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第 22 章 二次函数全章复习攻略与检测卷
【目录】
倍速学习五种方法
【1个概念】
1.二次函数的概念
【1个性质】
1.二次函数的图象与性质
【2种关系】
1.抛物线的位置与字母系数的关系
2.二次函数与一元二次方程关系
【1个应用】
1.二次函数的实际应用
【4种思想】
1.数形结合思想
2.方程思想
3.分类讨论思想
4.函数建模思想
【检测卷】
【倍速学习六种方法】
【1 个概念】
1.二次函数的概念
一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，
但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.【例1】（2023•江都区模拟）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝
【解答】解：A、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
B、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
D、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式】（2022秋•普兰店区期末） 是二次函数，则m的值是（ ）
A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝±1
【解答】解：∵ 是二次函数，
∴m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝±1且m≠1，
∴m＝﹣1．
故选：B．
【1 个性质】
1.二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
① ；② ；③ ；④ ，
其中 ；⑤ .（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
( 轴) (0，0)
当 时
开口向上
( 轴) (0， )
当 时
开口向下
( ，0)( ， )
( )
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1) 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物
线的开口大小、形状相同.
(2)平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .
y ax2 bxc(a≠0) a,b,c
3.抛物线 中， 的作用：
(1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.
(2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ，
故：① 时，对称轴为 轴；② (即 、 同号)时，对称轴在 轴左侧；③ (即
、 异号)时，对称轴在 轴右侧.
(3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.
当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点(0， )：
① ，抛物线经过原点； ② ，与 轴交于正半轴；③ ，与 轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .
4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式： （a≠0）.已知图象上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.
(2)顶点式： （a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成 的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系： ).
要点诠释：
y ax2 bxc
求抛物线 （a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，
这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
【例2】（2023•合肥模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，则关于x的一次函
数y＝abx﹣a﹣b的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象可知a＞0、b＜0，c＜0，
∴ab＜0，
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象过点（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴c＝﹣a﹣b＜0，
∴一次函数y＝abx﹣a﹣b图象经过第二2、三、四象限，不经过第一象限，
故选：C．
【变式1】（2023•临潼区三模）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），当自变量x＜m时，y随x的增大而减
小，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m≥﹣1 C．m≤1 D．m＞1
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵函数图象的对称轴是直线x＝﹣ ＝1，
∴当x≤1时，y随x的增大而减小，
∵当x＜m时，y随x的增大而减小，
∴m的取值范围是m≤1．
故选：C．
【变式2】（2023春•金东区期末）将抛物线y＝x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得
到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+6 C．y＝（x+3）2+6 D．y＝（x﹣3）2+2
【解答】解：将抛物线y＝x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式
为：y＝（x+3）2+2﹣4，即y＝（x+3）2﹣2．
故选：A．
【变式3】（2023•永城市二模）已知二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象经过点（﹣1，7）和（3，﹣
1）．
（1）求二次函数的表达式和顶点坐标．
（2）当m≤x≤m+2时，y有最小值﹣1，求m的值．
【解答】解：（1）根据题意得， ，
解得 ，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+2，
∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴其顶点坐标是（2，﹣2）；
（2）由（1）知抛物线的对称轴是直线x＝2，开口向上，
当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，
当m+2＜2，即m＜0时，
当x＝m+2时y有最小值﹣1，
∴（m+2﹣2）2﹣2＝﹣1，
解得m＝﹣1或m＝1（舍去）；
当m＞2时，当x＝m时y有最小值﹣1，
∴（m﹣2）2﹣2＝﹣1，
解得m＝3或m＝1（舍去）；
当m＜2且m+2＞2，即0＜m＜2时y有最小值﹣2，不合题意，舍去；
综上，m的值为﹣1或3．
【2 个关系】
1.抛物线的位置与字母系数的关系
【例3】（2023•衢州二模）已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过（0，4），（8，5）两点，若a＜
0，0＜h＜8，则h的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h，
而（0，4），（8，5）两点，
∴h﹣0＞8﹣h，
解得h＞4．
故选：D．
【变式】（2023•永嘉县二模）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过三个不同的点A（0，4），B（m，
4），C（3，n），则下列选项正确的是（ ）A．若m＝4，则n＜4 B．若m＝2，则n＜4
C．若 m＝﹣2，则n＞4 D．若m＝﹣4，则n＞4
【解答】解：∵二次函数 y＝﹣x2+bx+c的图象经过三个不同的点 A（0，4），B（m，4），C（3，
n），
∴A（0，4），B（m，4）关于对称轴对称，
∴对称轴为直线x＝ ＝ ，
∵抛物线开口向下，
∴当x＞ 时，y随x的增大而减小，
A、若m＝4，则对称轴为直线x＝2，
∵2＜3＜4，
∴n＞4，故A错误，不符合题意；
B、若m＝2，则对称轴为直线x＝1，
∵1＜2＜3，
∴n＜4，故B正确，符合题意；
C、若m＝﹣2，则对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1＜0＜3，
∴n＜4，故C错误，不符合题意；
D、若m＝﹣4，则对称轴为直线x＝﹣2，
∵﹣2＜0＜3，
∴n＜4，故C错误，不符合题意；
故选：B．
2.二次函数与一元二次方程关系
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象方程有两个相等实数解
方程有两个不等实数解 方程没有实数解
的解
要点诠释：
二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时 ，则方程没有实根.
