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专题15 整式的乘法与因式分解50道计算专训（6大题型）
【题型目录】
题型一 同底数幂的乘法
题型二 幂的乘方与积的乘方
题型三 同底数幂的除法
题型四 乘法公式
题型五 因式分解
题型六 新定义计算
【题型一 同底数幂的乘法】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同底数幂乘法法则求解即可得到答案；
（2）先根据同底数幂乘法法则求解，再合并同类项即可得到答案；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
【点睛】本题考查同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握 ．
2．（2020上·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考期中）计算：
(1)(2)
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）根据同底数幂相乘的法则进行运算即可；
（2）根据同底数幂相乘的法则以及单项式乘多项式的法则进行运算即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘的法则以及单项式乘多项式的法则，正确掌握同底数幂相乘的法则以及
单项式乘多项式的法则是解题的关键．
3．（2023上·八年级课时练习）如果 ，求n的值．
【答案】
【分析】由题意可知 ，再根据同底数幂的乘法法则可变形为 ，即得出 ，解出n
的值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法．掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．
4．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；
（3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)【分析】（1）由同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）由同底数幂的乘法法则计算即可；
（3）由同底数幂的乘法法则计算即可；
（4）参照同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解： ．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握法则是解题的关键．
6．（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解： ；（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解： ．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则．计算同底数幂的乘法时，底数不
变，指数相加．
7．（2023下·湖南娄底·七年级统考期中）（1）若 ， ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1）15（2）
【分析】（1）逆用同底数幂的乘法计算即可求解；
（2）根据同底数幂的乘法运算法则求得a的值，再代入求解即可．
【详解】解：（1） ， ，
；
（2）
，
，
．
．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
8．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）回答下列问题：
(1)已知 ，求 的值；
(2)已知 ，求x的值．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算解答；
（2）根据同底数幂乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
所以 ．
（2）解：因为 ，
所以 ，
所以 ．
【点睛】此题考查了同底数幂乘法的计算法则及逆运算，正确掌握同底数幂乘法的计算法则是解题的关键．
9．（2021下·安徽合肥·七年级合肥寿春中学校考期中）在计算 时，小明发现每一个
加数都是下一个加数的2倍，于是他的做法是：
令 ，
，
，
即 ．
仿照上述做法，解决下列问题：
(1) ______．
(2)计算： （写出计算过程）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令 ，则 ，即 ，计算求解即
可；
（2）令 ，则 ，即，计算求解即可．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
∴ ，
解得， ，
故答案为： ；
（2）解：令 ，则 ，
∴ ，
解得， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法．解题的关键在于理解题意并正确的运算．
10．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)0(5)0
(6)0
【分析】（1）先将 转化为 ，再利用同底数幂的乘法运算法则运算即可；
（2）先将 转化为 ，再利用同底数幂的乘法运算法则运算即可；
（3）先将 转化为 ，再利用同底数幂的乘法运算法则运算即可；
（4）先根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”运算，再合并同类项即可；
（5）先确定每一项的符号，再根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”运算，再合并同类项即可；
（6）先确定每一项的符号，再根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”运算，再合并同类项即可；
【详解】（1）解：原式=
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式=
；
（5）原式
；
（6）原式
．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的运算法则是解题的关键，其中每一项的符号
是易错点．【题型二 幂的乘方与积的乘方】
11．（2023上·天津滨海新·八年级校考期中）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算幂的乘方，再算同底数幂相乘，最后合并同类项；
（2）先算幂的乘方，再算同底数幂相乘；
【详解】（1）
；
（2）
；
【点睛】该题主要考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方以及合并同类项．
12．（2023上·福建福州·八年级统考期中）计算：
(1)已知 ，求n的值．
(2)已知 ，求m的值．
【答案】(1)2
(2)3【分析】（1）利用幂的乘方法则变形得到 ，即可求解；
（2）运用幂的乘方，把底数都化为3的形式，结合同底数幂的乘法，列出关于 的方程求解．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
