
2.角的平分线的判定
【例6】（2023春•达川区期中）如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，
（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．
（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．
【解答】（1）解：结论：EC＝BF，EC⊥BF．
理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB＝∠CAF＝90°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAF．
在△EAC和△BAF中，
，
∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF
∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，
∴∠ABF+∠BGM＝90°，
∴∠EMB＝90°，
∴EC⊥BF．
∴EC＝BF，EC⊥BF．
（2）证明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．
∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．
【2 个技巧】
1.证明线段（或角）相等的方法
【例7】已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．
【答案与解析】
证明： ∵∠1＝∠2
∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE中
AB AD
BAC DAE
AC AE
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）
【变式】（2023•朝阳区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC边上，且BD＝CE．求证：
∠BAD＝∠CAE．【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠BAD＝∠CAE．
2.几何证明中添加辅助线的技巧
【例8】（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图， ， 是 的中点， 平分
．
(1)若连接 ，则 是否平分 ？请你证明你的结论；
(2)线段 与 有怎样的位置关系？请说明理由．
【详解】（1） 平分 ，理由为：
证明：过点 作 ，垂足为 ，∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ （角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 平分 （到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
（2） ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ （垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴ （两直线平行，同旁内角互补）
又∵ （角平分线定义）
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即 ．
【例9】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．
A
B D C
方法1：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BEA
12
B D C
E
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA（SAS）
∴AC=BE，∠E=∠2
[来源:学科网ZXXK]
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
[来源:Z。xx。k.Com]
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
方法2：
A
12
B D C
E
如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E
∵BE∥AC
∴∠E=∠2在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA（AAS）
∴BE=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
【例10】（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图， ，点 在线段 上， 、 分别是 、
的角平分线，若 ， ，求 的长．
【答案】5
【详解】解：如图，在 上截取 ，连接 ，
是 的角平分线，
，
在△ 和△ 中，，
， ，
，
，
，
，
是 的角平分线，
，
在 和 中，
，
，
．
【例11】如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点
E．
求证：CE＝ BD．
【解答】证明：如图，延长CE，BA交于点F．∵CE⊥BD，∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF＝∠BEC＝90°．
又∵∠ADB＝∠EDC，
∴∠ABD＝∠ACF．
在△ABD与△ACF中，
∴△ABD≌△ACF（ASA）．
∴BD＝CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE．
在△BCE与△BFE中，
∴△BCE≌△BFE（ASA）．
∴CE＝FE，即CE＝ CF．
∴CE＝ BD．
【例12】如图， ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交
AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断 BEG的形状，并说明理由．【详解】证：（1）BE＝ AD，理由如下：
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在 BAE和 HAE中，
△ △
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝ BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在 BCH和 ACD中，
△ △
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝ AD．
（2） BEG是等腰直角三角形，理由如下：
△∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝ ∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
【2 个应用】
1.全等三角形的实际应用
【例13】（2023•铜仁市四模）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直
