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第十三章 轴对称 易错必考71题（11个考点）专练
【精选2023年最新题型训练】
易错必考题一、生活中的轴对称
1．（2023春·安徽·九年级专题练习）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、
皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我
们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对
称”牌照，那么最多可制作（ ）
A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个
【答案】A
【分析】根据有5个数字的“数字对称”牌照，第一个数与第五个数相同，第二个数与第四个数相同分析，
分以8开头和以9开头两类，只考虑第二个数和第三个数，即可求解；
【详解】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相
等的，只需考虑第二位和第三位，共有 种情况．
同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有
种情况，所以最多可制作200个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图是一个经过改造的规则为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的
阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），
那么球最后将落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【答案】A
【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：所以球最后将落入的球袋是1号袋，
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键．
3．（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期末）室内墙壁上挂一平面镜，明敏在平面镜内看到他背后墙上的时
钟如图，则这时的实际时间是 ．
【答案】3：40.
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并
作答．
【详解】根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与3：40成轴对称，所以此时实际时刻为：3：
40．
故答案为3：40．
【点睛】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
4．（2023秋·全国·八年级专题练习）判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了
一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏
规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到
椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿
香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如
果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由．【答案】有，捷径见解析
【分析】利用轴对称得出找到A，B的对称点 ， ，连接 ，交两长条桌于C，D两点，则折线
就是捷径．
【详解】解：如下图，
假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点．
因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点 ， ，连接 ，交两长条桌于C，D两
点，则折线 的长度等于 的长度，
连接 ，则 ，
在 中，由三角形三边故选可得： ，
所以 折线 的长，
即折线 就是捷径．
【点睛】本题考查了轴对称，三角形三边关系，解题的关键是找到A，B的对称点 ， ，连接 ，得
出 C，D两点．
易错必考题二、画轴对称图形
5．（2023·江西九江·校考模拟预测）如图是由全等的小等边三角形组成的网格，其中有3个小三角形被涂
成了黑色（用阴影表示）．若平移其中1个阴影三角形到空白网格中，使阴影部分构成的图形为轴对称图
形，则平移的方法共有（ ）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义，画出图形即可．
【详解】如图所示，共有4种平移方法．
故选：C
【点睛】本题考查利用轴对称图形设计图案，解题的关键是连接轴对称图形的定义．
6．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在 的正方形网格中，图中的 为格点三角形，在图中
与 成轴对称的格点三角形最多可以找出（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】A
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．
【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故选：A
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本
题难点在于确定出不同的对称轴．
7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点(网格线的交点)上，
要找一个格点C，连接AC，BC，使 ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】画出 ABC为轴对称图形时C点位置，解答即可．
【详解】解：△C点落在网格中的4个格点使 ABC为轴对称图形，
故选：B． △
【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质．
8．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在 的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的 ，请你
找出格纸中所有与 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个.【答案】5
【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知.
【详解】解：如图：
与 成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为 ， ， ， ， ，
共有5个.
故答案为：5.
【点睛】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，
这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，是由大小一样的小正方形组成的网格， 的三个顶点落在
小正方形的顶点上，在网格上能画出三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与 成轴对称的三角形共
有 个 ．
【答案】5
【分析】观察图形，根据图形特点先确定对称轴，再根据对称轴找出相应的三角形即可．
【详解】解：如解图，与 成轴对称的三角形有：
① 与 关于 对称；
② 与 关于 对称；
③ 与 关于 对称；
④ 与 关于 对称；
⑤ 与 关于 的垂直平分线对称，共5个．
故答案是：5．
【点睛】此题考查轴对称的基本性质，结合了图形的常见的变化，要根据直角三角形的特点从图中找到有
关的直角三角形再判断是否为对称图形．
10．（2023秋·江苏·八年级专题练习）春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七
年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风
筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．
项目主题：设计与制作风筝．
项目实施：
任务一：了解风筝
“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风
筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________．
A． B． C． D．
任务二：设计风筝
设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网
格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线 为对称轴画出风筝骨架的另一半．任务三：制作风筝
传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制
如图所示的风筝骨架，已知 于点 ， ， ，则竹条 的长为________ ．
任务四：放飞风筝
同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善．
项目反思：