解得： ；
（2） ，
，
即 ，
，
解得 ．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方等知识．熟练掌握运算法则的逆用是解题的关键．
13．（2023上·四川内江·八年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）（1）已知 ，求
的值．
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出答案即可；
（2）先根据幂的乘方法则将原式各项化为含 的幂的形式，然后代入进行计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴原式
；
（2）解：∵ ，
∴．
【点睛】本题考查了幂的乘方及其逆运算、同底数幂的乘法，掌握运用整体代入法是解题的关键．
14．（2023上·山西临汾·八年级校考阶段练习）已知 ， ．
(1)求 和 的值．
(2)利用（1）中的结果，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)36
【分析】（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则进行运算，从而可求解；
（2）把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ．
（2）
．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知 ， ．求：
(1) ；
(2) 的值．【答案】(1)5400
(2)
【分析】（1）逆向运用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；
（2）逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．
【详解】（1）解： ， ，
；
（2）解： ， ，
．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方的逆运算，掌握幂的运算性质是解答本题的关键．
16．（2023上·山西长治·八年级长治市第六中学校校考阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定
义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆
向运用表现为 ， ， （m，n为正整数）．
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
(1)已知 ，请把 用“<”连接起来： ____________．
(2)若 ，求 的值．
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)72
(3)8
【分析】（1）逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小；
（2）逆用同底数幂的乘法即可求解；
（3）逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再计算即可求解．【详解】（1）解：由题得： ．
，
；
（2）解：∵ ，
∴
；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方法则，掌握法则的逆用是解题的关键．
17．（2023上·北京海淀·八年级校考期中）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，再合并同类项；
（2）把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可；
（3）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
=
= ；
（3）解：
=
=
= ．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算，合并同类项，掌握幂的运算法则是
解题的关键．
18．（2022上·福建莆田·八年级校考期中）（1）已知 ， ， ， 为正整数，求 的值；
（2）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）由 可得： 再把 化为： ，从而可得答案；
（2）根据积的乘方与幂的乘方化为 ，代入，即可求解．
【详解】（1）解：（2）解：∵ ， ，
∴
【点睛】本题考查的是同底数幂乘法运算及其逆运算，积的乘方、幂的乘方运算及其逆运算，掌握以上知
识是解题的关键．
19．（2022上·四川宜宾·八年级校考期中）观察并验证下列等式：
(1)续写等式： ；（写出最后结果）
(2)我们已经知道 ，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：
_______；（结果用因式乘积表示）
(3)利用上述结论计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）观察所给的各式即可得到答案；
（2）根据题干中已知等式知从 开始的连续 个整数的立方和等于这 个数的和的平方，据此可得；
（3）提公因式 ，进而根据题意进行计算即可求解．【详解】（1）由题意可得：
；
故答案为： ．
（2） ；
故答案为： ．
（3）
【点睛】本题考查积的乘方以及数字规律，涉及整式混合运算，有理数运算等知识，综合程度较高．
20．（2022下·安徽·七年级校考期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列
问题．
(1)计算：
① ；
② ．
(2)若 ，请求出n的值．
【答案】(1)①1；②
(2)【分析】（1）①根据逆用积的乘方法则得结论；
②先逆运用同底数幂的乘法法则，再逆用积的乘方法则和乘方法则得结论；
（2）先运用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则得方程，求解即可．
【详解】（1）解：①原式 ；
②原式 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
则 ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则是解决本
题的关键．
【题型三 同底数幂的除法】
21．（2023上·北京东城·八年级北京一七一中校考期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查整式的乘法与除法运算：
（1）根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，整式的除法分别计算即可解答；
（2）根据整式的除法进行计算．
【详解】（1）；
（2）
．
22．（2023上·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）尝试解决下列有关幂的问题：
(1)若 ，求 的值；
(2)已知 ，求 的值；
