课本+自我巩固+课堂落实（答案）_《爱学习》小学初中数学和奥数资料_高斯数学爱学习课件_10北师初中能力强化_初二高斯数学能力强化（北师）_秋8阶课件+电子书

­ 能力强化 / 初二 / 秋季 第 1 讲 勾股定理 例题练习题答案 例1 【答案】C 练1.1 【答案】C 例2 【答案】C 练2.1 【答案】A 例3 【答案】等腰直角三角形 练3.1 【答案】A 【解析】A、因为82 +162 ≠ 172 ，所以不是直角三角形； B、因为a2 −b2 = c2 即c2 +b2 = a2 ，所以是直角三角形； C、因为a2 = (b+c)(b−c)，即a2 +c2 = b2 ，所以是直角三角形； D、因为52 +122 = 132 ，所以是直角三角形． 故选：A． 例4 【答案】解：∵∠BAD=90∘ ，AB=4，AD=3， ∴BD=5， ∵BC=13，CD=12， ∴CD2 +BD2 =BC2 ， ∴△BCD是直角三角形， 1 1 ∴S △BCD = 2 ×CD×BD = 2 ×12×5=30． 练4.1 【答案】解：连接AC，如图所示： ∵∠ADC = 90∘ ，CD = 6m，AD = 8m， ∴AC2 = 62 +82 = 100（m2 ）， ∴AC = 10m， 又∵BC = 24m，AB = 26m， ∴AC2 +BC2 = AB2 ， 1/136­ ∴∠ACB = 90∘ ， ∴S 四边形ABCD = S △ABC −S △ACD 1 1 = AC ⋅BC − AD⋅CD 2 2 1 1 = ×10×24− ×6×8 2 2 = 96（m2 ） ∴需要的钱数为96×200 = 19200（元） 例5 【答案】5 【解析】设BD的长为x，∵AB = 10，AC = 6， ∴BC = 8，∴CD = DE = 8−x， ∵AE = AC = 6，∴BE = 4， ∴x2 −42 = (8−x) 2 ，解得x = 5． 练5.1 【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，AB = 8cm，BC = 16cm， ∴AB = CD = 8cm，BC = AD = 16cm，AD // BC，∠A = 90∘ ， ∴∠EDB = ∠CBD， ∵题目中将该矩形沿对角线BD折叠， ∴△ CBD≌ △ C′BD， ∴∠EBD = ∠CBD， ∴∠EBD = ∠EDB， ∴BE = DE． 设DE的长为xcm，则AE = (16−x)cm，BE = xcm，由勾股定理，得： AB2 +AE2 = BE2 ， ∴64+(16−x) 2 = x2 ， 解得x = 10，即DE = 10cm， 1 ∴图中阴影部分的面积= ×DE ×AB = 40(cm2 ) 2 例6 【答案】解：设水深为x尺，则芦苇长为(x+2)尺， 2 12 根据勾股定理得：x2 + = (x+2) 2 ， ( 2 ) 解得：x = 8， 芦苇的长度= x+2 = 8+2 = 10（尺）， 答：水池深8尺，芦苇长10尺． 【解析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答即可． 练6.1 【答案】C 【解析】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大= 24−12 = 12cm． 2/136­ 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小， 如图所示： −−−−−−−−−− −−−−−−− 此时，AB = AC2 +BC2 = √122 +52 = 13cm， √ 故h = 24−13 = 11cm． 故h的取值范围是11cm ≤ h ≤ 12cm． 例7 (1【) 答案】解：将圆柱的侧面展开，如图所示，该侧面是矩形， AC = 30cm，高是40cm， 则BA = 40cm， BC2 = AC2 +AB2 = (50cm) 2 ， ∴BC = 50cm， 故绕行一圈的路程为50cm． (2【) 答案】解：因为底面圆的周长为80cm，即AC = 80cm， 绕一圈爬行100cm，则BC = 100cm， 又∵AB2 = BC2 −AC2 ， ∴AB = 60cm， 树干高= 60×10 = 600cm = 6m， 故树干高为6m． 3/136­ 练7.1 (1【) 答案】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A′ ，连接A′G交BC于点Q，蚂蚁沿 着A→Q→G的路线爬行时，路程最短． (2【) 答案】 解 ： ∵ 在 Rt △ A′EG 中 ， A′E = 80cm ， EG = 60cm ， A′G2 = A′E2 +EG2 ， ∴A′G = 100cm， ∴AQ +QG = A′Q +QG = A′G = 100cm， 即最短路线长为100cm． 【解析】A′G为Rt △ A′EG的斜边，根据勾股定理求解即可． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 1 讲 勾股定理 自我巩固答案 1 【答案】B 2 【答案】B 4/136­ 3 【答案】B 【解析】解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如 图所示： 故选：B． 4 【答案】C 5 【答案】C 6 【答案】（1）解：答案不唯一，符合题意即可，如：6，8，10；9，12，15； （2）证明：x2 +y2 = (2n) 2 +(n2 −1) 2 = 4n2 +n4 −2n2 +1 = n4 +2n2 +1 = (n2 +1) 2 = z2 ， 即x，y，z为勾股数． 【解析】 7 【答案】解：如图，连接AC， ∵在△ACD中，AD = 4米，CD = 3米，∠ADC = 90∘ ， ∴由勾股定理，可得AC = 5米， 又∵AC2 +BC2 = 52 +122 = 132 = AB2 ， ∴△ABC是直角三角形， ∴这块地的面积= S △ABC −S △ACD 1 1 = ×5×12− ×3×4 = 2（4 平方米）． 2 2 8 【答案】解：∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处， ∴∠AFE = ∠B = 90∘ ，AB = AF = 8，BE = FE， ∵在△ADF中，AF2 +DF2 = 100 = AD2 ， ∴△ADF是直角三角形，∠AFD = 90∘ ， ∴D，F，E在一条直线上； 5/136­ 设BE = x，则EF = x，DE = 6+x，EC = 10−x， 在Rt △ DCE中，∠C = 90∘ ， ∴CE2 +CD2 = DE2 ， 即 (10−x) 2 +82 = (6+x) 2 ， 解得x = 4， ∴BE = 4． 9 【答案】解：将圆柱展开，侧面为矩形， ∵高为10cm，底面圆的直径为3cm， 1 3 ∴ AC =π ×3× = π cm， 2 2 2 3 9 ∴ AB2 = π +102 = 100 + π 2 (cm2 )． (2 ) 4 10 【答案】D 【解析】∵将一根长为12m的金属棒，置于底面直径为6m，高为8m的圆柱形水杯中， ∴在杯子中的金属棒最短等于杯子的高，最长等于金属棒、杯子直径和杯子的高构成的直 角三角形斜边的长， ∴当杯子中金属棒最短等于杯子的高，即l = 8m， 最长等于金属棒、杯子直径和杯子的高构成的直角三角形斜边的长，即 −−−−−− l = √82 +62 = 10m ∴h的取值范围是：(12−10) ≤ h ≤ (12−8)，即2 ≤ h ≤ 4． 故选：D． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 1 讲 勾股定理 课堂落实答案 1 【答案】D 2 【答案】B 【解析】解：∵AB = 10，EF = 2， 6/136­ ∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4， 1 ∴四个直角三角形面积和为100 −4 = 96，设AE为a，DE为b，即4× ab = 96， 2 ∴2ab = 96，a2 +b2 = 100， ∴(a+b) 2 = a2 +b2 +2ab = 100 +96 = 196， ∴a+b = 14， ∵a−b = 2， 解得：a = 8，b = 6， ∴AE = 8，DE = 6， ∴AH = b = 6． 故选：B． 3 【答案】D 4 【答案】B 【解析】解：∵满足a2 +b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数， ∴是勾股数的有①5、12、13；③3k、4k、5k（k为正整数）． 5 【答案】B 【解析】解：沿AC将圆柱的侧面展开，如图所示： ∵底面半径为2cm， 4π ∴BC = cm = 6cm， 2 在Rt △ ABC中， ∵AC = 8cm，BC = 6cm，AB2 = AC2 +BC2 ， ∴AB = 10cm， 故选：B． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 1 讲 勾股定理 精选精练 7/136­ 1 【答案】D 【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则 2 2 2 x =12 +5 =169 所以x=13 所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76 2 【答案】解：如图所示，连接AC， ∵∠B = 90∘ ，AB = BC = 2， ∴AC2 = AB2 +BC2 = 8，∠BAC = 45∘ ， 又∵CD = 3，DA = 1， ∴AC2 +DA2 = 8+1 = 9 = CD2 ， ∴△ ACD是直角三角形， ∴∠CAD = 90∘ ， ∴∠DAB = 45∘ +90∘ = 135∘ ． 故∠DAB的度数为135°． 3 【答案】解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c −b = 1 ∵a = 19，a2 +b2 = c2 ， ∴192 +b2 = (b+1) 2 ， ∴b = 180，c = 181； （2）通过观察知c −b = 1， ∵(2n+1) 2 +b2 = c2 ， ∴(2n+1) 2 = c2 −b2 = (c +b)(c −b) = (2b+1)×1， 2 即2b+1 = (2n+1) ， ∴b = 2n2 +2n，c = b+1 = 2n2 +2n+1； （3）由（2）知，2n+1，2n2 +2n，2n2 +2n+1为一组勾股数， 当n = 7时，2n+1 = 15，112 −111 = 1， 8/136­ 但2n2 +2n = 112 ≠ 111， ∴15，111，112不是一组勾股数． 【解析】（1）仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，根据此规律及勾股 定理公式不难求得b，c的值； （2）根据第一问发现的规律，代入勾股定理公式中即可求得b，c的值； （3）将第二问得出的结论代入第三问中看是否符合规律，符合则说明是一组勾股数，否 则不是． 4 【答案】15π 【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是： AC→CD→DB； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角 线运动到B的路线最短； ∵圆柱底面半径为2cm， ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2=4πcm； 又∵圆柱高为9πcm， ∴小长方形的一条边长是3πcm； 根据勾股定理求得AC=CD=DB=5πcm； ∴AC+CD+DB=15πcm； 故答案为：15π． 5 【答案】解：设BC的长度为xcm，则AC = BC = xcm， ∴OC = AO −AC = (9−x)cm， ∵∠AOB = 90∘ ， ∴在Rt △ BOC中，BC2 = OB2 +OC2 ， ∴x2 = 32 +(9−x) 2 ，解得x = 5， ∴机器人行走的路程BC是5cm． 9/136­ 6 【答案】解： 有三种情况： 当AD = 2cm，DB = 2+6 = 8cm时， −−−−−− −− AB = √22 +82 = 2√17cm； 当AD = 2cm，DB = 6+2 = 8cm时， −−−−−− −− AB = √22 +82 = 2√17cm； 当AD = 6cm，DB = 2+2 = 4cm时， −−−−−− −− AB = √62 +42 = 2√13cm． −− 其中第三种情况AB最短，故这只蚂蚁所要爬行的最短路线长为2√13cm． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 2 讲 实数 例题练习题答案 例1 (1【) 答案】C −−−−−−−−− (2【) 答案】①∵√x+2y −7 +|x−1| = 0， ∴x−1 = 0，x+2y −7 = 0，解得：x = 1，y = 3． ②x+y = 1+3 = 4． ∵4的平方根为±2， ∴x+y的平方根为±2． 3a−2 ≥ 0 (3【) 答案】 由算术平方根的非负性可得 ， {2−3a ≥ 0 2 ∴3a−2 = 0，a = 3 1 1 ∴b = 2， + = 2， a b −−−−−− 1 1 – ∴± + = ±√2 √a b 练1.1 (1【) 答案】C (2【) 答案】C 10/136­ (3【) 答案】C 例2 5 (1【) 答案】3， 2 – (2【) 答案】√37 ，2 3 (3【) 答案】-2， 2 练2.1 −− 5 (1【) 答案】 3 -3， √2 5 (2【) 答案】-9， 2 −−−−− −−−−− 例3 【答案】∵√ 32a−3+√37−3a = 0 ∴2a−3+7−3a = 0 ∴a=4 – 所以a+3的平方根为±√7 练3.1 【答案】-3 例4 【答案】A 练4.1 【答案】D 例5 【答案】＜，＞，＞ 练5.1 【答案】C – 【解析】∵−2 = −√4， – – – 又∵√4 < √6 < √7 – – ∴−2 > −√6 > −√7． 故选：C． 例6 【答案】19 −− 【解析】∵4 < √17 < 5， −− −− ∴ 7+√17的整数部分为11，13−√17的整数部分为8， ∴m = 11， n = 8， ∴ m+n = 19 – 练6.1 【答案】2+√7 – 例7 【答案】（1）-0.8（2）√3 – 练7.1 【答案】（1）1（2）√3−1 11/136­ 能力强化 / 初二 / 秋季 第 2 讲 实数 自我巩固答案 1 【答案】C 2 【答案】B −−−−−−−− 2 【解析】解：∵ (2a−1) = 1−2a， √ ∴1−2a ≥ 0， 1 解得a ≤ ． 2 故选：B． 3 【答案】D 4 【答案】B 5 【答案】B −−−−− 【解析】解：A、 (−2)2 =2，故A错误； √ −−−−− B、 3(−2)3 =­2，故B正确； √ −−−−− C、 (±2)2 =2，故C错误； √ −− D、√ 3 23 =2，故D错误． 故选：B． 6 【答案】A 3 【解析】A、∵− = −0.375， 8 3 ∴−0.375 > − ，故此选项错误，符合题意； 8 B、∵−|0| = 0， 根据有理数的大小比较法则：0.1 > 0， ∴0.1 > −|0|， 故此选项正确，不符合题意； 5 20 7 21 C、 = ， = ， 6 24 8 24 20 21 ∵ < ， 24 24 5 7 ∴ < ， 6 8 故本选项正确，不合题意； 35 30 D、∵− < − ， 42 42 12/136­ 5 5 ∴− < − ， 6 7 故此选项正确，不符合题意； 故选：A． 7 【答案】B 8 【答案】C 【解析】∵a2 = 9，√ 3 b= −2， ∴a = 3或−3，b = −8， 则a+b = −5或−11， 故选：C． 2 3 9 【答案】解：（1）原式= 9× +8× 3 4 = 6+6 = 12； （2）原式= 4+3−4 = 3． – – 10 【答案】解：∵ 2 < √7 < 3，∴ 7 < 5+√7 < 8， – – ∴ m = 7，a = 5+√7−7 = −2+√7， – ∵ 2 < 5−√7 < 3 – – ∴ n = 2，b = 5−√7−2 = 3−√7， 2015 – – 2015 ∴ (a+b) −mn = (−2+√7+3−√7) −7×2 = 1−14 = −13． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 2 讲 实数 课堂落实答案 1 【答案】B 2 【答案】C 【解析】A、−0.064的立方根是−0.4，不符合题意； B、−9没有平方根，不符合题意； −− C、16的立方根是√316，符合题意； 13/136­ −−−− D、0.01的立方根是√30.01，不符合题意， 故选：C． 3 【答案】C 4 【答案】A 【解析】∵1 < 3 < 4， – ∴1 < √3 < 2． – – ∴1+2 < 2+√3 < 2+2，即3 < 2+√3 < 4． – ∴a = 3，b = √3−1． – – ∴a2 +b2 = 9+3+1−2√3 = 13−2√．3 故选：A． 1 9 5 【答案】解：（1）原式= +6−2 = 2 2 – – （2）原式= 3+5+4−√3+1 = 13−√3 能力强化 / 初二 / 秋季 第 2 讲 实数 精选精练 1 【答案】D 2 【答案】A 3 【答案】-1 −−−−− 2 【解析】∵ √x−1 ≥ 0,(y +1) ≥ 0， −−−−− 2 ∴ √x−1+(y +1) ≥ 0， −−−−− 2 又∵ √x−1+(y +1) ≤ 0， −−−−− 2 ∴ √x−1 = 0,(y +1) = 0， ∴ x = 1,y = −1， 2017 2017 x 1 ∴ = = −1． (y) (−1) 4 【答案】C 5 【答案】±3 – 【解析】∵ 2a−1的平方根是±3，3a+b−9的立方根是2，c是√8的整数部分， ∴ 2a−1 = 9，3a+b−9 = 8，c = 2， 14/136­ 解得：a = 5，b = 2，c = 2，即a+b+c = 9， 则9的平方根是±3． – 6 【答案】2√3 【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求 出值． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 3 讲 二次根式 例题练习题答案 例1 (1【) 答案】C −−−−− −−−−− 【解析】要使s = √3t −7 +√7−3t −5有意义， 3t −7 ≥ 0 则 {7−3t ≥ 0 7 得t = ， 3 故s = −5， 7 35 ∴st = ×(−5) = − ． 3 3 故选：C． −−−−− (2【) 答案】∵2|a−1|+√2a−b+(c +b) 2 = 0， −−−−− 又∵|a−1| ≥ 0 ，√2a−b ≥ 0，(c +b) 2 ≥ 0 ， a−1 = 0 ∴ ⎧⎪2a−b = 0 ⎨ ⎩⎪ c +b = 0 a = 1 ∴ ⎧⎪ b = 2 ⎨ ⎩⎪ c = −2 ∴2a+b−c = 2+2+2 = 6. (3【) 答案】由题意得，x−2016 ≥ 0 得x ≥ 2016， −−−−−−− 则x−2015+√x−2016 = x， −−−−−−− ∴√x−2016 = 2015， 15/136­ 解得x = 20152 +2016， 则x−20152 = 2016. 练1.1 【答案】由题，得 −−−−−− √2m+n = 0 ⎧⎪∣ ∣m2 −9∣ ∣ = 0 ⎨ 3−m > 0 ⎩⎪ 解得m = −3，n = 6， 则3m+6n = 27， ∴3m+6n的立方根为3． −−−−−−− 练1.2 【答案】解：∵ √x−2019有意义，∴ x ≥ 2019， ∴ |2017−x| = x−2017， −−−−−−− −−−−−−− |2017−x|+√x−2019 = x−2017+√x−2019 = x −−−−−−− 即√x−2019 = 2017， 两边平方，得x−2019 = 20172 ， ∴ x−20172 = 2019. 例2 【答案】A 【解析】由图可知：a < 0，a−b < 0， −−−−−−− 2 则|a|+ (a−b) √ = −a−(a−b) = −2a+b． 故选：A． 练2.1 【答案】B – – – 例3 【答案】（1）原式=2√6+3√6=5√6 – – – （2）原式=4√3−5√3=−√3 – – √2 √3 – （3）原式= 4× +3× −2√2 2 3 – – – – = 2√2+√3−2√2=√3 −− −− √3a （4）原式=2a×3√3a+6a× 2 −− −− −− =6a√3a+3a×√3a = 9a√3a −− −− −− （5）原式= 2√x −3√x = −√x −− −− −− −− （6）原式= 2a√a +3a√a −a√a = 4a√a 例4 – – – (1【) 答案】原式= 4−√6+2√6 = 4+√6 16/136­ – – (2【) 答案】原式= 9+5+6√5−(16−7) = 5+6√5 – – – (3【) 答案】原式= 3√3−3+3−√3 = 2√3 −−−−−−−−−− 1 1 2 2 1 (4【) 答案】 原式= − × 3a2 ⋅ ⋅ a = − a 3 2√ a 3 3 – – 练4.1 【答案】（1）原式= 6−6√3−√3 – = 6−7√3 – – （2）原式= 8−4√2+1+4√2 = 9 −− – – – 例5 【答案】 √12 √3 2√3 √3 – （1）原式= + = + =√3 4 2 4 2 −−−−−−−−−−−− −−− −− b 1 √2b （2）原式= ÷ab2 ×a2 + = √2a √2b b 练5.1 −− (1【) 答案】 −− 1 −− 1 −− 3√18 + √50 −4 ÷√32 ( 5 √2 ) – – – – = (9√2+√2−2√2)÷4√2 – – = 8√2÷4√2 = 2 −− −−− 4 −−− x 1 (2【) 答案】 √25x+9 −2x2 ⋅ 5 √9 √x3 −− √x = 4√ − x − +3√ − x − −2x2 ⋅ x2 −− −− = 7√x −2√x −− = 5√x 例6 【答案】解： – 1 √3 （1）原式= – = ； 2√3 6 – 2−√3 – （2）原式= = 2−√3； – – (2+√3)(2−√3) – – – – – – 2√3+3√2 2√3+3√2 √3 √2 （3）原式= – – – – = − =− − ； (2√3+3√2)(2√3−3√2) 6 3 2 – – (7+4√3)(2−√3) – （4）原式= =2+√3； – – (2+√3)(2−√3) −− （5）原式 =√a −√b； −− −− (√a+√b)(√a −√b) −− （6）原式= =√a+√b. −− √a −√b 练6.1 – – 1 √2 1 1 √6 (1【) 答案】 ① – = ② −− = – = 3√2 6 √54 3√6 18 17/136­ (2【) 答案】D 例7 – – 1 √7−√6 (1【) 答案】 = – – – – – – √7+√6 (√7+√6)(√7−√6) – – = √7−√6 −−−−− −− 1 √n+1 −√n (2【) 答案】 = −−−−− −− −−−−− −− −−−−− −− √n+1 +√n (√n+1 +√n)(√n+1 −√n) −−−−− −− = √n+1 −√n 1 1 1 1 1 (3【) 答案】 + + +⋯ + + – – – – – −− −− −− −−− 1+√2 √2+√3 √3+√4 √98 +√99 √99 +√100 – – – −− −− −−− −− = √2−1+√3−√2+⋯ +√99 −√98 +√100−√99 −−− = −1+√100 = −1+10 = 9 练7.1 【答案】原 式 – – – – 4(2−√2) 4(√6−2) 4(√8−√6) = + + +⋯ + – – – – – – – – (√2+2)(2−√2) (2+√6)(√6−2) (√8+√6)(√8−√6) – – – – −−−−−− −− = 2(2−√2)+2(√6−2)+2(√8−√6)+… +2(√2n+2 −√2n) −−−−−− – = 2(√2n+2 −√2) −−−−−− – = 2√2n+2 −2√2 例8 【答案】D 练8.1 【答案】D 【解析】 ∵ab＜0，∴ a,b均不等于0 又∵被开方数大于等于0， ∴−a2b3＞0，∴b＜0，a＞0， 1 −−−−− 1 −− −−− −−− −−− ∴ √−a2b3 = √a2 ⋅ √−b3 = √−b3 = −b√−b a a 练8.2 【答案】B a+2 【解析】若二次根式有意义，则− ≥ 0， a2 得−a−2 ≥ 0，解得a ≤ −2， a −−−−−− −−−−−− ∴原式= √−a−2 = −√−a−2． −a 故选：B． 