同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的
过程中用到的数学知识________________．
【答案】任务一：C；任务二：见解析；任务三：60；项目反思：见解析
【分析】任务一：根据轴对称图形的性质即可进行判断；
任务二：根据轴对称图形的性质即可完成作图；
任务三：根据线段垂直平分线的性质即可解决问题；
项目反思：结合以上任务即可解决问题．
【详解】解：任务一：不是轴对称图形的风筝图案是C，
故答案为：C；
任务二：如图所示，即为所求；任务三： ， ，
，
竹条 的长为 ，
故答案为：60；
项目反思：在项目实施的过程中用到的数学知识：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应
点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不
唯一）．
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是
掌握线段垂直平分线的性质．
易错必考题三、角平分线的性质与判定定理
11．（2023秋·山东菏泽·八年级统考期末）如图，在 中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交 于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线 交 于点G．
如果 ， ， 的面积为18，则 的面积为（ ）
A．20 B．36 C．27 D．
【答案】C
【分析】如图，过点 作 于点 ， 于点 ．利用角平分线的性质定理证明 ，
利用三角形面积公式求出 ，可得结论．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ， 于点 ．由作图可知 平分 ，
， ，
，
， ，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查作图 复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，
学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．
12．（2023春·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，已知 ， 平分 ，点 在 上，
于 ， ，点 是射线 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点 作 于点 ，，如图，根据角平分线的性质得到 ，然后根据垂线段
最短求解．
【详解】解：∵ ， 平分 ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
过点 作 于点 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故选： ．
【点睛】此题考查了角平分线的性质和垂线段最短，解题的关键是理解角的平分线上的点到角的两边的距
离相等和垂线段最短．
13．（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）如图，在 中， 为 的平分线， 于E，
于F， 的面积是 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的性质，得出 ，再利用 面积是 ，可求 的长．
【详解】解： 在 中， 为 的平分线， 于E， 于F，
, ∵
∴
的面积是 ， ， ，
∵，
∴
即 ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理及三角形的面积公式，根据角平分线的性质定理证得 是
解题的关键．
14．（2023春·山东威海·七年级统考期末）如图，在 中， ， ， ， 分
别是 和 的角平分线， ， 交于点O，分别过点O作 于点M，作 于点
N．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据 ， 分别是 和 的角平分线，求出 ，再根据三角
形的内角和定理，即可求出 ，即可判断①；连接 ，则 平分 ，推出
，则 ， ，进而得
出 ，即可判断②④；通过证明 ，即可判断③．
【详解】解：①∵ ， ， ， 分别是 和 的角平分线，
∴ ，
在 中， ，
故①正确，符合题意；
②④连接 ，
∵ ， 分别是 和 的角平分线，
∴ 平分 ，
∵ ， ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ．
故②④正确，符合题意；
③在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故③正确，符合题意．
综上：正确的有①②③④，共4个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外
角定理，解题的关键是掌握三角形的三条角平分线交于一点，角平分线上的点到两边距离相等．
15．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考阶段练习）如图， 是 的角平分线， 于点F，
和 互补，若 ， ，则 的面积为 ．【答案】9
【分析】过点D作 于点H，根据角平分线的性质可得 ，再证明
， ，根据全等三角形的性质进一步即可求出 的面
积．
【详解】解：过点D作 于点H，如图所示：
∵ 是 的角平分线， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 和 互补，即 ，
又 ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三
角形全等是解题的关键．
16．（2023春·湖南株洲·八年级校考期末）如图，有三条道路围成 ，其中 ，一个人
从 处出发沿着 行走了 到达 处， 恰为 的平分线，则此时这个人到 的最短距离为
．
【答案】200
【分析】过 作 于点 ，根据角平分线的性质得出 ，再求出 的长即可．
【详解】解：如图，过 作 于点 ，
，
，
，
为 的平分线， ，，
， ，
，
，
此时这个人到 的最短距离为 ，
故答案为：200．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是
解题的关键．
17．（2022秋·福建漳州·八年级统考期中）如图， 中， ， 是 的角平分线，
于点 ，若 ， ， ，则 的周长是 ．
【答案】12
【分析】根据角平分线的性质得出 ，再证 ，推出 ，进而解答
即可．
【详解】解： ， 是 的角平分线， 于点 ，
，
在 和 中，
，
，
，
的周长 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据角平分线的性质得
出 ．
18．（2023秋·陕西西安·八年级陕西师大附中校考开学考试）如图， 中， ， ，的平分线 交 于点 ， ，交 的延长线于点 ，若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】延长 、 相交于点 ，由角平分线的性质可得 ，利用 证明
，得到 ，根据同角的余角相等得到 ，通过 证明
，得到 ，从而即可得到答案．
【详解】解：如图，延长 、 相交于点 ，
平分 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，， ，
， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，熟练掌握全等三
角形的判定与性质、角平分线的性质、同角的余角相等，添加适当的辅助线，是解题的关键．
19．（2022秋·四川绵阳·八年级校考期中）如图，已知 ， 是 的角平分线，且交于点
P．
(1)直接写出 ___________°；
(2)求证： ；
(3)探究 的数量关系．
【答案】(1)(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据角平分线平分线以及三角形的内角和定理，求出 的度数，对顶角相等，即可得
到 的度数；
（2）过点 作 ，证明 ≌ ，即可得证；
（3）在 上截取 ，证明 ≌ ， ≌ 即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）证明：过点 作 ，
则： ，
∵ 是 的角平分线，且交于点P，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ；
（3）解：在 上截取 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又 ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加合适的辅助线，证明三
角形全等．
20．（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图， 的外角 的平分线交 边的垂直平分线于
P点， 于D， 于E，连接 ， ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 、 ，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 ，根据角平
分线上的点到角的两边距离相等可得 ，然后利用“ ”证明 和 全等，根据全等
三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“ ”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，再根据 、
的长度表示出 、 ，然后解方程即可．