【例4】（2022秋•即墨区校级期末）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的y与x的
部分对应值如表：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c＝0.02的一个解x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【解答】解：由表可以看出，当x取3.25与3.26之间的某个数时，y＝0.02，即这个数是ax2+bx+c＝0.02
的一个根．
ax2+bx+c＝0.02的一个解x的取值范围为3.25＜x＜3.26．
故选：D．
【变式】（2023•安顺模拟）我们定义一种新函数：形如y＝|x2﹣4x﹣5|（a≠0且b2﹣4ac＞0）的函数叫做
“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数y＝|x2﹣4x﹣5|的图象（如图所示），并写出下列五
个结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（5，0）和（0，5）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝2；
③当﹣1≤x≤2或x≥5时，函数值y随x的增大而减小；
④当x≤﹣1或x≥5时，函数的最小值是9；
⑤当y＝x+b与y＝|x2﹣4x﹣5|的图象恰好有3个公共点时b＝1或其中结论正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵（﹣1，0），（5，0）和（0，5）满足函数y＝|x2﹣4x﹣5|，
∴结论①正确；
观察函数的图象可知：函数具有对称性，对称轴为 ，
故结论②正确；
∵函数与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（5，0），且对称轴为x＝2，
∴当﹣1≤x≤2或x≥5时，函数值y随x值的增大而增大，
故结论③不正确；
∵当x＝﹣1或5时，y＝0，
∴当x≤﹣1或x≥5时，函数的最小值是0．
故结论④不正确；
∵函数y＝|x2﹣4x﹣5|与x轴的两个交点为（﹣1，0），（5，0），
又∵y＝x+b与y＝x平行，
∴当y＝x+b与y＝|x2﹣4x﹣5|的图象恰好有3个公共点时，有以下两种情况：
①y＝x+b经过点（﹣1，0），此时b＝1，
②当y＝x+b与函数y＝﹣（x2﹣4x+5）只有一个交点时，
则方程x+b＝﹣（x2﹣4x+5）有两个相等的实数根，
将x+b＝﹣（x2﹣4x+5）整理得：x2﹣3x+b﹣5＝0，
∴判别式Δ＝（﹣3）2﹣4（b﹣5）＝0，
解得： ．
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②⑤．
故选：B．【1 个应用】
1.二次函数的实际应用
【例5】一个圆形喷水池的中心竖立一根高为2.25m顶端装有喷头的水管，喷头喷出的水柱呈抛物线形．
当水柱与池中心的水平距离为1m时，水柱达到最高处，高度为3m．
（1）求水柱落地处与池中心的距离；
（2）如果要将水柱的最大高度再增加1m，水柱的最高处与池中心的水平距离以及落地处与池中心的距
离仍保持不变，那么水管的高度应是多少？
【解答】解：（1）如图，建立直角坐标系，点（1，3）是抛物线的顶点．
由题意，设水柱所在的抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，
∵抛物线经过点（0，2.25），
∴2.25＝a+3，即 ，
∴ ，
当y＝0时，即 ，
解得x＝3或x＝﹣1（舍），
即水柱落地处与池中心的距离为3m；
（2）由题意，设抛物线解析式为y＝n（x﹣1）2+4，
∵抛物线经过点（3，0），
∴n（3﹣1）2+4＝0，即n＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4，
当x＝0时，y＝3，
即水管的高度应为3m．【变式1】某商店购进一批进价为40元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出600
件；第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销
售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示．
(1)请直接写出y与x之间的函数表达式： ；自变量x的取值范围为 ；
(2)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)y＝－20x＋1800，60≤x≤90
(2)第二个月的销售单价定为65元/件时，可获得最大利润，最大利润是12500元
【详解】（1）第一个月该商品的售价为40×(1＋50%)＝60(元)，
设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b，
将点(60，600)，(70，400)代入y＝kx＋b中，
得 ，
解得 ，
∴y与x之间的函数解析式为y＝－20x＋1800；
当y＝0时，x＝90，
∴自变量x的取值范围为60≤x≤90；
故答案为：y＝－20x＋1800；60≤x≤90；
（2）设第二个月的利润为w元，由题意得， ．
∵ ，
∴当x＝65时，w的最大值为12500．
∴第二个月的销售单价定为65元/件时，可获得最大利润，最大利润是12500元．
【变式2】（2023•长安区模拟）某体验馆建造了一幢“森林“主题场馆，如图是馆内抛物线形模拟洞穴的
横截面，现需要在洞穴内壁架设平行于地面的钢架AB，两端分别在洞穴最高点两侧．在钢架正下方隔
离出一片矩形区域ABCD，且CD在水平地面上．如图，以O为坐标原点、水平地面为x轴建立平面直
角坐标系，抛物线与x轴相交于O、E，经测量OE长8米．
（1）若 在抛物线上，求该抛物线表达式．
（2）在（1）的条件下，若隔离区其中一条边长为2米，则隔离区的最大面积为多少？
【解答】解：（1）根据题意，设抛物线解析式为y＝ax2+bx（a≠0），
∵OE＝8米，
∴﹣ ＝4，