能力强化 / 初二 / 秋季 18/136­ 第 3 讲 二次根式 自我巩固答案 −−−−− −−−−− 1 【答案】∵y = √x−24+√24−x−8， ∴x−24 = 24−x = 0 ， ∴x = 24 ， y = 0−8 = −8 ， −−−−− ∴√ 3x−5y −−−−−− = √324+40 = 4 ． 2 【答案】C 3 【答案】D −−−−−−− 2 【解析】 (a−1) −1 = |a−1|−1， √ ∵a < 1， ∴a−1 < 0， ∴原式= |a−1|−1 = (1−a)−1 = −a， 故选：D． 4 【答案】由图可知：a < 0，b > 0， 则a−b < 0， ∴原式= −a−b−(b−a) = −a−b−b+a = −2b. 【解析】解:由题意得,a < 0 < b,|a| > |b|, ∴ a−b < 0 −− −− −−−−−−− ∴ √a2 −√b2 − (a−b)2 = −a−b−(b−a) = −a−b−b+a = −2.b √ 5 【答案】C 6 −− −− √12 +√27 (1【) 答案】 – √3 – – 2√3+3√3 = – √3 – 5√3 = – √3 = 5 19/136­ – – 2 (2【) 答案】(2√2−√3) – 2 – – – 2 = (2√2) −2×2√2×√3+(√3) – = 8−4√6+3 – = 11−4√6 −− (3【) 答案】 √ − 4 − 8 +6 1 −√ − 7 − 5 √3 – – – = 4√3+2√3−5√3 – = √3 −− (4【) 答案】 −− 1 – −− 2√12 −3 ×√6−3√27 ( √3 ) – – – – = (4√3−√3)×√6−9√3 – – – = 3√3×√6−9√3 – – = 9√2−9√3 7 【答案】B – – 【解析】∵a = 2√2+3，b = 2√2−3， ∴a ≠ b， – – ab = (2√2+3)(2√2−3) = 8−9 = −1， – – −b = −(2√2−3) = 3−2√2 ≠ a， 即只有选项B正确，选项A、C、D都错误， 故选：B． 8 【答案】C −−− −−−− −− – −− 【解析】 −−− 9 90 √90 √3×√30 ab √0.9 = = = = = −−− √10 √100 √100 10 10 故选：C． 9 【答案】A 【解析】解：∵xy > 0， ∴x和y同号， −−− −y −y ∵x 的中， ≥ 0， √ x2 x2 ∴y < 0， ∴x < 0，y < 0， −−− −−−−−−− −y −y −−− ∴x = − x2 ⋅ = −√−y． √ x2 √ x2 – – – √2−1 √3−√2 10 【答案】 原式= – – + – – – – (1+√2)(√2−1) (√2+√3)(√3−√2) 20/136­ −−−− −−−− √2016−√2015 +⋯ + −−−− −−−− −−−− −−−− (√2015+√2016)(√2016−√2015) – – – – – = (√2−1)+(√3−√2)+(√4−√3)+... −−−− −−−− −−−− −−−− +(√2015−√2014)+(√2016−√2015) −−−− −− =√2016−1=12√14 −1 能力强化 / 初二 / 秋季 第 3 讲 二次根式 课堂落实答案 1 【答案】−3 x− 1 ≥ 0 【解析】 2 { 1 −x ≥ 0 2 1 ∴x = ， 2 ∴y = 0+0−6 = −6， ∴xy = −3， 故答案为：−3 2 【答案】C 3 【答案】B 4 【答案】A 5 – (1【) 答案】原式= 12−4√3+1+(3−4) – = 12−4√3 【解析】利用完全平方公式和平方差公式计算； −−−− −−−−− – (2【) 答案】原式= √6×3 −2√15×3 −3√2 – – – – = 3√2−6√5−3√2 = −6√5 【解析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可． 能力强化 / 初二 / 秋季 21/136­ 第 3 讲 二次根式 精选精练 17 1 【答案】− 4 2 【答案】解：∵a−b = 1，a+b = 3，ab = 2 −− −− 2 −− √a +√b (√a +√b) a+b+2√ab ∴ = = √ −− a −√b a−b a−b – 3+2√2 – = = 3+2√2 1 3 【答案】4 4 −−−−−− −−−−−− (1【) 答案】解:∵ √39+x2 −√15+x2 = 2， −−−−−− −−−−−− −−−−−− −−−−−− −−−−−− ∴ √39+x2 −√15+x2 √39+x2 +√15+x2 = 2 √39+x2 +√ ( )( ) ( −−−−−− −−−−−− 39+x2 −(15+x2 ) = 2 √39+x2 +√15+x2 ( ) −−−−−− −−−−−− ∴ 24 = 2 √39+x2 +√15+x2 ( ) −−−−−− −−−−−− 即√39+x2 +√15+x2 = 12 −−−−−− −−−−−− (2【) 答案】∵ √29−x2 −√15+x2 = 2 −−−−−− −−−−−− 2 ∴ √29−x2 −√15+x2 = 4 ( ) −−−−−− −−−−−− (29−x2 ) +(15+x2 ) −2√29−x2 ⋅√15+x2 = 4 −−−−−− −−−−−− 得√29−x2 ⋅√15+x2 = 20 −−−−−− −−−−−− 2 −−−−−− −− ∴ √29−x2 +√15+x2 = (29−x2 ) +(15+x2 ) +2√29−x2 ⋅√15 ( ) −−−−−− −−−−−− −− −− ∴ √29−x2 +√15+x2 = √84 = 2√21 −−−−−− −−− 5 5 5 【答案】 解：（1）根据题意猜想得： 5− =5 ； √ 26 √26 −−−−−− −−−−−−−−− −−−−−− −−− 6 6×37−6 6×36 6 （2） 6− = = =6 ， √ 37 √ 37 √ 37 √37 −−−−−−−−− −−−−−− n n 得到一般性规律为 n− = n （n为正整数）． √ n2 +1 √n2 +1 −−−−−−−−−−−− −−− 6 【答案】 1 1 1 1 5 解：（1） × − = 4 (5 6) 5√24 √ −−−−−−−−−−−− −−−−−−−− −−−−−−−−− −−− 1 1 1 1 5 1 5 验证： × − = = = √ 4 (5 6) √4×5×6 √4×52 ×6 5√24 −−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−− 1 1 1 1 n+1 （2） − = √ n(n+1 n+2) n+1 √ n(n+2) 能力强化 / 初二 / 秋季 22/136­ 第 4 讲 平面直角坐标系 例题练习题答案 例1 【答案】C 【解析】如图所示：“天安门”的点的坐标为：(1,0)． 故选：C． 练1.1 【答案】B 【解析】解：棋盘中心方子的位置用(−1,0)表示，则这点所在的横线是x轴，右下角方子的位置用 (0,−1)，则这点所在的纵线是y轴，则当放的位置是(−1,1)时构成轴对称图形． 故选：B． 例2 【答案】B 【解析】因为点A(m−3,m−1)在x轴上，所以m−1 = 0，所以 m = 1，故点A的坐标为 (−2,0)，故选择B选项 1 练2.1 【答案】 2 【解析】根据题意，得：2−4m = 0， 1 解得：m = ， 2 1 故答案为： ． 2 例3 【答案】5 3 【解析】解：∵点的坐标为(−3,5)， ∴点到x轴的距离等于其纵坐标5的绝对值，即为5； 点到y轴的距离等于其横坐标−3的绝对值，即为3． 23/136­ 练3.1 【答案】C 【解析】点(−5,−6)到x轴的距离为|−6| = 6． 故选：C． 例4 【答案】C 【解析】解：∵点P在x轴下方，y轴的左方， ∴点P是第三象限内的点， ∵第三象限内的点的特点是(−,−)，且点到各坐标轴的距离都是3， ∴点P的坐标为(−3,−3)． 故选：C 练4.1 【答案】A 【解析】∵点P位于y轴的右侧且位于x轴下方， ∴点P的横坐标为正数，纵坐标为负数， 又∵点P到x轴、y轴的距离分别是4个单位长度、3个单位长度， ∴点P的纵坐标为−4，横坐标为3， ∴点P的坐标为(3,−4)． 故选：A． 例5 (1【) 答案】由题意得BC = x C −x B = 6，y A = −5， 1 1 ∴S ΔABC = BC ⋅|y A |= ×6×5=15． 2 2 (2【) 答案】如图所示，建立平面坐标系，A、B、C的坐标分别为(0,2)，(4,0)，(2,6)． 作矩形BEDO， S = S −S −S −S ΔABC 矩形BEDO ΔAOB ΔDCA ΔBCE =24−4−4−6=10 ． 24/136­ 1 1 (3【) 答案】由题意得：S △ABC = 2 AB⋅|x c |，即9 = 2 ×3|x c |， ∴|x c |=6，x c =±6， 故点C的坐标为(6,0)或(−6,0)． 练5.1 【答案】（1）B （2）C 例6 (1【) 答案】(−1,1) (−1,2) (2【) 答案】(6,−6) (3【) 答案】(1,2) (4【) 答案】2 (5【) 答案】由平移易知A 1 (8,4)，B 1 (9,0)，C 1 (6,−1)，在平面直角坐标系中顺次连接各点即 可． 练6.1 (1【) 答案】A(2,−1)，B(4,3)； 【解析】根据直角坐标系的特点写出点A、B的坐标； (2【) 答案】A′( 1,1)，B′ (3,5)，C′ (0,4)； 【解析】根据直角坐标系的特点写出平移后的点的坐标； 1 1 1 (3【) 答案】S △ABC = 3×4− 2 ×1×3− 2 ×1×3− 2 ×2×4 =；5 【解析】用三角形所在矩形的面积减去三个小三角形的面积即可求解； (4【) 答案】所作图形如图所示： 25/136­ 【解析】作出平移后的三角形即可． 例7 (1【) 答案】(2,−3) (−2,3) (−2,−3) y轴 (2【) 答案】1 −2 (3【) 答案】提示：找到各点坐标依次连接即可. A 1 (1,1)；B 1 (−2,−1)；C 1 (0,−2)； A 2 (1,−1)；B 2 (−2,1)；C 2 (0,2)； △ A 1 B 1 C 1和△ A 2 B 2 C 2关于x轴对称. 练7.1 (1【) 答案】如图，△A 1 B 1 C 1即为所求； 【解析】分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可； (2【) 答案】由图可知，A 1 (1,−2)，B 1 （3，−1） ，C 1 (−2,1)． 故答案为：(1,−2)，(3,−1)，(−2,1)； 26/136­ 【解析】根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可； 1 1 1 (3【) 答案】S = 5×3− ×3×3− ×2×1− ×5×2 ΔABC 2 2 2 = 15−4.5−1−5 = 4.5． 【解析】利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 例8 【答案】P (1,−1) 2 P (1,1) 7 P (1,−3) 100 【解析】按照题目要求操作下去， 可知P 7 (1,1)，即P 7和P 1重合， 且P 7的下一步操作和P 1的下一步操作一样， 所以周期为6，100/6余4， ∴P 100和P 4的坐标相同． 练8.1 【答案】B 能力强化 / 初二 / 秋季 第 4 讲 平面直角坐标系 自我巩固答案 1 (1【) 答案】（1）∵点P（3m−6，m+1）在y轴上， ∴3m−6 = 0， 解得m = 2， ∴m+1 = 2+1 = 3， ∴点P的坐标为（0，3）； (2【) 答案】（2）点P（3m−6，m+1）在x轴上， ∴m+1 = 0， 解得m = −1， ∴3m−6 = −9， 27/136­ ∴点P的坐标为（−9，0）； (3【) 答案】（3）∵点P（3m−6，m+1）的纵坐标比横坐标大5， ∴m+1 = 3m−6+5， 解得m = 1， ∴3m−6 = −3， m+1 = 2， 点P的坐标为（−3，2）； (4【) 答案】∵点P在过点A(−1,2)，且与x轴平行的直线上． ∴m+1 = 2, ∴m = 1, ∴3m−6 = −3, ∴P (−3,2). 2 (1【) 答案】解:如图, (2【) 答案】如图所示, S △ABC = S 梯形ADEC −S △ABD −S △BCE 1 1 1 = ×(1+4)×5− ×1×4− ×1×4 2 2 2 = 12.5−2−2 = 8.5, 答:△ABC的面积为8.5. 28/136­ 3 【答案】A 【解析】解：如图所示： 在新坐标系中原来的点A的坐标是(1+3,−1−5)，即(4,−6)， 故选：A． 4 【答案】解：（1）A 1 (−3,5)，B 1 (0,6)，C 1 (−1,4)； （2）△ABC的面积 1 1 1 = 3×2− ×1×2− ×1×2− ×1×3 2 2 2 = 6−1−1−1.5 = 6−3.5 = 2.5． 29/136­ 5 【答案】解：（1）如图所示： 1 1 1 S △ABO = 3×4− 2 ×3×2− 2 ×4×1− 2 ×2×2 = 5； （2）A′ (2,0)，B′ (4,−2)，O′ (0,−3)． 【解析】把△ABO放在一个矩形里面，用矩形COED的面积−△ACO的面积−△ABD的面积−△BEO的 面积，即可算出△ABO的面积； 6 【答案】D 【解析】解：点P (−2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,−3)． 故选：D． 7 【答案】解：（1）如图所示：△A 1 B 1 C 1和△A 2 B 2 C 2，即为所求； （2）如图所示：△A 3 B 3 C 3，即为所求； 1 1 1 （3）S △ABC = 3×4− 2 ×2×2− 2 ×2×3− 2 ×1×4 =．5 【解析】（1）利用关于x，y轴对称点的性质分别得出对应点坐标，进而得出答案； （2）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （3）利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案． 8 【答案】解：如图所示， 30/136­ 由图可知，A、B、C关于x轴对称的点坐标分别为(2,−3)，(1,−1)，(3,2)． 【解析】根据关于x轴对称的点的坐标特点作出△ABC关于x轴对称的图形，并写出各点坐标即可． 9 【答案】A 10 【答案】B 【解析】452 = 2025． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 4 讲 平面直角坐标系 课堂落实答案 1 【答案】4 【解析】点A(−2,4)到x轴的距离为|4| = 4． 2 【答案】5 3 【答案】B 4 【答案】解：（1）如图所示： （2）A 1 (−2,−3)，B 1 (−3,−2)，C 1 (−1,−1)． 5 【答案】B 能力强化 / 初二 / 秋季 31/136­ 第 4 讲 平面直角坐标系 精选精练 1 【答案】A 【解析】∵A点到x轴的距离为3，A点在第二象限， ∴点A的纵坐标为3， ∵A点到y轴的距离恰为到x轴距离的3倍，A点在第二象限， ∴点A的横坐标为−9， ∴点A的坐标为(−9,3)． 故选：A． 2 (1【) 答案】如图所示： (2【) 答案】过点C向x、y轴作垂线，垂足为D、E． 1 ∴ 四边形DOEC的面积= 3×4 = 12，ΔBCD的面积= ×2×3 = 3， 2 1 1 ΔACE的面积= ×2×4 = 4，ΔAOB的面积= ×2×1 = 1． 2 2 ∴ΔABC 的面积=四边形DOEC的面积﹣ΔACE的面积﹣ΔBCD的面积- ΔAOB的面积= 12−3−4−1 = 4． 1 1 (3【) 答案】当点p在x轴上时，ΔABP的面积= AO ⋅BP = 4，即： ×1×BP = 4，解 2 2 得： BP = 8 , 所点P的坐标为(10,0)或(−6,0)； 32/136­ 1 1 当点P在y轴上时，ΔABP的面积= ×BO ×AP = 4，即 ×2×AP = 4， 2 2 解得：AP = 4． 所以点P的坐标为(0,5)或(0,−3)． 所以点P的坐标为(0,5)或(0,−3)或(10,0)或(−6,0)． 3 (1【) 答案】如图，△ A 1 B 1 C 1为所作图形，点A 1，B 1，C 1的坐标分别为(−4,−3)，(2,−2)， (−1,1)； 【解析】利用点平移的规律写出A 1，B 1，C 1的坐标，然后描点可得△A1 B 1 C 1； (2【) 答案】平移后点P的对应点P 1的坐标为(a−3,b−4)； 【解析】利用点平移的规律，平移后的对应点的横坐标减3，纵坐标减4，于是可得 P 1 (a−3,b−4)； 1 1 1 (3【) 答案】△ABC的面积= 4×6− ×6×1− ×3×3− ×4×3 = 10.5． 2 2 2 4 【答案】解：（1）故答案为：（﹣4，3），（3，0），（﹣2，5）， （2）故答案为：（﹣4，﹣3），（2，﹣5）， （3）△ABC的面积为：5×7﹣（2×2）÷2﹣（7×3）÷2﹣（5×5）÷2＝10， 故答案为：10． 5 【答案】(−3,1)，(0,4)；−1 < a < 1且0 < b < 2 【解析】∵A 1的坐标为(3,1)， ∴A 2 (0,4)，A 3 (−3,1)，A 4 (0,−2)，A 5 (3,1)， …， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， 33/136­ ∵2014÷4 = 503余2， ∴点A 2014的坐标与A 2的坐标相同，为(0,4)； ∵点A 1的坐标为(a,b)， ∴A 2 (−b+1,a+1)，A 3 (−a,−b+2)，A 4 (b−1,−a+1)，A 5 (a,b)， …， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵对于任意的正整数n，点A n均在x轴上方， a+1 > 0 −b+2 > 0 ∴ ， ， {−a+1 > 0 { b > 0 解得−1 < a < 1，0 < b < 2． 故答案为：(−3,1)，(0,4)；−1 < a < 1且0 < b < 2． – 6 【答案】(133,√3） 【解析】(100 −1)÷3 = 33， 33×4+1 = 133， −−−−−−−−−−− 22 −(2÷2) 2 = √3 – ． √ – 故顶点A 100的坐标是(133,√3)． – 故答案为：(133,√3）． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 5 讲 一次函数回顾 例题练习题答案 例1 【答案】（1）根据一次函数的定义，得：2−|m| = 1， 解得m = ±1． 又∵m+1 ≠ 0即m ≠ −1， ∴当m = 1，n为任意实数时，这个函数是一次函数； （2）根据正比例函数的定义， 得：2−|m| = 1，n+4 = 0， 解得m = ±1，n = −4， 又∵m+1 ≠ 0即m ≠ −1， ∴当m = 1，n = −4时，这个函数是正比例函数． 练1.1 【答案】（1）C （2）−1 34/136­ 例2 (1【) 答案】二、四；减小 (2【) 答案】B 练2.1 (1【) 答案】C (2【) 答案】B (3【) 答案】a < −1，b ≥ 2 (4【) 答案】C 例3 (1【) 答案】∵正比例函数y = kx经过点(3,−6)， ∴−6 = 3⋅k， 解得：k = −2， ∴这个正比例函数的解析式为：y = −2x； 【解析】利用待定系数法把(3,−6)代入正比例函数y = kx中计算出k即可得到解析式； (2【) 答案】将x = 4代入y = −2x得：y = −8 ≠ −2， ∴点A(4,−2)不在这个函数图象上； 【解析】将A点的横坐标代入正比例函数关系式，计算函数值，若函数值等于−2，则A点在这 个函数图象上，否则不在这个函数图象上； (3【) 答案】∵k = −2 < 0， ∴y随x的增大而减小， ∵x 1 > x 2， ∴y < y ． 1 2 【解析】根据正比例函数的性质：当k < 0时，y随x的增大而减小，即可判断． 练3.1 (1【) 答案】设直线的表达式为y = kx+b， −k+b = 5 把点A、B的坐标代入得： ， {3k+b = −3 解得：k = −2，b = 3， 所以直线表达式为y = −2x+3； 35/136­ 【解析】设直线的表达式为y = kx+b，把点A、B的坐标代入求出k、b，即可得出答案； (2【) 答案】把P (2,a)代入y = −2x+3得：a = −1； 【解析】把P点的坐标代入求出即可； (3【) 答案】∵把x = 0代入y = −2x+3得：y = 3， ∴直线y = −2x+3与y轴的交点D的坐标为(0,3)， 即OD = 3， ∵P (2,−1)， 1 1 9 ∴△AOP的面积=△AOD的面积+△DOP的面积= ×3×1+ ×3×2 = ． 2 2 2 【解析】根据坐标和三角形面积公式求出即可． 例4 【答案】y = 2x−5或y = −2x+5 【解析】当函数过(1,−3)，(4,3)时，得到y = 2x−5； 当函数过(1,3)，(4,−3)时，得到y = −2x+5 练4.1 【答案】9或1 【解析】当函数过(−3,1)，(1,9)时，得到y = 2x+7； 当函数过(−3,9)，(1,1)时，得到y = −2x+3 例5 【答案】 解：（1）当y＝−3x+3＝0时，x＝1， ∴D(1,0)． （2）设直线l 2的解析表达式为y＝kx+b(k ≠ 0)， 3 把A(4,0)、B 3,− 代入表达式y＝kx+b， ( 2) 4k+b = 0 k = 3 ，解得： 2 ， { 3k+b = −3 {b = −6 2 3 ∴直线l 2的解析表达式为y = x−6． 