文档内容
2013年贵州省铜仁地区中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备
选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上．
1．（4分）|﹣2013|等于（ ）
A．﹣2013 B．2013 C．1 D．0
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a4）3＝a12
C．（﹣2a）3＝﹣6a3 D．a4+a5＝a9
3．（4分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，抛掷这
枚骰子一次，则向上的面的数字大于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠DAC＝∠BCA B．∠DCB+∠ABC＝180°
C．∠ABD＝∠BDC D．∠BAC＝∠ACD
5．（4分） O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与 O的位置关系是（ ）
A．相切⊙ B．相交 C．相离 ⊙ D．不能确定
6．（4分）已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（
）
A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm
7．（4分）已知矩形的面积为8，则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为（
）
第1页（共24页）A． B．
C． D．
8．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
9．（4分）张老师和李老师住在同一个小区，离学校3000米，某天早晨，张老师和李老师分别
于7点10分、7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上，已知李老师骑车的速度是
张老师的1.2倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是x米/分，
则可列得方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，3）两点，则不等式kx+b＞0的解
集是（ ）
第2页（共24页）A．x＞3 B．﹣2＜x＜3 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）4的平方根是 ．
12．（4分）方程 的解是 ．
13．（4分）国家统计局于2013年4月15日发布初步核算数据，一季度中国国内生产总值
（GDP）为119000亿元，同比增长7.7%．数据119000亿元用科学记数法表示为 亿
元．
14．（4分）不等式2m﹣1≤6的正整数解是 ．
15．（4分）点P（2，﹣1）关于x轴对称的点P′的坐标是 ．
16．（4分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB＝13，则sinB的值等于
．
17．（4分）某公司80名职工的月工资如下：
月工资（元） 18000 12000 8000 6000 4000 2500 2000 1500 1200
人数 1 2 3 4 10 20 22 12 6
则该公司职工月工资数据中的众数是 ．
18．（4分）如图，已知∠AOB＝45°，A 、A 、A 、…在射线OA上，B 、B 、B 、…在射线OB上，
1 2 3 1 2 3
且A B ⊥OA，A B ⊥OA，…A B ⊥OA；A B ⊥OB，…，A B ⊥OB（n＝1，2，3，4，5，6…）．
1 1 2 2 n n 2 1 n+1 n
若OA ＝1，则A B 的长是 ．
1 6 6
三、解答题（本题共4个小题，第19题每小题10分，第20、21、22题每小题10分，共40分，
要有解题的主要过程）
19．（10分）（1）计算（﹣1）2013+2sin60°+（ ﹣3.14）0+|﹣ |；
π
第3页（共24页）（2）先化简，再求值： ，其中 ．
20．（10分）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，B，C，D在
同一条直线上．求证：BD＝CE．
21．（10分）为了测量旗杆AB的高度．甲同学画出了示意图1，并把测量结果记录如下，
BA⊥EA于A，DC⊥EA于C，CD＝a，CA＝b，CE＝c；乙同学画出了示意图2，并把测量结
果记录如下，DE⊥AE于E，BA⊥AE于A，BA⊥CD于C，DE＝m，AE＝n，∠BDC＝ ．
（1）请你帮助甲同学计算旗杆AB的高度（用含a、b、c的式子表示）； α
（2）请你帮助乙同学计算旗杆AB的高度（用含m、n、 的式子表示）．
α
第4页（共24页）22．（10分）某中学组织部分优秀学生分别去北京、上海、天津、重庆四个城市进行夏令营活
动，学校购买了前往四个城市的车票，如图是未制作完整的车票种类和数量的条形统计图，
请你根据统计图回答下列问题：
（1）若前往天津的车票占全部车票的30%，则前往天津的车票数是多少张？并请补全统
计图．
（2）若学校采取随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有的车票的形状、大小、质地
完全相同），那么张明抽到前往上海的车票的概率是多少？
四、（本题满分12分）
23．（12分）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），
这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的
利润的月平均值w（万元）满足w＝10x+90．
（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式．
（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？
第5页（共24页）五、（本题满分12分）
24．（12分）如图，AC是 O的直径，P是 O外一点，连结PC交 O于B，连结PA、AB，且满
足PC＝50，PA＝30，⊙PB＝18． ⊙ ⊙
（1）求证：△PAB∽△PCA；
（2）求证：AP是 O的切线．
⊙
六、（本题满分14分）