(3)若 为正整数，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则进行计算即可；
（2）根据同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则进行计算即可；
（3）根据同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
即 ，则 ，
即 ．
（2）．
（3）原式
．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘法以及积的乘方，掌握同底数幂的除法法则，幂的乘法以及
积的乘方法则是解题的关键．
23．（2023上·四川眉山·八年级校考期中）已知 ， ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据同底数幂的乘除法以及幂的乘方的逆运算进行计算即可得到答案；
（2）根据同底数幂的乘除法以及幂的乘方的逆运算进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解： ， ， ，
（2）解： ， ， ，
，
．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解此题的
关键．
24．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期中）已知 ．
(1)求 的值；(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方逆运算进行求解即可；
（2）根据同底数幂的除法、幂的乘方逆运算进行求解即可；
【详解】（1） ．
（2） ．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法的逆运算，正确运算是解题的关键．
25．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算，
运算法则如下： ．
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
(1)填空： ___________， ___________；
(2)如果 ，求出 的值；
(3)如果 ，请直接写出 的值．
【答案】(1) ；
(2)3
(3) 或 或
【分析】（1）直接利用例题的方法计算；
（2）利用例题方法得出 ，解方程即可；（3）分类讨论，指数相等时， 时， 时，分别计算即可．
【详解】（1）解： ；
；
故答案为 ； ；
（2）解： ，
，
，
，
解得： ，
；
（3）解： ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
或 或 ．
【点睛】本题主要考查同底数幂除法,熟练掌握同底数幂除法的运算法则是解题的关键．
26．（2023下·四川达州·七年级校考期末）计算：
(1) ．
(2)
(3) ．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则化简即可；
（2）分别根据同底数幂的乘除法法则以及积的乘方运算法则计算即可；
（3）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
【点睛】本题考查了幂的运算以及单项式乘多项式，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
27．（2023下·河南焦作·七年级统考期中）已知
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）先将 变形成 ，再代入求值即可；
（2）依据同底数幂的除法法则以及悬的乘方法则, 将 变形为 , 再代入求值即可．【详解】（1）解：∵
∴
（2）当 时
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法法则以及幂的乘方法则的运用，关键是掌握幂的乘方法则：底数
不变，指数相乘．
28．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）计算
(1)已知 ， ，求： 的值．
(2) ，求： 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同底数幂的除法的法则进行运算即可；（2）利用同底数幂的乘除法的法则，幂的乘方的法则进行运算即可．
【详解】（1）解： ， ，
；
（2）
，
原式 ．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
29．（2023下·江苏徐州·七年级校考阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算；
（2）先将 变形为 ，再根据同底数幂的乘法和除法法则计算．
【详解】（1）解：
（2）解：【点睛】本题考查同底数幂的乘法和除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
30．（2023下·河北石家庄·七年级石家庄市第二十一中学校考期中）按要求完成下列各小题
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则将代数式转换为含 的式子，再将 代入计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法和除法运算法则将代数式进行化简，再将 代入计算即可；
（3）根据同底数幂的乘法和除法运算法则将代数式进行化简，根据等式的性质建立两个等式，将两个等
式相加即可得到答案．
【详解】（1）解：
∵ ，
∴
；
（2）解：；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
将①+②得 ．
【点睛】本题考查的代数式求值，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算、同底数幂的乘法和除法运算，以
及掌握等式的性质．
【题型四 乘法公式】
31．（2023上·北京西城·八年级北京市第三十五中学校考期中）先化简，再求值：
(1) ，其中 ， ．
(2)已知 ，求代数式 的值．
【答案】(1) ，1
(2) ，12
【分析】本题考查了乘法公式，整式的加减，以及求代数式的值．
（1）先根据乘法公式计算，再合并同类项，然后把 ， 代入计算即可．
（2）先根据乘法公式计算，再合并同类项，然后把 代入计算即可．
【详解】（1），
当 ， 时，
原式 ；
（2）
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
32．（湖北省武汉市东湖高新区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）（1）先化简，再求值
，其中 ， .
（2）已知 是完全平方式，则m的值为______.（直接写出结果）
【答案】（1） ； ；（2）
【分析】本题考查的是乘法公式的应用，多项式除以单项式，化简求值，完全平方式的理解；
（1）先计算括号内的整式的乘法，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再代入求值即可；
（2）根据完全平方式 的特点，结合 ，从而可得答案.
