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【赢在中考·黄金八卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（天津专
用）
第四模拟
（本卷共25小题，满分120分，考试用时100分钟）
一、单选题( 12小题，每题3分，共36分 )
1．下列运算正确的是（ ）
5 1 ( 5) ( 2)
A．0−3=−3 B．− − =−2 C． − ÷ − =1 D．(−2)×(−3)=−6
2 2 2 5
【答案】A
【分析】由有理数的减法运算可判断A，B，由有理数的除法运算可判断C，由有理数的乘
法运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：0−3=−3，运算正确，故A符合题意；
5 1
− − =−3,故B不符合题意；
2 2
( 5) ( 2) 5 5 25
− ÷ − = × = ,故C不符合题意；
2 5 2 2 4
(−2)×(−3)=6,故D不符合题意；故选A．
【点睛】本题考查的是有理数的加减乘除运算，掌握“有理数的加减乘除运算的运算法
则”是解本题的关键．
2．2sin45°的值等于（ ）
√2 √3
A． B． C．1 D．√2
2 3
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解．
√2
【详解】解：2sin45°=2× =√2．
2
故选：D．
【点睛】此题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
3．舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，
这个数用科学记数法应表示为（ ）
A．4.995×1011 B．49.95×1010
C．0.4995×1011 D．4.995×1010
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值
时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将499.5亿用科学记数法表示为：4.995×1010．
故选：D．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后
的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如
果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图
形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则此项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键．
5．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三视图的定义求解即可．
【详解】解：主视图：底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形；
左视图：底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图：底层右侧是两个小正方形，上层左侧是两个小正方形；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．
6．下列无理数中，在﹣2与√2之间的是（ ）
A．−√5 B．−√3 C．√3 D．√5
【答案】B
【分析】分别得出各数的取值范围，进而得出答案.
【详解】A．−3＜−√5＜−2，故本选项不合题意；
B．−2＜−√3＜−1，故本选项符合题意；
C．√3＞√2，故本选项不合题意；
D．2＜√5＜3，故本选项不合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，进而比较大小。
{3x−2y=1
7．关于x，y的方程组 的解是（ ）
x+ y=2
11
{x=
5 {x=1 { x=2 {x=3
A． B． C． D．
1 y=1 y=−1 y=4
y=
5
【答案】B
【分析】用加减消元法解方程组即可．
{3x−2y=1①
【详解】∵
x+ y=2②
∴①+②×2，5x=5，
解得x=1，
把x=1代入②，解得y=1，
{x=1
故方程组的解为 ，
y=1
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．
a2
8．化简 −(a−1)的结果是( )．
a−1
1 1 2a−1
A．− B． C． D．
a−1 a−1 a−1
2a−1
−
a−1
【答案】C【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算
就可以了．
a2 (a−1) 2 2a−1
【详解】解：原式= − = ．
a−1 a−1 a−1
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的加减法，分式的通分的运用，解答的过程中注意符号的运用及
完全平方公式的运用．
9．如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(−3，0)，(0，−1)，(2，2)，则顶点D的坐
标是（ ）
A．(−1,3) B．(1,−3) C．(−3,1) D．(3,−1)
【答案】A
【分析】由平行四边形的性质可得AC与BD互相平分，由中点坐标公式可求解．
【详解】解：设点D（x，y），
∵▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(−3，0)，(0，−1)，(2，2)，
∴AC与BD互相平分，
−3+2 x+0 0+2 y−1
∴ = ， = ，
2 2 2 2
解得：x=-1，y=3，
∴点D坐标为（-1，3），
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是本题
的关键．
8
10．若点A(x ,2),B(x ,−1),C(x ,4)都在反比例函数y= 的图像上，则x ,x ,x 的大
1 2 3 x 1 2 3