【详解】（1）证明： 点 在 的垂直平分线上，
，
是 的平分线，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：在 和 中，
，
，
，
， ，，
即 ，
解得 ．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离
相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
易错必考题四、垂直平分线的性质与判定定理
21．（2023春·云南文山·八年级校联考期中）如图， 中，边 的垂直平分线分别交 、 于点
、 ， ， 的周长为 ，则 的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 ， ，根据三角形的周长公式计算，得
到答案．
【详解】解： 是边 的垂直平分线，
， ，
的周长为 ，
，
的周长 ，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离
相等是解题的关键．
22．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图， 中， 平分 ， 的垂直平分线交 于点 ，
交 于点 ，连接 ．若 ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义得到 ， ，根据垂直平分线的性质得
到 ，得到 ，计算即可．
【详解】解： 平分 ，
， ，
，
是 的垂直平分线，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离
相等是解题的关键．
23．（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，在 中， ，以点 为
圆心，以 的长为半径作弧交 于点 ，连接 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径作
弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，连接 ，则下列结论：① 平分 ；② ；
③ ；④ 垂直平分线段 ．其中正确的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个【答案】C
【分析】利用角平分线的定义可知①正确；根据角平分线的定义及垂直平分线的性质可知②正确；利用等
腰三角形的性质及垂直平分线的性质可知④正确，根据直角三角形的性质可知③错误．
【详解】解：由尺规作图可知 平分 ，
故①正确；
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由作图可知： 的线段垂直平分线是 ，
∴ ，
故②正确；
∵ ，
故③错误；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，∴ 垂直平分线段 ，
故④正确；
∴正确的有 个，
故选： ．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的
定义，垂直平分线的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键．
24（2023秋·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在 中， ， 的平分线 与边 的
垂直平分线相交于点 ， 交 的延长线于点 ， 于点 ，现有以下结论：①
；② ；③ 平分 ；④ ；其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【答案】B
【分析】①由角平分线的性质即可证明；②由题意可知 ，可得 ，
，从而可以证明；③假设 平分 ，则 ，可推出
，条件不足，故错误；④连接 ，证明 ，
，得出 ， ，即可证明 ．
【详解】如图所示，连接 ，∵ 平分 ， ， ，
∴ ．
故①正确；
∵ ， 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
同理 ，
∴ ．
故②正确；
∵ ，
∴ ．
假设 平分 ，则 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
又∵ 的度数是未知的，
∴不能判定 平分 ．
故③错误；
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
故④正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确作出
辅助线是解题的关键．
25．（2023春·山东威海·七年级统考期末）如图，在 中， 的平分线交 于点
恰好是 的垂直平分线，垂足为 ．若 ，则 的长为 ．
【答案】3
【分析】由角平分线性质定理，得 ，所以 ，于是 ，由线段垂
直平分线定理，得 ；由面积公式 ，化简求解．
【详解】解：∵ 平分 ， ， ，
∴ ．
∴
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．∴ ．
故答案为：3．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，直角三角形全等的判定；运用面积公式寻求线段
间的关系是解题的关键．
26．（2022秋·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图，在 中， 边的垂直平分线 交 于D，
边的垂直平分线 交 于E， 与 相交于点O．若 的周长为 ， 的周长为 ，则
点O、A之间的距离为 ．
【答案】5
【分析】连接 ，根据垂直平分线的性质得出 ，结合 的周长为 ，推出
，再根据 的周长为 ，得出 ，最后根据垂直平分线的性质推出
，即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵ 是 的垂直平分线， 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ 的周长为 ，
∴ ，
∵ 的周长为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线， 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
故答案为：5．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两边距离相等．
27．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ，分别以点 、 为圆心，以适当的
长为半径作弧，两弧分别交于 ， ，作直线 ， 为 的中点， 为直线 上任意一点，若
， 面积为 ，则 长度的最小值为 ．
【答案】6
【分析】如图，连接 ， ，则 ，利用三角形的面积公式求出 ，再根据垂线段最短，线
段的垂直平分线的性质判断即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，
∵ ， 为 的中点，
∴∵ ，
∴ ，
∵ 垂直平分线段 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线的作法及性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是学
会利用垂线段最短解决最值问题．
28．（2020秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，在 中， 平分 ， ， ，
点E、F为垂足，连接 ，则下列四个结论：① ；② ；③ 垂直平分 ；④
垂直平分 ．其中正确的为 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】由在 中， ， 平分 ， ， ，根据角平分线的性质，可
得 ，即可证得 ；又由等角的余角相等，可得 ，然后由角平分线的
性质，证得 ，又由等腰三角形的三线合一的性质，证得 垂直平分 ．
【详解】解：① 平分 ， ， ，
，
；①正确；
② 平分 ， ， ，
∴ ， ，
，
∴ 平分 ，
，②正确；③④ ， 平分 ，
垂直平分 ．
故③错误，④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题比较简单，注
意掌握数形结合思想的应用．
29．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ， 分别垂直平分边 和边 ，交边
于 ， 两点， 与 相交于点 ．
(1)若 ，则 的周长为 ______；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到 ， ，再根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据三角形内角和定理求出 ，根据对顶角相等求出 ，根据等腰三角
形的性质即可得到答案.
【详解】（1）∵ ， 分别垂直平分边 和边 ，
∴ ， ，
∴ 的周长 ，
∴ 的周长 ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ．
【点睛】此题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相
等是解题的关键．
30．（2019秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，在 中， 是 的角平分线， 于 ，
于 ， 与 相交于 .
(1)若 ；则 ______（用 表示）
(2)判断线段 和 的关系？并说明理由.