【详解】解：（1）
，
当 ， 时，原式 ；
（2）∵ 是完全平方式，
∴ ，
∴m的值为 .
33．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）直接根据多项式乘多项式的运算法则计算即可；
（ ）利用平方差公式，完全平方公式和多项式的乘法法则计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式 ，
；
（2）解：原式 ，
，
．
【点睛】此题考查了平方差公式，完全平方公式和多项式乘多项式的运算，掌握其运算法则是解题的关键．
34．（2023上·甘肃天水·八年级校联考期中）先化简，再求值： ，其中
．
【答案】 ，
【分析】先根据整式的混合运算法则，进行计算，化简后，再代值计算即可．
【详解】解：原式；
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查整式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
35．（2023上·福建福州·八年级校考期中）（1）已知a，b为实数．
①若 ， ，求 ，
②若 ， ，分别求a，b的值．
（2）若a，b，x，y满足： ， ， ， ，求 的值．
【答案】①25；② ， 或 ， ；③
【分析】（1）①利用完全平方公式进行变形，再整体代入求值即可；
②把已知的两式相加可求得 ，再代入求值即可；
（2）由已知条件得出 ，
，构造方程求解即可．
【详解】解：（1）①
；
② ， ，
两式相加可得， ，即 ，
∴ ，∵ ， ，即 ， ，
当 时， ， ，
∴ ， ，
当 时， ， ，
∴ ， ，
综上所述， ， 或 ， ；
（2）∵ ， ， ， ，
∴ ，即 ，
， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查整式的化简求值、利用完全平方公式的变形求值，运用整体代入的思想是解题的关键．
36．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：
，其中 ， ．
【答案】 ，
【分析】先对括号内用平方差公式、完全平方公式进行运算，合并同类项后，再进行多项式除以单项式运
算，然后代值计算即可．
【详解】解：原式
，
当 ， 时，
原式．
【点睛】本题考查了整式化简求值，掌握公式及化简步骤是解题的关键．
37．（2023上·山西吕梁·八年级校考期中）阅读下列材料，并完成相应的任务．
材料1：①一个数的平方一定是非负数，如 ；②两个非负数的和也是非负数，如
；③一个非负数与一个正数的和是正数，如 ．
材料2：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ．
材料3：利用 可以将一个代数式 化为 的形式．
任务：
(1)将 化为 的形式．
(2)比较 与 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】该题主要考查了完全平方公式“ ”的应用，以及整式化简和大小比较，常
见大小比较的方法“作差法”；
（1）根据 化简即可；
（2）将两式相减，化简后确定 与0的大小即可；
【详解】（1）原式 ．
（2）
．．
38．（2023上·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考期中）我们知道，代数式的运算属于不改变代数
式值的恒等变形．探究下列关于 的代数式，并解决问题．
(1)如果 ，那么 的值是 ， 的值是 ；
(2)如果
求 的值：
求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ； ．
【分析】（ ）先把原式左边按照多项式乘法展开，然后根据多项式相等的意义解答即可；
（ ）先由（ ）的方法算得 和 的值，再通过下列方法计算：
按照多项式乘法公式展开后凑出 和 ，再把 和 的值代入计算即可；
按照完全平方公式变形，然后把 和 的值代入计算即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
故答案为： ， ；
（2）由 ，
，
∴ ，，
，
，
；
由 ，
，
，
，
∴ ．
【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘法计算，完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式和整
式的乘法运算法则是解题的关键．
39．（2023上·广东梅州·七年级统考期中）综合与实践
探索：根据表中所给 ， 的数值，分别填写下表中 和 的值．
， 的数
， ， ，
俉
发现：根据上表，你有什么发现？_________．
实践：请根据你的发现计算：
【答案】探索：见解析；发现： ；实践：5670
【分析】本题考查代数式求值及有理数的简便运算，重点是将 运用 进行
转换，结合已知条件将已知数值代入代数式进行正确的计算是解题的关键．
探索：将各组数分别代入两个代数式中计算即可．
发现：根据表中数值即可求得答案．实践：根据所发现的结论计算即可．
【详解】探索：
， 的数
， ， ，
值
24 12
24 12
发现：
实践：
．
40．（2023上·四川眉山·八年级校考期中）已知 ， ，求下列各式的值．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式得出 ，再代入进行计算即可得到答案；
（2）根据完全平方公式先求出 的值，再利用平方根的定义求值即可得到答案．
【详解】（1）解： ， ，
；
（2）解： ， ，
，
．
【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式的变形进行计算，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
【题型五 因式分解】41．（2023上·湖南长沙·八年级校考期中）因式分解
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，
同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
（1）直接利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式 ，再利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
．
42．（2023上·海南海口·八年级海南华侨中学校考期中）把下列多项式分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4) （十字相乘法）
【答案】(1)
(2)
(3)(4)
【分析】本题考查了因式分解．选择合适的方法进行因式分解是解题的关键．
（1）直接提公因式即可；
（2）利用公式法进行因式分解即可；
（3）综合提公因式、公式法进行因式分解即可；
（4）利用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解； ．
43．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）分解因式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了用公式法和提公因式法因式分解的知识，（1）提取公因式 即可；
（2）直接利用平方差公式因式分解即可；