小关系是（ ）
A．x <x <x B． C． D．
1 2 3
x <x <x
2 1 3
【答案】B
【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出x 、x 、x ，然后进行比较即可．
2 1 3
8
【详解】将三点坐标分别代入函数解析式y= ，得：
x8
2= ，解得x =4；
x 1
1
8
−1= ，解得x =-8；
x 2
2
8
4= ，解得x =2；
x 3
3
∵-8<2<4，
∴ ，
故选： B．
【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．
．如图，等边△ 的边长为 ，点 在边 上， ，线段 绕 顺时针旋转
1得1到线段 ，连接ABC交 于点6 ，连D接 ，AB下列结B论D：=2①四边形CD D面积为 ；60°
DE DE AC F AE ADCE 9
②△ 外接圆的半径为 ；③ ；其中正确的是
ADE AF∶FC=2∶7 ( )
．①②③ ．①③ ．①② ．②③
【答案】
A B C D
【分析】如图 ，在 上取一点 ，使得 ，连接 ，分别过 、 作
A
，垂足为 、 ，由△ 的边长为 的等边三角形，得 ，
1 BC M BM=2 DM D A
，进而证明△H M的边长A为BC 的等边三角6 形，△ 的边长为 的等
边三角形，再证明 BDM，得到 2 ，于是有 CDE
四边形 梯形
S ADCE=S ABCE-
，由 ， ，得△ 外接圆的半径
ADE
为 ，证明 ，判断③正确，从而得出结论．
【详解】解：如图 ，在 上取一点 ，使得 ，连接 ，分别过 、 作
，垂足为 、 ，
1 BC M BM=2 DM D A
H M∵△ABC的边长为6的等边三角形，
∴∠B=60°，AB=BC=AC=6，
∵BD=2，BM=2，
∴△BDM的边长为2的等边三角形，AD=6−2=4 ，
∴∠B=∠BDM=∠BMD=60°，DM=BD=BM=2，
√3 √3
∴AG=ABsin60°=6× =3√3，DH=BDsin60°=2× =√3，
2 2
1
BH=BDcos60°=2× =1，∠CMD=180°−60°=120°，
2
CM=BC−BM=6−2=4=AD，
∴CH=BC−BH=6−1=5，
∴CD=√CH2+DH2=√(√3) 2+52=2√7，
∵线段CD绕D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴△CDE的边长为2√7的等边三角形，
∴CD=DE=CE=2√7，∠CDE=60°，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠ADE+60°=∠B+∠BCM=60°+∠BCM，
∴∠ADE=∠BCM，
∴△ADE≌△BCM，
∴∠DAE=∠CMD=120°，AE=DM=2，
∴∠DAE+∠B=180°，
∴ ，
∴S ADCE=S ABCE-S
四边形 梯形 △BDC
1 1
= ×(2+6)×3√3− ×6×√3
2 2
=9√3，
因此①正确；
∵∠DAE=120°， ，
2√7 4
∴△ADE外接圆的直径为 = √7，
sin60° 32√21
∴△ADE外接圆的半径为 ，
3
因此②正确；
∵∠DAC=∠CDF=60°，∠DCF=∠AFD，
∴△DAC∽△CDF，
DC CF 2√7 CF
= 即 = ，
AC CD 6 2√7
14
∴CF= ，
3
14 4
∴AF=6− = ，
3 3
14 4
∴AF=6− = ，
3 3
∴AF∶FC=2∶7，
因此③正确；
故应选A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定、相似三角
形的性质及判定、图形的旋转以及圆等知识，构造辅助线证明三角形全等和三角形相似是
解题的关键．
12．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称轴为直
线 ，下列结论：（1）abc<0；（2）4a+c>2b；（3）3b−2c>0；（4）若点
( 1 )
A(−2,y )、点B − ,y 、点 在该函数图象上，则y <y <y ；（5）
1 2 2 1 2 3
4a+2b≥m(am+b)（m为常数）．其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与y轴的交点，可得a<0，b>0，c>0，
由对称轴为直线 ，可得b=−4a，当 时，函数有最大值4a+2b+c；由经过点
(−1,0)，可得a−b+c=0，c=−5a；再由a<0，可知图象上的点离对称轴越近对应的函
数值越大；再结合所给选项进行判断即可．【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=− =2，
2a
∴b>0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，所以（1）正确；
∵对称轴为直线 ，
b
∴− =2，
2a
∴b=−4a，
∴b+4a=0，
∴b=−4a，
∵经过点(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴c=b−a=−4a−a=−5a，
∴4a+c−2b=4a−5a+8a=7a，
∵a<0，
∴4a+c−2b<0，
∴4a+c<2b，故（2）不正确；
∵3b−2c=−12a+10a=−2a>0，故（3）正确；
| 1 | 5 |7 | 3
∵|−2−2|=4， − −2 = ， −2 = ，
2 2 2 2
∴y <y <y ，故（4）正确；
1 2 3
当 时，函数有最大值4a+2b+c，
∴4a+2b+c≥am2+bm+c，
4a+2b≥m(am+b)(m为常数），故（5）正确；
综上所述：正确的结论有（1）（3）（4）（5），共4个．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
二、填空题( 6小题，每题3分，共18分 )
13．计算：12x2y÷(−6xy)=______．
【答案】−2x
【分析】运用单项式除以单项式法则计算即可．
【详解】解：原式=−2x，故答案为：−2x．
【点睛】本题考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式法则是解题的关键．