【答案】(1)
(2) 垂直平分 ， 理由见解析
【分析】（1）可证明 ，可知 ，可得出 ，即可得结论；
（2）可证明 ，可知 ，利用线段垂直平分线的判定可证明 是 的垂直平分线，可
证得结论；
【详解】（1） 是 的角平分线，
，
， ，
，
在 和 中
，
，，
∵
∴
∴
（2）垂直．理由如下：
是 的角平分线，
，
， ，
，
在 和 中
，
，
，
点 在线段 的垂直平分线上，
同理点 也在线段 的垂直平分线上，
；
【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直
平分线的判定等，解题的关键是熟练掌握角平分线以及垂直平分线性质定理．
易错必考题五、尺规作图
31．（2023春·河南焦作·七年级校考期中）如图，已知 ，用尺规作图如下：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交 于点M，交 于点N
②以点N为圆心， 为半径画弧，交已画的弧于点C
③作射线
那么下列角的关系不正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由作图可知： ，推出射线 是 的角平分线，由此即可判断；
【详解】解：由作图可知： ，
∴射线 是 的角平分线，
故A、C、D正确，
故选：B．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
32．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，
大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接 ，分别与 ， 交于点D和E；②以点A
为圆心，任意长为半径作弧，交 于点G，交 于点H；③分别以点G和点H为圆心，大于 的长
为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线 ，分别交 ， 于点F，Q．若 ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】先根据步骤得， 是 的垂直平分线， 是 的角平分线，再根据内角和求得
，再根据角平分线的性质得 ，根据内角和求得 ，即可求得
，再根据 是 的垂直平分线，即可求得结果．
【详解】解：由步骤①可知 是 的垂直平分线，由步骤②可知 是 的角平分线
， ，
是 的角平分线
，
是 的垂直平分线
故选A．
【点睛】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，正确的理解题意是解题的关
键．
33．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期中）如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆
心 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N， ， ，则 ．
【答案】7【分析】设 交 于D，连接 ，利用基本作图得到 是线段 的垂直平分线，再根据线段垂直
平分线的性质得出 ，然后根据等边对等角及角的和差得出得出 ，最后根据勾股定
理及线段的和即可得出答案．
【详解】设 交 于D，连接
由作图可知： 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，垂直平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
34．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在 中， ，以点 为圆心，以任意长为半
径作弧，分别交 ， 于点 ， ；分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在
内交于点 ，作射线 交 于点 ．若 ，且 的面积为10，则 的长为 ．
【答案】【分析】如图所示，过点 作 于 ，根据角平分线的性质得到 ，根据三角形的面积公式
计算即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于 ，
由作图方法可知， 平分 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ,
故 ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要查了角平分线的性质，角平分线的尺规作图，三角形面积，掌握角的平分线上的点到角
的两边的距离相等是解题的关键．
35．（2023春·山西运城·八年级统考期中）已知：如图， 中， ．
(1)【实践操作】
尺规作图：①作 的平分线 ，交 于点D；
②过点D作 的垂线，交 于点E；
③在线段 上求作一点F，使 ．
（要求：保留作图痕迹，不写作法）(2)【灵活运用】
在（1）条件下，若 ， ，则 的长为_________．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）根据作法利用尺规作图即可．
（2）由（1）得： 是 的角平分线， ， ，
利用角平分线的性质可得 ， ，再利用三角形全等的判定及性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）由（1）得： 是 的角平分线， ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
设 ，则 ，
，
在 中， ，
在 和 中，
，
，
，，
，
，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了作图——尺规作图、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质，熟练掌握尺规作图
及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
易错必考题六、等腰三角形的性质与判定定理
36．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在 中， ， 是边 上的高，
9．（2023·江苏盐城·校考二模）如图， 和 是一副三角板，其中 ，
， ， ．现按如图所示的方式摆放，点 在边 上．若连接 ，则
的度数为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 证明 ，因此 ，于是得到 ．
【详解】解： ， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是证明 ，得到．
37．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）如图， 为等腰直角三角形，延长 至A，连接 ，作
的角平分线 交 于F，且 于E．若 ， 的面积为360，则 的长度为
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】证明 ，得出 ，求出 ，根据 的面积为360，得
出 ，证明 ，得出 ，求出 即可．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为360，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形面积的计算，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分
线的定义，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明 ，
．
38．（2023春·陕西渭南·八年级统考阶段练习）如图，在 中， ， 于D， 平分
，且 于E，与 相交于点F，H是 边的中点，连接 与 相交于点G，下列结论：
① ；② ；③ ；④ 是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】由 ， ，可证 ，于是 ，可证 ，所
以 ， ，进一步求证 ，于是 ， ，
．可知选项①，②，③正确；由等腰三角形三线合一，得 ，求证 ，于
是 ，故选项④正确．
【详解】解： 中， ，
∴
∴ ．
∴ ．
∵ ， ， ，∴ ．
∴ ， ．
∵ ， ， ，
∴
又 ， ，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．故选项①，②正确；
．故选项③正确；
中， ，H是 边的中点，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 是等腰三角形．故选项④正确；
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等角对等边，等腰三角形三线合一；
灵活运用全等三角形求证线段相等、角相等是解题的关键．
39．（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习） 中， ， ，将 折叠，使得点
B与点A重合．折痕 D分别交 、 于点D、P，当 中有两个角相等时， 的度数为 ．【答案】 或 或 ；
【分析】分 ， ， 三类讨论结合折叠的性质及三角形内角和定理即