（3）先提取公因式 ，然后再利用平方差公式因式分解即可．
（4）先提取公因式2，然后再利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
44．（2023上·山西吕梁·八年级校考期中）把下列多项式分解因式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)
【分析】该题主要考查了因式分解，解题关键是掌握因式分解的常见方法：“提公因式法、公式法、十字
相乘法”；
（1）先提公因式，再运用平方差公式进行分解即可；
（2）先提公因式，再运用完全平方公式进行分解即可；
【详解】（1）原式 ；
（2）原式 ．
45．（2023上·广东广州·七年级广州大学附属中学校考期中）分解因式
(1) ；
(2) ；
(3) ；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）本题考查的是利用分组分解法分解因式，把原式化为 ，先利用完全平
方公式把后面一组分解因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）本题考查的是利用完全平方公式分解因式，先把 看作整体，计算乘法运算，再连续两次使用
完全平方公式分解因式即可；
（3）本题考查的是利用添项法结合完全平方公式与平方差公式分解因式，把 与 看作是整体，先加
上 ，再减去 ，利用分组分解法进行第一次分解，再利用平方差公式进行第二次分解即可.【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
46．（2023上·北京西城·八年级北京十五中校考期中）阅读下列材料，回答问题：
“我们把多项式 及 叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常
做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这
种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分
解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式 ，我
们可以进行以下操作： ，再利用平方差公式可得；再如：求代数式 的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：
，于是由平方的非负性可知，当 时， 有最小值
.
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)若多项式 是一个完全平方式，则常数 ______．
(2)分解因式： ______，代数式 的最小值为______．
【答案】(1)4
(2) ；
【分析】（1）根据完全平方公式即可求解；
（2）把多项式进行配方，化成完全平方式，再运用平方差公式进行因式分解．
【详解】（1） 是一个完全平方式，
故答案为：4；
（2） ；
的最小值为
故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，偶次方非负性的性质，因式分解．本题是阅读型题目，读懂材料
并熟练相应的方法是解题的关键．
47．（2023上·上海浦东新·七年级统考期中）阅读下列解题的过程．
分解因式：解：
请按照上述解题思路完成下列因式分解：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题中所给方法可进行因式分解；
（2）根据题中所给方法可进行因式分解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
48．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）阅读与思考：
分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多
项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”： 例2：“三一分组”：；
解：原式 解：原式
． ．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)①填空：
解：原式
＝____________
②因式分解： ；
(2)已知 ，且 ，求 的值．
【答案】(1)① ， ， ，② ；
(2)
【分析】（1）根据题意的分组分解法直接分组，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案；
（2）将两多项式相减得到a，b，c的关系，代入等式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
解：①原式
；
②原式；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题考查利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意的分组分
解法，合理分组．
49．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）阅读下列材料，回答问题．
(1)形如 型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③
一次项系数是常数项的两个因数之和．
把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解：
．
因此，可以得 ________．
利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式；
(2)利用（1）中的结论，分解因式：① ________；
② ________；
③ ________．
【答案】(1)
(2)① ；② ；③
【分析】（1）根据题材即可得出结论；
（2）利用题材做给方法因式分解即可．
【详解】（1）解：
．
因此，可以得
故答案为： ．
（2）解：① ．
故答案为： ；
② ．
故答案为： ；
③ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，明确题意，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．50．（2023上·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．
分解因式：
解：
以上解法中，在 的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与
的值相等，必须减去同样的一项．按照这个思路，
(1)试把多项式 分解因式；
(2)试把多项式 分解因式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照材料根据原式加上 配成完全平方公式，再减去 ，运用平方差公式因式分解即
可；
（2）仿照材料根据原式加上 配成完全平方公式，再减去 ，再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：．
【点睛】本题主要考查了因式分解、完全平方公式、平方差公式，阅读材料、掌握材料介绍的方法是解答
本题的关键．
【题型六 新定义计算】