2 3 （3）联立y＝−3x+3和y = x−6， 2 解得：x＝2，y＝−3， ∴C (2,−3)， 1 9 ∴S ADC = ×3×|−3| = ． Δ 2 2 练5.1 【答案】解：（1）将A(m,2)代入y＝2x， 得：2＝2m， 则m＝1； 将A(1,2)和B(−2,−1)代入 y＝kx+b中， k+b = 2 得： ， {−2k+b = −1 36/136­ k = 1 解得： ， {b = 1 则解析式为y＝x+1； （2）在y＝x+1中，当x＝0时，y＝1， 则C点坐标为(0,1)； （3）当y＝0时，x＝−1，即OD＝1， 1 所以S AOD = ×1×2＝1． Δ 2 【解析】（1）∵正比例函数y = 2x的图象与一次函数y = kx+b的图象交于点A(m,2)， ∴ 2m = 2， m = 1． 把(1,2)和(−2,−1)代入y = kx+b，得 k+b = 2 ， {−2k+b = −1 解得 k = 1 ， {b = 1 则一次函数解析式是y = x+1； （2）令x = 0，则y = 1，即点C(0,1)； （3）令y = 0，则x = −1． 1 则ΔAOD的面积= ×1×2 = 1． 2 例6 (1【) 答案】①y = 2x−5 ② y = 2x−5③ y = 2x+6 【解析】①y = 2x−1−4 ②y = 2(x−2)−1 ③y = 2(x+3)−1+1 (2【) 答案】k = 2；b = 0 【解析】由题意知y = k(x+1)+b+3 = 2x+5 kx = 2x 得 {b+3+k = 5 可求出k，b的值 2 (3【) 答案】k = − ，不能确定b的值 3 【解析】kx+b = k(x+3)+b+2 3k+2 = 0 2 解得k = − 3 37/136­ 练6.1 (1【) 答案】①y = −3x−1 ②y = −3x+7 ③y = −3x+5 (2【) 答案】3 ，−3 (3【) 答案】1 例7 (1【) 答案】y = −x+1 (2【) 答案】y = −3x−1 (3【) 答案】y = −2x+1 练7.1 (1【) 答案】y = 2x−3 (2【) 答案】y = x+2 (3【) 答案】y = x+3 能力强化 / 初二 / 秋季 第 5 讲 一次函数回顾 自我巩固答案 1 【答案】B 2 【答案】B 【解析】（1）y =π x是一次函数； （2）y = 2x−1是一次函数； 1 （3）y = 是反比例函数，不是一次函数； x （4）y = 2−3x是一次函数； （5）y = x2 −1是二次函数，不是一次函数． 是一次函数的有3个． 38/136­ 故选：B． 3 【答案】D 4 【答案】A 【解析】解:由图象知: ∵函数y = kx的图象经过第一、三象限, ∴ k > 0. 故选A. 5 【答案】C 【解析】解：A、当x = −2时，y = −2×(−2)+1 = 5 ≠ 1，故图象不经过点(−2,1)，故此 选项错误； B、y随x的增大而减小，故此选项错误； y −1 1 C、由y = −2x+1可得x = − ，当x > 时，y < 0，故此选项正确； 2 2 D、k = −2 < 0，b = 1经过第一、二、四象限，故此选项错误； 故选：C． 6 (1【) 答案】∵一次函数y = kx+b的图象平行于直线y = −3x， ∴k = −3， ∴y = −3x+b 把点(2,−3)代入得，−3 = −3×2+b， 解得b=3， 所以，一次函数的解析式为，y = −3x+3； 【解析】根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把经过的点的坐标代入解析式计算求 出b值，即可得解； (2【) 答案】当y = 6时，−3x+3 = 6， 解得x = −1． 【解析】把y = 6代入解析式，计算即可求出x的值． 7 【答案】 解：（1）设该一次函数的解析式为y＝kx+b， −2k+b = 7 根据题意，得： ， {2k+b = −1 k = −2 解得： ， {b = 3 ∴这个一次函数解析式为y＝−2x+3； （2）在这个一次函数解析式y＝−2x+3中， 当x＝0时，y＝3， ∴该函数图象与y轴交于点(0,3)； 当y＝0时，−2x+3＝0， 39/136­ 3 解得：x = ， 2 3 ∴该函数图象与x轴交于点 ,0 ． (2 ) 8 【答案】（1）y = 3x+6； （2）y = 3x+2； （3）y = 3x−4. 【解析】（1）y = 3(x+2)； （2）y = 3x+2； （3）y = 3(x−3)+5 . 3 3 9 【答案】（1）y = x+3；（2）y = − x+3 4 4 10 (1【) 答案】k = 1,b = 2 (2【) 答案】y = −x+1 能力强化 / 初二 / 秋季 第 5 讲 一次函数回顾 课堂落实答案 1 【答案】A 【解析】A、y = −8x是正比例函数，故本选项正确； −8 B、y = ，自变量x在分母上，不是正比例函数，故本选项错误； x C、y = 5x2 +6，自变量x的指数是2，不是1，不是正比例函数，故本选项错误； D、y = −0.5x−1，是一次函数，不是正比例函数，故本选项错误． 故选：A． 2 【答案】B 【解析】解：∵k＜0，b＜0， ∴一次函数图象在二、三、四象限． 故选：B． 3 【答案】解：（1）由图象可得： 直线与x轴的交点坐标为(−2,0)，与y轴的交点坐标为(0,1)， 40/136­ 所以可得：当x = 0时，y = 1；当y = 0时，x = −2， 故答案为1；−2； （2）设直线解析式为y = kx+b， −2k+b = 0 把(−2,0)(0,1)代入解析式可得： ， { b = 1 k = 1 解得： 2 ． { b = 1 1 所以解析式为：y = x+1． 2 【解析】（1）根据图象得出直线与x，y轴的交点坐标解答即可； （2）将交点坐标代入解析式，利用待定系数法得出解析式即可． 4 【答案】B 【解析】解 ： 一 次 函 数 y = 2x−3向 下 平 移 3 个 单 位 长 度 得 到 的 函 数 解 析 式 为 y = 2x−3−3 = 2x−6． 故选：B． 5 【答案】A 能力强化 / 初二 / 秋季 第 5 讲 一次函数回顾 精选精练 1 【答案】解 ： （ 1 ） ∵y = 3x中 k = 3 > 0， y = x−4中 k = 1 > 0， y = 3x+6中 ， k = 3 > 0， ∴这几个一次函数中，函数值y随x的增大而增大． 故答案为：A、B、D； （2）∵五个函数中只有y = x−4与y = −5x−4与y轴的交点均为(0,−4)， ∴这两个一次函数图象的交点都在y轴上． 故答案为：B与C； （3）∵直线y = 3x与y = 3x+6中k的值相同，y = −5x−4与y = −5x+1中k的值 相同， ∴两条直线互相平行． 故答案为：A与D，C与E． 41/136­ 【解析】（1）根据一次函数中k的符号进行判断即可； （2）根据直线与y轴的交点进行解答； （3）根据一次函数中k的值即可作出判断． 2 【答案】（1）解：设y −3 = k(4x−2)(k ≠ 0)， 把x = 1，y = 5代入，得 5−3 = k(4×1−2)， 解得k = 1， 则y与x之间的函数关系式是y = 4x+1； （2）由（1）知，y = 4x+1． 当x = −2时，y = 4×(−2)+1 = −7． 即当x = −2时的函数值是−7． 【解析】（1）根据正比例函数的定义设出函数解析式，再把当x = 1时，y = 5代入求出k的值； （2）把x = −2代入（1）中的解析式进行计算即可． 3 (1【) 答案】设一次函数的表达式为y = kx+b， −3 = −2k+b 则 ，解得：k = 2，b = 1． {3 = k+b ∴函数的解析式为：y = 2x+1． (2【) 答案】将点P (−1,1)代入函数解析式，1 ≠ −2+1， ∴点P不在这个一次函数的图象上． 1 (3【) 答案】当x = 0，y = 1，当y = 0，x = − ， 2 1 ∣ 1∣ 1 此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积为： ×1×∣− ∣= ． 2 ∣ 2∣ 4 4 【答案】在 y = 2x−5m 中,令 y = 0, 5 得 x = m, 2 5 由题意可知:−1 ⩽ m ⩽ 4, 2 2 8 ∴ − ⩽ m ⩽ , 5 5 2 8 即 m 的取值范围是 − ⩽ m ⩽ . 5 5 5 (1【) 答案】c < b < a 42/136­ (2【) 答案】C 6 (1【) 答案】y = x−7 (2【) 答案】y = 4x−3 (3【) 答案】y = 2x−1． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 6 讲 一次函数进阶 例题练习题答案 例1 (1【) 答案】当0 ≤ x < 18时，设y = kx， 由题意45 = 18k，解得k = 2.5． ∴y = 2.5x． 【解析】根据图象利用待定系数法求出0 ≤ x < 18时的解析式即可； 18k′ +b = 45 (2【) 答案】 当x ≥ 18时，设y = k′x+b，由题意 {28k′ +b = 75 k′ = 3 解得 {b = −9 ∴y = 3x−9 当y = 81时，3x−9 = 81， 解得，x = 30， 所以这个月用水量为30立方米. 【解析】根据条件列出方程即可解决问题． 练1.1 (1【) 答案】由函数图象，得 450 ÷3 = 150（元） 故答案是：150． 【解析】根据函数图象由总租金÷租期就可以得出每天的租金； 43/136­ (2【) 答案】设BC的解析式为y = kx+b，由函数图象，得 810 = 6k+b ， {1440 = 9k+b k = 210 解得： ， {b = −450 ∴y与x之间的函数关系式为：y = 210x−450(6 ≤ x ≤ 9)； 【解析】直接运用待定系数法就可以求出y与x之间的函数关系式； (3【) 答案】设乙租这款车a(6 < a < 9)天，就有甲租用的时间为(9−a)天，由题意，得 ∴甲的租金为150(9−a)， 乙的租金为210a−450， ∴210a−450 −150(9−a) = 720， 解得：a = 7． 答：乙租这款汽车的时间是7天． 【解析】设乙租这款车a天，就有甲租用的时间为(9−a)天，分别表示出甲乙的租金从而建立 方程求出其解即可． 例2 【答案】 解：（1）由图可知，A、B港口间的距离为25，B、C港口间的距离为60， 所以，A、C港口间的距离为：25+60＝85km， 海巡船的速度为：25÷0.5＝50km/h， ∴a＝85÷50＝1.7h． 故答案为：85，1.7h； （2）当0 ≤ x ≤ 0.5时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b， ∵函数图象经过点（0，25），（0.5，0）， b = 25 ∴ ， {0.5k+b = 0 k = −50 解得 ． {b = 25 所以，y＝﹣50x+25； 当0.5＜x≤1.7时，设y与x的函数关系式为：y＝mx+n， ∵函数图象经过点（0.5，0），（1.7，60）， 0.5m+n = 0 ∴ ， {1.7m+n = 60 m = 50 解得 ． {n = −25 所以，y＝50x﹣25； p（0.5，0）表示经过0.5h海巡船到达B岛 （3）由﹣50x+25＝15， 44/136­ 解得x＝0.2， 由50x﹣25＝15， 解得x＝0.8． 所以，该海巡船能接收到该信号的时间为：0.6h． 【解析】（2）0 ≤ x ≤ 0.5 时，过(0,25)，(0.5,0)， 解得y = −50x+25(0 < x ≤ 0.5) 0.5 < x ≤ 1.7 时，过(0.5,0)，(1.7,60)， 解得y = 50x−25(0.5 < x ≤ 1.7) 练2.1 【答案】C 【解析】（2）（3）（4）对 4 例3 【答案】解：（1）∵30﹣15＝15，4÷15= ， 15 4 ∴小明在图书馆查阅资料的时间和小明返回学校的速度分别是15分钟， 千米/分钟． 15 （2）由图象可知，s是t的正比例函数 设所求函数的解析式为s＝kt（k≠0） 代入（45，4），得 4＝45k 4 解得k= ， 45 4 故s与t的函数关系式s= t（0≤t≤45）． 45 （3）由图象可知，小明在30≤t≤45的时段内s是t的一次函数，设函数解析式为 s＝mt+n（m≠0） 30m+n = 4 代入（30，4），（45，0），得 ， {45m+n = 0 m = − 4 解得 15 ． {n = 12 4 ∴s= − t+12（30≤t≤45） 15 4 4 135 令− t+12= t，解得t= 15 45 4 135 4 135 当t= 时，S= × =3． 4 45 4 答：当小明和小红迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米． 练3.1 【答案】C 例4 (1【) 答案】解:高铁的速度为:300 ÷1.5 = 200(km/h), 动车的速度为:300 ÷2 = 150(km/h). 45/136­ (2【) 答案】设高铁的函数解析式为:y = kt +b, 1 把(0,300),(1.5,0)代入y = kt +b得: 1 b = 300 { , 1.5k+b = 0 k = −200 解得:{ , b = 300 则y = −200t +300(0 ≤ t ≤ 1.5), 1 动车的函数解析式为:y = 150t(0 ≤ t ≤ 2), 2 当动车与高铁相遇时,即−200t +300 = 150t 6 解得:t = . 7 6 答:动车出发 小时与高铁相遇; 7 练4.1 (1【) 答案】120 2 (2【) 答案】设y 1 = k 1 x+120， 代入(2,0)解得y = −60x+120(0 ≤ x ≤ 2)， 1 y 2 = k 2 x+90， 代入(3,0)解得y = −30x+90(0 ≤ x ≤ 3)， 1 由−60x+120 = −30x+90 解得x = 1，则y = y = 60， 1 2 所以P (1,60)，表示经过1小时甲与乙相遇且距C村60km. (3【) 答案】当y −y = 10， 1 2 即−60x+120 −(−30x+90) = 10 2 解得x = ， 3 当y −y = 10， 2 1 即−30x+90−(−60x+120) = 10 4 解得x = ， 3 当甲走到C地，而乙距离C地10km时， −30x+90 = 10 8 解得x = ; 3 2 4 8 综上所知当x = h，或x = h，或x = h乙距甲10km. 3 3 3 46/136­ 例5 (1【) 答案】y = 4000x(x ≥ 0)； 1 y = 3000x+4000(x ≥ 0)； 2 【解析】根据题意可以直接得到y 与y 的函数关系式； 1 2 (2【) 答案】由4000x = 3000x+4000，解得x = 4， 因此当学校添置4台计算机时，两种方案的费用相同； 【解析】构建方程即可解决问题 (3【) 答案】当x = 50时，y = 4000×50 = 200000； 1 y = 3000×50+4000 = 154000， 2 因为154000 < 200000，所以采用方案2较省钱． 【解析】分别求出x = 50时的函数值即可判断． 练5.1 (1【) 答案】当游泳次数为x时， 方式一费用为：y ＝30x+200(x ≥ 0) ， 1 方式二的费用为：y ＝40x(x ≥ 0)； 2 【解析】根据题意列出函数关系式即可； (2【) 答案】由y ＜y 得：30x+200＜40x， 1 2 解得x＞20， 当x＞20时，选择方式一比方式二省钱． 【解析】根据（1）中的函数关系式列不等式即可得到结论． 例6 (1【) 答案】解:设甲库运往A地水泥x吨,则甲库运到B地(100 −x)吨， 乙库运往A地(70−x)吨，乙库运到B地[80−(70−x)] = (10+x)吨. 根据题意得: w = 12×20x+10×25(100 −x)+12×15(70−x)+8×20(10+x) = −30x+39200(0 ⩽ x ⩽ 70). ∴总运费w(元)关于x(吨)的函数关系式为w = −30x+39200(0 ⩽ x ⩽ 70). ∵一次函数中w = −30x+39200中,k = −30 < 0 ∴ w的值随x的增大而减小 ∴当x = 70吨时,总运费w最省,最省的总运费为:−30×70+39200 = 37100(元) 47/136­ 答:从甲库运往A地70吨水泥,往B地运送30吨水泥,从乙库运往B地80吨水泥时,总运 费最省为37100元. (2【) 答案】解：因为运费不能超过38000元， 所以w = −30x+39200 ≤ 38000， 所以x ≥ 40. 又因为40 ≤ x ≤ 70， 所以满足题意的x值为40,50,60,70， 所以总共有4种方案. 练6.1 【答案】（1）设乙镇运往A村机器x台，则甲镇运往A村机器(3−x)台，乙镇运往B村机器 (4−x)台，甲镇运往B村机器(2+x)台． 则总运费：W = 30(3−x)+20x+70(2+x)+40(4−x) = 390 +20x （0 ≤ x ≤ 3） （2）由题意得： W = 390 +20x ≤ 430 解得：x ≤ 2 又因为0 ≤ x ≤ 3 所以共有3种方案 方案1：设乙镇运往A村机器0台，则甲镇运往A村机器3台，乙镇运往B村机器4台，甲镇 运往B村机器2台． 方案2：设乙镇运往A村机器1台，则甲镇运往A村机器2台，乙镇运往B村机器3台，甲镇 运往B村机器3台． 方案3：设乙镇运往A村机器2台，则甲镇运往A村机器1台，乙镇运往B村机器2台，甲镇 运往B村机器4台． （3）其中方案1运费最少，为390元． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 6 讲 一次函数进阶 自我巩固答案 1 【答案】解：（1）设3月n日是最后一天销售量增加的日期， 48/136­ 10+25(n−1) = 15(31−n，) 解得，n = 12， 故答案为：12； （2）由（1）得， 当1 ≤ n ≤ 12时，p = 10+25(n−1) = 25n−15， 当12 < n ≤ 31时，p = 15(31−n) = −15n+465； （3）当1 ≤ n ≤ 12时，令25n−15 > 150，得n >7， ∴应从7日起算，此段时间流行期为： 12−7+1 = 6， 当12 < n ≤ 31时，令−15n+465 > 150，解得，n < 21， 故此段流行期为：20−12 = 8， ∴8+6 = 14， 所以该品牌衬衣本月在市面的流行期是14天． 2 (1【) 答案】解:根据题意得:y = 45x+(50−x)×30, y = 15x+1500， 需甲布料0.5x+0.9(50−x) ⩽ 38, 需乙布料x+0.2(50−x) ⩽ 26, ∴ 17.5 ⩽ x ⩽ 20; ∵ x是整数,则x可取18、19、20. (2【) 答案】y = 15x+1500图象成直线,是增函数, ∴当x取最大值20时,y有最大值, 即y = 15×20+1500 = 1800. 该服装厂在生产这批服装中,当生产L号20套,M型号的30套,所获利润最多,最多是 1800元. 3 (1【) 答案】200米 【解析】从图象可以知道，2分钟时小文返回家，在家一段时间后，5分钟又开始回学校，10 分钟到达学校． (2【) 答案】设直线AB的解析式为：y = kx+b 由图可知：A(5,0)，B(10,1000) 49/136­ 5k+b = 0 ∴ {10k+b = 1000 k = 200 解得 {b = −1000 ∴直线AB的解析式为：y = 200x−1000(5 ≤ x ≤ 10)； (3【) 答案】当x = 8时，y = 200 ×8−1000 = 600（米） 即x = 8分钟时，小文离家600米． 4 (1【) 答案】1.9； 【解析】由于线段AB与x轴平行，故自3时到4.9时这段时间内甲组停留在途中，所以停留的时 间为1.9时； (2【) 答案】设直线EF的解析式为y = kx+b， 1 ∵点E(1.25,0)、点F (7.25,480)均在直线EF上， 1.25k+b = 0 ∴ ， {7.25k+b = 480 k = 80 解得 {b = −100 ∴直线EF的解析式是y = 80x−100(1.25 ≤ x ≤ 7.25) 1 ∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6， ∴点C的纵坐标为80×6−100 = 380； ∴点C的坐标是(6,380)； 设直线BD的解析式为y = mx+n； 2 ∵点C (6,380)、点D(7,480)在直线BD上， 6m+n = 380 ∴ ； {7m+n = 480 m = 100 解得 ； {n = −220 ∴BD的解析式是y = 100x−220(4.9 ≤ x ≤ 7)； 2 ∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y ，得B(4.9,270)， 2 ∴甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米． 【解析】观察图象可知点B的纵坐标就是甲组的汽车在排除故障时距出发点的路程的千米数， 所以求得点B的坐标是解答（2）题的关键，这就需要求得直线EF和直线BD的解析 式，而EF过点(1.25,0)，(7.25,480)，利用这两点的坐标即可求出该直线的解析 式，然后令x = 6，即可求出点C的纵坐标，又因点D(7,480)，这样就可求出CD 即BD的解析式，从而求出B点的坐标； 50/136­ (3【) 答案】符合约定； 由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远． 在点B处有y −y = 80×4.9−100 −(100 ×4.9−220) = 2千2 米< 25千米， 1 2 在点D有y −y = 100 ×7−220 −(80×7−100) = 2千0米< 25千米， 2 1 ∴按图象所表示的走法符合约定． 【解析】由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远，在点B处时，x = 4.9，求 出此时的y −y ，在点D有x = 7，也求出此时的y −y ，分别同25比较即可． 1 2 2 1 5 (1【) 答案】根据函数图象可知，B出发时与A相距10千米， 故答案为：10； 【解析】根据函数图象可以直接看出B出发时与A相距的路程； (2【) 答案】根据函数图象可知，走了一段路后，自行车发生故障进行修理，所用的时间是 1.5−0.5 = 1小时， 故答案为：1； 【解析】根据函数图象可以得到走了一段路后，自行车发生故障进行修理所用的时间； (3【) 答案】3 (4【) 答案】根据函数图象可知直线l A经过点(0,10)，(3,25)． b = 10 设直线l A的解析式为：S = kt +b，则 {3k+b = 25 解得，k = 5，b = 10 即A行走的路程S与时间t的函数关系式是：S = 5t +10(t ≥ 0)； 【解析】根据直线l A经过点(0,10)，(3,25)可以求得它的解析式； (5【) 答案】设直线l B的解析式为：S = kt， ∵点(0.5,7.5)在直线l B上， ∴7.5 = k×0.5 得k = 15 ∴S = 15t． S = 5t +10 ∴ {S = 15t 解得S = 15，t = 1． 