25．（14分）如图，已知直线y＝3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过
A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理
由；若存在，求出点M的坐标．
第6页（共24页）第7页（共24页）2013 年贵州省铜仁地区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备
选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上．
1．（4分）|﹣2013|等于（ ）
A．﹣2013 B．2013 C．1 D．0
【考点】15：绝对值．
【分析】根据绝对值的性质一个负数的绝对值等于这个数的相反数，直接就得出答案．
【解答】解：|﹣2013|＝2013．
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质，熟练应用绝对值的性质是解决问题的关键．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a4）3＝a12
C．（﹣2a）3＝﹣6a3 D．a4+a5＝a9
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．
【专题】11：计算题．
【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法
则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2•a3＝a2+3＝a5≠a6，故本选项错误；
B、（a4）3＝a4×3＝a12，故本选项正确；
C、（﹣2a）3＝（﹣2）3a3＝﹣8a3，故本选项错误；
D、a4与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化
是解题的关键．
3．（4分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，抛掷这
枚骰子一次，则向上的面的数字大于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】X4：概率公式．
第8页（共24页）【分析】让向上一面的数字是大于4的情况数除以总情况数6即为所求的概率．
【解答】解：正方体骰子，六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6六个数字中，
大于4为5，6，则向上一面的数字是大于4的概率为 ＝ ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点
为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
4．（4分）如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠DAC＝∠BCA B．∠DCB+∠ABC＝180°
C．∠ABD＝∠BDC D．∠BAC＝∠ACD
【考点】J9：平行线的判定．
【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD、BC是否
平行即可．
【解答】解：A、∵∠DAC＝∠BCA，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故A正确；
B、根据“∠DCB+∠ABC＝180°”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故B错误；
C、根据“∠ABD＝∠BDC”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故C错误；
D、根据“∠BAC＝∠ACD”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位
角、内错角和同旁内角．
5．（4分） O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与 O的位置关系是（ ）
A．相切⊙ B．相交 C．相离 ⊙ D．不能确定
【考点】MB：直线与圆的位置关系．
【分析】根据圆O的半径和圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d
＞r；即可选出答案．
【解答】解：∵ O的半径为8，圆心O到直线L的距离为4，
∵8＞4，即：d＜⊙r，
∴直线L与 O的位置关系是相交．
⊙
第9页（共24页）故选：B．
【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进
行判断是解此题的关键．
6．（4分）已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（
）
A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm
【考点】KX：三角形中位线定理．
【分析】由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其
周长．
【解答】解：如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，
则DE＝ AC，DF＝ BC，EF＝ AB，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝ （AC+BC+AB）＝6cm，
故选：D．
【点评】解决本题的关键是利用中点定义和中位线定理得到新三角形各边长与原三角形各
边长的数量关系．
7．（4分）已知矩形的面积为8，则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为（
）
A． B．
第10页（共24页）C． D．
【考点】G2：反比例函数的图象；GA：反比例函数的应用．
【分析】首先由矩形的面积公式，得出它的长y与宽x之间的函数关系式，然后根据函数的
图象性质作答．注意本题中自变量x的取值范围．
【解答】解：由矩形的面积8＝xy，可知它的长y与宽x之间的函数关系式为y＝ （x＞0），