14．计算(2√2+3)(2√2−3)的结果等于___．
【答案】﹣1
【分析】根据平方差公式计算求值即可；
【详解】解：(2√2+3)(2√2−3)=(2√2) 2 −32=8−9=−1，
故答案为：-1；
【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b)是解题关键．
15．现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是
__________．
1
【答案】 ．
2
【分析】找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、
6；2、4、7；2、6、7；4、6、7；
能组成三角形的结果有2个（2、6、7，4、6、7，），
2 1
∴能构成三角形的概率为 =
4 2
1
故答案为 ．
2
【点睛】本题考查了树状图法以及三角形的三边关系；如果一个事件有n种可能，而且这
m
些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
n
16．若一次函数 （b为常数）的图像过点(1,4)，且与y=−2x的图像平行，则这个
一次函数的解析式为______．
【答案】
【分析】设一次函数的解析式为y=-2x+b，把（1，4）代入解析式，确定b即可．
【详解】∵一次函数 （b为常数）的图像过点(1,4)，且与y=−2x的图像平行，
∴k=−2，
则一次函数的解析式为y=-2x+b，
∴4= -2+b，
解得：b=6，
∴一次函数的解析式为y=-2x+6．
故答案为：y=-2x+6．
【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数图像的平移，熟练掌握待定系数法，平移规律
是解题的关键．17．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中
点，连接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，则CG的长为______．
5
【答案】
2
【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以
证明△DCG≌△EHG，然后即可得到CG的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∵AD＝5，AB＝CF＝3，
∴CD＝3，BC＝5，
∴BF＝BC＋CF＝8，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，
∴BF＝BE＝8，DG＝EG，
延长CG交BE于点H，
∵DC∥AB，
∴∠CDG＝∠HEG，
在△DCG和△EHG中，
{∠CDG=∠HEG
DG=EG ，
∠DGC=∠EGH
∴△DCG≌△EHG（ASA），
∴DC＝EH，CG＝HG，
∵CD＝3，BE＝8，
∴HE＝3，BH＝5，
∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝5，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH＝BC＝5，
1 5
∴CG＝ CH＝ ，
2 2
5
故答案为： ．
2．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性
质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B均在格点上，顶点C
在网格线上，∠BAC=25∘．
（I）线段AB的长等于___________；
（II）P是如图所示的△ABC的外接圆上的动点，当∠PCB=65∘时，请用无刻度的直尺，
在如图所示的网格中画出圆心O和点P，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的
（不要求证明）________
【答案】 √13 图见解析，理由见解析
【分析】（I）利用勾股定理可得答案；
（II）利用勾股逆定理确定格点D，使得∠DAB=90°，故
∠EAC=90°−∠BAC=90°−25°=65°，取△ABC的外接圆与网格线的交点F，G，使
得∠FAG=90°,则FG与BE相交于点O，O为圆心，由同弧所对的圆周角相等，可得
∠EAC=∠EBC=65°，因为OB=OC，故∠OBC=∠PCB=65°．
【详解】解：（I）AB=√22+32=√13；
故答案为：√13
（II）利用勾股逆定理确定格点D，
∵AD=√22+32=√13,AB=√22+32=√13,BD=√12+52=√26
又∵(√13)
2+(√13) 2=(√26) 2
∴(AD) 2+(AB) 2=(BD) 2
∴∠DAB=90°，
∴∠EAC=90°−∠BAC=90°−25°=65°，EB是⊙O的直径，
由方格知∠FAG=90°,则FG与 相交于点O，∴FG是⊙O的直径
∴O为圆心，
⏜ ⏜
∵ AC=CE
∴∠EAC=∠EBC=65°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠PCB=65°．
故答案为：如图，取格点D，连接AD并延长，与△ABC的外接圆相交于点E，连接 ；
取△ABC的外接圆与网格线的交点F，G，连接FG与 相交于点O；连接CO并延长，与
△ABC的外接圆交于点P，则点P即为所求．
【点睛】此题考查的是勾股定理逆定理的应用，圆的基本性质，复杂的作图，掌握以上知
识是解题的关键．
三、解答题( 19、20题，每题8分，21-25题，每题10分，共66分 )
19．解不等式组：
请结合题意填空，完成本题的解答：
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ；
并把不等式①，②解集在数轴上表示出来；
原不等式组的解集为 ．
【答案】 ， ， ，数轴见解析
【分析】根据解一元一次不等式组的方法，可以写出相应的解答过程，从而可以解答本题．
【详解】解： ，
解不等式①，得x≤1；
解不等式②，得x＜4；并把不等式①，②解集在数轴上表示出来；
，
∴原不等式组的解集为x≤1．