故若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，1小时时与A相遇． 【解析】根据函数图象可以求得l B的解析式与直线l A联立方程组即可求得相遇的时间． 51/136­ 6 【答案】B 【解析】设当4 ≤ x ≤ 12时的直线方程为： y = kx+b(k ≠ 0)． ∵图象过(4,20)、(12,30)， 20 = 4k+b ∴ ， {30 = 12k+b k = 5 解得： 4 ， {b = 15 5 ∴y = x+15 (4 ≤ x ≤ 12)； 4 把x = 8代入解得：y = 10+15 = 25， 故选：B． 7 (1【) 答案】l1是描述小凡的运动过程． 理由：因为小凡在路边超市买了一些学习用品，需要停留一段时间，此时间段小凡距 学校的路程没有变化，所以l1是描述小凡的运动过程． 【解析】根据小凡在中途停留一段时间，结合函数图象即可得出结论； (2【) 答案】观察两函数图象，发现：小凡先出发，比小光先出发了10分钟． 【解析】观察函数图象的t（时间）轴，根据出发时间不同即可得出结论； (3【) 答案】60−50 = 10（分钟）， 所以小光先到达图书馆，比小凡先到了10分钟． 【解析】当s=5千米时，将两函数对应的t（时间）做差，即可得出结论； 60−30 (4【) 答案】小凡的平均速度为：5÷ = 10（千米/小时）， 60 40 小光的平均速度为：5÷ = 7.5（千米/小时）． 60 答：小凡从学校到图书馆的平均速度是10千米/小时，小光从学校到图书馆的平均速 度是7.5千米/小时． 【解析】根据“速度=路程÷时间”结合两函数图象，即可求出小凡与小光的速度． 8 【答案】解：（1）设招聘甲工种工人x名，则设招聘乙工种工人(150 −x)名， 150 −x ≥ 2x 依题意得： ， {x ≥ 0 解得：0 ≤ x ≤ 50； 设每月所支付工人工资y元，则 y = 600x+1000(150 −x) = −400x+150000(0 ≤ x ≤ 50)； 52/136­ （2）因为k = −400 < 0，所以一次函数y随x的增大而减少， 所以当x = 50时，y有最少值 y = −400x+150000 = −400 ×50+150000 = 130000（元）， 故招聘甲工种工人50名，则招聘乙工种工人(150 −50) = 100（名）， 答：招聘甲、乙工种工人各50名，100名，支付工人工资的最少值为130000元． 【解析】（1）根据题中不等关系是：甲、乙两种工种的工人共150人，乙工种的人数不少于甲工种 人数的2倍，据此列出不等式组并解答， （2）利用一次函数的增减性求出总工资最少时甲、乙工种的工人数． 9 (1【) 答案】解:由题意可得, w = 400(10−x)+800(2+x)+300x+500(6−x) = 200x+860.0 10−x ⩾ 0 由 ⎧ ⎪ ⎪ 2+x ⩾ 0 解得0 ⩽ x ⩽ 6. ⎨ x ⩾ 0 ⎩ ⎪ ⎪ 6−x ⩾ 0 (2【) 答案】由题意200x+8600 ⩽ 9000, 解得x ⩽ 2, ∴ x = 0或1或2 ∴有三种调运方案:①B市运往C市的联合收割机为0台,B市运往D市的联合收割机为 6台,A市运往C市的联合收割机为10台,A市运往D市的联合收割机为2台; ②B市运往C市的联合收割机为1台,B市运往D市的联合收割机为5台,A市运往C市的 联合收割机为9台,A市运往D市的联合收割机为3台; ③B市运往C市的联合收割机为2台,B市运往D市的联合收割机为4台,A市运往C市的 联合收割机为8台,A市运往D市的联合收割机为4台. (3【) 答案】∵ w = 200x+8600, ∵ 200 > 0, ∴ w随x的增大而增大, ∵ 0 ⩽ x ⩽ 6, ∴ x = 0时,w最小,最小值为8600元. 10 【答案】解：（1）30元； （2）设y = kt +b 过(400,30)，(500,70)， 53/136­ 代入解得y = 0.4t −130(t > 400)． 30(0 ≤ t ≤ 400) （3）甲公司：y = ， {0.4t −130(t > 400) 2×0+0.1×1+0.9×1 t 乙公司：y = 50+ t = 50+ (t ≥ 0) 4 4 t 由于t > 400，0.4t −130 ≥ 50+ ， 4 解得t ≥ 1200， t不少于1200分钟时，乙通讯公司比甲公司更合算． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 6 讲 一次函数进阶 课堂落实答案 1 【答案】D 【解析】根据函数图象可得： 明明骑自行车去上学时，上坡路为1千米， 1 速度为1÷6 = 千米/分， 6 下坡路程为3−1 = 2千米， 1 速度为2÷(10−6) = 千米/分， 2 放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时， 1 1 上坡路程为2千米，速度为 千米/分，下坡路程为1千米，速度为 千米/分， 6 2 1 1 因此走这段路所用的时间为2÷ +1÷ = 14分． 6 2 故选：D． 2 【答案】C 【解析】A项，由图①中y关于t的图象知第30天，销售量为150件． 0 ≤ t ≤ 24时，y = kt +b，知(0,100)，(24,200)在图象上， 25 b = 100 k = 可得 得⎧ 6 ． {200 = 24k+b ⎨b = 100 ⎩ 25 ∴y = t +100． 6 当y = 150时，t = 12．故A对． B项，设0 < t < 20时，z = kt +b， 由图②知(0,25)和(20,5)在其图象上， 54/136­ b = 25 k = −1 可得： ，得 ， {5 = 20k+b {b = 25 故z = −t +25． t = 10时，z = 15．故B对． C项，由图②知，第1天到第20天销售利润逐渐减少．故C错． D项，由图①知，t = 18时，y = 175件． 图②知，t = 18时，z = 7． 所以日销售利润175 ×7 = 1225元．故D对． 3 【答案】B 【解析】解：根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160 −60 = 100平方米， 每小时绿化面积为100 ÷2 = 50（平方米）． 故选：B． 4 【答案】A 【解析】由函数图象及题意可以得出： 甲车的速度为： 11 15÷ 4− = 45km/时，故①错误； ( 3 ) A、B两地的路程为：45×4 = 180km，故②错误； 8 2 乙车追上甲车的时间是 − = 2小时，故③正确； 3 3 乙车由A地去B地的时间为： 11 2 − = 3小时，故④错误． 3 3 综上所述，正确的有1个． 故选：A． 5 【答案】C 能力强化 / 初二 / 秋季 第 6 讲 一次函数进阶 精选精练 1 (1【) 答案】设甲在休息前到侧门的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系式为： y = kx+b ， 55/136­ ∵点(0,15) 和点(1,10) 在此函数的图象上， 15 = b ∴ {10 = k+b 解得k = −5 ，b = 15 ． ∴y = −5x+15(0 ≤ x ≤ 1.2)． 即甲在休息前到侧门的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系式为： y = −5x+15(0 ≤ x ≤ 1.2)． 【解析】根据函数图象可知点(0,15)和点(1,10)在甲在休息前到侧门的路程y（km）与出发时 间x（h）之间的函数图象上，从而可以解答本题； (2【) 答案】设乙骑自行车从侧门匀速前往正门对应的函数关系式y = kx ， 将(1,15)代入可得k = 15 ， ∴乙骑自行车从侧门匀速前往正门对应的函数关系式y = 15x(0 ≤ x ≤ 1)， y = −5x+15 ∴ { y = 15x 解得x = 0.75 ． 即第一次相遇时间为0.75 h． 【解析】根据函数图象可以分别求得甲乙刚开始两端对应的函数解析式，联立方程组即可求得 第一次相遇的时间； (3【) 答案】乙回到侧门时，甲到侧门的路程是7km． 【解析】设甲休息了0.6小时后仍按原速继续行走对应的函数解析式为：y = kx+b． 将x = 1.2代入y = −5x+15得，y = 9． ∵点(1.8,9)，(3.6,0)在y = kx+b上， 1.8k+b = 9 ∴ ， {3.6k+b = 0 解得k = −5，b = 18． ∴y = −5x+18(1.8 ≤ x ≤ 3.6)． 将x = 2.2代入y = −5x+18，得y = 7． 即乙回到侧门时，甲到侧门的路程是7km． 2 【答案】D 3 (1【) 答案】由题意，可知96t+s 2 = 2400， 即s 2 = −96t +2400(0 ≤ t ≤ 25)． (2【) 答案】由题意，可知A(10,2400)，B(12,2400)，D(22,0)． 56/136­ 设直线BD的函数关系式为s 1 = kt +b， 12k+b=2400 k=−240 ∴ ∴ {22k+b = 0 {b = 5280 ∴s 1 = −240t +5280(12 ≤ t ≤ 22)． 当s 1 = s 2时，−240t +5280 = −96t +2400． 解得t = 20． ∴小明从家出发，经过20分钟在返回途中追上爸爸． 4 【答案】B 5 (1【) 答案】解:图2能反映y与x之间的函数关系,从图中可以看出存入的本金是100元 一年后的本息和是102.25元; (2【) 答案】设y与x的关系式为:y = nx+100, 把(1,102.25)代入上式得n = 2.25, ∴ y = 2.25x+100, 当x = 2时,y = 2.25×2+100 = 104.5元, 所以两年后的本息和为104.5元. 6 (1【) 答案】10 50 (2【) 答案】解：由表格可得， 当0 < t ≤ 25时，y = 7， A 当t > 25时，y = 7+(x−25)×0.01×60 = 0.6x−，8 A 7 0 < x ≤ 25 即y 与x之间的函数关系式是y = A A { 0.6x−8 x > 25 (3【) 答案】某同学每月上网学习时间为70小时,那么选择B种方式上网学习合算; 理由:设当x > 50时,y 与x之间的函数关系式是y = kx+b, B B 50k+b = 10 { , 75k+b = 25 k = 0.6 得{ , b = −20 ∴当x > 50时,y B 与x之间的函数关系式是y B = 0.6x−20, ∴当x = 70时,y A = 0.6×70−8 = 34, 当x = 70时,y = 0.6×70−20 = 22, B 57/136­ ∵ 34 > 22, ∴某同学每月上网学习时间为70小时,那么选择B种方式上网学习合算. 能力强化 / 初二 / 秋季 第 7 讲 阶段自检A 期中试卷答案 1 【答案】D 2 【答案】B 【解析】如图，∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°． 又∵AB=17，BD=15，DC=6， 2 2 2 ∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD =AB ﹣BD =64． 在直角△ACD中，由勾股定理得到：AC= = =10，即AC=10． 3 【答案】C 【解析】非同类二次根式无法合并，故A选项错误； – – 2√2×3√2 = 12，故B选项错误； – – – 3√2−√2 = 2√2，故D选项错误； 故答案为C． 4 【答案】B 5 【答案】A 6 【答案】A 7 【答案】B 8 【答案】D 9 【答案】B 【解析】解：∵A(−1,−1)平移后得到点A′ 的坐标为(3,−1)， ∴向右平移4个单位， ∴B(1,2)的对应点坐标为(1+4,2)， 即(5,2)． 10 【答案】A 11 【答案】x ≥ 1 58/136­ 【解析】 12 【答案】5 13 【答案】−2 14 【答案】5 15 【答案】5或−7 16 【答案】a > 4或a < −4 – 17 【答案】6+√6 4 12 4 12 18 【答案】(16 , )；(8068 , ) 5 5 5 5 19 – – (1【) 答案】√3−1，1−√3； (2【) 答案】①√3 − − −− 6 − 4 −|−3|−(−1) 2017 +√4 – = −4−3+1+2 = −4， −− −− – – ②√327 −√81 +|√3−2|+(5−√7) – – = 3−9+(2−√3)+5−√7 – – = 1−√3−√7 (3【) 答案】B −− (4【) 答案】∵3 < √11 < 4， −− ∴−2 < √11 −5 < −1， −− ∴[√11 −5] = −2，故答案为：−2． 20 【答案】解：（1）(−1,0)或(9,0) 1 5 （2）S ΔABC = AC ⋅|y| = |y| = 10， 2 2 故|y| = 4，y = ±4， 点B的坐标为(3,4)或(3,−4) 21 【答案】 解：（1）证明，由题意可得： B′F = BF，∠B′FE = ∠BFE 在矩形ABCD中， ∵AD∥BC，∴ ∠B′EF = ∠BFE ∴ ∠B′FE = ∠B′EF，∴ B′F = B′E ∴ B′E = BF （2）B′E = BF = 6，A′E = AE = 2， 59/136­ 在ΔA′B′E中，∠A = 90∘ ， ∴ A′E2 +A′B′2 = B′E2 ∴ A′B′2 +22 = 62 – ∴ DC = AB = A′B′ = 4√2 22 【答案】解：由题意可得:∠AOB=90°， −− −− OB=10√15×5=50√15(海里)， −− −− OA=10√10×5=50√10(海里)， −−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−− 由勾股定理得:AB= OB2 +OA2 = (50√ − 1 − 5) 2 +(50√ − 1 − 0) 2 =250(海里)， √ √ 所以下午1时两轮船相距250海里． 23 【答案】解：（1）y = −x+5； （2）(3,2)； （3）x ≥ 3． 【解析】该题考查的是一次函数的性质． （1）将点A(5,0)，B(1,4)，代入y = kx+b中，解得 ∴直线AB解析式为y = −x+5 （2）联立 ，解得 ，所以两直线交点坐标为(3,2) （3）由（1）得，kx+b = −x+5，代入不等式， 2x−4 ≥ −x+5，解得x ≥ 3． 24 【答案】解：(1)2；(0,3)（2分） (2)∵当t=3时，AP=1×3=3， ∴OP=OA+AP=1+3=4， ∴点P的坐标是(0,4)． 把(0,4)代入y=-x+b，得b=4， ∴y=-x+4；（1分） (3)当直线y=-x+b过M(3,2)时，2=-3+b， 解得b=5，5=1+t ，解得t =4， 1 1 当直线y=-x+b过N(4,4)时，4=-4+b， 解得b=8，8=1+t ，解得t =7， 2 2 t -t =7-4=3秒；（2分） 2 1 (4)(4,0)或(-4,0)（2分） 提示：设点Q的坐标为(x,0)， 60/136­ ∵S =8， △ONQ 1 ∴ |x|•4=8， 2 解得x=±4， ∴点Q的坐标是(4,0)或(-4,0)． 25 【答案】（1）如图1（其余正确位置也给分）； （2）8、1；7、4,；线段如图2两条实线； （3）6.5．（仿照材料中所给的方法，可构造如图的虚线所示三角形） 26 【答案】−1 ≤ m ≤ 2 27 【答案】Q；(−4,0)． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 8 讲 二元一次方程组 例题练习题答案 x=7， 例1 【答案】 {y=1. 5x+y=36，① 【解析】 解：原方程组可化为： { −x+9y=2.② ②×5+①得：46y=46， y=1， 把y=1代入①得：x=7． x=7， ∴ {y=1. 练1.1 3x+2y = 7，① (1【) 答案】 解： {6x−2y = 11.② 61/136­ ①+②得:9x = 18,即x = 2, 1 把x = 2代入①得:y = , 2 x = 2， 则方程组的解为⎧ 1 ⎨ y = . ⎩ 2 y = 2x−3，① (2【) 答案】 解： {3x+2y = 8.② 把①代入②得:3x+4x−6 = 8, 即x = 2, 把x = 2代入①得:y = 1, x = 2, 则方程组的解为 { y = 1. x = −1， x = 2， 例2 【答案】 （1） （2） {y = −2； {y = −3； 6 x = ， ⎧⎪ 13 x = 20， （3）⎪ （4） 35 {y = −6. ⎨y = ； ⎩⎪ ⎪ 13 练2.1 x = 2 (1【) 答案】 {y = −1 1 (2【) 答案】 x = ⎧⎪ 5 ⎪ 11 ⎨y = ⎩⎪ ⎪ 5 x = 2 (3【) 答案】 x = 18 ①⎧ 4 ； ② ⎨ y = − {y = 6 ⎩ 3 例3 【答案】202 3210 12x+23y = 1234，① 【解析】 解：原式： { 34x+45y = 5678② ②−①得；22x+22y = 4444， ∴22(x+y) = 4444． ∴x+y = 202． ②−①×2得：10x−y = 3210． 练3.1 【答案】0 2x−y = −3，① 【解析】 { x+4y = 3② 由①+②得，3x+3y = 0③， 62/136­ ∴x+y = 0． 故答案为0. 例4 【答案】解：①+②得：824x+824y＝0， ∴x＝−y③， 把③代入①得：102y＝−102， 解得y＝−1， 从而x＝1． x = 1， ∴ {y = −1. 练4.1 【答案】B 例5 x = 3 (1【) 答案】 {y = 2 【解析】由小明的错解可得b = 5，由小红的错解可得a = 2． (2【) 答案】34 【解析】解得a = 3，b = 4，c = −3 练5.1 x = 1 (1【) 答案】 {y = 2 29 (2【) 答案】 4 例6 (1【) 答案】C x = 4 by +ax = 5 【解析】 解：把 代入方程组 ， {y = 3 {bx+ay = 2 3b+4a = 5 得： ， {4b+3a = 2 方程左右两边相加，得：7(a+b) = 7． (2【) 答案】2，1 【解析】提示，联立两个方程组中没有字母a和b的两个方程， x = 2 解得 ，再代入求解. {y = 1 练6.1 【答案】1.5 能力强化 / 初二 / 秋季 63/136­ 第 8 讲 二元一次方程组 自我巩固答案 1 【答案】解：（1）由①得：y = 2x③， 把③代入②得：5x−8x = 12，即−3x = 12， 解得：x = −4， 把x = −4代入③得：y = −8， x = −4 则方程组的解为 ； {y = −8 （2）由①整理得：4x−3y = 12③， ③×4−②×3得：7x = 42，即x = 6， 把x = 6代入②得：y = 4， x = 6 则方程组的解为 ． { y = 4 【解析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 2 (1【) 答案】解:由②得:5y = 3x−10③, 把①代入③得:5y = y +2−10,即y = −2, 把y = −2代入①得:x = 0, x = 0 则方程组的解为; ; {y = −2 8x+9y = 6① (2【) 答案】 解:方程组整理得: , {24x+25y = 14② ①×3−②得:2y = 4,即y = 2, 把y = 2代入①得:x = −1.5, x = −1.5 则方程组的解为 . {y = 2 3 【答案】A 4 【答案】D 5 【答案】C 3x+4y = 11① 6 【答案】 解：(1) { 5x−y = 3② ①+②×4得：23x=23 64/136­ ∴x=1 将x=1代入②得：5-y=3 ∴y=2 x = 1 ∴方程组的解： { y = 2 23x+22y = 47① (2) { 22x+23y = 43② ①+②得：x+y=2③ ①-②得：x-y=4④ x = 3 联立③④，解得 {y = -1 x = 3 ∴方程组的解为 {y = -1 7 【答案】B 8 【答案】解：把x = 2，y = 1代入（2），得b = 4， 1 把x = −4，y = 3代入（1），得a = − ， 2 1 ∴ab = (− )×4 = −2． 2 9 【答案】A 10 【答案】C 能力强化 / 初二 / 秋季 第 8 讲 二元一次方程组 课堂落实答案 1 【答案】A 2 x = y +1① (1【) 答案】 ; {3x−2y = 2② 把①代入②得,3(y +1)−2y = 2,解得y = −1, 把y = −1代入①得,x = −1+1 = 0, x = 0 所以,原方程组的解是 ; {y = −1 5x−6y = 33① (2【) 答案】 方程组整理得:{ , 3x−4y = 28② ①×2−②×3得:x = −18, 65/136­ 41 把x = −18代入②得:y = − , 2 x = −18 则方程组的解为{ . y = −41 2 3 【答案】1 2x+y = 2014① 【解析】 ， {x+2y = 2013② ①-②得：x−y = 1， 故答案为：1 4 【答案】A x = −1 5 【答案】 解:根据题意， 不满足方程ax+3y＝5， {y = 2 但应满足方程bx+2y＝8， 代入此方程，得−b+4＝8，解得b＝−4． x = 1 同理，将 代入方程ax+3y＝5， {y = 4 得a+12＝5，解得a = −7． −7x+3y = 5 所以原方程组应为 ， {−4x+2y = 8 x = 7 解得 ． {y = 18 能力强化 / 初二 / 秋季 第 8 讲 二元一次方程组 精选精练 1 −2x+3y = 4① (1【) 答案】 解:方程组整理得: , {−2x+y = −8② ①−②得:2y = 12, 解得:y = 6, 把y = 6代入②得:x = 7, x = 7 则方程组的解为 ． { y = 6 2x−y = 0①, (2【) 答案】 解：方程组整理得: , {2y −3x = 2② 由①得:y = 2x③, 66/136­ 把③代入②得:4x−3x = 2, 解得:x = 2, 把x = 2代入③得:y = 4, x = 2 则方程组的解为 . { y = 4 x = 2 x = −7 2 【答案】 （1） （2） {y = 2 {y = 6 3 【答案】B 4 【答案】C 5 【答案】B x = 7.5 6 【答案】 { y = 2.5 能力强化 / 初二 / 秋季 第 9 讲 二元一次方程组应用题 例题练习题答案 例1 【答案】设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，由题意得 x y + = 9 ⎧⎪⎪ 20 35 ，解得 x = 140 ． x y 1 {y = 70 ⎨ + = 7 ⎩⎪⎪ 35 20 2 ∴甲、乙两地间的公路距离为：140+70=210（千米）． 从甲地到乙地需行驶140千米的上坡路． x y 练1.1 【答案】 + = 10 解:设平路有x m,下坡路有y m, 根据题意得 ⎧⎪ 6 x 0 8 y 0 , ⎨ + = 15 ⎩⎪ 60 40 x = 300 解得: , {y = 400 答:小华家到学校的平路和下坡路各为300 m,400 m. 