是反比例函数图象，且其图象在第一象限．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，
当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、
四象限．
8．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【考点】L6：平行四边形的判定；L9：菱形的判定；LC：矩形的判定；LF：正方形的判定；
O1：命题与定理．
【分析】A、根据矩形的定义作出判断；
B、根据菱形的性质作出判断；
C、根据平行四边形的判定定理作出判断；
D、根据正方形的判定定理作出判断．
【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
第11页（共24页）故选：C．
【点评】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清
矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
9．（4分）张老师和李老师住在同一个小区，离学校3000米，某天早晨，张老师和李老师分别
于7点10分、7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上，已知李老师骑车的速度是
张老师的1.2倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是x米/分，
则可列得方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【专题】16：压轴题．
【分析】设张老师骑自行车的速度是x米/分，则李老师骑自行车的速度是1.2x米/分，根据
题意可得等量关系：张老师行驶的路程3000÷他的速度﹣李老师行驶的路程3000÷他的速
度＝5分钟，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设张老师骑自行车的速度是x米/分，由题意得：
﹣ ＝5，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，表示出李老
师和张老师各行驶3000米所用的时间，根据时间关系列出方程．
10．（4分）如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，3）两点，则不等式kx+b＞0的解
集是（ ）
A．x＞3 B．﹣2＜x＜3 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．
【专题】16：压轴题．
第12页（共24页）【分析】看在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b交x轴于A（﹣2，0），
∴不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2，
故选：D．
【点评】此题主要考查一次函数与一元一次不等式解集的关系；理解函数值大于0的解集
是x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）4的平方根是 ± 2 ．
【考点】21：平方根．
【专题】11：计算题．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的
平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平
方根是0；负数没有平方根．
12．（4分）方程 的解是 y ＝﹣ 4 ．
【考点】B3：解分式方程．
【专题】11：计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到y的值，经检验即可得到
分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2y+1＝﹣3+y，
解得：y＝﹣4，
经检验y＝﹣4是分式方程的解．
故答案为：y＝﹣4
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
13．（4分）国家统计局于2013年4月15日发布初步核算数据，一季度中国国内生产总值
（GDP）为119000亿元，同比增长7.7%．数据119000亿元用科学记数法表示为 1.19×1 0 5
第13页（共24页）亿元．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：119000＝1.19×105，
故答案为：1.19×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（4分）不等式2m﹣1≤6的正整数解是 1 ， 2 ， 3 ．
【考点】C7：一元一次不等式的整数解．
【分析】首先解不等式，确定不等式解集中的正整数即可．
【解答】解：移项得：2m≤6+1，
即2m≤7，
则m≤ ．
故正整数解是 1，2，3．
故答案是：1，2，3．
【点评】本题考查不等式的正整数解，正确解不等式是关键．
15．（4分）点P（2，﹣1）关于x轴对称的点P′的坐标是 （ 2 ， 1 ） ．
【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可以直接得到答
案．
【解答】解：点P（2，﹣1）关于x轴对称的点P′的坐标是（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
16．（4分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB＝13，则sinB的值等于
．
第14页（共24页）【考点】T1：锐角三角函数的定义．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinB＝ ，代入求出即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴sinB＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C＝90°，则sinB
＝ ，cosB＝ ，tanB＝ ．，..
17．（4分）某公司80名职工的月工资如下：
月工资（元） 18000 12000 8000 6000 4000 2500 2000 1500 1200