51．（2023下·湖南永州·七年级统考期末）配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某
一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形
中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成 （a，b是整数）的形式，
则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．理由：因为 ，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知13是“完美数”，请将它写成 （a，b是正整数）的形式______；
（2）若 可配方成 （m，n为正整数），则 ______；
【探究问题】
（3）已知 （x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的
一个k值，并说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据新定义把13写成两个整数的平方和即可；
（2）原式利用完全平方公式后，再确定出m与n的值，即可求出 的值；
（3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可．
【详解】解：（1） ；
（2） ；
∴ ，∴ ；
（3）
；
∵S是“完美数”， ， 是整数，
∴k可以取 ．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，掌握利用完全平方公式分解因式、偶次方的非负性是解题的
关键．
52．（2023上·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式
子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变
形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成 （a、b是整数）的形式，
则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为 ，所以5是“完美数”．
解决问题；
（1）已知10是“完美数”，请将它写成 （a、b是整数）的形式：______；
（2）若 可配方成 （m、n为常数），则 ______．
探究问题；
（3）已知 ，则 ______．
（4）已知 （x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件
的一个k值，并说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）8，理由见解析
【分析】（1）根据“完美数”的定义即可得到答案；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应常数的值，进而即可求解；
（3）配方后根据非负数的性质可得x和y的值，进行计算即可；（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论．
【详解】解：（1）由题意，得： ；
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ；
∴ ；
故答案为： ；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（4） ，理由如下：
，
∵S为“完美数”，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查配方法的应用．熟练掌握配方法，理解并掌握完美数的定义，是解题的关键．
53．（2023上·四川资阳·八年级四川省乐至中学校考期中）定义：如果一个数的平方等于 ，记为 ，
这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为 （a，b为实数），a叫
这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：
(1)填空：① ＝__________；② ＝____________
(2)若两个复数相等，则它们的实数部分和虚数部分分别相等，完成下列问题：已知 ，
（x，y为实数），求x，y的值．
(3)求 的值
【答案】(1)① ②
(2)
(3)
【分析】（1）各式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值；
（2）根据实数部分与虚数部分相等列出方程求出方程的解即可得到x与y的值；
（3）原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值；
【详解】（1）①原式 ；
②原式 ；
故答案为： ；
（2）由已知等式得： ,
解得： ；
（3）由题意可得：
；
【点睛】本题考查了新定义-复数，整式的混合运算的应用，能读懂题意是解此题的关键，主要考查了学生
的理解能力和计算能力，难度适中．
54．（2023上·山东济宁·九年级统考阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想．它是指将一个式子的某
一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成 （a、b是整数）的形式，则称
这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为 ．所以5是“完美数”．解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成 （a、b是整数）的形式 ；
（2）若 可配方成 （m、n为常数），则 ；
探究问题：
（3）已知 ，求 的值；
（4）已知 （x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的
一个k值，并说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】（1）根据“完美数”的定义求解即可；
（2）利用配方法把原式变形，求出 ， ，即可求解；
（3）利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性求得 ， ，即可求解；
（4）利用配方法把原式变形，再根据“完美数”的定义求解即可．
【详解】解：（1）由题意可得， ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（3） ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（4） ，
∵S为“完美数”，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查配方法的应用、“完美数”的定义，熟记完全平方公式是解题的关键．
55．（2022上·黑龙江大庆·七年级校考期末）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于 ，记为 ，
这个数 叫做虚数单位，那么形如 ( ， 为实数)的数就叫做复数， 叫做这个复数的实部， 叫做这
个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似(实数将在八年级进行学习，实数包
括有理数)．例如： ； ；
.