的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A
和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC
在△ADC和△CEB中 ，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），
∵△ADC≌△CEB，
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
2.角的平分线的实际应用
【例14】（2023春•普宁市校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝
60°．
（1）求∠ADC的度数．
（2）若DE＝5，点F是AC上的动点，求DF的最小值．
【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴ ，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝85°；
（2）∵点F是AC上的动点，
∴当DF⊥AC时，DF最小，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝5．
【1 种思想】
1.转化思想
【例15】（2023春•兰州期末）如图，小刚站在河边的点A处，在河对面（小刚的正北方向）的点B处有
一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了 30步到达一棵树C处，接着再向前走
了30步到达D处，然后他左转90°直行，从点D处开始计步，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位
置E在一条直线时，他恰好走了80步，并且小刚一步大约0.5米．由此小刚估计出了在点A处时他与电
线塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点A处时他与电线塔的距离；若不合理，请说
明理由．
【解答】解：合理．理由如下：
根据题意，得AC＝DC．
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA）．
∴AB＝DE．
又∵小刚走完DE用了80步，一步大约0.5米，
∴AB＝DE＝80×0.5＝40（米）．答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米．
【点评】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三
角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
【检测卷】
一、单选题
1．（2023秋·全国·八年级课堂例题）下列每组中的两个图形，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、两图形能够完全重合，是全等形，符合题意；
B、两图形大小不相同，不能重合，不是全等形，不符合题意；
C、两图形大小不相同，不能重合，不是全等形，不符合题意；
D、两图形大小不相同，形状也不相同，不能重合，不是全等形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的定义，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，熟练掌握此定义是
解题的关键．
2．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，已知 ，添加下列条件还不能判定
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据三角形全等的判定方法即可求解．
【详解】解：∵ ， 是公共边，
∴ 、 ，边边角不能判定两个三角形全等，符合题意；
、 ，应用角边角可判定两个三角形全等，不符合题意；
、 ，角角边可判定两个三角形全等，不符合题意；
、 ，边角边可判定两个三角形全等，不符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握其判定方法的综合运用是解题的关键．
3．（2023春·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期末）如图， ， ，
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由全等三角形的性质可得 ， ，根据三角形内角和定理求得 ，
结合 ，即可求解．
【详解】解： ，
， ，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差计算，熟练掌握知识点并灵活运用
是解题的关键．
4．（2023秋·云南昆明·八年级数据测试校2017112校考开学考试）如图，已知 ．若添加一个条件后，可得 ，则在下列条件中，不能添加的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：选项A：添加 不能判定 ，故本选项符合题意；
选项B：添加 可用 进行判定，故本选项不符合题意；
选项C：添加 可用 进行判定，故本选项不符合题意；
选项D：添加 ，可得 ，可用 进行判定，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2023秋·江苏·八年级校考周测）如图， ， 的延长线交 于 ， ，
， ，则 的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用互补的关系求出 ,再利用 字模型及全等性质解题即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
由三角形内角和为 可知： ，
∴
故选：B．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，能够利用全等的性质求出角度是解题关键．
6．（2023春·四川达州·七年级校考期末）如图，由 ， ， ，得 的
根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】A
【分析】由已知得到 ，即可利用“ ”证明 ．
【详解】解： ，
，
，
在 和 中，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的一般判定方法是解题关键．
7．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考开学考试）如图所示，在 中， ，
，D、E在 上， ， 于F，则图中全等三角形的对数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据已知条件直接利用 可证 ，得到 ，然后利用 可证
，得到 ，求出 ，利用 可证 ，再求出 ，利用 可证 ．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 和 是直角三角形，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴图中全等三角形的对数为4对，