可得到答案；
【详解】解：①当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵将 折叠，使得点B与点A重合，
∴ ，
此时 ，符合题意；
②当 时
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵将 折叠，使得点B与点A重合，
∴ ，
此时 ，符合题意；
③当 时
∵ ，
∴
∴
∵将 折叠，使得点B与点A重合，
∴ ，
此时 ，符合题意；综上所述答案为： 或 或 ；
【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意分类讨论．
40．（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，在 中， 平分 ， 于点 ，连接
，若 的面积为 ， 的面积为 ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】延长 交 于 ，由垂直的定义得到 ，由角平分线定义得到
，由三角形内角和定理得到 ，推出 ，由等腰三角形的性质推出
，于是得到 ， ，即可得到 的面积．
【详解】解：如图，延长 交 于 ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，．
故答案为： ．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线定义，关键是由等腰三角形的性质
推出 ．
41．（2023春·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校联考阶段练习）如图， 中， ，点 ， 分
别在 ， 上， 是 的中点．若 ， ，则 的长是 ．
【答案】4
【分析】连接 ，在 中，由“等腰三角形三线合一”可得 ，由“等边对等角”可得
，由“等角的余角相等”可得 ，由此可得 ，即可求就出
的长．
【详解】
如图，连接 ，
∵ 中， ， 是 的中点，
，
，
．
，
，
，，
．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了“直角三角形两锐角互余”、“等角的余角相等”以及等腰三角形的判定和性质，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
42．（2023春·陕西汉中·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， 是 边上
的中线， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ， ．
(1)求证： ；
(2)试判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) 是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出 ， ， ，进而根据 ，
得出 ，根据等角对等边即可得证；
（2）根据 是 的垂直平分线，得出 ，根据等边对等角得出 ，进而得出
，可得 是等边三角形；
【详解】（1）∵ ， ， 是 边上的中线，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）结论： 是等边三角形．∵ 垂直平分线段 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ， 是 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握等腰三
角形的性质与判定是解题的关键．
43．（2023春·辽宁锦州·七年级统考期末）【模型构建】
如图1，在等腰 中， ，点 在线段 的延长线上，连接 ，则在 和 中，边
的对角 和 之间的数量关系为 ；
【模型应用】
如图2，在 和 中， 为锐角， ， ， ，试说明： ；
【模型拓展】
如图3， ， ， ， ， 和 交于点 ，试探究 与
之间的数量关系，并说明理由．
【答案】模型构建： ；模型应用：见解析；模型拓展： ，证明见解析
【分析】[模型构建]由等腰三角形的性质得出 ，证出 即可；
[模型应用] 作 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 即可得到答案；
[模型拓展] 在 是截取 ，连接 ，证明 ，由全等的性质得到
，证明 ，得到 ，即可得到答案．
【详解】解：[模型构建]
，，
，
，
故答案为： ；
[模型应用]
作 ，
，
，
，
又 ，
，
， ，
，
，
又 ，
；
[模型拓展] ．
理由：在 是截取 ，连接 ，
， ，
，
又 ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角
形的判定与性质是解题的关键．
易错必考题七、等边三角形的性质与判定定理
44．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知等边三角形 的边长为3，过 边上一点 作 于
点 ， 为 延长线上一点，取 ，连接 ，交 于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】过P作 交 于F，得出等边三角形 ，推出 ，根据等腰三角形性质求
出 ，证 ，推出 ，推出 即可．
【详解】解：过P作 交 于F，如图所示：
∵ ， 是等边三角形，
∴ ， ， ， ，∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性
质等知识点的应用；添加恰当辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
45．（2023春·甘肃张掖·八年级校考期中）如图，点A，B，C在一条直线上， ， 均为等边三
角形，连接 和 ， 分别交 ， 于点M，P， 交 于点Q，连接 ， ，下面结论：
① ；② ；③ ；④ 平分
其中结论正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由等边三角形的性质得出 ， ， ，得出 ，由
即可证出 ；由 ，得出 ，根据三角形外角的性质得出
，即可得 ；由 证明 ，得出对应边相等 ，即可得出
为等边三角形；由 得到 和 面积等，且 ，从而证得点 到 、
的距离相等，利用角平分线判定定理得到点 在角平分线上．
【详解】解：∵ 、 为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
∴ ，故①正确；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，∴ ，故③正确；
∵
∴ ， ，
∴点 到 、 的距离相等，
∴ 点在 的平分线上，
即： 平分 ，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；熟练掌
握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
46．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）在 中， ， ，点D为 的中点，
E、F分别为直线 、 上两点，若满足 ， ，则 的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．1或5
【答案】D
【分析】分两种情况：当点 在线段 上时或当点 在 延长线上时，取 的中点 ，连接 ，同
理证明 ，得到 ，从而求解．
【详解】解：当点 在线段 上时，
如图，取 的中点 ，连接 ，此时 在 的延长线上，
∵ ，点D为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ，
∴ ；
当点 在 延长线上时，如图，
同理可得： ；
综上： 的长为1或5，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关
键是适当添加辅助线，构造全等三角形，从而得到线段之间的关系．
47．（2022秋·福建泉州·八年级校考期中）如图， 为线段 上一动点 点 不与点 、 重合 ，在
同侧分别作等边 和等边 ， 与 交于 ， 与 相交于P， 与 交于点 ，连
结 ，以下五个结：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 平分 ，其中正确的结论有 只填序号 ．
【答案】
【分析】由已知条件运用等边三角形的性质得到三角形全等，进而得到更多结论，然后运用排除法，对各
个结论进行验证从而确定最后的答案；
【详解】解： 等边 和等边 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
故 正确；
②∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故 正确；
③ ，
∴ ，∵等边 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故 正确；
④∵ ，
，
，故 错误；
如图，过点 作 ，垂足为 ，作 ，垂足为 ，
同理可得出 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