即b＝﹣8a①，
∵（3， ）在抛物线上，
∴9a+3b＝ ②，
把①代入②得：﹣15a＝ ，
解得a＝﹣ ，
∴b＝3，∴抛物线表达式为y＝﹣ x2+3x；
（2）设隔离区的面积为S米2，
①当AD＝2时，即y＝2，
则2＝﹣ x2+3x，
解得x＝ ，
∴CD＝8＝OE（不合题意）；
②当CD＝2时，
OD＝ ＝ ＝3，
∴当x＝3时，y＝﹣ ×32+3×3＝ ，
∴S＝ ×2＝ （米2）．
∴隔离区的面积为 米2．
【4 种思想】
1.数形结合思想
【例6】（2023•金东区二模）定义：若n为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称该
点为这个函数图象关于n的“恒值点”，例如：点（1，2）是函数y＝2x图象关于3的“恒值点”．
（1）判断点（1，3），（2，8），（3，7）是否为函数y＝5x﹣2图象关于10的“恒值点”．
（2）如图1，抛物线y＝2x2+bx+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），现将抛物线在x轴下方的部
分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示．
①求翻折后A，B之间的抛物线解析式．（不必写出x的取值范围）
②当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c．【解答】解：（1）∵（1，3）在函数y＝5x﹣2图象，1+3＝4≠10，
∴（1，3）不是函数y＝5x﹣2图象关于10的“恒值点”，
∵（2，8）在函数y＝5x﹣2图象，2+9＝10，
∴（2，8）是函数y＝5x﹣2图象关于10的“恒值点，
∵（3，7）不在函数y＝5x﹣2图象上，
∴（3，7）不是函数y＝5x﹣2图象关于10的“恒值点”；
（2）①∵翻折后的抛物线与抛物线y＝2x2+bx+2关于x轴对称，
∴﹣y＝2x2+bx+2，
∴翻折后A，B之间的抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣bx﹣2；
②新图象分两部分，如图，
∵新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”，
∴x+2x2+bx+2＝c，x﹣2x2﹣bx﹣2＝c，
整理得：2x2+bx+2＝﹣x+c或﹣2x2﹣bx﹣2＝﹣x+c，
而y＝﹣x+c与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，
令y＝2x2+bx+2＝0，
解得： ，∴B（ ，0），
当y＝﹣x+c过B点时，满足条件；
∴c＝ ；
当y＝﹣x+c与 y＝﹣2x2﹣bx﹣2 只有1个交点时，满足条件；
∴﹣2x2﹣bx﹣2＝﹣x+c，即 2x2+（b﹣1）x+c+2＝0 有两个相等的实数的实数解，
∴（b﹣1）2﹣4×2（c+2）＝0．，
解得： ，
综上所述，c＝ 或c＝ ．
2.方程思想
【例7】（2023春•镇海区期末）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（2，3）．
（1）求b，c的值；
（2）结合图象，求当y＞0时x的取值范围；
（3）平移该二次函数图象，使其顶点为A点．请说出平移的方法，并求平移后图象所对应的二次函数
的表达式．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得 ，
∴b＝2，c＝3；（2）由（1）知，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则0＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴当y＞0时x的取值范围为﹣1＜x＜3；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点为（1，4），
∵A（﹣1，0），
∴将抛物线顶点（1，4）先向左平移2单位长度，再行下平移4个单位长度得到A（﹣1，0），
∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2．
3.分类讨论思想
【例8】（2023•舟山三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），
点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若﹣1≤x≤d时，﹣1≤y≤8，则d的取值范围是 ．
（3）点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求
m的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2，当x＝2时，函数有最小值﹣1．
令y＝8，则x2﹣4x+3＝8，
解得：x＝﹣1或x＝5．
∵当﹣1≤x≤d时，﹣1≤y≤8，当x＝2时，函数有最小值﹣1，
∴当﹣1≤x≤d时，函数要取得最小值，
∴2≤d≤5．
故答案为：2≤d≤5；
（3）∵P在此抛物线上，其横坐标为m，∴P（m，m2﹣4m+3）．
①当点P在对称轴的右侧时，m＞2，抛物线的顶点最低，即最小值为﹣1，此时图象G的最大值为m2
﹣4m+3，
∵图象G的最大值和最小值差是5，
∴m2﹣4m+3﹣（﹣1）＝5，
∴m2﹣4m﹣1＝0．
解得：m＝2+ 或m＝2﹣ （不合题意，舍去），
∴m＝2+ ；
②点P在抛物线的顶点与点之间时，此时最小值为﹣1，最大值为0，
∴图象G的最大值和最小值差不可能为5，此种情形不存在；
③点P在点A的左侧，m＜1，点A处最低，即最小值为0，此时图象G的最大值为m2﹣4m+3，
∵图象G的最大值和最小值差是5，
∴m2﹣4m+3＝5，
解得：m＝2+ （不合题意，舍去）或m＝2﹣ ．
∴m＝2﹣ ．
综上，当图象G的最大值和最小值差是5时，m的值为2+ 或2﹣ ．
【变式1】（2023•龙湾区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．