【解析】设出平路和坡路的路程,从家里到学校走平路和下坡路一共用10分钟,从学校到家里走上坡 路和平路一共用15分钟,利用这两个关系式列出方程组解答即可. 本题考查了二元一次方程的应用,此题主要利用时间、速度、路程三者之间的关系解答,注 意来回坡路的变化是解题的关键. 6(x+y) = 42 例2 【答案】 {14y = 14x+42 【解析】根据甲走6小时的路程+乙走6小时的路程= 42，得方程6(x+y) = 42； 67/136­ 根据乙走14小时的路程=甲走14小时的路程+42，得方程14y = 14x+42． 6(x+y) = 42 可列方程组为 ． {14y = 14x+42 练2.1 【答案】解：设两个人中较快者的速度为x米/秒、较慢者的速度为y米/秒，根据题意，得 20(x+y) = 400 x = 12 ，解得 ， {100(x−y) = 400 {y = 8 答：两个人的速度分别为12米/秒、8米/秒． 例3 【答案】解：设碳酸饮料在调价前每瓶的价格为x元，果汁饮料调价前每瓶的价格为y元， x+y = 7 根据题意得： {3(1+10%)x+2(1−5%)y = 17.5 x = 3 解得： ． {y = 4 答：调价前碳酸饮料每瓶的价格为3元，果汁饮料每瓶的价格为4元． 练3.1 【答案】解：设去年总收入为x万元，总支出为y万元， x−y = 50， 根据题意得： {(1+10%)x−(1−20%)y = 100． x = 200， 解得： {y = 150． 答：去年总收入为200万元，总支出为150万元． 例4 (1【) 答案】设第1次购进A商品x件，B商品y件．由题意得： 1200x+1000y = 390000 ， {(1350−1200)x+(1200−1000)y = 60000 12x+10y = 3900 整理得出： ， {15x+20y = 6000 x = 200 解得： ， {y = 150 答：商场第1次购进A、B两种商品各200件、150件； 【解析】设购进A种商品x件，B种商品y件，列出方程组可求解； (2【) 答案】设B商品打m折出售．由题意得： m 400 ×(1350−1200)+150 × 1200× −1000 ( 10 ) = 72000， 解得：m = 9． 答：B商品打9折销售的． 【解析】由（1）得A、B商品购进数量，结合（2）中数量变化，再根据要使得第2次经营活动 获得利润等于72000元，得出方程即可． 练4.1 【答案】设打折前A和B两种商品的价格分别为每件x元和y元． 68/136­ 6x+3y = 108 依题意得： { 5x+y = 84 x = 16 解得： ． { y = 4 则5x+5y −80 = 5(x+y)−80 = 2（0 元）． 答：比不打折少花20元． 【解析】利用打折前的两个相等关系：6件A商品的价格+3件B商品的价格= 108；5件A商品的价 格+1件B商品的价格= 84，列方程组求打折前A和B两种商品的价格，再计算比不打折少 花的钱数． 例5 【答案】解：设该车间分配x名工人生产A种工件，y名工人生产B种工件才能保证连续安装机械时 两种工件恰好配套， 2×15x = 20y 根据题意得： ， {75−x = y x = 30 解得： ， { y= 45 答：该车间分配30名工人生产A种工件，45名工人生产B种工件才能保证连续安装机械时 两种工件恰好配套． 【解析】设该车间分配x名工人生产A种工件，y名工人生产B种工件才能保证连续安装机械时两种 工件恰好配套，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 练5.1 【答案】解：设生产螺栓x人，生产螺母y人 x+y = 39 则 {7x×2 = 12y x = 18 解得 {y = 21 答：18人生产螺栓，21人生产螺母． 【解析】两个等量关系为：生产螺栓人数+生产螺母人数=39；螺栓数量×2=螺母数量． 例6 【答案】 解：设一个单人间需要x元，一个双人间y元，由题意得 3x+6y = 1020 ， {x+5y = 700 x = 100 解得： ． {y = 120 则 入 住 2 个 单 人 间 和 5 个 双 人 间 共 需 的 钱 数 是 ： 2x+5y = 2×100 +5×120 = 800（元）． 答：入住2个单人间和5个双人间共需800元． 练6.1 【答案】35 【解析】设有x个抽屉，依题意得： 4x+3 = 5(x−1)， 解得x = 8， 69/136­ 则4x+3 = 35． 即这批书有35本． 故答案是：35． 3x = 5y， 例7 【答案】 设小长方形的长为xmm,宽为ymm,根据题意得: {x+2y = 2x+2 x = 10， 解得: { y = 6 答:小长方形的长为10mm,宽为6mm. 练7.1 【答案】B 【解析】由题意得，大正方形的边长为11，小正方形的边长为3 ∴x+y=11，x﹣y=3， x+y = 11 则 ， { x−y = 3 x = 7 解得： ． { y = 4 故可得B选项的关系式不正确． 故选：B． 例8 【答案】A x+y −4 = 30 【解析】 依题意得： ． {(x−4)−(y −4) = 2 x+y = 32 x = 12 练8.1 【答案】 解：设黑皮x块，白皮y块，由题意可得方程组 ，解得 ． {5x = 3y {y = 20 答：黑皮12块，白皮20块． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 9 讲 二元一次方程组应用题 自我巩固答案 1 【答案】A 2 【答案】解：设从甲地到乙地的路上坡路有x千米、平路有y千米， x + y + 3 = 1.5 3 4 5 由题意得， ， { 3 + y + x = 1.7 3 4 5 x = 1.5 解得： ， {y = 1.6 则全程共有：1.5+1.6+3 = 6.1（千米）． 答：甲地到乙地全程6.1千米． 70/136­ 3 【答案】解：设购进西红柿xkg，购进豆角ykg， x+y = 50 根据题意得： ， {2x+1.5y = 90 x = 30 解得： ， {y = 20 ∴(2.9−2)x+(2.6−1.5)y = 49． 答：他当天卖这些西红柿和豆角赚了49元钱． 【解析】设购进西红柿xkg，购进豆角ykg，根据该经营户花90元钱购进西红柿和豆角共50kg及西 红柿和豆角的进价，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再利 用总利润=每千克利润×购进数量，即可求出结论． 4 (1【) 答案】设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，由题意得 x+y = 500 ， {24x+33y = 13800 x = 300 解得： ． {y = 200 答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱． (2【) 答案】300 ×(36−24)+200 ×(48−33) = 3600+3000 = 6600（元）． 答：该商场共获得利润6600元． 【解析】总利润=甲的利润+乙的利润． 5 【答案】C 6 【答案】D 7 【答案】C 8 【答案】解：设加工的甲部件的有x人，加工的乙部件的有y人． x+y = 85① ，由②得：12x-5y=0③， {3×16x = 2×10y② ①×5+③得：5x+5y+12x-5y=425，即17x=425， 解得x=25， 把x=25代入①解得y=60， x = 25 所以 ， {y = 60 答：加工的甲部件的有25人，加工的乙部件的有60人． 【解析】两个等量关系为：加工的甲部件的人数+加工的乙部件的人数=85；3×16×加工的甲部件的 人数=2×加工的乙部件的人数×10． 71/136­ 9 【答案】D 10 【答案】A 【解析】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm， x+y = 50 由图形可知， ， {2x = x+4y x = 40 解得： ． {y = 10 所以一个小长方形的面积为400cm2． 故选：A． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 9 讲 二元一次方程组应用题 课堂落实答案 1 【答案】D 【解析】设A，B两地之间的坡路为xkm，平路为ykm， x y + = 0.8 30 50 由题意可得， ， x y { + = 0.45 60 50 故选：D． 2 【答案】D 【解析】解：设：甲每小时走x千米，乙每小时走y千米． 2x+2y = 42 则 ， {14y = 14x+42 x = 9 解得 ， {y = 12 故选：D． 3 【答案】A 【解析】设去年的总产值x万元、总支出y万元， x−y = 200 根据题意，可列方程： ， {(1+20%)x−(1−10%)y = 780 故选：A． 4 【答案】C 【解析】解：设一个杯子的价格是x元，那么一个热水瓶的价格是（43­x）元， 根据题意，得2（43­x）+3x=94， 解得x=8． 72/136­ 答：一个杯子的价格是8元． 故选：C． 5 【答案】A 能力强化 / 初二 / 秋季 第 9 讲 二元一次方程组应用题 精选精练 1 【答案】D 【解析】设甲、乙每秒种分别跑x，y米， 5x = 5y +10 由题意得 ． { 4x = 6y 故选：D． 2 【答案】设汽车的速度是x千米每小时，拖拉机速度y千米每小时，根据题意得： 4(x+y) = 160， 3 { 1x = 3y； 2 2 x = 90， 解得： { y = 30. 4 1 则汽车行驶的路程是： + ×90 = 165（千米）， (3 2) 4 3 拖拉机行驶的路程是： + ×30 = 85（千米）． (3 2) 答：汽车行驶165千米，拖拉机行驶85千米． 35 3 【答案】 3 5 4 【答案】解：设等腰三角形的腰长、底边长分别为x cm，y cm， x+ 1x = 9 x+ 1x = 6 2 2 依题意得 或 { 1x+y = 6 { 1x+y = 9 2 2 x = 6 x = 4 解得 或 ． {y = 3 {y = 7 故这个等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为3 cm， 或腰长为4 cm，底边长为7 cm 【解析】设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为6cm 或9cm两部分，列方程解得即可． 5 73/136­ (1【) 答案】小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物． 故答案为：三； 【解析】根据图表可得小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物； (2【) 答案】设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元， 6x+5y = 1140 根据题意，得 ， {3x+7y = 1110 x = 90 解得： ． {y = 120 答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元； 【解析】设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值； (3【) 答案】设商店是打a折出售这两种商品， a 由题意得，(9×90+8×120)× = 1062， 10 解得：a = 6． 答：商店是打6折出售这两种商品的． 【解析】设商店是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买9个A商品和8个B商品共花费 1062元，列出方程求解即可． 6 【答案】解：（1）设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐， 3x+2y = 3160 根据题意得： ， {2x+3y = 2640 x = 840 解得： ． {y = 320 答：1个大餐厅可供840名学生就餐，1个小餐厅可供320名学生就餐． （2）840 ×7+320 ×3 = 6840（名）， ∵6840＞6500， ∴如果同时开放10个餐厅，能够供全校的6500名学生就餐． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 10 讲 一次函数综合 例题练习题答案 例1 【答案】x = 1 【解析】∵直线y = 3x+b与x轴的交点坐标是(1,0)， 74/136­ ∴3×1+b = 0， ∴关于x的一元一次方程3x+b = 0的解是x = 1． 故答案为：x = 1． 练1.1 【答案】x = −4 例2 (1【) 答案】−2． 【解析】解：∵直线y = 3x+b 与y = ax−2 的交点的横坐标为−2， ∴当x = −2时，3x+b = ax−2， ∴关于x的方程 3x+b = ax−2 的解为x = −2． (2【) 答案】B x = −1 练2.1 【答案】 {y = 2 【解析】解：∵直线l 1 : y 1 = a i x−b 1与直线l 2 : y 2 = a 2 x−b 2相交于点P (−1,2)； a x−y = b 1 1 ∴x = −1、y = 2就是方程组 的解； {a x−y = b 2 2 a x−y = b x = −1 1 1 ∴方程组的 解为 ． {a x−y = b { y = 2 2 2 例3 【答案】(−2,3) 练3.1 【答案】(12,31) 1 例4 【答案】y = x−2或y = − x+2 3 【解析】①直线y = k 1 x+b 1经过一、三、四象限， ∵S △AOB : S △BOC = 1 : 2，A(3,1)， ∴C (0,−2)， −2 = b 1 ∴ {1 = 3k +b 1 1 k = 1 1 ∴ ， {b = −2 1 ∴y = x−2． ②直线y = k 2 x+b 2经过一、二、四象限， ∵S △AOB : S △BOC = 1 : 2，A(3,1)， ∴C (0,2)， 1 = 3k +b 2 2 ∴ {2 = b 2 1 k = − ∴⎧ 2 3 ， ⎨b = 2 ⎩ 2 1 ∴y = − x+2． 3 75/136­ 练4.1 【答案】±2 4 【解析】令y = 0，x = − ，令x = 0，y = 4， k ∵一次函数y = kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为4， 1 ∣ 4∣ ∴ ⋅∣− ∣ ⋅4 = 4， 2 ∣ k∣ k = ±2． 3 例5 【答案】P − ,0 ( 2 ) 2 【解析】令y = x+4中，x = 0，则y = 4， 3 ∴B(0,4)， 令y = 0，则x = −6， ∴A(−6,0)， ∵C、D分别为线段AB、OB的中点， ∴C (−3,2)，D(0,2)， 作D关于x轴对称点D’， ∴D′ (0,−2)， 设直线CD’解析式y = kx+b， 2 = −3k+b ∴ ， { −2 = b 4 k = − ∴⎧ 3 ， ⎨b = −2 ⎩ 4 ∴y = − x−2． 3 3 令y = 0，则x = − ， 2 3 ∴P − ,0 ． ( 2 ) 练5.1 【答案】5 76/136­ 【解析】作点A关于x轴的对称点A′ ，连接A′B交x轴于点P，则P即为所求点； ∵点A(0,2)， ∴点A关于x轴的对称点A′ 的坐标为(0,−2)， ∵A′ (0,−2)，B(4,1)， −−−−−−−−−−−−−−−−− ∴A′B = (0−4) 2 +(−2−1) 2 = 5． √ 即PA+PB的最小值为5． 故答案为5． 例6 【答案】解：（1）将点A(2,0)代入直线y = kx+3，得 0 = 2k+3， 3 解得k = − ， 2 3 ∴ y = − x+3． 2 当x = 0时，y = 3． ∴ B(0,3)，OB = 3． 3 当y = 0时，− x+3 = 0， 2 ∴ x = 2， ∴ A(2,0)，OA = 2， 1 1 ∴ S ΔAOB = OA ⋅ OB = ×2×3 = ．3 2 2 （2）如图2， 当AB = BC时，C (−2,0)， −− −− 当AB = AC时，C(√13 +2，0)或(2−√13，0)， −− −− 符合条件的点C的坐标是(−2,0)或(√13 +2，0)或(2−√13，0)； 77/136­ – 练6.1 【答案】 – – – √3 存在，(−2−√3,0)、(0,−1)、(2−√3,0)、(0,3)、(√3,0)、 − ,0 ． ( 3 ) 能力强化 / 初二 / 秋季 第 10 讲 一次函数综合 自我巩固答案 1 【答案】（1）x = 2（2）−3（3）x = −1 2 【答案】C 【解析】∵一次函数y = −2x+3的图象和y = kx−b的图象相交于点A(m,1)， ∴1 = −2m+3， 解得：m = 1， ∴A(1,1)， 2x+y = 3 x = 1 ∴二元一次方程 的解为 ， {kx−y = b { y = 1 故选：C． 3 【答案】D 【解析】根据给出的图象上的点的坐标，(0,−1)、(1,1)、(0,2)； 分别求出图中两条直线的解析式为y = 2x−1，y = −x+2， x+y −2 = 0 因此所解的二元一次方程组是 ． {2x−y −1 = 0 故选：D． 4 【答案】C 【解析】∵直线y = 3x+6与直线y = 2x+4的交点坐标为(a,b)， x = a y = 3x+6 3x+6−y = 0 ∴解为 的方程组是 ，即 ． {y = b {y = 2x+4 {2x+4−y = 0 5 【答案】C 6 【答案】解：当y = 0时，−2x−4 = 0， 78/136­ 解得x = −2，则A(−2,0)， ∵△ ABP 的面积被y轴分成1：2的两部分， ∴点A和点P到y轴的距离之比为1：2或2：1，且P点在y轴右侧， ∴P点的横坐标为4或1， ∴点P的坐标为(4,8)或(1,2)． 7 (1【) 答案】把C (2,m) 代入y = −3x+3 得 m = −3×2+3 = −3； 4k+b = 0 把A(4,0) ，C (2,−3) 代入y=kx+b得 {2k+b = −3 k = 3 解得 2 {b = −6 3 所以一次函数的解析式为y = x−6； 2 【解析】先把点C (2,m)代入y = −3x+3得求得m = −3，然后利用待定系数法确定一次 函数的解析式； (2【) 答案】对于y = −3x+3 ，令y = 0 ，则x = 1 ，则B(1,0)； 令x = 0 ，则y = 3 ，则D(0,3) ． 则AB = 4−1 = 3， 1 1 则S ΔACD = S ΔABD +S ΔABC = ×3×3+ ×3×3 =．9 2 2 【解析】先 确 定 直 线 y = −3x+3 与 x 轴 的 交 点 坐 标 ， 然 后 利 用 S ΔACD = S ΔABD +S ΔABC进行计算． 8 (1【) 答案】解：∵正比例函数y＝k 1 x的图象经过点A(4,3)， ∴4k 1＝3， 3 ∴k 1 = ， 4 3 ∴正比例函数解析式为y = x． 4 如图1中，过A作AC⊥x轴于C， 在Rt△AOC中，OC＝4，AC＝3 −−−−−−−−−− AO = OC2 +AC2 = 5， √ ∴OB＝OA＝5， ∴B(0,−5)， 79/136­ 4k +b = 3 2 ∴ {b = −5 k = 2 2 解得 ， {b = −5 ∴一次函数解析式为y＝2x−5． 【解析】根据点A坐标，可以求出正比例函数解析式，再求出点B坐标即可求出一次函数解析 式． (2【) 答案】如图1中，过A作AD⊥y轴于D， ∵A(4,3)， ∴AD = 4， 1 1 ∴S ΔAOB = ⋅OB⋅AD = ×5×4 = 1，0 2 2 【解析】如图1中，过A作AD⊥y轴于D，求出AD即可解决问题． 25 (3【) 答案】 满足条件的点P的坐标(−5,0)或(5,0)或(8,0)或 ,0 ( 8 ) 【解析】如图2中，当OP＝OA时，P 1 (−5,0)，P 2 (5,0)， 当AO＝AP时，P 3 (8,0)， 4 25 当PA＝PO时，线段OA的垂直平分线为y = − x+ ， 3 6 25 ∴P 4 ,0 ， ( 8 ) 25 ∴满足条件的点P的坐标(−5,0)或(5,0)或(8,0)或 ,0 ． ( 8 ) 80/136­ 2 9 【答案】（1）令y = x+4中x = 0，则y = 4， 3 ∴点B的坐标为(0,4)； 2 2 令y = x+4中y = 0，则 x+4 = 0，解得：x = −6， 3 3 ∴点A的坐标为(−6,0)． ∵点C、D分别为线段AB、OB的中点， ∴点C (−3,2)，点D(0,2)． （2）作点D关于x轴的对称点D′ ，连接CD′ 交x轴于点P， 由对称性知：PD′ = PD， 又∵两点之间线段最短； ∴此时PC +PD值最小，如图 ∵点D′ 和点D关于x轴对称， ∴点D′ 的坐标为(0,−2)． 设直线CD′ 的解析式为y = kx+b， ∵直线CD′ 过点C (−3,2)，D′ (0,−2)， −3k+b = 2 k = −4 ∴有 ，解得： 3， { b = −2 { b = −2 4 ∴直线CD′ 的解析式为y = − x−2． 3 4 3 令y = 0，则0 = − x−2，解得：x = − ， 3 2 81/136­ 3 ∴点P的坐标为 − ,0 ． ( 2 ) 此时最小值为5． 1 10 【答案】解：（1）对于直线AB : y = − x+2， 2 当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝4， 则A、B两点的坐标分别为A(4,0)、B(0,2)； （2）①∵C (0,4)，A(4,0) ∴OC＝OA＝4， 1 当0 ≤ t ≤ 4时，OM＝OA−AM＝4−t，S OCM = ×4×(4−t)＝8−2t； Δ 2 1 当t > 4时，OM＝AM −OA＝t −4，S OCM = ×4×(t −4)＝2t −8； Δ 2 ②△ABM是等腰三角形，有三种情形： 【1】当BM＝AM时，设BM＝AM＝x，则OM＝4−x， 在Rt△OBM中，∵OB2 +OM2 ＝BM2 ， ∴22 +(4−x) 2 ＝x2 ， 5 ∴x = ， 2 5 ∴AM = ， 2 5 ∴t = 时，△ABM是等腰三角形． 2 −−−−−− – – 【2】当AM′ ＝AB = √22 +42 = 2√5时，即t＝2√5时，△ABM是等腰三角形． 【3】当BM″＝BA时， ∵OB⊥AM″， ∴OM″＝OA＝4， ∴AM″＝8， ∴t＝8时，△ABM是等腰三角形． 5 – 综上所述，满足条件的t的值为 s或2√5s或8s． 2 能力强化 / 初二 / 秋季 82/136­ 第 10 讲 一次函数综合 课堂落实答案 1 【答案】A x = 2 2 【答案】 {y = 4 9 3 【答案】 2 【解析】∵当x = 0时，y = 3； 当y = 0时，x = −3， ∴直线与坐标轴的交点分别为： (0,3)，(−3,0)， 1 9 ∴直线y = x+3与坐标轴所围成的三角形面积= ×3×3 = 2 2 9 故答案是： ． 