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理与性
质定理．
8．（2023秋·八年级课时练习）如图， ， ，点A，D和B，C分别在直线 和 上，
点E在 上， ， ， ，则 的值为（ ）A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】运用 方法判定 ，得 ，进而求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
9．（2023秋·八年级课时练习）如图，在四边形 中， ， 和 的延长线交于点E，若点
P使得 ，则满足此条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．5个 D．无数个
【答案】D
【分析】由题意知， 的平分线上的点，到 、 两边的距离 相等，则当点P在 的平分线上时，
满足 ，然后作答即可．
【详解】解：由题意知， 的平分线上的点，到 、 两边的距离 相等，
∴当点P在 的平分线上时，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴满足此条件的点P有无数个，故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．（2023春·陕西西安·八年级校考期中）如图，射线 平分 ，点D、Q分别在射线 、 上，
若 ， 的面积为10，过点D作 于点P，则 的长为（ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】过点D作 于点M，利用角的平分线的性质，三角形的面积公式即可解答．
【详解】过点D作 于点M，
∵射线 平分 ， ，
∴ ；
∵ ， 的面积为10，
∴ ；
∴ ；解得 ，
故
故选B．
【点睛】本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积公式，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键．
二、填空题
11．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，画在透明纸上的 和 是全等形吗？ （填
“是”或“不是”），理由是 ．
【答案】 是 把 和 放在一起能够完全重合
【分析】根据全等三角形的性质可进行求解．
【详解】解：根据题意可知 和 是全等形；理由是能把 和 放在一起能够完全重
合；
故答案为是，把 和 放在一起能够完全重合．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
12．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图， ， ， 与 相交于点E，
与 相交于点F，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】利用三角形全等得到 ，再根据对顶角相等 ，即可求解．
【详解】解：∵
∴
又∵∴
故答案为：
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的有关性质．
13．（2023秋·八年级课时练习）如图所示， ， ，用三角形全等的判定“SSS”可证明
或 ．
【答案】
【分析】由 、 、 可证出 ；由 、 、
可证出 ．综上即可得出结论．
【详解】解：在 和 中，
，
∴ ；
在 和 中，
，
∴ ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
14．（2023秋·江苏·八年级校考周测）如图， ，如果 ， ；则
．
【答案】8【分析】根据全等三角形对应边相等可得 ，进而根据 计算即可得解．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应边相等，熟记性质是解题的关键．
15．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考开学考试）如图，在 中， ，
平分 ， 于 ， ，那么 ．
【答案】
【分析】根据全等三角形的判定，得 ，则 ，即可．
【详解】∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
16．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图， ， ， ，点 在线段
上以 的速度由点 向点 运动，同时点 在射线 上运动，当点 运动结束时，点 随之结束
运动，当点 运动到某处时有 与 全等，则 的运动速度是 ．【答案】2或
【分析】分两种情形：①当 时，可得： ；②当 时，
分别求解即可．
【详解】解：①当 时，可得： ，
∴点P、Q的运动路程相同，
又∵当点P运动结束时，点Q随之结束运动，即运动时间相同，
∴点P，Q的运动速度也相同，
∴Q的运动速度是 ；
②当 时，
则 ，
∴点P是 的中点，
又∵ ，
∴ ，
∴点P运动的时间为
又∵点P，Q的运动时间相同，
∴点Q运动的速度是： ，
故答案为：2或 ．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵
活运用所学知识进行分类解决问题．
17．（2023春·山西忻州·七年级校考期中）如图，在 中， 平分 ，，那么点 到直线 的距离是 ．
【答案】2
【分析】先求出 的长，过点 作 于点 ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质
可得 ，从而得解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
， ，
，
， 平分 ，
，
即点 到直线 的距离是 ．
故答案 ：2．
【点睛】本题考查了解平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关
键．
18．（2023秋·八年级课时练习）如图， ， ，垂足分别是C，D，已知 ，小明得
如下结论：① ；② ；③ ．其中正确的是 （填序
号）．
【答案】 /
【分析】①由③ ③①， ， ，可得 是 的平分线，则 ，进而可判断①的正误；证明 ，则 ，进而可判断③的正误；由
，可得 ，不能得到 ，进而可
判断②的正误．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ 是 的平分线，
∴ ，正确，故①符合要求；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，正确，故③符合要求；
∵ ，
∴ ，不能得到 ，故②不符合要求；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵
活运用．
三、解答题
19．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校联考开学考试）如图，已知在 中， ，
交 于点 ．
(1)尺规作图：作 的平分线交 于点 ，交 于点 ；（要求：保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证： ．
∵ ，
∴ ，
∴______ ，
又∵ ______，
∴ ______ 90°，∵ ，
∴ ______ 90°，