（1）若图象经过点（﹣1，8），求该二次函数的表达式及顶点坐标．
（2）当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．
【解答】解：（1）将点（﹣1，8）代入二次函数y＝ax2﹣4x+3中得：
8＝a+4+3
∴a＝1
∴二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3，
∴y＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）∵二次函数最值只能出现在端点或顶点，
x＝0时，y＝0+0+3＝3，时， ，
x＝m时，y＝am2﹣4m+3；
∵a＞0，
∴ ，
∴y＝9时，只有x＝m时，y＝am2﹣4m+3＝9成立，
∴ 时， ，
解得a＝2，
代入am2﹣4m+3＝9得：
2m2﹣4m+3＝9，
解得m＝3或﹣1，
∵0≤x≤m，
∴m≥0，
∴m＝3
检验a＝2，对称轴为 ，
0≤x≤3时，顶点处函数值最小为1，x＝3时，函数值最大为9，符合要求，
故a＝2，m＝3．
【变式2】（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的
取值范围．
【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：
1＝4﹣4t+3，
解得：t＝ ；
（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．
若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值，
∴t2﹣2t2+3＝﹣2，解得t＝ ；
若t＞3，当x＝3时函数取最小值，
∴9﹣6t+3＝﹣2，
解得 （不符合题意，舍去）；
综上所述，t的值为 ；
（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，
∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝ ＝m﹣1，
∴t＝m﹣1，
∵t＞0，
∴m﹣1＞0，
解得m＞1，
∵m﹣2＜m，
∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，
∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），
∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），
∵b＜3，
∴4＜2m﹣2，
解得m＞3；
①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，
∵y随x的增大而减小，且a＜b，
∴4＜m﹣2，
解得m＞6，
此时m满足的条件为m＞6；
②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，
∵a＜b，
∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，
∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），解得：m＜4，
此时m满足的条件是3＜m＜4，
综上所述，3＜m＜4或m＞6．
4.函数建模思想
【例9】（2023•洞头区二模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计打印图纸方案？
素材1 如图1，正方形ABCD是一
张用于3D打印产品的示意
图，它由三个区块（Ⅰ，
Ⅱ，Ⅲ）构成．已知AB＝
20cm，点E，F分别在BC
和AB上，且BE＝BF，设
BE＝xcm（0＜x＜20）．
素材2 为了打印精准，拟在图2中
的BC边上设置一排间距为
1cm的定位坐标（B为坐标
原点），计算机可根据点E
的定位坐标精准打印出图
案．
问题解决
任务1 确定关系 用含x的代数式表示：
区块Ⅰ的面积＝ x 2 、
区块Ⅱ的面积＝ ﹣
10 x +200 、区块Ⅲ的面积
＝ ．
任务2 拟定方案 为美观，拟将区块Ⅲ分割为
甲、乙两个三角形区域，并
要求区域乙是以DE为腰的
等腰三角形，求所有方案中
区域乙的面积或函数表达
式．
任务3 优化设计 经调查发现区域乙的面积为
范围内的整数
时，此时的E点为最佳定位
点，请写出所有的最佳定位
点E的坐标．
【解答】解：任务1：
区块Ⅰ的面积： ，区块Ⅱ的面积： ×20×（20﹣x）＝﹣10x+200，
区块Ⅲ的面积：20×200﹣ x2﹣（﹣10x+200）＝ ；
故答案为： x2；﹣10x+200； ；
任务2：
①如图1，连接DF，
∵AD＞AF，
∴△ADF不可能为等腰三角形，
∵DF＝DE，
∴△DFE为等腰三角形，
∴S乙 ＝S△DEF ＝ ﹣ x2﹣（﹣10x+200）＝﹣ x2+20x，
②如图2，连接AE，
∵AE＝DE，
∴E在AD的垂直平分线上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴E为BC的中点，
∴ ；
综上所述，S乙 ＝﹣ x2+20x或S乙 ＝200；
任务3：
∵乙的面积为 范围内，
∴面积范围为110≤S乙 ≤150，
∵ ，∴110≤﹣ x2+20x≤150，
∴100≤（x﹣20）2≤180，
∴10≤x﹣20≤6 或﹣6 ≤x﹣20≤﹣10，
∴30≤x≤20+6 （不符合题意，舍去）或20﹣6 ≤x≤10，
∵x为整数，
∴x可取7，8，9，10，
∵S乙 也是整数，
∴x＝8或x＝10，
∴有2个最佳定位点E，分别为（8，0），（10，0）．
【检测卷】
一、单选题
1．（2023秋·九年级课时练习）若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解．
【详解】解：由题意得 ，
解得 ；
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的定义，由二次函数定义建立不等式是解题的关键．