2 4 (1【) 答案】把P (2,n)代入y = x得：n = 2， 所以P点坐标为(2,2)， 把P (2,2)代入y = −x+m得：−2+m = 2，解得m = 4， 即m和n的值分别为4，2； 【解析】把P的坐标代入y = x即可求得n的值，然后把(2,2)代入y = −x+m即可求得m的 值； (2【) 答案】把x = 0代入y = −x+4得y = 4， 所以B点坐标为(0,4)， 1 所以△POB的面积= ×4×2 = 4． 2 【解析】先求得B的坐标，然后根据三角形面积求得即可． 5 (1【) 答案】 83/136­ 【解析】从三角形的各点向y轴引垂线并延长相同单位得到对应点，顺次连接并从坐标中读出 各点坐标即可．第三问根据轴对称图形的性质找到B关于x轴的对称点B′ ，连接 AB′ ，与x轴的交点为所求P点． (2【) 答案】A 1 (2,3)，B 1 (3,1)，C 1 (−1,−2) (3【) 答案】 作出B关于x轴的对称点B′ ，连接AB′ 与x轴的交点为所求P点． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 10 讲 一次函数综合 精选精练 x = 1 1 【答案】 {y = 2 2 【答案】x = −3 【解析】方程ax+b = 0的解，即为函数y = ax+b图像与x轴交点的横坐标， ∵直线y = ax+b过B(−3,0)， ∴方程ax+b = 0的解是x = −3． 84/136­ 3 【答案】C 【解析】将A的坐标分别代入一次函数y = 2x+a，y = −x+b中， 可得a = 4，b = −2， 那么B，C的坐标是：B(0,4)，C(0,−2)， 因此ΔABC的面积是：BC ×OA÷2 = 6×2÷2 = 6． 4 (1【) 答案】在Rt△EOF中，∵OE = 18 ，∠OEF = 30∘ ， 设OF=x，则EF=2x 则x2 +182 = (2x) 2 – 解得 x = 6√3 – ∴F（0，6√3）， 18k+b = 0 设直线EF的解析式为y = kx+b ，则有 – {b = 6√3 √3 k = − 解得 3 ， – {b = 6√3 – √3 – ∴y = − x+6√3； 3 – – ∴D（6，4√3），C（12，2√3）， – – ∴A(0，4√3)，B(0，2√3)． 【解析】首先求出点F的坐标，利用待定系数法即可解决问题； (2【) 答案】作点Q关于直线CD的对称点Q′ ， – 易知Q′（15，3√3），连接OQ′ 交CD于P， 此时△OPQ的周长最小． 85/136­ – √3 ∵直线OQ′ 的解析式为y = x， 5 √3 y = x 由⎧ 5 ⎨y = − √3 x+6√3 – ⎩ 3 x = 45 4 解得 ， 9√3 {y = 4 45 9 – ∴P( ， √3)； 4 4 – ∴OP +PQ = OQ′ = 6√7 – 周长最小值是12+6√7． – 【解析】作点Q关于直线CD的对称点Q′ ，易知Q′ （ 15 ， 3√3 ），连接OQ′ 交CD于P， 此时△OPQ的周长最小．求出直线OQ′ 的解析式，利用方程组求出解得P的坐标即可 解决问题； (3【) 答案】观察图象可知，只有点M在BC上时，存在OM = MN， 如图：作MH⊥ON于H． ∵OM = MN，MH⊥ON， ∴OH = HN = BM = 2t， ∴4t +t = 12， 12 ∴t = ． 5 12 ∴t = 时，OM = MN． 5 【解析】观察图象可知，只有点M在BC上时，存在OM=MN，如图：作MH⊥ON于H．构建 方程即可解决问题； 5 (1【) 答案】过C点作CE⊥x轴，垂足为D，且CD = ED， 3 由直线y = − x+3，令y = 0，得OA = x = 4，令x = 0，得OB = y = 3， 4 ∵∠BAO +∠CAD = 90∘ ，∠ACD+∠CAD = 90∘ ， ∴∠BAO = ∠ACD， 又∵AB = AC，∠AOB = ∠CDA = 90∘ ， ∴△OAB≌△DCA， 86/136­ ∴CD = OA = 4，AD = OB = 3，则OD = 4+3 = 7， ∴C (7,4)； 连接BE，交x轴于P 1，则此时P 1 B+P 1 C最小， 设直线BE的解析式为y = kx+3， ∵C (7,4)， ∴E(7,−4)， 代入y = kx+3得，−4 = 7k+3， 解得k = −1， ∴直线BE的解析式为y = −x+3， 令y = 0，则x = 3， ∴P 1 (3,0)； 故当x = 3时，PB+PC的值最小； 3 【解析】过C点作CE⊥x轴，垂足为D，且CD = ED，由直线y = − x+3得出OA、OB， 4 根据△ABC为等腰直角三角形证明△OAB≌△DCA，得出CD = OA，AD = OB，确 定C点坐标；连接BE，交x轴于P 1，则此时P 1 B+P 1 C最小，根据C的坐标求得对称 点E的坐标，然后根据待定系数法求得直线BE的解析式，令y = 0，求得x = 3，即 可得出结论； (2【) 答案】延长CB交x轴于P 2，此时|P 2 B−P 2 C|的值最大， 设直线BC解析式为y = kx+b ， 将B、C两点坐标代入， b = 3 k = 1 得 ,解得 7 . { 7k+b = 4 { b = 3 1 所以，直线BC解析式为y = x+3， 7 令y = 0，得P 2 (−21,0)， 87/136­ 此时|PC −PB|的值最大， 故当x = −21时，|PB−PC|的值最大． 【解析】在Rt△OPB，Rt△PCD中，利用勾股定理求PB2 、PC2 ，当PB与PA成一直线时， |PC −PB|的值最大，然后根据待定系数法求得直线BC的解析式，令y = 0，求得 x = −21即可得出结论． 6 (1【) 答案】 y = 4x 联立得： 3 ， {y = −x+7 x = 3 解得： ， {y = 4 则点A的坐标为(3,4)； 【解析】联立正比例函数与一次函数解析式组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，确定 出A坐标即可； −−−−−− (2【) 答案】根据勾股定理得：OA = √32 +42 = 5， 如图1所示，分四种情况考虑： 当OM 1 = OA = 5时，M 1 (0,5)； 当OM 2 = OA = 5时， M 2 (0,−5)； 当AM 3 = OA = 5时，M 3 (0,8)； 25 当OM 4 = AM 4时，M 4 0, ， ( 8 ) 25 综上，点M为(0,5)、(0,−5)、(0,8)、 0, ； ( 8 ) 88/136­ 【解析】利用勾股定理求出OA的长，根据M在y轴上，且△AOM是等腰三角形，如图1所示， 分情况讨论，求出M坐标即可； 4 (3【) 答案】 设点B a, a ，C (a,−a+7) ， ( 3 ) 14 14 ∵BC = OA = ×5 = 14， 5 5 4 ∴ a−(−a+7) = 14， 3 解得：a = 9 ， 过点A作AQ⊥BC，如图2所示， 1 1 ∴S ΔABC = BC ⋅AQ = ×14×(9−3) = 4，2 2 2 4 4 当a = 9时， a = ×9 = 12，−a+7 = −9+7 = −2， 3 3 ∴点B(9,12)、C (9,−2)； 【解析】设出B与C坐标，表示出BC，由已知BC与OA关系，及OA的长求出BC的长，求出a的 值，如图2所示，过A作AQ垂直于BC，求出三角形ABC面积；由a的值确定出B与C坐 标即可； (4【) 答案】如图3所示，作出D关于直线BC的对称点D′ ，连接AD′ ，与直线BC交于点E，连接 DE，此时△ADE周长最小， 对于直线y = −x+7，令y = 0，得到x = 7，即D(7,0)， 由（3）得到直线BC为直线x = 9， 89/136­ ∴D′ (11,0)， 设直线AD′ 解析式为y = kx+b， 3k+b = 4 把A与D′ 坐标代入得： ， {11k+b = 0 k = −1 2 解得： ， {b = 11 2 1 11 ∴直线AD′ 解析式为y = − x+ ， 2 2 令x = 9，得到y = 1， 则此时点E坐标为(9,1)． 【解析】如图3所示，作出D关于直线BC的对应点D′ ，连接AD′ ，与直线BC交于点E，此时 △ADE周长最小，求出此时E坐标即可． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 11 讲 平行线与三角形 例题练习题答案 例1 【答案】证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4（对顶角相等） ∴∠1+∠4＝180°（等量代换） ∴DF∥AB（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠B＝∠FDH（两直线平行，同位角相等） ∵∠3＝∠B ∴∠3＝∠FDH（等量代换） ∴EF∥BC（内错角相等，两直线平行） 练1.1 【答案】解:∠BMN与∠CNM互补.理由如下: ∵ ∠A = ∠F, ∴ AC // DF ∴ ∠ABM = ∠D. 又∠C = ∠D, ∴ ∠ABM = ∠C. ∴ BD // CE. ∴ ∠BMN与∠CNM互补. 例2 90/136­ (1【) 答案】60°≤∠A <180°，0°<∠B≤60°． (2【) 答案】C (3【) 答案】∠A = ∠DCB,∠B = ∠ACD， 【解析】利用三角形内角和定理倒角即可 (4【) 答案】D 练2.1 (1【) 答案】2 【解析】∵根据三角形内角和定理以及任意多边形外角和定理， ∴三角形内角和为180∘ ，任意多边形外角和等于360∘ ， ∴三角形的外角和等于它的内角和的360 ÷180 = 2倍． (2【) 答案】 ∠A = 45∘ ． 【解析】∵DE = EB ∴设∠BDE = ∠ABD = x， ∴∠AED = ∠BDE +∠ABD = 2x， ∵AD = DE， ∴∠AED = ∠A = 2x， ∴∠BDC = ∠A+∠ABD = 3x， ∵BD = BC， ∴∠C = ∠BDC = 3x， ∵AB = AC， ∴∠ABC = ∠C = 3x， 在△ABC中，3x+3x+2x = 180∘ ， 解得x = 22.5∘ ， ∴∠A = 2x = 22.5∘ ×2 = 45∘ 例3 【答案】D 【解析】∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°， ∴∠F=360°−60°−67°−91°−58°−22° = 62°，故选D 练3.1 【答案】A 例4 (1【) 答案】C 91/136­ 【解析】∵∠A = 60∘ ， ∴∠ABC +∠ACB = 180∘ −∠A = 120∘ ， ∵BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线， 1 1 ∴∠OBC = ∠ABC，∠OCB = ∠ACB， 2 2 1 ∴∠OBC +∠OCB = (∠ABC +∠ACB) = 60∘ ， 2 ∴∠BOC = 180∘ −(∠OBC +∠OCB)= 180∘ −60∘ = 120∘ ， ∴∠DOE = 120∘ ． 1 (2【) 答案】①∠BG 1 C = 90∘ + ∠A， 2 2 ②∠BG 2 C = 60∘ + ∠A， 3 180∘ n−1 ③∠BG n−1C= + ∠A n n 练4.1 (1【) 答案】B 4 (2【) 答案】∠B = ∠M −60∘ 3 例5 (1【) 答案】结论：∠A =34°． 2 理由如下：因为BA 、CA 平分∠A BC和∠A CM（已知）， 2 2 1 1 所以∠A BC=2∠1，∠A CM=2∠2（角平分线的意义）． 1 1 因为∠A CM=∠A BC+∠A ，∠2=∠1+∠A ，（三角形的一个外角等于与它不相邻的 1 1 1 2 1 两个内角的和），所以∠A = ∠A ， 2 1 2 因为∠A =68°，所以∠A =34°， 1 2 故答案为：34°. (2【) 答案】∠A =17°． 3 θ (3【) 答案】∠A = ． n 2n−1 α 练5.1 【答案】答案（1） （2）A 22017 例6 (1【) 答案】65 【解析】∵∠A=50°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°， 92/136­ 又∵∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P， 1 1 ∴∠PBC = ∠DBC，∠PCB = ∠ECB， 2 2 1 ∴∠PBC +∠PCB = (∠DBC +∠ECB)=115°， 2 ∴∠P=65°． (2【) 答案】45 (3【) 答案】40 1 (4【) 答案】∠P = 90∘ − ∠A．理由如下： 2 ∵BP平分∠DBC，CP平分∠BCE， ∴∠DBC=2∠CBP，∠BCE=2∠BCP 又∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC， ∴2∠CBP=∠A+∠ACB，2∠BCP=∠A+∠ABC， ∴2∠CBP+2∠BCP=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC =180°+∠A， 1 ∴∠CBP+∠BCP=90°+ ∠A 2 又∵∠CBP+∠BCP+∠P=180°， 1 ∴∠P = 90∘ − ∠A． 2 练6.1 (1【) 答案】A (2【) 答案】120 60 能力强化 / 初二 / 秋季 第 11 讲 平行线与三角形 自我巩固答案 1 【答案】证明：∵∠CDG=∠B（已知）， ∴DG∥AB（同位角相等，两直线平行）， ∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）， 93/136­ 又∵∠1=∠2（已知）， ∴∠2=∠3， ∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠EFB=∠ADB（两直线平行，同位角相等）， 又AD⊥BC于点D（已知）， ∴∠ADB=90°， ∴∠EFB=∠ADB=90°， ∴EF⊥CB． ∠A = 2∠C 2 【答案】 解：由题意：⎧∠A = ∠B+20∘ ， ⎨ ∠A+∠B+∠C = 180∘ ⎩ ∠A = 80∘ 解得 ⎧⎪∠B = 60∘， ⎨ ⎩⎪ ∠C = 40∘ ∴△ABC的三个内角的度数分别是80∘ ，60∘ ，40∘ ． 3 【答案】B 4 【答案】D 5 【答案】解：（1）如图所示： x （2）∠BDC = 90∘ + ． 2 理由如下：由三角形内角和为180∘ 得： ∠ABC +∠ACB = 180∘ −∠A， ∵∠ABC和∠ACB的角平分线的交点是D， 1 ∴∠DBC +∠DCB= (∠ABC +∠ACB) 2 1 = (180∘ −∠A) ， 2 在△ BCD中， ∠BDC =180∘ −(∠DBC +∠DCB) 1 =180∘ − (180∘ −∠A) 2 1 = 90∘ + ∠A ， 2 ∵∠BAC = x， x ∴∠BDC = 90∘ + ； 2 94/136­ x （3）由题意得，90∘ + +x = 180∘ ， 2 解得x = 60∘ ． 【解析】（1）用量角器作出两个角的角平分线即可； （2）根据三角形的内角和定理表示出∠ABC +∠ACB，再根据角平分线的定义表示出 ∠DBC +∠DCB，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解； （3）根据互为补角的两个角的和等于180∘ 列出方程求解即可． 6 【答案】A 7 【答案】解：由三角形外角性质，∠ACE = ∠A+∠ABC，∠DCE = ∠DBC +∠D， ∵ BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE， 1 1 ∴ ∠DBC = ∠ABC，∠DCE = ∠ACE， 2 2 1 1 1 ∴ ∠A+ ∠ABC = ∠ABC +∠D， 2 2 2 1 ∴ ∠D = ∠A， 2 ∵ ∠A = 70∘ ， ∴ ∠D = 35∘ ． 【解析】∵BD是∠ABC的角平分线，CD是△ABC的外角平分线 1 1 ∴∠DBC = ∠ABC，∠DCE = ∠ACE 2 2 1 又∵∠ACE = ∠A+∠ABC，∴∠DCE = ∠A+∠DBC 2 ∵∠DCE = ∠D+∠DBC 1 1 ∴∠D+∠DBC = ∠A+∠DBC，即∠D = ∠A = 35∘ ． 2 2 8 【答案】B 9 【答案】C 【解析】解：∵ AD平分∠EAC， ∴ ∠EAC = 2∠EAD， ∵ ∠EAC = ∠ABC +∠ACB，∠ABC = ∠ACB， ∴ ∠EAD = ∠ABC， ∴ AD//BC，∴①正确； ∵ AD//BC， ∴ ∠ADB = ∠DBC， ∵ BD平分∠ABC，∠ABC = ∠ACB， ∴ ∠ABC = ∠ACB = 2∠DBC， ∴ ∠ACB = 2∠ADB，∴②正确； ∵ AD平分∠EAC，CD平分∠ACF， 95/136­ 1 1 ∴ ∠DAC = ∠EAC，∠DCA = ∠ACF， 2 2 ∵ ∠EAC = ∠ACB+∠ACB， ∠ACF = ∠ABC +∠BAC，∠ABC +∠ACB+∠BAC = 180∘ ， ∴ ∠ADC = 180∘ −(∠DAC +∠ACD) 1 = 180∘ − (∠EAC +∠ACF) 2 1 = 180∘ − (∠ABC +∠ACB+∠ABC +∠BAC) 2 1 = 180∘ − (180∘ +∠ABC) 2 1 = 90∘ − ∠ABC，∴③正确； 2 ∵ BD平分∠ABC ∴ ∠ABD = ∠DBC 1 ∵∠ADB = ∠DBC，∠ADC = 90∘ − ∠ABC 2 ∴ ∠ADB ≠ ∠CDB 所以④错误； ∵ ∠ACF = 2∠DCF ， ∠ACF = ∠BAC +∠ABC ， ∠ABC = 2∠DBC ， ∠DCF = ∠DBC +∠BDC， ∴ ∠BAC = 2∠BDC，∴⑤正确； 即正确的有4个， 故选：C． 10 【答案】A 【解析】解：∵点P是ΔABC的外角∠DBC、∠BCE的平分线的交点， ∴ ∠ECB = 2∠PCB，∠DBC = 2∠PBC； ∵ ∠ECB+∠ACB = 180∘ ，∠DBC +∠ABC = 180∘ ， ∴ 2∠PCB+2∠PBC +∠ACB+∠ABC = 360∘ ， 即2(∠PCB+∠PBC)+∠ACB+∠ABC = 360∘ ； 由 三 角 形 的 内 角 和 定 理 知 ： ∠PCB+∠PBC = 180∘ −∠BPC = 180∘ −70∘ = 110∘ ， ∠ACB+∠ABC = 180∘ −∠BAC， ∴ 2×110∘ +180∘ −∠BAC = 360∘ ， 解得∠BAC = 40∘ ， 故选：A． 能力强化 / 初二 / 秋季 96/136­ 第 11 讲 平行线与三角形 课堂落实答案 1 【答案】证明： ∵AC // DE，∴∠1 = ∠5， ∵DC // EF，∴∠5 = ∠3，∠2 = ∠4 ∴∠1 = ∠3， ∵CD平分∠ACB，∴∠1 = ∠2， ∴∠3 = ∠4，∴EF平分∠BED． 2 【答案】240° 【解析】该题考查等边三角形的性质． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A = ∠B = ∠C = 60∘ ， ∵四边形BCDE的内角和是360°， ∴∠BDE +∠CED = 360∘ −∠B−∠C = 360∘ −60∘ −60∘ = 240． ∘ 3 【答案】 解：延长BE交AC于点F， ∠EFC为△ABF的外角 ∠EFC = ∠A+∠ABE 同理：∠BEC = ∠ECF +∠EFC ∠BEC = ∠ECF +∠A+∠ABE ∠ABC = 3∠EBC，∠ACB = 3∠ECB 2 2 ∠BEC = ∠A+ (∠ABC +∠ACB) = ∠A+ (180∘ −∠A) = 135∘ 3 3 4 【答案】B 5 【答案】15∘ 【解析】∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A = 60∘ ， 1 1 ∴∠DBC = ∠ABC，∠DCB = ∠ACB， 2 2 ∴ 1 1 1 ∠DBC +∠DCB = (∠ABC +∠ACB) = (180∘ −∠A) = ×(180∘ −60∘ 2 2 2 97/136­ ∴∠MBC +∠NCB = 360∘ −60∘ = 300∘ ， ∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN， 1 1 ∴∠5+∠6 = ∠MBC，∠1 = ∠NCB， 2 2 1 ∴∠5+∠6+∠1 = (∠NCB+∠NCB) = 150∘ ， 2 ∴∠E = 180∘ −(∠5+∠6+∠1) = 180∘ −150∘ = 30， ∘ ∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ， ∴∠5 = ∠6，∠2 = ∠3+∠4， ∵∠3+∠4 = ∠5+∠F，∠2+∠3+∠4 = ∠5+∠6+∠E， 即∠2 = ∠5+∠F，2∠2 = 2∠5+∠E， ∴2∠F = ∠E， 1 1 ∴∠F = ∠E = ×30∘ = 15∘ ． 2 2 故答案为15∘ ． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 11 讲 平行线与三角形 精选精练 1 【答案】∵∠B = ∠C，∴AB // CD，∴∠BAD = ∠ADC， 又∵∠1 = ∠2，∴∠BAD−∠1 = ∠ADC −∠2， 即∠EAO = ∠ODF，∴AE // DF． 2 【答案】C 【解析】分类讨论． ①当三角形为锐角三角形时： 98/136­ 外角中三个钝角 ②当三角形为直角三角形时： 外角中两个钝角，一个直角 ③当三角形为锐角三角形： 外角中两个钝角，一个锐角 3 【答案】216∘ 4 (1【) 答案】∵∠BAC = 100∘ ，∴∠ABC +∠ACB = 80∘ ， ∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点， ∴∠OBC +∠OCB = 40∘ ， ∴∠BOC = 140∘ ； (2【) 答案】∵∠ABC+∠ACB=80∘ ，OB和OC分别是∠ABC和∠ACB的三等分线， 160∘ ∴∠OBC+∠OCB= ， 3 160∘ 380∘ ∴∠BOC = 180∘ − = ； 3 3 (3【) 答案】∵点O是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点， 80∘ ∴∠OBC +∠OCB = ， n 80∘ ∴∠BOC = 180∘ − ． n 当∠BOC = 170∘ 时，是八等分线的交线所成的角． 5 (1【) 答案】证明：∵A(0,1)，B(4,1)， ∴AB // CO， ∴∠OAB = 90∘ ， ∵AC平分∠OAB． ∴∠OAC = 45∘ ， 99/136­ ∴∠OCA = 90∘ −45∘ = 45∘ ， ∴∠OAC = ∠OCA，原命题成立． (2【) 答案】解:∵OP、CP分别是∠AOE和∠ACE的角平分线， ∴∠ACE = 2∠PCE，∠AOE = 2∠POE， 1 ∴∠PCE −∠POE = (∠ACE −∠AOE)， 2 ∵∠A = ∠ACE −∠AOE，∠P = ∠PCE −∠POE， ∴∠A = 2∠P． ∵∠OAC = ∠OCA = 45∘ ， ∴∠P = 22.5∘ ． 