人数 1 2 3 4 10 20 22 12 6
则该公司职工月工资数据中的众数是 200 0 ．
【考点】W5：众数．
【专题】16：压轴题．
【分析】直接根据众数的定义求解．
【解答】解：数据2000出现了22次，次数最多，所以该公司职工月工资数据中的众数是
2000．
故答案为2000．
【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
18．（4分）如图，已知∠AOB＝45°，A 、A 、A 、…在射线OA上，B 、B 、B 、…在射线OB上，
1 2 3 1 2 3
且A B ⊥OA，A B ⊥OA，…A B ⊥OA；A B ⊥OB，…，A B ⊥OB（n＝1，2，3，4，5，6…）．
1 1 2 2 n n 2 1 n+1 n
若OA ＝1，则A B 的长是 3 2 ．
1 6 6
第15页（共24页）【考点】KW：等腰直角三角形．
【专题】16：压轴题；2A：规律型．
【分析】仔细观察图形，分析其中的规律，得到A B 的规律性公式，然后求得n＝6时的值．
n n
【解答】方法一：
解：由题意，可知图中的三角形均为等腰直角三角形，
OA ＝1，A B ＝A A ＝1，B A ＝B B ＝ ，A B ＝A A ＝2，B A ＝B B ＝ ，A B ＝
1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 3
A A ＝4，…，
3 4
从中发现规律为A n B n ＝2A n﹣1 B n﹣1 ，其中A 1 B 1 ＝1，
∴A B ＝2n﹣1．
n n
当n＝6时，A B ＝26﹣1＝25＝32．
6 6
故答案为：32．
方法二：
A B ＝ ，
2 1
⇒
∵A B ＝2，
2 1
∴q＝2，a ＝1，
1
∴A B ＝1•2n﹣1＝2n﹣1，
n n
∴A B ＝26﹣1＝32．
6 6
解题技巧：由以上例题可知，确定数列第一项及公比是解题关键．
【点评】本题考查图形的规律性．本题的图形是由一系列有规律的等腰直角三角形所组成，
仔细观察图形，发现其中的规律，是解决本题的关键．
三、解答题（本题共4个小题，第19题每小题10分，第20、21、22题每小题10分，共40分，
要有解题的主要过程）
19．（10分）（1）计算（﹣1）2013+2sin60°+（ ﹣3.14）0+|﹣ |；
π
第16页（共24页）（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【考点】2C：实数的运算；6D：分式的化简求值；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】（1）先分别根据有理数乘方的法则、0指数幂、特殊角的三角函数值及绝对值的性
质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a＝3，b＝1代入原式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+2× +1+
＝2 ；
（2）原式＝ ×
＝a﹣2；
把a＝ +2代入上式得，
原式＝ +2﹣2＝ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20．（10分）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，B，C，D在
同一条直线上．求证：BD＝CE．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．
【专题】14：证明题．
【分析】求出AD＝AE，AB＝AC，∠DAB＝∠EAC，根据SAS证出△ADB≌△AEC即可．
【解答】证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AD＝AE，AB＝AC，
又∵∠EAC＝90°+∠CAD，∠DAB＝90°+∠CAD，
∴∠DAB＝∠EAC，
第17页（共24页）∵在△ADB和△AEC中
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE．
【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出
△ADB≌△AEC．
21．（10分）为了测量旗杆AB的高度．甲同学画出了示意图1，并把测量结果记录如下，
BA⊥EA于A，DC⊥EA于C，CD＝a，CA＝b，CE＝c；乙同学画出了示意图2，并把测量结
果记录如下，DE⊥AE于E，BA⊥AE于A，BA⊥CD于C，DE＝m，AE＝n，∠BDC＝ ．
（1）请你帮助甲同学计算旗杆AB的高度（用含a、b、c的式子表示）； α
（2）请你帮助乙同学计算旗杆AB的高度（用含m、n、 的式子表示）．
α
【考点】SA：相似三角形的应用；T8：解直角三角形的应用．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）根据DC⊥AE，BA⊥AE判定△ECD∽△EAB，利用相似三角形对应边的比相
等列出比例式，从而用含有a、b、c的式子表示AB即可；
（2）首先在直角三角形DBC中用n和 表示出线段BC，然后再表示出AB即可．
【解答】解：（1）∵DC⊥AE，BA⊥AEα
∴△ECD∽△EAB，
∴
即：
第18页（共24页）∴ ；
（2）∵AE⊥AB，DC⊥AB，DE⊥AE
∴DC＝AE＝n，AC＝DE＝m
在Rt△DBC中， ＝tan ，
α
∴BC＝n•tan
∴AB＝BC+AαC＝n•tan +m
【点评】本题考查了相似α 三角形的应用及解直角三角形的应用，解决本题的关键是根据题
目的条件判定相似三角形．
22．（10分）某中学组织部分优秀学生分别去北京、上海、天津、重庆四个城市进行夏令营活
动，学校购买了前往四个城市的车票，如图是未制作完整的车票种类和数量的条形统计图，
请你根据统计图回答下列问题：
（1）若前往天津的车票占全部车票的30%，则前往天津的车票数是多少张？并请补全统
计图．
（2）若学校采取随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有的车票的形状、大小、质地
完全相同），那么张明抽到前往上海的车票的概率是多少？