(1)填空： ________， ________；
(2)计算：
① ；
② ；
(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知： ( ，为有理数)，求 的值；
(4)试一试，请利用以前学习的有关知识将 化简成 ( ， 为有理数)的形式．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ；
(4)见解析．
【分析】（1）根据新定义可得结论；
（2）①根据 和平方差公式计算即可；
②根据 和完全平方公式进行分解即可；
（3）根据两个复数相等的定义分别求出 ， 的值，并代入所求式即可求解；
（4）将所求式的分子和分母同时乘以 ，并结合 ，可得结论．
【详解】（1）解： ， ；
故答案为： ， ；
（2）①
；
② ；
；
（3）因为：
所以：解得
当 ， 时，
（4）
【点睛】本题考查了新定义运算，完全平方公式，平方差公式，理解新定义的运算法则握是解题的关键．
56．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于－1，记为 ，这个数i叫做虚数单位．那么形如 （a，b为实数）
的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，
乘法运算类似．
例如计算： ．
；
．
(1)填空： ______， ______；
(2)计算：① ；② ；
(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知： ，
（x，y为实数），求 的值．(4)试一试：请你参照 这一知识点，将 （m为实数）因式分解成两个复数的积．
【答案】(1)i；2
(2)①5；②
(3)14
(4)
【分析】（1）根据题中虚数定义和整式中的同底数幂的乘法运算法则求解即可；
（2）①利用整式的平方差公式和题中虚数定义求解即可；②利用整式的完全平方公式和题中虚数定义求
解即可；
（3）根据复数相等列二元一次方程组求得x、y值，再代值求解即可；
（4）根据虚数定义和整式的平方差公式分解因式即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
故答案为：i；2；
（2）解：① ；
②
；
（3）解：由题意，得 ，解得 ，
∴ ；
（4）解：∵ ，
∴．
【点睛】本题考查整式的运算、因式分解、解二元一次方程组、代数式求值，理解题中虚数定义和复数的
加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似并灵活运用是解答的关键．
57．（2023下·福建宁德·七年级校联考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的
某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，
并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成 、 是整数）的形式，则称这
个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为 ，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知 是“完美数”，请将它写成 （a、b是整数）的形式 ．
（2）若 可配方成 （m、n为常数），则 ．
【探究问题】
（3）已知 ，求 的值；
（4）已知 （x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的
一个k值，并说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）13，见解析
【分析】（1）根据“完美数”的定义即可得到答案；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应常数的值，进而即可求解；
（3）配方后根据非负数的性质可得x和y的值，进行计算即可；
（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论．
【详解】（1）根据题意得： ；
（2）根据题意得： ，
， ，
∴ ；（3）将等式变形得： ，即 ，
∵
， ，
解得： ， ，
∴ ；
（4）当 时，S为“完美数”，理由如下：
，
， 是整数，
， 也是整数，
是一个“完美数”．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
58．（2022下·福建三明·七年级统考期中）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（ ， 年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，
直到18世纪瑞士数学家欧拉（ ， 年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若 ，则x叫做以a为底N的对数，记作 ．如指数式