平分 ，故 正确．
综上所述，正确的结论有： ，
故答案为 ；
【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定等知识点；得到三角形全等是正确解答本题的关
键．
48．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，
，连接 ．将 沿直线 翻折后，点 的对应点为点 ，作 ，垂足为 ，则
．【答案】
【分析】先证明 是等边三角形，则可得 ，则 ，根据翻折的性质，可得
，和 的长．在 中，根据“直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半”即可求
出 的长．
【详解】 ，
．
中， ，
是等边三角形，
，
．
根据翻折的性质可得， ，
．
又 ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，及直角三角形的性质．熟练掌握以上知识，证明
是解题的关键．
49．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，在等边 中，点D、E分别在边 上，
，点F在 延长线上，且 ，若 ， ，则线段 的长为 ．【答案】2
【分析】过 点作 ，设 ，根据 是等边三角形， ，得到 是等边三角
形，已知 ，得到 ， ， ，在 中，求得 ，
表示出 ，根据 是等腰三角形， ，得到 ，即可求得线段 的长．
【详解】解：过 点作 ，
设 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ， ， ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，含有 角的直角三角形的
性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
50．（2023秋·甘肃天水·八年级校考期末）（1）如图①．已知：在 中， ， ，
直线 经过点 ， 直线 ， 直线 ，垂足分别为点 、 ．则线段 、 与 之间的数
量关系是______；
（2）如图②，将（1）中的条件改为：在 中， ，D，A，E三点都在直线m上，并且有
，其中 为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请
你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），
点F为 平分线上的一点，且 和 均为等边三角形，连接 、 ．若
，试判断 的形状，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）成立，证明见解析；（3）等边三角形，理由见解析
【分析】（1）根据垂直的定义得到 ，根据等角的余角相等得到 ，根据
“ ”证明 ，根据全等三角形的性质得到 ， ，结合图形得到
；
（2）根据 ，得到 ，由 定理证明 ，根据全等三角
形的性质得到 ， ，得出结论；
（3）根据 ，得到 ， ，证明 ，得到 ，
，求出 ，根据等边三角形的判定定理得到答案．
【详解】解：（1） ．理由：如图1，
直线 ， 直线 ，，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
；
（2）（1）中结论成立，
理由如下：如图2， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
；
（3）结论： 是等边三角形．
理由：如图3，由（2）可知， ，
， ，
和 均为等边三角形，
， ，
，即 ，
在 和 中，，
，
， ，
，
为等边三角形．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定
理和性质定理是解题的关键．
51．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考阶段练习）数学课上，老师出示了如下的题目．
如图1，在等边三角形 中，点 在 上，点 在 的延长线上，且 ，如图，试确定线段
与 的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
【特殊情况，归纳猜想】
（1）当点 为 的中点时，如图1，确定线段 与 的大小关系，请你直接写出结论：
（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【特例启发，推理证明】
（2）如图3，当点E为 边上任意一点时，小敏和小聪认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点
E作 ，交 于点F．老师肯定了这种做法，请你帮助小敏和小聪完成接下来的证明过程．
【拓展延伸，问题解决】
（3）在等边三角形 中，点 在直线 上，点 在直线 上，且 ．若等边三角形 的
边长为1， ，求 的长（请自己画图，并完成解答）．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） 或【分析】（1）先由等边三角形的性质得到 ， ，再证出 ，即可得出
结论；
（2）作 交 于 ．证明 ，推出 ，即可得出 ；
（3）分两种情形讨论：①当 在 的延长线上时，作 交 的延长线于 ，易证 ，
可得 ， ；
②当 在 的延长线上时，作 交 的延长线于 ，易证 ，可得
， ，由此即可解决问题．
【详解】解：（1） 是等边三角形，点 为 的中点，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2） 与 的大小关系是： ，理由如下：
如图2，过点 作 ，交 于点 ．
则 ， ， ，
， ，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
故答案为： ；
（3）如图3，当 在 的延长线上时，作 交 的延长线于 ，
同（2）得： ，
，
，
如图4中，当 在 的延长线上时，作 交 的延长线于 ，同（2）得： ，
，
．
综上所述， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定
和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
易错必考题八、斜边的中线定理
52．（2023春·陕西西安·八年级校考期末）如图，在 中， 为 中线， 为 上一点，且
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，进而得出 是等边三角
形，根据等腰三角形的性质得出 ，进而即可求解．
【详解】解：∵在 中， 为 中线，∴
∴
∵ ，
∴ 是等边三角形
∴
则
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的
性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
53．（2023春·湖北·八年级统考期末）如图，在 中， ， 于D，
，E是斜边 的中点，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可求出 ，即 ．根据直角三角形斜边中线的
性质可得出 ，从而可证 ．再根据 ，即得出 ，即
，进而可求出 ，最后即可求出 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，即 ．
∵E是斜边 的中点，
∴ ,
∴ ．
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选B．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等知识．利用数形结合的思想是解
题关键．
54．（2023春·宁夏固原·八年级统考期末）如图，在 中， ， 是中线， ，
与 交于点 ．若 ，则 的度数为 ．
【答案】 /40度
【分析】由直角三角形斜边上的中线的性质可得 ，由等腰三角形的性质可得 ，
由垂线的定义可得 ，最后由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解： 在 中， ， 是中线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、垂线的定义、三
角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、垂线的定义、
三角形内角和定理，是解题的关键．
55．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）如图，直角三角形 纸片中， ，点 是 边上
的中点，连接 ，将 沿 折叠，点 落在点 处，此时恰好有 ．若 ，那么折痕
的长为 ．【答案】
【分析】如图，设 交 于点 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，
，由翻折的性质可知 ，再根据 ，可证明
，可得 ，从而得到 是等边三角形，由等边三角形的性质可得
结论．
【详解】解：如图，设 交 于点 ，
∵ ，点 是 边上的中点，
∴ ，
∴ ，