【考点】B7：分式方程的应用；VC：条形统计图；X4：概率公式．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）设去天津的车票数为x张，根据条形统计图所给的数据和前往天津的车票占
全部车票的30%，列出方程，求出x的值，从而补全统计图；
（2）先算出总车票数和去上海的车票数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）设去天津的车票数为x张，根据题意得：
＝30%，
第19页（共24页）解得：x＝30，
补全统计图如右图所示：
（2）∵车票的总数为20+40+30+10＝100张，去上海的车票为40张，
∴前往上海的车票的概率＝ ＝ ，
答：张明抽到去上海的车票的概率是 ．
【点评】此题考查了条形统计图和概率公式，从条形统计图中获得必要的信息是本题的关
键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
四、（本题满分12分）
23．（12分）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），
这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的
利润的月平均值w（万元）满足w＝10x+90．
（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式．
（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？
【考点】AD：一元二次方程的应用；HD：根据实际问题列二次函数关系式．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）利用“总利润＝月利润的平均值×月数”列出函数关系式即可；
（2）根据总利润等于1620列出方程求解即可．
【解答】解：（1）y＝w•x＝（10x+90）x＝10x2+90x（x为正整数），
（2）设前x个月的利润和等于1620万元，
10x2+90x＝1620
即：x2+9x﹣162＝0
第20页（共24页）得x＝
x ＝9，x ＝﹣18（舍去），
1 2
答：前9个月的利润和等于1620万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用及根据实际问题列出二次函数关系式的知识，解
题的关键是弄清总利润与月平均利润和月数之间的关系．
五、（本题满分12分）
24．（12分）如图，AC是 O的直径，P是 O外一点，连结PC交 O于B，连结PA、AB，且满
足PC＝50，PA＝30，⊙PB＝18． ⊙ ⊙
（1）求证：△PAB∽△PCA；
（2）求证：AP是 O的切线．
⊙
【考点】MD：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】14：证明题；16：压轴题．
【分析】（1）根据△PAB与△PCA的对应边成比例，夹角相等证得结论；
（2）欲证明AP是 O的切线，只需证得∠PAC＝90°．
【解答】证明：（1⊙）∵PC＝50，PA＝30，PB＝18，
∴ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∵∠APC＝∠BPA，
∴△PAB∽△PCA；
（2）∵AC是 O的直径，
∴∠ABC＝90°⊙，
第21页（共24页）∴∠ABP＝90°，
又∵△PAB∽△PCA，
∴∠PAC＝∠ABP，
∴∠PAC＝90°，
∴PA是 O的切线．
⊙
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定．解题时，利用了圆周角定理：
直径所对的圆周角是直角．
六、（本题满分14分）
25．（14分）如图，已知直线y＝3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过
A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理
由；若存在，求出点M的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】15：综合题；16：压轴题．
第22页（共24页）【分析】（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物
线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；
（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的
面积公式即可计算；
（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论， MA
＝BA， MB＝BA， MB＝MA，求出m的值后即可得出答案． ①
【解答】②解：（1）∵③直线y＝3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴可得A（1，0），B（0，﹣3），
把A、B两点的坐标分别代入y＝x2+bx+c得： ，
解得： ．
∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）令y＝0得：0＝x2+2x﹣3，
解得：x ＝1，x ＝﹣3，
1 2
则C点坐标为：（﹣3，0），AC＝4，
故可得S△ABC ＝ AC×OB＝ ×4×3＝6．
（3）存在，理由如下：
抛物线的对称轴为：x＝﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：
讨论：
当MA＝AB时，
①∵OA＝1，OB＝3，
∴AB＝ ，
，
解得： ，
∴M （﹣1， ），M （﹣1，﹣ ）；
1 2
当MB＝BA时， ，
②
解得：M ＝0，M ＝﹣6，
3 4
第23页（共24页）∴M （﹣1，0），M （﹣1，﹣6）（舍弃），
3 4
当MB＝MA时， ，
③
解得：m＝﹣1，
∴M （﹣1，﹣1），
5
答：共存在4个点M（﹣1， ），M（﹣1，﹣ ），M（﹣1，0），M（﹣1，﹣1）使△ABM为
1 2 3 5
等腰三角形．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角
形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．
第24页（共24页）