2．（2023秋·九年级课时练习）在下列二次函数中，其图像的对称轴为直线 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数顶点式的图像与性质直接求解即可得到答案．
【详解】解：A、 的对称轴为 ；
B、 的对称轴为 ；C、 的对称轴为 ；
D、 的对称轴为 ；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数顶点式的图像与性质，熟记二次函数顶点式的图像与性质是解决问题的关键．
3．（2023秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考开学考试）对于二次函数 ，其图象的顶点坐
标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数顶点式，直接可得顶点坐标．
【详解】解： 二次函数 ，
其图象的顶点坐标为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了通过二次函数顶点式写出顶点坐标，熟练掌握二次函数顶点式是解题的关键．
4．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州杨桥中学校考开学考试）抛物线 向右平移1个单位，再向
下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】抛物线的平移遵循：上加下减，左加右减的规律，据此即可解答.
【详解】解：抛物线 向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 ；
故选：A.
【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键.
5．（2023秋·云南昆明·九年级云南省昆明市第十中学校考开学考试）关于二次函数 的最值情况，
描述正确的是（ ）
A．最大值0 B．最大值 C．最小值 D．最小值0【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数最值．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴该函数图象开口向下，对称轴为直线 ，当 时，取得最大值 ，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数
的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数 与一次函数 的图象，即可得出 ， ， ，由此即可得出：
二次函数 的图象开口向上，对称轴 ，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选
项中的图象即可得出结论．
【详解】解：因为从二次函数 与一次函数 的图象得到 ， ， ，
所以二次函数 的图象开口向上，
二次函数 的对称轴 ，且其图象与y轴的交点在y轴负半轴，
四个选项中的图象符合上述要求的是D选项，
故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，
找出 ， ， 是解题的关键．
7．（2023秋·九年级课时练习）已知点 ， 都在函数 的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接代入计算求出 ， ，问题得解．
【详解】∵点 ， 都在函数 的图象上，
∴ ， ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，细心计算是解答本题的关键．
8．（2023秋·九年级课时练习）二次函数 的图象如图所示，则关于 的方程
的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【分析】根据抛物线与x轴的交点个数，即可判断关于 的方程 的根的情况．
【详解】由图象可得，二次函数 的图象与x 有两个交点，
∴关于 的方程 有两个不等的实数根．故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的
关键．当抛物线与x轴有两个交点时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当抛物线与x轴有1个交点
时，一元二次方程有两个相等的实数根；当抛物线与x轴没有交点时，一元二次方程没有实数根．
9．（2023秋·九年级课时练习）在同一坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象可
能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由二次函数 图象得到系数字母的正负，再与一次函数 的图象相比较看
是否一致．
【详解】解： 由抛物线可知， ，即 ；由直线可知， ，二者矛盾，故本选项错误；
B．由抛物线可知， ，即 ，根据对称轴 ，可得 ，两者矛盾；由直线可知， ，
的范围不一致，故本选项错误；
C．由抛物线可知， ，即 ，根据对称轴 ，可得 ，两者矛盾；由直线可知，
， 的范围不一致，故本选项错误；
D．由抛物线可知， ，即 ，根据对称轴 ，可得 ；由直线可知， ， 的范围
一致，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质的知识点，熟练掌握抛物线的图象与性
质和一次函数的图象与性质是解题的关键．10．（2023·辽宁丹东·校考二模）如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为直线
．则下列结论：① ；② ；③函数 的最大值为 ；④若关于 的方程
有两个相等的实数根，则 ．正确的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】根据抛物线的位置和对称轴可以判断出 ， ， 的正负，对①进行判断，根据对称轴公式对②进
行判断，设抛物线的解析式为 ，当 时， 值最大对③进行判断，把方程
转化成一元二次方程 ，利用判别式等于零求解判断④即可．