故答案为：x≤1；x＜4；x≤1，数轴见解析．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键
是明确解一元一次不等式的方法．
20．在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活
动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受调查的学生人数为___________，图①中m的值为___________；
(2)求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．
【答案】(1)40，10 (2)平均数是2，众数是2，中位数是2
【分析】（1）根据参加2项的人数和所占百分比即可求得总人数，再利用 ×100%=百
分比，即可求解．
（2）根据平均数、众数及中位数的含义即可求解．
【详解】（1）解：由图可得，参加2项的人数有18人，占总体的45%，参加4项的有4人，
则 （人）， ，
故答案为：40；10．
（2）平均数： ，
∵在这组数据中，2出现了18次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是2，
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，有 ，
∴这组数据的中位数是2．
则平均数是2，众数是2，中位数是2．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、众数和中位数的求法，理解两个统计图中的数量关系是解题的关键．
21．已知 是 的直径，点C在 上．
(1)如图1，点D在 上，且 ，若 ，求 ；
(2)如图2，过点C作 的切线，交 的延长线于点E，若 的直径为6， ，求
．
【答案】(1)84° (2)3
【分析】（1）如图①，连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，根据
圆周角定理即可得到结论；
（2）如图②，连接 ， ，根据圆周角定理得到 ，求得 ，得到
，根据切线的性质得到 ，求得 ，于是得到结论．
【详解】（1）解：如图①，连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图②，连接 ， ，∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，圆周角
定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．如图，一艘轮船位于灯塔 的北偏东60°方向，距离灯塔80海里的 处，它沿正南方
向航行一段时间后，到达位于灯塔 的南偏东34°方向上的 处．这时， 处距离灯塔 有
多远？（结果保留1位小数）．参考数据： ， ．
【答案】123.6海里
【分析】过点P作 于点C，根据题意可得 ， ， ，
然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义求出PC，再在Rt△BPC中，利用锐角三角函
数的定义求出BP，即可解答．
【详解】解：如图，作 于点C，由题意知 ， ， ，
在 中，
∵
∴
在 中，
∵
∴
答：B距离灯塔P约123.6海里
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角含义，解题的关键是根据题目的已知条
件并结合图形添加适当的辅助线．
23．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图像设计了一个问题情境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．
李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；
在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速
骑行回到学校．给出的图像反映了这个过程中李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh
之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：离开学校的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3
离学校的距离/km 2 12
(2)填空：
①李华在陈列馆参观学习的时间为______h；
②李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______km/h．
(3)当 时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】(1)10，12，20 (2)①3；②28
(3)当 时， ；当 时， ；当 时，
【分析】（1）根据函数图像，知当 时， ；当 时， ；当
时， ，当 时，为y=20，依据分段填写即可．
（2）根据图像展示的信息求解即可．
（3）结合函数图像的信息，分段计算即可．
【详解】（1）根据函数图像，知当 时， ，
故当x=0.5时，y=20×0.5=10；
当 时， ；
故当x=0.8时，y=12；
当 时，为y=20，
故当x=3时，y=20；
故填表如下：
离开学校的时间/h 0.1 0.5 0.8 1 3
离学校的距离/km 2 10 12 12 20
故答案为：10，12，20．
（2）
①李华在陈列馆参观学习的时间为4.5-1.5=3(h)，
故答案为：3；
②李华从陈列馆回学校途中，减速前的行驶路程为20-6=14(km)，行驶时间为5-4.5=0.5(h)
故骑行速度为14÷0.5=28(km/h)，
故答案为：28．
（3）
当 时，设y=kx,根据题意，得2=0.1k，解得k=20，
故 ；当 时，在书店，
故 ；
当 时，设y=mx+b，根据题意，得 ，
解得 ，
故 ，
故当 时， ；当 时， ；当 时， ．
【点睛】本题考查了函数图像，一次函数的解析式，待定系数法，熟练掌握待定系数法，
正确理解图像信息的意义是解题的关键．
24．在平面直角坐标系中，O为原点，点 ，点 ，把 绕点B逆时针旋转
得到 ，点A、O旋转后的对应点为 、 ，记旋转角为 .