由翻折的性质可知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴折痕 的长为 ．
故答案为： ．【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，等边三角形
的判定和性质等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质．
56．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）已知：如图，在 中， 于点 ． 于点 ，
与 交于点 ．且 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，连接 ，当点 为 中点时，请直接写出图2中所有的等腰三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2) 、 、 、
【分析】（1）根据 可证明 即可推出 ．
（2）根据三角形全等可以推出 和 从而证明 和 为等腰三角形，再根据直角
三角形中斜边上的中线等于斜边一半，即可推出 ，从而证明 和 为等腰三角形．
【详解】（1）证明： ，
．
， ．
，
．
，．
．
（2）解：等腰三角形有： 、 、 、 ，理由如下；
① 为 中点， ，
， ．
，
．
．
为等腰三角形．
②由（1）可知， ，
，
为等腰三角形．
③ ， 为 中点，
，
为等腰三角形， 为等腰三角形．
故答案为： 、 、 、 ．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定、三角形的全等的灵活运用、直角三角形的性质．解题的关键在
于熟练掌握证明三角形全等的方法以及相关性质．
57．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在 中， 于F， 于E，M为 的中点．
(1)若 ＝4， ＝10，求 的周长；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1) 的周长为14；
(2) ．【分析】（1）首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ， ，进而得
出 的周长；
（2）根据等腰三角形的性质，得 ， ，再根据三角形的内角和定理求出
， ，进而求出 的度数即可得出答案．
【详解】（1）解： 于F， 于E，M为 的中点，
， ，
， ,
的周长 ；
故 的周长为14．
（2） ，
， ，
，
，
，
故 的度数为 ．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟
练应用以上性质是解题的关键．
58．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在 中， ，垂足为D， ，垂足为E，F是
的中点连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ， ．①判断 的形状，并说明理由；
② _________．
【答案】(1)见解析；
(2)①等边三角形，见解析；② ．
【分析】（1）在 和 中用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证 ；
（2）①由（1） 、 求出长度都为 ，由等边三角形的定义即可证明；
②利用等边对等角、三角形内角和定理可求 ，在用“直角三角形中 所对的直角边等于斜边的
一半”可求出比值．
【详解】（1）证明： ， ，
， ，
在 中， ，F是 中点，
；
在 中， ，F是 中点，
；
．
（2）
解：①等边三角形，
理由如下：由（1）知， ，
，
，是等边三角形．
②解：由（1）得
，
同理可证： ，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、直角三角形中相关基本性质的综合运用及等边三角形判断问题，
掌握并熟练应用是解决问题的关键．
易错必考题九、含30°角的直角三角形的性质
59．（2023春·安徽宿州·八年级校考期末）如图，在 中， ， 交 于点 ，
， ，则 的长为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．6【答案】A
【分析】先根据等腰三角形的性质可得 ，再根据垂直定义可得 ，从而利用含30
度角的直角三角形的性质可得 ， ，然后利用三角形的外角性质可得
，从而可得 ，进而可得 ，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解
答．
【详解】解： ， ，
，
，
，
， ，
是 的一个外角，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握握等腰三角形的判定与
性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
60．（2023春·山东威海·七年级统考期末）如图，在等腰 中， ， 垂直平分 ，交
于点D，交 于点E．若 ， ，则 ．
【答案】2
【分析】连接 ，根据 ，得出 ，则 ，根据 垂直平分 ， ，
得出 ， ，进而得出 ，最后根据含 角直角三角形的特征，求出，即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，含 角直角三角形的特征，解题的关
键是掌握等腰三角形等边对等角；垂直平分线上的点到两端距离相等；含 角直角三角形， 角所对的
边是斜边的一半．
61．（2023春·山东济南·七年级统考阶段练习）在 中， ， ， 平分
，交 于点D．(1)如图1，若 ，求 的长；
(2)如图2，作 于点E，连接 ，请判断 的形状并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段 上一点，连接 ，作等边 ，连接 ，试说明线段
与 的位置关系．
【答案】(1)
(2) 为等边三角形；理由见解析
(3) ；理由见解析
【分析】（1）先求出 ，根据 平分 ，得出 ，
求出 ，得出 ，根据 所对的直角边等于斜边的一半，求出 ；
（2）根据等腰三角形的性质得出 ，根据 所对的直角边等于斜边的一半，得出
，得出 ，根据 ，得出 为等边三角形；
（3）证明 ，得出 ，证明 ，根据平行线的判定得出．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）解： 等边三角形；理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形；
（3）解： ；理由如下：
∵ 和 为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，等腰
三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相关的性质和判定．
易错必考题十、折叠问题
62．（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）如图，将长方形纸片 沿 折叠后，点A，D分别落在 ，
的位置，再将 沿着 对折，将 沿着 对折，使得 落在直线 上，则下列说法正
确的是（ ）
① ； ；③当 时， ．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】根据折叠的性质和平角的定义，推出 ，判断①；无法得到 ，判断②；根据
折叠的性质推出 ，根据 ，得到点 在线段 上，推出 ，再
根据 ，求出 ，判断③．
【详解】∵长方形纸片 ，沿 折叠后，点A，D分别落在 ， 的位置，
∴ ，
∵将 沿着 对折，将 沿着 对折，使得 落在直线 上，
∴ ∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；故①正确；
∵ 不一定为 ，
∴ 不一定垂直 ，故②错误；
∵ ，
∴ 与 共线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
故选：B．
【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．
63．（2023春·湖南永州·七年级校考期末）如图（1）所示为长方形纸带，将纸带第一次沿 折叠成图
（2），再第二次沿 折叠成图（3），继续第三次沿 折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰
好完全盖住 ，整个过程共折叠了11次，问图（1）中 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】设 ，则 ，根据题意可知，折叠11次后恰好完全盖住 ，可得CF与
GF重合，再依据平行线的性质，即可得到 的度数．
【详解】解：设 ，则 ，
折叠11次后 与 重合，
，
如图（2）， ，
，
，
，
即 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据折叠的性质找出相等的边角关系是解题关键．
64．（2023秋·重庆南岸·八年级校考期末）如图， 中， ， ， 为 边上一点
（不与 、 重合），将 沿 翻折得到 ， 交 于点 ．若 为等腰三角形，则
为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】B