【详解】解： 抛物线开口方向向下，
，
抛物线交 轴正半轴，
，
抛物线对称轴位于 轴正半轴，
，
，
，故①正确；
抛物线的对称轴为 ，
，
，故②正确；
抛物线的对称轴为 ，与 轴的一个交点为 ，抛物线与 轴的另一个交点为 ，
设抛物线的解析式为 ，
当 时， 值最大，最大值为 ，故③正确；
方程 有两个相等的实数根，
有两个相等的实数根，
， ，
，
（舍去）或 ，故④错误，
故选： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值问题，通过函数图像判断出 ， ，
的正负，找到函数与坐标轴的交点是解答本题的关键．
二、填空题
11．（2023秋·九年级课时练习）某商品的进货单价为30元/个，当销售单价为40元/个时，每天能卖出40
个．若销售单价每上涨1元/个，则每天的销量就减少1个．设该商品的销售单价上涨 元/个，每天的利润
为 元，则 与 之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】根据销售问题中数量关系： 建立函数式．
【详解】解： ，
故答案为：
【点睛】本题考查销售问题的数量关系，列函数关系式，理解销售问题的数量关系是解题的关键．
12．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，且与
轴、 轴分别交于 、 两点，其中点 在点 的右侧，直线 经过 、 两点．给出以下四
个结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论是【答案】①②③④
【分析】根据抛物线开口方向和对称轴即可判断①；把 代入 ，求得c的值，即可判断②；
由 整理得到 即可判断③；根据图象即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵直线 经过点A，点A在点 的右侧，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，故③正确；
由图象可知，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了二次函数的系数与图象的关系，根据抛物线与x轴，y轴的交点以及对称轴推理a，
b，c之间的关系是解题的关键．
13．（2023·广东广州·统考中考真题）已知点 ， 在抛物线 上，且 ，则
．（填“<”或“>”或“=”）
【答案】
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解： 的对称轴为y轴，
∵ ，
∴开口向上，当 时， y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，
从而分析函数的增减性．
14．（2023·安徽芜湖·统考三模）在平面直角坐标系中，将抛物线 绕点 旋转 ，
当 时，y随x的增大而减小，则k的范围是 ．
【答案】
【分析】先确定旋转后抛物线的开口方向和对称轴，再由题意列出关于k的不等式进行求解．
【详解】解：∵ ， ，
∵原抛物线的开口向上，对称轴是直线 ，
∵将该抛物线绕点 旋转 后开口向下，
∵旋转后的对称轴为直线 ，开口向下，
∵当 时，y随x的增大而减小，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质的应用能力，关键是掌握二次函数的图象和性质．
15．（2023秋·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）已知二次函数 的图象与 轴
只有一个交点．则 ．
【答案】 /2或 / 或2
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系可知 两个相等的实数根，再根据一元二次方程
的根的判别式求解．
【详解】解： 二次函数 的图象与 轴只有一个交点，
有两个相等的实数根，
，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练运用
数形结合思想．
16．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 在
抛物线 上，点B是该抛物线与y轴的交点，过点B作 轴交抛物线于点C，连
结 ， ．若 平分 ，则此抛物线的对称轴为直线 ．
【答案】
【分析】先求出点B的坐标，然后利用角平分线的性质，平行线的性质得出 ，过点C作
与点E，设 ，用勾股定理求出d的值，得出点C的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式，
即可得出结果．【详解】解：令 ，则 ，
，
轴，
，
平分 ,
，
，
，
过点C作 与点E，
，
设 ，
则 ，
即 ，
解得： ，
，
，
把点A，C代入抛物线 得：
，解得 ，
抛物线解析式为： ，
对称轴为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，角平分线的性质，平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利
用二次函数的性质解答．
17．（2023秋·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）已知关于x的二次函数
，当 时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】将一般式化为顶点式， ，根据二次函数的增减性求解．
【详解】解： ；
抛物线对称轴为 ，开口向下， 时，y随x的增大而减小，
∵ 时，y随x的增大而减小，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟悉配方法，二次函数的性质是解题的关键．
18．（2023春·福建福州·九年级校考阶段练习）下表记录了二次函数 中两个变量 与
的6组对应值，
… 1 3 …
… 0 2 0 …
其中 ．根据表中信息，当 时，直线 与该二次函数图象有两个公共点，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由抛物线经过 可得抛物线对称轴，从而可得a与b的关系，再将 代入解析式可