(1)如图①，若 ，求点 的坐标；
(2)在（1）的条件下，边OA上的一点M旋转后的对应点为N，求 的最小值；
(3)如图③，P为AB上一点旋转后的对应点为Q，且 ，当旋转到使得 的
度数最大时，求 的面积（直接写出结果即可）.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）作 ，利用旋转的性质求出 ，再根据利用三角形函数求出
结果；
（2）利用旋转的性质求出相等的线段，再利用最短路径求出 的最小值为 ，
利用勾股定理求出结果；
（3）根据比例关系求出线段的关系，再利用勾股定理求出线段的长度，最后求出面积．【详解】（1）解：
∵旋转角
∴
∴在 中， ，
∴
∴
（2）解：如图②中
∵ ，
∴ ，
作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ， 的值最小，为
.
∵ ，
∴∴ 的最小值为
∴ 的最小值为
（3）解：
如图③中，当 时， 的值最大，
∵
∴ ，
∴ ，
.
【点睛】本题是旋转的性质以及坐标与图形的综合题，利用旋转的性质进行相等角度和相
等线段的转化是解题的关键．
25．已知抛物线 （a，b为常数， ）与x轴交于点 ， 顶
点为D，且过点 ．
(1)求抛物线解析式和点C，D的坐标；
(2)点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求 的面积的最大值；
②连接BD，当 时，求点P的坐标．
【答案】(1) ， ，
(2)① ，②点P的坐标为 或 ．
【分析】（1）把点 ，点 代入 ，求出抛物线解析式，进一
步可求出 ， ；（2）①由题意可知点P坐标为 ，过点P作 轴于点H，交直线BC于点
E，求出直线BC的解析式为 ．利用点P的坐标可知 ，故点E的坐标为
．进一步可求出 ，所以当 时， 的面积的最大值
为 ；②分情况讨论：当点P在直线BC的上方，求出直线BD的解析式为 ，和
直线PC的解析式为 ．即可求出点P的坐标为 ；当点P在直线BC的下方时，
设直线PC与BD交于点M，设 ，
求出 ．求出直线CM的解析式为 ，进一步可求出 ．
【详解】（1）解：把点 ，点 代入 ，
可得： ，解得
∴抛物线解析式为 ，
，
∴顶点 ．
把 代入在 ，得 ，
∴点 ．
（2）解：由题意可知点P坐标为 ，
①如图，过点P作 轴于点H，交直线BC于点E，
设直线BC的解析式为 ，将 ，点 代入，
得 ，解得 ．∴直线BC的解析式为 ．
∵点P的坐标为 ，由题意可知 ，
∴点E的坐标为 ．
∴ ．
∴
．
∵ ，
∴当 时， 的面积的最大值为 ．
②存在．
如图①，当点P在直线BC的上方，且 时，则 ，
设直线DB的解析式为 ，将 ，点 代入，
得 ，解得 ．
∴直线BD的解析式为 ．
∵ ，
∴设直线PC的解析式为 ．∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴直线PC的解析式为 ．
∴ ．
解得 ， （舍）．
当 时， ．
∴点P的坐标为 ．
如图②，当点P在直线BC的下方时，设直线PC与BD交于点M，
∵ ，
∴ ．
设 ，
∵ ，
，
∴
解得 ．
∴点M的坐标为 ．
由点 和点 可得直线CM的解析式为 ，
由 ，
解得 ， （舍）．所以点 ．
综上，点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析
式，会求两直线的交点坐标，掌握二次函数的图象及性质．