可以转化为 ，对数式 可以转化为 ．我们根据对数的定义可得到对数的
一个性质：
，
理由如下：设 ， ，则 ， ．
．
由对数的定义，得 ．又 ，
．
解答下列问题：
(1)将指数式 转化为对数式：______．
(2)求证： ；
(3)拓展运用：计算： ．
【答案】(1) ；
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）根据题意中对数式的定义转化即可；
（2）设 ， ，类比材料中的证明过程，即可证明结论；
（3）逆用题干中以及（2）求出的对数的性质进行计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：指数式 转化为对数式为： ，
故答案为： ；
（2）解：设 ， ，则 ， ，
．
由对数的定义，得 ．
又 ，
；
（3）解： ．【点睛】本题是新定义试题，主要考查幂的混合运算，有理数的混合运算，新定义对数与指数之间的关系，
解题的关键是明确新定义，理解对数的运算法则，明白指数与对数之间的相互转化关系．
59．（2023下·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）阅读下列材料，回答问题：
材料一：我们定义一种新运算：我们把形如 这样的式子叫作“行列式”，行列式的运算方式是：
．例如：； ； ．
材料二：在探究 的时候，我们不妨利用多项式和多项式的乘法将其打开：
，我们把这个公式叫作“差的
完全立方公式”．按同样的方法我得出“和的完全立方公式”为： ．这两个
公式常运用在因式分解和简便运算等过程中．
(1)计算： ______； ______．
(2)已知 ， ，求 的值．
(3)已知 ， ， ，求 的值．
【答案】(1)13，
(2)18
(3)
【分析】（1）根据材料一直接计算，再根据材料二中公式变形即可；
（2）将 变形为 ，代入计算即可；
（3）根据已知得到 ，再将所求式子利用新定义和公式变形，得到 ，再整体代入计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
；
；
（2）∵ ， ，
∴
；
（3）∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴
．
【点睛】本题考查了完全平方公式，代数式求值，新定义运算，解题的关键是读懂材料所提供的新运算法
则，灵活运用给出的差的完全立方公式与和的完全立方公式进行变形．
60．（2023下·四川雅安·八年级统考期末）我们来规定下面两种数：
①平方和数：若一个三位或者三位以上的正整数分成左、中、右三个数后满足：中间数＝（左边数）2+（右边数）2，我们就称该整数是平方和数，例如：整数 ，它的中间数是5，左边数是2，右边数是1，
∵ ，∴ 是平方和数；再例如： ，∵ ，∴ 是一个平方和数；当然152，
这两个数也肯定是平方和数；
②双倍积数：若一个三位或者三位以上的正整数分成左、中、右三个数后满足：中间数＝2×左边数×右边
数，我们称该整数是双倍积数；例如：整数 ，它的中间数是4，左边数是1，右边数是2，∵
，∴ 是一个双倍积数；再例如： ，∵ ，∴ 是一个双倍积数；当然， ，
也是一个双倍积数；
注意：在下列问题中，我们统一用字母a表示一个正整数分出来的左边数，用字母b表示一个正整数分出
来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：
(1)如果一个三位正整数为平方和数，且十位数字是4，则该三位整数是 ；如果一个三位正整数为双
倍积数，十位数字是8，则该三位整数是 ；
(2)若一个正整数既是平方和数，又是双倍积数，试探究a、b的数量关系，并说明理由；
(3)若正整数 为一个平方和数， 为一个双倍积数，求 的值．
【答案】(1) ； 或 或
(2) ，理由见解析
(3) 或
【分析】（1）根据题意可知： ，且a为百位上的数，不能为0，只能是 ， ；
因为 ，且a、b为正整数，所以a、b有三种组合， ， ； ， ， ，进而解
答此题．
（2）由题意可知 ，进行变形，可得： ，所以 ；
（3）根据题意，可列方程组 ，进而可得到 ， ，代入到 中，
即可解答．
【详解】（1）设该三位正整数分出来的左边数为a，分出来的右边数为b，
则 ，且a为百位数上的数，
∴ ， ，故答案为： ，
同理，有 ，且a、b为正整数，
∴ ， 或 或 ， ，
故答案为： 或 或 ；
（2） 、 应该满足 ，理由：
如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数，
则 、 应该满足 ， 即 ，
∴ ；
（3）根据题意得：
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 ， 时，原式 ，
当 ， 时，原式 ，
综上所述： 或 ．
【点睛】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的应用，阅读理解能力与知识的迁移能力，理解平方
和数与双倍积数的定义是解题的关键．