得二次函数解析式， 将二次函数解析式化为顶点式求解．
【详解】解：∵抛物线经过 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
将 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，
∴ 时， 为函数最大值，
将 代入 得 ，
将 代入 得 ，
∴ 的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的应用和二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握待定
系数法求二次函数解析式．
三、解答题
19．（2023秋·九年级课时练习）一条抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同，对称轴及顶点与抛
物线 相同，求该抛物线的解析式．【答案】
【分析】根据二次函数图像与性质，结合待定系数法确定函数关系式即可得到答案．
【详解】解： 一条抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同，
设这条抛物线的解析数为 ，
这条抛物线的对称轴及顶点与抛物线 相同，
的对称轴为 ，顶点为 ，
，
该抛物线的解析式为 ．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
20．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州教育学院附属中学校考开学考试）抛物线 过点
与 ，且抛物线最大值是3．
(1)求此拋物线的解析式；
(2)通过计算，判断点 是否在此函数图象上？
【答案】(1)
(2)点 不在此函数图象上
【分析】（1）根据抛物线的对称性可得出该抛物线的对称轴为直线 ，从而得出该抛物线的顶点坐标
为 ，再利用待定系数法求解即可；
（2）将 代入函数解析式求出y的值即可判断．
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 与 ，∴该抛物线的对称轴为直线 ．
又∵抛物线最大值是3，
∴该抛物线的顶点坐标为 ．
将 ， ， 代入拋物线解析式，得：
，解得： ，
∴此拋物线的解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
∴点 不在此函数图象上．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式．熟练掌握二次函数的图象和性
质是解题关键．
21．（2022秋·河北保定·九年级统考期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、
技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单
价为 元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为 ，经过两次降价后的价格为 （元）．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为 元，求每次降价的百分率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用经过两次降价后的价格 原价 每次降价的百分率 ，即可找出 与 之间了函数
关系式；
（2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为 元，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其符合
题意的值即可得出结论．【详解】（1）∵每次降价的百分率都为 ，经过两次降价后的价格为 （元）
∴依题意得： ，
∴ 与 之间的函数关系式为 ；
（2）依题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴每次降价的百分率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的
关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）某公司生产某种衣服，每件成本200元．据公司往年数据
分析预测，今年11月份的日销售量s（件）与时间t（天）之间的关系式为 ．每天的价格
（元/件）与时间t（天）的函数关系如图．设每天利润为w（元）．
(1)求w关于t的函数表达式；
(2)根据预测，11月份哪天利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)第14天利润最大，最大利润为5780元
【分析】（1）由图象可知，当 时，设 关于t的函数表达式为 ，将 ，
代入得， ，解得 ，则 ， ，当 时，
， ，进而可得w关于t的函数表达式；（2）当 ， ，由 ，可得当 时， 最大，为
5780；当 ， ，由 ，可得当 时， 最大，为5600；比较大小后作答即
可．
【详解】（1）解：由图象可知，当 时，设 关于t的函数表达式为 ，
将 ， 代入得， ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：当 ， ，
∵ ，
∴当 时， 最大，为5780；
当 ， ，
∵ ，
∴当 时， 最大，为5600；
∵ ，
∴ 时， 最大，即第14天利润最大，最大利润为5780元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用 ，二次函数的性质，一次函数的应用．解题的关键在于分段求出函
数的表达式．
23．（2023秋·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32
米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪 ．(1)当矩形草坪面积为120平方米时候，求该矩形草坪 边的长．