45 (3【) 答案】 解：∠OPC的大小为 ∘ ，证明如下： ( n ) 1 ∵∠POC = ∠AOC， n 1 90 ∴∠POC = ×90∘ = ∘ ， n ( n ) 1 ∵∠PCE = ∠ACE， n 1 135 ∴∠PCE = (180∘ −45∘) = ∘ ， n ( n ) ∵∠P +∠POC = ∠PCE， 45 ∴∠P = ∠PCE −∠POC = ∘ ，结论成立． ( n ) 6 【答案】解：（1）∵∠A 1＝70∘ ， ∴∠A 1 BC +∠A 1 CB＝180∘ −70∘ ＝110∘ ， ∵BA 2、CA 2分别是∠A 1 BC和∠A 1 CB的角平分线， 1 ∴∠A 2 BC +∠A 2 CB = ×110∘ ＝55∘ ， 2 ∴∠A 2＝180∘ −55∘ ＝125∘ ． （2）在△A 1 BC中，∠A 1 BC +∠A 1 CB＝180∘ −α ， 1 1 ∵∠A n BC = ∠A 1 BC，∠A n CB = ∠A 1 CB， n n 1 1 ∴∠A n BC +∠A n CB = (∠A 1 BC +∠A 1 CB) = (180∘ −α )， n n 1 ∴∠A n＝180∘ −(∠A n BC +∠A n CB)＝180∘ − (180∘ −α )； n （3）2(∠MBA n +∠NCA n )+(n−2)∠A n＝180∘n． 理由：如图②，∵BM、CN分别是△A 1 BC的两个外角的角平分线， 1 1 ∴∠MBE = ∠A 1 BE = (180∘ −∠A 1 BC)， 2 2 1 1 ∠NCF = ∠A 1 CF = (180∘ −∠A 1 CB)， 2 2 100/136­ ∴∠MBA n +∠NCA n＝360∘ −(∠MBE +∠NCF)−(∠A n BC +∠A n CB) 1 1 ＝360∘ − (180∘ −∠A 1 BC)− (180∘ −∠A 1 CB)−(180∘ −∠A n ) 2 2 1 = (∠A BC +∠A CB)+∠A 1 1 n 2 1 = (180∘ −∠A )+∠A 1 n 2 1 由（2）可得，∠A n＝180∘ − (180∘ −∠A 1 )， n ∴∠A 1＝n∠A n −180∘n+180∘ ， 1 ∴∠MBA n +∠NCAn = (180∘ −n∠A n +180∘n−180∘)+∠A n 2 n−2 ＝90∘n− ∠A n 2 ∴2(∠MBA n +∠NCA n )+(n−2)∠A n＝180∘n． 【解析】（1）根据三角形内角和定理，即可得到∠A 1 BC +∠A 1 CB的度数，再根据角平分线的 定义，即可得到∠A 2 BC +∠A 2 CB的度数，最后根据三角形内角和定理计算即可； （2）根据三角形内角和定理，即可得到∠A 1 BC +∠A 1 CB的度数，再根据BA n、 CA n分别是∠A 1 BC和∠A 1 CB的n等分线，即可得到∠A n BC +∠A n CB的度数，最后 根据三角形内角和定理进行计算即可； 1 （ 3 ） 根 据 ∠MBA n +∠NCAn = (180∘ −∠A 1 )+∠A n， 以 及 ∠A 1 ＝ 2 n−2 n∠A n −180∘n+180∘ ，即可得到∠MBA n +∠NCA n＝90∘n− ∠A n，进而 2 变形得出2(∠MBA n +∠NCA n )+(n−2)∠A n＝180∘n． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 12 讲 等腰与直角 例题练习题答案 例1 (1【) 答案】15∘ ； (2【) 答案】20∘ ； 101/136­ 1 (3【) 答案】∠BAD = 2∠EDC(或∠EDC = ∠BAD)； 2 (4【) 答案】仍成立，理由如下： ∵AD = AE， ∴∠ADE = ∠AED， ∴ ∠BAD+∠B = ∠ADC = ∠ADE +∠EDC = ∠AED+∠EDC = (∠E 又∵AB = AC， ∴∠B = ∠C， ∴∠BAD = 2∠EDC， 1 即∠EDC = ∠BAD． 2 练1.1 【答案】证明：因为AD⊥BC于D，AE⊥CE于E，AD = AE，且∠ACE = ∠B ∴△ ABD≌△ ACE， ∴AB=AC ∵AD⊥BC ∴D是BC的中点． 例2 【答案】证明：如图，过A作AM⊥BC于M， ∵AB = AC， ∴∠BAC = 2∠BAM， ∵AD = AE， ∴∠D = ∠AED， ∴∠BAC = ∠D+∠AED = 2∠D， ∴∠BAC = 2∠BAM = 2∠D， ∴∠BAM = ∠D， ∴DE // AM， ∵AM⊥BC， ∴DE⊥BC． 102/136­ 练2.1 【答案】证明：连接AD， ∵AB = AC，D是BC的中点， ∴∠EAD = ∠FAD， 在△AED和△AFD中， AE＝AF ⎧∠EAD＝∠FAD ⎨ AD＝AD ⎩ ∴△AED≌△AFD(SAS)， ∴DE = DF 例3 【答案】D 练3.1 【答案】D 例4 【答案】证明：∵∠B = ∠3−∠1，∠C = ∠4−∠2， 又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， ∴∠B = ∠C， ∴AB = AC， 即△ABC是等腰三角形． 练4.1 【答案】证明：∵∠ACB = 90∘ ，CD⊥AB， ∴∠CDA = 90∘ ， ∴∠CAF +∠CFA = 90∘ ，∠FAD+∠AED = 90∘ ， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF = ∠FAD， ∴∠CFA = ∠AED = ∠CEF， ∴CE = CF． 练4.2 【答案】10 【解析】∵CE平分∠ACB且CE⊥BD， ∴∠DCE = ∠BCE，∠CED = ∠CEB = 90∘ ， 在ΔCED和ΔCEB中 ∠DCE = ∠BCE ⎧⎪ CE = CE ⎨ ⎩⎪ ∠CED = ∠CEB 103/136­ ∴ΔCED ≌ΔCEB(ASA) ∴CD = BC， 又∠DAB=∠DBA， ∴AD = BD， ∵AC = 18，BD = 8， ∴BC = AC −AD = AC −BD = 18−8 = 10． 例5 【答案】在Rt△ADC中， ∠ACD+∠BCD=90°. 在Rt△BDC中， ∠B+∠BCD=90° ∴∠ACD=∠B.（等量代换） 练5.1 【答案】由题知∠C=90°，得△ABC为直角三角形 所以 ∠A+∠2=90°（直角三角形两锐角互余） ∵∠1=∠2 ∴∠A+∠1=90° 由三角形内角和定理得 ∠ADE=180°−（∠A+∠1）=90° 所以△ADE是直角三角形 例6 【答案】C 【解析】①当这两条边都是直角边时，结合直角相等，则可用SAS可判定两个三角形全等，当这 两条边一条是斜边一条是直角边时，可用HL判定这两个直角三角形全等，故正确； ②有一锐角和斜边对应相等时，结合直角，可用AAS来判定这两个直角三角形全等，故 正确； ③当一条直角边和一个锐角对应相等时，结合直角，可用AAS或ASA来证明这两个直角 三角形全等，故正确； ④当两个三角形面积相等时，这两个直角三角形不一定会等，故不正确； 综上可知正确的有3个， 练6.1 【答案】D 104/136­ 【解析】解：A、根据SAS定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题 意； B、根据AAS定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题 意； C、根据HL定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题 意； D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意； 例7 【答案】证明：∵∠A = ∠D = 90∘ ∴在Rt △ ABC和Rt △ DCB中， BC = CB {CA = BD ∴Rt △ ABC≌Rt △ DCB(HL) 练7.1 【答案】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC ∴∠B = ∠D = 90∘ ∴在Rt △ ABC和Rt △ ADC中， AC = AC {AB = AD ∴Rt △ ABC≌Rt △ ADC (HL) 能力强化 / 初二 / 秋季 第 12 讲 等腰与直角 自我巩固答案 1 【答案】A 2 【答案】D 【解析】解：∵在RtΔABC中，∠ACB = 90∘ ，∠A = 52∘ ， ∴ ∠B = 38∘ ， ∵ BC = BD， 1 ∴ ∠BCD = ∠BDC = (180∘ −38∘) = 71∘ ， 2 ∴ ∠ACD = 90∘ −71∘ = 19∘ ， ∴ ∠ADC = 180∘ −∠A−∠ACD = 180∘ −52∘ −19∘ = 109， ∘ 故选：D． 105/136­ 3 【答案】C 【解析】解：在ΔABC中，AB = AC，∠BAC = 100∘ ， ∴ ∠ACB = (180∘ −100∘)÷2 = 40∘ ， ∵ CE平分∠BCA， ∴ ∠BCE = 20∘ ， ∵ AD是BC边上的中线， ∴ ∠ADC = 90∘ ， ∴ ∠CFA = 90∘ +20∘ = 110∘ ． 故选：C． 4 【答案】解： ∵∠C = 180∘ −∠A−∠B = 55∘ ， ∴∠C = ∠A， ∴AB = BC， ∴△ABC是等腰三角形． 5 【答案】证明：∵∠ABE = ∠ACD， ∴∠DBF = ∠ECF， ∠DBF = ∠ECF 在△BDF和△CEF中，⎧∠BFD = ∠CFE， ⎨ BD = CE ⎩ ∴△ BDF≌ △ CEF (AAS)， ∴BF = CF，DF = EF， ∴BF +EF = CF +DF， 即BE = CD， ∠ABE = ∠ACD 在△ABE和△ACD中，⎧∠A = ∠A ， ⎨ BE = CD ⎩ ∴△ ABE≌ △ ACD(AAS)， ∴AB = AC， ∴△ABC是等腰三角形． 【解析】 6 【答案】C 7 【答案】B 8 【答案】C 【解析】∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A=∠B=90°， 106/136­ 又∵C是AB的中点，∴AC=BC， 若CD=CE，则△ADC≌△BEC（HL）， 故选C. 9 【答案】D 【解析】解：A选项，无法证明两条直角边对应相等，因此A错误． B、C选项，在全等三角形的判定过程中，必须有边的参与，因此B、C选项错误． D选项的根据是全等三角形判定中的SAS判定． 故选：D． 10 【答案】（1）在Rt△ADB和Rt△CBD中， AD = BC ， {BD = DB ∴Rt△ADB≌Rt△CBD（HL）， ∴AB = DC； （2）∵Rt△ADB≌Rt△CBD， ∴∠ADB = ∠CBD， ∴AD∥BC． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 12 讲 等腰与直角 课堂落实答案 1 【答案】C 2 【答案】A 【解析】解：∵ CD平分∠ACB，AE⊥CD， 可推出：AC = CE． 又∵ ∠B = ∠BAE， ∴ AE = BE． 1 1 1 ∴ AD = AE = BE = (BC −AC)． 2 2 2 ∵ BC = 5，AC = 3， 1 ∴ AD = (5−3) = 1． 2 故选：A． 107/136­ 3 【答案】B 4 【答案】D 【解析】解：条件是AB = CD， 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD = ∠AEB = 90∘ ， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB = CD ， {BE = CF ∴Rt △ ABE≌Rt △ DCF（HL）． 5 【答案】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD ∴∠D = ∠C = 90∘ 在Rt △ ABC和Rt △ BAD中， AB = BA {BC = AD ∴△ ABC≌△ BAD（HL） 能力强化 / 初二 / 秋季 第 12 讲 等腰与直角 精选精练 1 【答案】20 2 【答案】18∘ ≤ α < 22.5∘ 【解析】解：∵ OE = EF， ∴ ∠EOF = ∠EFO = α， ∴ ∠GEF = ∠EOF +∠EFO = 2α， 同理可得∠GFH = 3α，∠HGB = 4α， ∵最多能添加这样的钢管4根， ∴ 4α < 90∘ ，5α ≥ 90∘ ， ∴ 18∘ ≤ α < 22.5∘ ， 故答案为18∘ ≤ α < 22.5∘ ． 3 【答案】（1）解：①∵AD = AC，∠CAD = α， 1 1 ∴∠BCA = (180∘ −α) = 90∘ − α， 2 2 108/136­ ②过点A作AG⊥BC于点G，如图所示： ∴∠DAG+∠ADG = 90∘ ， 1 1 ∴∠CAG = ∠DAG = ∠CAD = α， 2 2 ∵CF⊥AD于点E， ∴∠DCE +∠ADG = 90∘ ， 1 1 ∴∠DCE = ∠DAG = ∠CAD = α， 2 2 1 即∠BCF = α； 2 （2）证明：∵∠B = 45∘ ，AG⊥BC， ∴∠BAG = 45∘ ， ∵∠BAC = 45∘ +∠CAG ， ∠AFC = 45∘ +∠DCE ， ∠DCE = ∠DAG ， ∠CAG = ∠DAG， ∴∠BAC = ∠AFC， ∴AC = FC． 【解析】 4 【答案】A 5 【答案】证明：∵CE⊥AB，CF⊥AD ∴∠AEC = ∠CFD = 90∘ 在Rt △ BCE和Rt △ DCF中 CB = CD {BE = DF ∴Rt △ BCE≌Rt △ DCF(HL) ∴EC = FC 在Rt △ ACE和Rt △ ACF中 AC = AC {EC = FC ∴Rt △ ACE≌Rt △ ACF(HL) 6 【答案】5或10 109/136­ 能力强化 / 初二 / 秋季 第 13 讲 等边与369 例题练习题答案 例1 【答案】15∘ 3 练1.1 【答案】30； 2 【解析】解：∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点， ∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°， 即∠DBE=30°，又DE=DB， ∴∠E=∠DBE=30°， ∵等边△ABC的周长为9，∴AC=3，且∠ACB=60°， ∴∠CDE=∠ACB­∠E=30°，即∠CDE=∠E， 1 3 ∴CD=CE= AC= ． 2 2 3 故答案为：30； 2 例2 【答案】15 练2.1 【答案】C 【解析】解：∵△ABC是等边三角形 ∴∠A=∠B=60° ∵AM=BN，AB=AB ∴△AMB≌△BNA ∴∠NAB=∠MBA=60°-∠MBC=35° ∴∠AOB=180°-2×35°=110° ∵∠MON=∠AOB ∴∠MON=110° 例3 【答案】解：（1）∵ M，N分别是点O关于PA、PB的对称点， ∴ EM = EO，FN = FO， ∴ ΔOEF的周长= OE +OF +EF = ME +EF +FN = MN = 6cm 110/136­ （2）连接OP， ∵ M，N分别是点O关于PA、PB的对称点， ∴ ∠MPA = ∠OPA，∠NPB = ∠OPB， ∴ ∠MPN = 2∠APB = 2α； （3）∵ α = 30∘ ， ∴ ∠MPN = 60∘ ， ∵ M，N分别是点O关于PA、PB的对称点， ∴ PM = PO，PN = PO， ∴ PM = PN， ∴ ΔPMN是等边三角形． 练3.1 【答案】（1）∵AB = AC， ∴ ΔABC是等腰三角形， ∴∠B = ∠C， ∵∠BAC = 120∘ ， 1 ∴ ∠B = ∠C = ×(180∘ −120∘) = 30∘ . 2 （2）∵AD⊥AC，AE⊥AB， ∴ ∠BAE = ∠DAC = 90∘ ， ∴ ∠AED = ∠ADE = 90∘ −30∘ = 60∘ ， ∴ ∠AED = ∠ADE = ∠DAE = 60∘ ， ∴ ΔADE是等边三角形． 例4 【答案】A 【解析】如图，延长BD到M使得DM = DC， 111/136­ ∵ ∠ADB = 78∘ ， ∴ ∠ADM = 180∘ −∠ADB = 102∘ ， ∵ ∠ADB = 78∘ ，∠BDC = 24∘ ， ∴ ∠ADC = ∠ADB+∠BDC = 102∘ ， ∴ ∠ADM = ∠ADC， 在△ ADM和△ ADC中， AD = AD ⎧⎪∠ADM = ∠ADC， ⎨ ⎩⎪ DM = DC ∴△ ADM≌ △ ADC（SAS）， ∴ AM = AC = AB， ∵ ∠ABD = 60∘ ， ∴△ AMB是等边三角形， ∴ ∠M = ∠DCA = 60∘ ， ∵ ∠DOC = ∠AOB，∠DCO = ∠ABO = 60∘ ， ∴ ∠BAO = ∠ODC = 24∘ ， ∵ ∠CAB+∠ABC +∠ACB = 180∘ ， ∴ 24∘ +2(60∘ +∠CBD) = 180∘ ， ∴ ∠CBD = 18∘ ． 练4.1 【答案】证明：（1）∵ ΔABC是等腰直角三角形， ∴ ∠BAC = ∠ABC = 45∘ ， ∵ ∠CAD = ∠CBD = 15∘ ， ∴ ∠BAD = ∠ABD = 45∘ −15∘ = 30∘ ， ∴ BD = AD． ∴ D在AB的垂直平分线上， ∵ AC = BC， ∴ C也在AB的垂直平分线上， ∴直线CD是线段AB的垂直平分线． 112/136­ （2）∵ CD是线段AB的垂直平分线， ∴ ∠ACD = ∠BCD = 45∘ ， ∴ ∠CDE = 15∘ +45∘ = 60∘ ， ∴ ∠BDE = ∠DBA+∠BAD = 60∘ ， ∴ ∠CDE = ∠BDE， ∴ DE平分∠BDC． （3）如图，连接MC． ∵ DC = DM，∠MDC = 60∘ ， ∴ ΔDMC是等边三角形． ∴ CM = CD，∠DMC = ∠CDM = 60∘ ， ∴ ∠ADC = ∠EMC = 120∘ ， 在ΔADC和ΔEMC中， ∠ADC = ∠EMC ⎧⎪∠DAC = ∠MEC， ⎨ ⎩⎪ AC = EC ∴ ΔADC ≅ΔEMC， ∴ ME = AD = BD． 例5 (1【) 答案】解：①∵ ΔABC是等边三角形， ∴ ∠B = 60∘ ， ∵ DE//AB， ∴ ∠EDC = ∠B = 60∘ ， ∵ EF⊥DE， ∴ ∠DEF = 90∘ ， ∴ ∠F = 90∘ −∠EDC = 30∘ ； ②∵ ∠ACB = 60∘ ，∠EDC = 60∘ ， ∴ ΔEDC是等边三角形． ∴ ED = DC = 2， ∵ ∠DEF = 90∘ ，∠F = 30∘ ， 113/136­ ∴ DF = 2DE = 4． (2【) 答案】证明：∵ AB = AC，∠BAC = 120∘ ∴ ∠B = ∠C = 30∘ ∵ D是BC中点 ∴ AD⊥BC且AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = 60∘ ，∠ADB = 90∘ 1 ∴ AD = AB 2 又∵ DE⊥AB ∴ ∠DEA = 90∘ ∴ ∠ADE = 90∘ −∠BAD = 90∘ −60∘ = 30∘ 1 ∴ AE = AD 2 1 ∴ AE = AB 4 练5.1 【答案】2，3 1 例6 【答案】 ab 4 【解析】作CD⊥AB于点D． ∵在直角三角形ACD中，∠CAD = 180∘ −∠BAC = 30∘ ， 1 1 ∴CD = AC = b， 2 2 1 1 1 1 则S ΔABC = AB⋅CD = a⋅ b = ab． 2 2 2 4 1 故答案是： ab． 4 练6.1 【答案】D 例7 【答案】解：（1）证明：∵ ΔABC是等边三角形， ∴ ∠BAC = ∠C = 60∘ ，AB = CA， 在ΔABE和ΔCAD中， AB = CA ⎧⎪∠BAC = ∠C， ⎨ ⎩⎪ AE = CD ∴ ΔABE ≅ΔCAD(SAS)； （2）∵ ΔABE ≅ΔCAD， ∴ ∠ABE = ∠CAD， ∴ ∠ABE +∠BAP = ∠CAD+∠BAP， 114/136­ 即∠BPQ = ∠BAC = 60∘ ； （3）∵ BQ⊥AD， ∴ ∠BQP = 90∘ ， ∴ ∠PBQ = 30∘ ， ∴ BP = 2PQ = 12， ∴ BE = BP +PE = 12+2 = 14， ∵ ΔABE ≅ΔCAD， ∴ BE = AD = 14． 2 练7.1 【答案】 3 【解析】解：∵∠DEB=90° ∴∠BDE=90°­60°=30° ∴∠ADF=180­30°­60°=90° 同理∠EFC=90° 又∵∠A=∠B=∠C，DE=DF=EF ∴△BED≌△ADF≌△CFE ∴AD=BE， 由勾股定理得： BD ∵BE= 2 BD ∵AB=BD+AD=BD+BE=BD+ =1 2 2 ∴BD= ． 3 能力强化 / 初二 / 秋季 第 13 讲 等边与369 自我巩固答案 1 【答案】A 2 【答案】B 3 【答案】C 4 【答案】证明：∵ ΔABC为等边三角形， ∴ ∠B = ∠ACB = 60∘ ，AB = AC， 115/136­ 即∠ACD = 120∘ ， ∵ CE平分∠ACD， ∴ ∠1 = ∠2 = 60∘ ， 在ΔABD和ΔACE中， AB = AC ⎧⎪∠B = ∠1 ， ⎨ ⎩⎪ BD = CE ∴ ΔABD ≅ΔACE(SAS)， ∴ AD = AE，∠BAD = ∠CAE， 又∠BAC = 60∘ ， ∴ ∠DAE = 60∘ ， ∴ ΔADE为等边三角形． 5 【答案】证明：（1）∵ ΔABC为等边三角形， ∴ ∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60∘ ， ∵ DE//BC， ∴ ∠AED = ∠ABC = 60∘ ，∠ADE = ∠ACB = 60∘ ， ∴ ∠A = ∠AED = ∠ADE， ∴ ΔADE是等边三角形； （2）∵ ΔADE是等边三角形 ∴ ED = AE， ∵ BD平分∠ABC， ∴ ∠EBD = ∠CBD， ∵ DE//BC， ∴ ∠CBD = ∠EDB ， ∴ ∠EDB = ∠EBD ∴ EB = ED， ∴ AE = EB． 6 【答案】D 7 【答案】（1）证明：∵AB＝AC，∠C＝30°， 116/136­ ∴∠B＝30°，∠BAC＝120°， ∵AB⊥AE， ∴∠BAE＝90° ∴∠DAE＝30°＝∠C， ∴AE＝EC； （2）∵∠C＝30°，DE⊥AC， ∴EC＝2DE＝AE＝4， ∵AB⊥AE，∠B＝30°， ∴BE＝2AE＝8， ∴BC＝BE+EC＝12． 8 【答案】证明：∵ DE垂直平分线段AC， ∴ DA = DC， ∴ ∠DAC = ∠C = 30∘ ， ∴ ∠ADB = ∠DAC +∠C = 60∘ ， ∵ ∠B = 60∘ ， ∴ ∠BAD = ∠B = ∠ADB = 60∘ ， ∴ ΔABD是等边三角形． 9 【答案】B 【解析】解：等边△ABC中，有 AB = BC ∵⎧⎪∠ABC = ∠C = 60° ⎨ ⎩⎪ BD = CE ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE ∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠ABP+∠PBD=∠ABD=60°． 故选：B． 10 【答案】解：∵ ΔABC为等边三角形， ∴ AB = CA，∠BAE = ∠ACD = 60∘ ； 又∵ AE = CD， 在ΔABE和ΔCAD中， AB = CA ⎧⎪∠BAE = ∠ACD ⎨ ⎩⎪ AE = CD ∴ ΔABE ≅ΔCAD； 117/136­ ∴ BE = AD，∠CAD = ∠ABE； ∴ ∠BPQ = ∠ABE +∠BAD = ∠BAD+∠CAD = ∠BAE = 60； ∘ ∵ BQ⊥AD， ∴ ∠AQB = 90∘ ，则∠PBQ = 90∘ −60∘ = 30∘ ； ∵ PQ = 3， ∴在RtΔBPQ中，BP = 2PQ = 6； 又∵ PE = 1， ∴ AD = BE = BP +PE = 7． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 13 讲 等边与369 课堂落实答案 1 【答案】D 2 【答案】D 3 【答案】B 4 【答案】A 5 【答案】C 能力强化 / 初二 / 秋季 第 13 讲 等边与369 精选精练 1 【答案】证明：延长BD至F，使DF=BC，连接EF， ∵AE=BD，△ABC为等边三角形， ∴BE=BF，∠B=60°， ∴△BEF为等边三角形， ∴∠F=60°， 在△ECB和△EDF中， 118/136­ BE=EF ⎧⎪∠B=∠F=60∘， ⎨ ⎩⎪ BC=DF ∴△ECB≌△EDF（SAS）， ∴EC=ED． 【解析】 2 【答案】∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC = ∠ABC = 60∘，AB = AC = BC ， ∴∠EAF = ∠EBD = 120∘ ， ∵BE = AF = CD， ∴BE +AB = BC +CD，即AE = BD， 在△AEF和△BDE中， AF = BE ⎧⎪∠FAE = ∠EBD， ⎨ ⎩⎪ AE = BD ∴△ AEF≌ △ BDE（SAS） ， ∴EF = ED ， 同理可得△ AEF≌ △ CFD ， ∴EF = FD， ∴EF = ED = FD ， ∴△DEF为等边三角形． 3 【答案】15°或75° 4 【答案】2 5 (1【) 答案】证明：∵将△ BOC绕点C按顺时针方向旋转60∘ 得△ ADC, ∴ ∠OCD = 60∘ ,CO = CD， ∴△ OCD是等边三角形； (2【) 答案】解：△ AOD为直角三角形． 119/136­ 理由:∵△ COD是等边三角形， ∴ ∠ODC = 60∘ , ∵将△ BOC绕点C顺时针方向旋转60∘ 得△ ADC, ∴ ∠ADC = ∠BOC = α， ∴ ∠ADC = ∠BOC = 150∘ ， ∴ ∠ADO = ∠ADC −∠CDO = 150∘ −60∘ = 90∘ , ∴△ AOD是直角三角形． 6 【答案】（1）解：设AP = x，则BQ = x， ∵ ∠BQD = 30∘ ，∠C = 60∘ ， ∴ ∠QPC = 90∘ ， ∴ QC = 2PC，即x+6 = 2(6−x)， 解得x = 2， 即AP = 2． （2）证明：如图， 过P点作PF//BC，交AB于F， ∵ PF//BC， ∴ ∠PFA = ∠FPA = ∠A = 60∘ ， ∴ PF = AP = AF， ∴ PF = BQ， 又∵ ∠BDQ = ∠PDF，∠DBQ = ∠DFP， ∴ ΔDQB ≅ΔDPF， ∴ DQ = DP即D为PQ中点， （3）运动过程中线段ED的长不发生变化，是定值为3， 理由：∵ PF = AP = AF，PE⊥AF， 1 ∴EF = AF， 2 又∵ ΔDQB ≅ΔDPF， 1 ∴DF = DB,即DF = BF， 2 1 1 ∴ED = EF +DF = (AF +BF) = AB = 3． 2 2 120/136­ 能力强化 / 初二 / 秋季 第 14 讲 角平分线与垂直平分线 例题练习题答案 例1 【答案】D 【解析】解：连接OA、OB， ∵∠BAC=80°， ∴∠ABC+∠ACB=100°， ∵O是AB，AC垂直平分线的交点， ∴OA=OB，OA=OC， ∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC， ∴∠OBA+∠OCA=80°， ∴∠OBC+∠OCB=100°-80°=20°， ∵OB=OC， ∴∠BCO=∠CBO=10°， 故选：D． 练1.1 【答案】B 【解析】解：连接AC， ∵MN是AE的垂直平分线， ∴AC=EC， ∴∠CAE=∠E， ∵AB+BC=BE，BC+EC=BE， ∴AB=EC=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E， ∴∠B=2∠E， 121/136­ ∴∠BAC=180°­∠B­∠ACB=180°­4∠E， ∵∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°­4∠E+∠E=105°， 解得：∠E=25°， ∴∠B=2∠E=50°． 故选：B． 例2 【答案】A 【解析】∵ AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E， ∴ DB = DA，EC = EA， ∴ ΔADE的周长= AD+DE +AE = BD+DE +EC = BC = 1，2 故选：A． 练2.1 【答案】∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA = DCAC = 2AE = 10cm ∵△ABD的周长为17cm， ∴AB+BD+AD = AB+BD+DC = AB+BC = 17cm ∴△ABC的周长= AB+BC +AC = 27cm． 例3 【答案】容 易 证 △ ADB≌ △ ADE ， AB = AE ， AB+BD = DC = DE +EC ， AB = CE = AE， ∴E点在线段AC的垂直平分线上 练3.1 【答案】如图，连接PA、PB、PC， 由垂直平分线的性质可得， PA = PB，PA = PC， 故PB = PC， ∴点P也在BC的垂直平分线上． 122/136­ 例4 【答案】已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分 别为E、F， 求证：PE＝PF． 证明：∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠POE＝∠POF， ∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠PEO＝∠PFO， 在△POE和△POF中 ∠PEO = ∠PFO ∵ ⎧⎪∠EOP = ∠FOP， ⎨ ⎩⎪ OP = OP ∴△POE≌△POF (AAS)， ∴PE＝PF． 【解析】结合已知条件，根据全等三角形的判定和性质，推出△POE≌△POF即可． 练4.1 【答案】（1）证明：∵OP平分∠AOB，PE⊥AO，PF⊥BO， ∴PE＝PF； （2）成立， 理由是：如图，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N， 则∠PME＝∠PNF＝90∘ ， ∵OP平分∠AOB， ∴PM＝PN， ∵将∠EPF绕点P进行旋转， ∵∠MPE = ∠NPF, ∠PME = ∠PNF 在△PEM和△PFN中， ⎧⎪PM = PN ， ⎨ ⎩⎪ ∠MPE = ∠NPF ∴△PEM≌△PFN (ASA)， ∴PE＝PF． 【解析】（1）根据角平分线的性质即可得到结论； （2）如图，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，则∠PME＝∠PNF＝90∘ ， 由OP平分∠AOB ，得到PM＝PN， 证 得 ∠MPE ＝ ∠FPN ， 推 出 △PEM≌ △ 123/136­ PFN (ASA)，即可得到结论． 例5 【答案】A 【解析】解：如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DF， 由图可知，S △ABC=S △ABD+S △ACD， 1 1 ∴ ×4×2+ ×3×2=7， 2 2 解得S △ACB=7． 故选：A． 练5.1 (1【) 答案】45 【解析】解：∵在△ABC中，∠A=90°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD=6cm， ∴AD=DE=6cm， ∵BC=15cm， 1 1 ∴△BDC的面积是 BC×DE= ×15cm×6cm=45cm2 2 2 故答案为：45． (2【) 答案】16 例6 【答案】证明：过点D作DH⊥AB于H，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N， ∵∠ABC的平分线与∠BAC的平分线交于点D， ∴DH = DM，DH = DN， ∴DM = DN， ∴CD平分∠ACB． 练6.1 【答案】证明：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， 124/136­ ∴∠ODB = ∠OEC = 90∘ ． ∠ODB = ∠OEC = 90∘ 在△DBO和△ECO中 ⎧⎪∠DOB = ∠EOC ， ⎨ ⎩⎪ OB = OC ∴△DBO≌△ECO(AAS)． ∴OD = OE． ∵OD⊥AB，OE⊥AC，OD = OE， ∴AO平分∠BAC． 【解析】首先可证明△DBO≌△ECO，再根据三角形角平分线的逆定理求得AO是△ABC的角平分线即 可． 例7 【答案】提示：过C作AD的垂线交AD延长线于F， 易得△EAC≌△FAC（AAS），可得AE=AF， 易得△BCE≌△DCF（AAS），可得BE=DF， ∴AE = AD+DF = AD+BE． 练7.1 【答案】提示：（1）过点O作OE⊥AC于E， ∵∠ABD=90°，OA平分∠BAC， ∴OB=OE， ∵点O为BD的中点， ∴OB=OD， ∴OE=OD， ∴OC平分∠ACD； （2）在△ABO和△AEO中，易证△ABO≌△AEO（AAS）， ∴∠AOB=∠AOE， 同理求出∠COD=∠COE， 1 ∴∠AOC=∠AOE+∠COE= ×180°=90°， 2 125/136­ ∴OA⊥OC； （3）∵△ABO≌△AEO（AAS）， ∴AB=AE， 同理可得CD=CE， ∴AC=AE+CE=AB+CD． 【解析】 能力强化 / 初二 / 秋季 第 14 讲 角平分线与垂直平分线 课堂落实答案 1 【答案】13 【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA=EB， 则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13， 故答案为：13． 2 【答案】A 3 【答案】C 【解析】过点P作PB⊥OM于B， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA = 3， ∴PB = PA = 3， ∴PQ的最小值为3． 故选：C． 4 【答案】A 【解析】解：过P作PD⊥AC于D， ∵点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B， ∴PD=PB=5cm， 126/136­ 1 1 ∴S = AC•PD= ×12×5=30cm2， △APC 2 2 故选：A． 5 【答案】D 【解析】 过M作ME⊥AD于E， ∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点， 1 1 ∴∠MDE = ∠CDA，∠MAD = ∠BAD， 2 2 ∵DC∥AB， ∴∠CDA+∠BAD = 180∘ ， 1 1 ∴∠MDA+∠MAD = (∠CDA+∠BAD) = ×180∘ = 90， ∘ 2 2 ∴∠AMD = 180∘ −90∘ = 90∘ ，∴①正确； ∵DM平分∠CDE，∠C = 90∘(MC⊥DC），ME⊥DA， ∴MC = ME， 同理ME = MB， 1 ∴MC = MB = ME = BC，∴②正确； 2 ∴M到AD的距离等于BC的一半，∴⑤正确； ∵由勾股定理得：DC2 = MD2 −MC2 ，DE2 = MD2 −ME2 ， 又∵ME = MC，MD = MD， ∴DC = DE， 同理AB = AE， ∴AD = AE +DE = AB+DC，∴③正确； ∵在△DEM和△DCM中 DE = DC ⎧⎪DM = DM， ⎨ ⎩⎪ ME = MC 127/136­ ∴△DEM≌△DCM(SSS)， ∴S △DEM = S △DCM 同理S △AEM = S △ABM， 1 ∴S △AMD = 2 S ABCD，∴④正确； 故选：D． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 14 讲 角平分线与垂直平分线 自我巩固答案 1 【答案】B 2 【答案】A 【解析】∵ BD平分∠ABC， ∴ ∠DBC = ∠ABD， ∵ ∠A = 60∘， ∴ ∠ABC +∠ACB = 120∘， ∵ ∠ACF = 48∘， ∵ BC的中垂线交BC于点E， ∴ BF = CF， ∴ ∠FCB = ∠FBC， ∴ ∠ABC = 2∠FCE， ∵ ∠ACF = 48∘， ∴ 3∠FCE = 120 ∘−48∘ = 72∘， ∴ ∠FCE = 24∘， ∴ ∠ABC = 48∘． 3 【答案】A 【解析】∵∠ABC＝∠C，AB＝8， ∴AC＝AB＝8， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， 由题意得，BC＋BE＋CE＝13， 128/136­ ∴BC＋EA＋EC＝13，即BC＋AC＝13， ∴BC＝5． 4 【答案】∵AB = AC，BD = CD， ∴点A、D在线段BC的垂直平分线上， ∴AD垂直平分BC． 5 【答案】B 【解析】作PE⊥OA于E， ∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PE = PD = 2， 故选：B． 6 【答案】C 【解析】解：作EF⊥BC于F， ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC， ∴EF = DE = 2， 1 1 ∴S △BCE = 2 BC ⋅EF = 2 ×5×2 = 5， 故选：C． 7 【答案】A 8 【答案】证明：如图，连接AD， 在△ ABD和△ ACD中， 129/136­ AB = AC ⎧⎪BD = CD， ⎨ ⎩⎪ AD = AD ∴△ ABD≌ △ ACD(SSS)， ∴∠BAD = ∠CAD， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE = DF． 9 【答案】证明：∵O在∠B、∠C的平分线上， ∴O到AB、BC、AC的距离相等， 即O到∠A两边的距离相等， ∴O在∠A的平分线上． 10 【答案】解：如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∵ OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∴ CE = CF， ∵ CB = CA，∠CEB = ∠CFA = 90∘ ， ∴Rt △ CEB≌Rt △ CFA(HL)， ∴ ∠FAC = ∠EBC， 又∵∠FAC +∠OAC = 180∘ ， ∴∠EBC +∠OAC = 180∘ ， ∴ ∠OAC +∠OBC = 180∘ ． 能力强化 / 初二 / 秋季 第 15 讲 阶段自检B 期末试卷答案 1 【答案】C 2 【答案】A 130/136­ 3 【答案】B 4 【答案】C 5 【答案】C 6 【答案】C 7 【答案】A 8 【答案】C 9 【答案】B 【解析】A、∵42 +52 ≠ 62 ，∴不能构成直角三角形，故A错误； B、∵12 +12 = √2 –2 ，∴能构成直角三角形，故B正确； C、∵62 +82 ≠ 112 ，∴不能构成直角三角形，故C错误； D、∵52 +122 ≠ 232 ，∴不能构成直角三角形，故D错误． 故选：B． 10 【答案】C 【解析】解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点， 1 1 ∴∠1= ∠ACE，∠2= ∠ABC， 2 2 又∵∠D=∠1­∠2，∠A=∠ACE­∠ABC， 1 ∴∠D= ∠A=25°． 2 故选：C． 2 11 【答案】 7 12 【答案】∠1+∠2=2∠A 【解析】设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，则∠1＝180°－2x，∠2＝180°－2y， ∵∠1＋∠2＝360°－2（x＋y）＝360°－2（180°－∠A）＝2∠A， ∴关系为：∠1＋∠2＝2∠A． 13 【答案】25 14 【答案】−43 15 【答案】(−2,3) 16 【答案】150° 17 【答案】16 【解析】∵一次函数y = −x+a与y = x+b的图象相交于点(m,8)， 131/136­ ∴−m+a = 8 ①，m+b = 8 ②， ①+②得：a+b = 16． 18 【答案】(5,0) 【解析】根据跳动的路线与方向得出一般性的规律,然后根据规律得出答案. 19 x = 2 (1【) 答案】 ⎧ 4 ⎨ y = − ⎩ 3 x = 18 (2【) 答案】 {y = 6 −− 20 【答案】 2 −− 1 (1) – +√18 −4 √2−1 √2 – – – – = 2(√2+1)+3√2−2√2 = 2+3√2 – √2ab (2) ． 3 21 【答案】证明：∵∠BAP+∠APD=180°，(已知) ∴AB∥CD．(同旁内角互补两直线平行) ∴∠BAP=∠APC．(两直线平行,内错角相等) 又∵∠1=∠2，(已知) ∠3 = ∠BAP −∠1 ， ∠4 = ∠APC −∠2 ， ∴∠3 = ∠4 (等式的性质)（3分） ∴AE∥PF．(内错角相等两直线平行)（2分） ∴∠E=∠F．(两直线平行内错角相等)（2分） 22 【答案】解：（1）由题意可得：银卡消费：y = 10x+150，普通消费：y = 20x；（2分） （2）由题意可得：当10x+150 = 20x， 解得：x = 15，则y = 300， 故B(15,300)，（1分） 当y = 10x+150，x = 0时，y = 150， 故A(0,150)，（1分） 当y = 10x+150 = 600， 解得：x = 45，则y = 600， 故C (45,600)；（1分） （3）如图所示：由A，B，C的坐标可得： 当0 < x < 15时，普通消费更划算； 132/136­ 当x = 15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当15 < x < 45时，银卡消费更划算； 当x = 45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算； 当x > 45时，金卡消费更划算（3分） 23 (1【) 答案】设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，由题意得 x+y = 500 ， {24x+33y = 13800 x = 300 解得： ． {y = 200 答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱． 【解析】设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，根据投入13800元资金购进甲、乙 两种矿泉水共500箱，列出方程组解答即可； (2【) 答案】300×（36-24）+200×（48-33） = 3600+3000 =6600（元）． 答：该商场共获得利润6600元． 【解析】总利润=甲的利润+乙的利润． m 24 【答案】A(−2k,0)，B(0,k)，C ,0 ，D(0,m)； ( 2 ) k 1 = ； m 2 m = 6． 25 【答案】解：(1)∵OA=6，OB=10，四边形OACB为长方形， ∴C(6,10)． 设此时直线DP解析式为y=kx+b， b = 2 k = 4 把(0,2)，C(6,10)分别代入，得 ，解得 3 {6k+b = 10 { b = 2 4 则此时直线DP解析式为y= x+2； 3 (2)①当点P在线段AC上时，OD=2，高为6，S=6； 1 当点P在线段BC上时，OD=2，高为6+10-2t=16-2t，S= ×2×(16- 2 2t)=-2t+16； ②设P(m,10)，则PB=PB′=m，如图2， ∵OB′=OB=10，OA=6， −−−−−−−−−− ∴AB′= OB′2 −OA2 =8， √ 133/136­ ∴B′C=10-8=2， ∵PC=6-m， 10 2 2 2 ∴m =2 +(6-m) ，解得m= 3 10 则此时点P的坐标是( ,10)； 3 (3)存在，理由为: 若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑:如图3， ①当BD=BP =OB-OD=10-2=8， 1 ②在Rt△BCP 中，BP =8，BC=6， 1 1 −−−−−− – 根据勾股定理得:CP =√82 −62 =2√7， 1 – – ∴AP =10-2√7，即P (6,10-2√7)； 1 1 ③当BP =DP 时，此时P (6,6)； 2 2 2 ④当DB=DP =8时， 3 在Rt△DEP 中，DE=6， 3 −−−−−− – 根据勾股定理得:P E=√82 −62 =2√7， 3 – – ∴AP =AE+EP =2√7+2，即P (6,2√7+2)， 3 3 3 – – 综上，满足题意的P坐标为(6,6)或(6,2√7+2)或(6,10-2√7)． 【解析】（1）∵OA＝6，OB＝10，四边形OACB为长方形， ∴C（6，10）． 设此时直线DP解析式为y＝kx＋b， 把（0，2），C（6，10）分别代入，得 ， 解得 4 则此时直线DP解析式为y = x+2； 3 134/136­ （2）①当点P在线段AC上时，OD＝2，高为6，S＝6； 当点P在线段BC上时，OD＝2，高为6＋10－2t＝16－2t， 1 S = ×2×(16−2t) = −2t +16； 2 ②设P（m，10），则PB＝PB′＝m，如图2， ∵OB′＝OB＝10，OA＝6， −−−−−−−−−− ∴AB′ = OB′2 −OA2 = 8， √ ∴B′C＝10－8＝2， ∵PC＝6－m， 10 ∴m 2 ＝2 2 ＋（6－m） 2 ，解得m = 3 10 则此时点P的坐标是（ ，10）； 3 （3）存在。理由为： 若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3， ①当BD＝BP ＝OB－OD＝10－2＝8， 1 在Rt△BCP 中，BP ＝8，BC＝6， 1 1 −−−−−− – 根据勾股定理得：CP 1 = √82 −62 = 2√7， – – ∴AP 1 = 10−2√7，即P 1 （6，10−2√7）； ②当BP ＝DP 时，此时P （6，6）； 2 2 2 ③当DB＝DP ＝8时， 3 在Rt△DEP 中，DE＝6， 3 −−−−−− – 根据勾股定理得：P 3 E = √82 −62 = 2√7， – – ∴AP 3 = AE +EP 3 = 2√7+2，即P 3 （6，2√7+2）， 135/136­ – – 综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2√7+2）或（6，10−2√7． 26 【答案】−1 27 【答案】x−1 < [x] ≤ x； 1 1 1 − 、 、 （3分，每个答案1分）． 6 6 2 136/136