∵ 平分 ，
∴ ______，
∴ ．
【答案】(1)见详解
(2) ， ， ， ，
【分析】（1）根据角平分线的作法即可；
（2）根据角平分线的定义，直角三角形的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：作法如图
1．以点 为圆心，一定长度为半径画弧，与 交于两点 ，
2．再分别以 为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于一点 ，
3．连接 并延长 交 于点 ，交 于点 ，
故 即为所求；
（2）证明∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 90°，
∵ ，
∴ 90°，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．故答案为： ， ， ， ， ．
【点睛】本题考查了尺规作图：角平分线的作法，角平分线的定义，直角三角形的性质，本题的关键是熟
练掌握尺规作图作角的平分线．
20．（2023秋·八年级课时练习）（变图形—旋转型）如图， ， ， ，求证：
．
【答案】见解析
【分析】根据 判定 ，得出 即可．
【详解】证明： ，
，
即 ，
在 和 中 ，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法， 、
、 、 、 ．
21．（2023秋·八年级课时练习）（对称型）如图， 中， ，点 是 的中点．求证：
(1) ．(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理 可以证得 ；
（2）利用全等三角形的对边相等即可证明．
【详解】（1）证明： 是 的中点，
，
在 和 中，
，
；
（2）证明：由（1）知 ，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
22．（2023秋·八年级课时练习）如图，在 中， ， 为角平分线，P为 上任意一点，
连接 ， ，求证： ．
【答案】见解析
【分析】在 上取一点E，使 ，连接 ，可证 ，利用全等三角形的性质结合三
角形的三边关系即可求证．
【详解】证明：在 上取一点E，使 ，连接 ，∵ 为角平分线，∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．以角平分线构造全等三角形是解
题关键．
23．（2023秋·八年级课时练习）如图所示，已知 ， ．求证：点C在
的平分线上．
【答案】见解析
【分析】作 ， 的延长线，根据条件证明 即可得 ，从而证
明．
【详解】解：如图，作 ， 的延长线，垂足分别为E，F，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点C在 的平分线上．
【点睛】本题考查角平分线的判定， 掌握角平分线的判定定理和全等三角形的判定与性质是关键．
24．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校联考开学考试）在 中，点 在边 的延长线上，
的平分线与 的平分线交于点 ， 与 交于点 ．
(1)如图1，当 时，求 的度数．
(2)如图2，连接 ，延长 至点 ，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，
求证： ；
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】（1）根据角平分线的性质及三角形的外角定理即可；
（2）过点 作 于点 ，再根据角平分线的性质与判定，三角形的全等的判定与性质即可．
【详解】（1）解： 的平分线与 的平分线交于点 ，得， ，
故 的度数为 ；
（2）证明：过点 作 于点 ，
的平分线与 的平分线交于点 ， ， ，
，
，
， ，
平分 ， ，
，
，
，
同理可证： ，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定、三角形的外角定理、三角形的全等的判定与性质等知识点，
通过作辅助线得出全等三角形是解题的关键．
25．（2023秋·八年级课时练习）如图，在 中， ， ， ，点D为 的中点，
点P在线段 上以每秒3个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段 上以每秒a个单位的速度
由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（ ）．(1)用含t的代数式表示线段 的长；
(2)若点P，Q的运动速度不相等， 与 全等时，求a的值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据 ，点P在线段 上以每秒3个单位的速度由点B向点C运动，由
即可得到线段 的长；
（2）由D为 的中点得到 ，点P，Q的运动速度不相等，则 ，由 与
全等， ，则 ， ，得到 ， ，解得a的值．
【详解】（1）∵ ，点P在线段 上以每秒3个单位的速度由点B向点C运动，
∴ ；
（2）∵点D为 的中点，
∴ ，
∵点P，Q的运动速度不相等，
∴ ，
又∵ 与 全等， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
解得 ， ，
即a的值为 ．
【点睛】此题考查了动点问题，用到了一元一次方程、全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
26．（2023秋·全国·八年级课堂例题）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、
直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等
三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题．
(1)已知：如图，在 中， ，直线 经过点 直线 直线 ，垂足分
别为 ．求证： ．
(2)如图，将（1）中的条件改为：在 中， 三点都在直线 上，并且有
，其中 为任意锐角或钝角．那么结论 是否仍成立？若成立，
请你给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图，将（1）中的条件改为： 三点都在直线 上，且有 ，
其中 为任意锐角．那么结论 是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理
由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，见解析
(3)不成立，见解析【分析】（1）证明 ，由全等三角形的性质得出 ， ，即可得结论；
（2）证明 ，由全等三角形的性质得出 ， ，即可得结论；
（3）证明 ，由全等三角形的性质得出 ， ，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明： 直线 直线 ，
．
．
，
．
．
在 和 中，
．
．
（2）成立．
证明： ，
在 和 中，
．
．
．（3）不成立．
理由： ，
．
，
．
在 和 中，
．
．
．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质的综合应用，
证明 是解题的关键．