(2)怎样围能得到面积最大的草坪？
【答案】(1)12米
(2)当矩形草坪 边的长为16米时，面积最大
【分析】（1）设矩形草坪 边的长为 ，根据面积公式列方程求解；
（2）根据矩形面积，得 ，故知矩形草坪 边的长为16米时，面积最
大．
【详解】（1）解：设矩形草坪 边的长为 ，则 （米），得
，
解得 （舍去）或
∴矩形草坪 边的长为12米．
（2）解：矩形的面积
∵ ，
∴当 时，取得最大值．
∴当矩形草坪 边的长为16米时，面积最大．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用；掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（2023秋·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
经过点 ，点P是直线 上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，
设点P的横坐标为t．(1)分别求出直线 和这条抛物线的解析式．
(2)若点P在第四象限，连接 ，求线段 最长时点P的坐标．
【答案】(1)直线 ： ，抛物线：
(2)
【分析】（1）将已知两点坐标代入解析式，求解方程组即可；
（2）点P在第四象限，设 ， ，则 ，所以 时， 取
得最大值，得 ．
【详解】（1）解：抛物线 经过点 ，得
，解得
∴ ．
设直线 的解析式为 ，经过 ，得
，解得
∴直线 的解析式为 ．
（2）解：点P在第四象限，设 ， ，
∴ ．时， 取得最大值， ．
∴ ．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数性质；由坐标表示线段长，进而运用二次函数性质
是解题的关键．
25．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于 ，
两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为
(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接 ，求当 面积最大时点P的坐标及该面积的最
大值；
(3)若点Q是y轴上的点，且 ，求点Q的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ；直线l的解析式为
(2) 的面积的最大值为 ， ）
(3)点Q的坐标为 或
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）过点P作 轴交 于点E、设P ，则E ．因为，所以 的值最大值时， 的面积最大，求出 的最大值即可．
（3）将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，则 ，设 交y轴于点Q，则 ，作点
T关于 的对称点 ，设 交y轴于点 ，则 ，分别求出直线 ，直线 的解
析式即可解决问题．
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于 ， 两点
∴设抛物线的解析式为
∵D 在抛物线上
∴
解得
∴抛物线的解析式为
∵直线l经过 ，D
设直线l的解析式为 （ ）
则 ，
解得，
∴直线l的解析式为 ；
（2）解：如图1中，过点P作 轴交 于点E、设P ，则E ．∵
∴ 的值最大值时， 的面积最大，
∵
∵
∴ 时， 的值最大，最大值为 ，
此时 的面积的最大值为 ，
（3）解：将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，则
设 交y轴于点Q，则
∵D
设 的解析式为：
则 ，解得，
∴直线 的解析式为
∴
作点T关于 的对称点
设 的解析式为：
则 ，
解得，
则直线 的解析式为
设 交y轴于点 ，则
∴
综上所述，满足条件的点Q的坐标为 或
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三
角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问
题．
26．（2023·吉林·九年级校联考学业考试）如图，在矩形 中， ， ，动点 从点
出发．以 的速度沿射线 方向运动，以 为底边，在 的右侧作等腰直角三角形 ，当点
落在射线 上时，点 停止运动，设 与矩形 重叠部分的面积为 ，运动的时间为 ．(1)当 为何值时，点 落在射线 上；
(2)当线段 将 的面积二等分时，求 的值；
(3)求 与 的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用矩形的性质和等腰直角三角形的性质得出 ，从而得出 ，
进而得出 ，进行计算即可得到答案；
（2）由等腰直角三角形的性质得出斜边上的高也是中线，根据三角形的中线把 面积平分，判断出
点 在边 上，即可得到答案；
（3）分三种情况分别进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：如图①，过点 作 于 ，
在矩形 中， ， ， ，
∵点 落在射线 上，
∴ ，
是等腰直角三角形， ，
，
，
∴ ；
（2）解：如图②，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ 边上的高线也是该边的中线，
∴点 在边 上时， 将 的面积二等分，
∵ 是直角三角形的斜边的中线，
∴由运动知， ，
∴ ；
（3）解：当 时，如图③，
过点 作 ，
由运动知， ，∴ ，
∴ ；
当 时，如图④，
过点 作 ，
由运动知， ，
∴ ， ， ，
∴
；
当 时，如图⑤，
过点 作 ，
∴ ，，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式、图形运动问题（实际
问题与二次函数），熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