【分析】分两种情况进行讨论，当 时，根据折叠的性质可知 ，设
，根据等腰三角形的性质可得 ，则 ，解出x即可；
当 时， 根据折叠的性质可知 ，设 ，根据等腰三角形的性质
可得 ，则 ，则 ，解出y即可．
【详解】解：当 时，
根据折叠的性质可知 ，
设 ，
∵ ，∴ ，
∵ 为等腰三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
当 时，
根据折叠的性质可知 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为等腰三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
综上所述， 的度数为 或 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质，利用外角的性质将角与角建立联系列出方程是解
题的关键．
65．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，将四边形纸片 沿过点A的直线折叠，使点B落在
上的点Q处．折痕为 ；再将 ， 分别沿 、 折叠，此时点C、D落在 上的同一点
R处，则 的大小为 °．【答案】30
【分析】由折叠的性质可得 ， ， ， ，
， ，由平角的性质可得 ， ，可证 ，由平行
线的性质可得 ，即可求解；
【详解】解：由折叠的性质可得： ， ， ，
， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：30
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行线的判定与性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键．
66．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，图①是一个四边形纸条 ，其中 ， ， 分别为边 ， 上的两个点，将纸条 沿 折叠得到图②，再将图②沿 折叠得到图③，若在图③
中， ，则 ．
【答案】 /102度
【分析】根据折叠的性质，先求出图②的 的度数，再根据平行线的性质，求出 的度数，由
邻补角特点可求出 的度数，再由折叠性质可得 ，再根据 求
得 的度数为 ，由折叠的性质得图③的 的度数为 ，根据 计算
即可得出答案．
【详解】解：第一次折叠后，如图②，
由折叠可得： ，
，
，
，
，
，
第二次折叠后，如图③，
由折叠可得： ，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．67．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）如图，一个四边形纸片 ， ， 是 上一
点，沿 折叠纸片，使点 落在 边上的点 处．
(1)试判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】（1）由折叠得 ，因为 ，所以 ，则 ；
（2）由 ，得 ，则 ，所以
．
【详解】（1）解： ，
理由如下：
沿 折叠纸片，点 落在 边上的点 处，
，
，
，
；（2）解： ，
，
，
，
，
的度数是 ．
【点睛】本题考查轴对称的性质、平行线的判定与性质、四边形的内角和等于 等知识，证明
是解题的关键．
68．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图1， 中， ， ， ．点 是
边上的定点，点 在 边上运动，沿 折叠 ，折叠后点 落在点 处．下面我们来研究折叠
后的 有一边与原三角形 的一边平行时 的值．
(1)首先我们来研究边 ．因为 和 的 、 相交，所以只有一种可能的情况（如图2），
，此时 ．
(2)其次，我们来研究边 ．因为点 在 上，所以 可能与 的边 、 边分别平行．
当 时（如下图），则 ．
当 时（如下图），则 ．(3)最后，我们来研究边 ．因为点 在 上，所以 可能与 的边 、 边分别平行．
当 时， ．
当 时， ．
【答案】(1)
(2) 或 ；
(3) 或 ；
【分析】（1）根据折叠的性质得出 ，再根据外角的性质得出 计算
得出结论即可；
（2）当 时，分情况求出 的度数，当 时，根据平行线的性质直接得出 的度
数即可；
（3）当 时，分情况求出 的度数，当 时，根据平行线的性质直接得出 的度
数即可．
【详解】（1）解：由题意知， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：当 （1）时（如图3），
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；当 （2）时，
∵ ，
∴ ，
故答案为： 或 ；
当 时，
，
故答案为： ；
（3）解：当 时， 或 ，
故答案为： 或 ；
当 时， ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质及三角形内角和是 等知
识是解题的关键．
易错必考题十一、等腰三角形、直角三角形存在性问题
69．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图， 中， ， ， ，
，若动点 以 的速度从 点出发，沿着 的方向运动，设 点的运动时间为 秒
（ ），连接 ，当 是直角三角形时， 的值为（ ）
A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或7
【答案】D
【分析】由条件可求得 ，再求出点 从 点运动到点 所需的时间为6秒，然后根据 和
两种情况，根据当 为直角三角形时，只有 或 ，利用含 角的直角
三角形的性质求解即可得．【详解】解：在 中， ， ， ， ，
∴ ，
∵点 以 的速度从 点出发，沿着 的方向运动，
点 从 点运动到 点所需的时间为 秒，
则分以下两种情况：
①当 时， ， ，
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，符合题设；
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，符合题设；
②当 时， ，
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，不符合题设，舍去；
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，符合题设；综上， 的值为2或5或7，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了含 角的直角三角形的性质，正确分情况讨论是解题关键．
70．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，在 中， ，点 分别是
上动点，沿 所在的直线折叠 ，使点 的对应点 落在线段 上，若 为直角三角
形，则 的度数为 ．
【答案】 /75度
【分析】根据折叠的性质和三角形内角和定理可得 ，
，分两种情况：当 时，当 ，分别利用三角形内角和定理进行求解即可
得到答案．
【详解】解： ，
，
由折叠的性质可得： ，
当 时， ，
，
，
，
当 ，如图所示，，
此时 在 的延长线上，不符合题意，
综上所述， 的度数为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质、三角形内角和定理是解
题的关键．
71．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）在 中， ， 是边 上的动点，过点 作
交 于点 ，将 沿 折叠，点 的对应点为点 ．
(1)如图1，若点 恰好落在边 上，判断 的形状，并证明；
(2)如图2，若点 落在 内，且 的延长线恰好经过点 ， ，求 的度数；
(3)若 ，当 是直角三角形时，直接写出 的长．
【答案】(1) 是等边三角形；见解析
(2) ；
(3) 的长是 或
【分析】（1）根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论；
（2）根据折叠的性质可知角相等，再根据三角形的内角和定理即可得到结果；
（3）根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到 的长度．
【详解】（1）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，∴ ，
由折叠可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（2）解：由折叠可得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴ ；
（3）解： 的长是 或 ，理由如下：
当 时，点 在 内（如图所示）
∵ ，
∴ ，
∴
由折叠得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，点 在 外，同理可得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，含 角的直角三角形的性质，平行线的性质，根
据题意画出图形是解题的关键．
