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绝密★启用前
2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
答案解析版
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=
A. (–1，+∞) B. (–∞，2)
C. (–1，2) D. Æ
【答案】C
【解析】
【分析】
本题借助于数轴，根据交集的定义可得．
【详解】由题知，A
I
B=(-1,2)，故选C．
【点睛】本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错
点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．
2.设z=i(2+i)，则z =
A. 1+2i B. –1+2i
C. 1–2i D. –1–2i
【答案】D
【解析】
【分析】
本题根据复数的乘法运算法则先求得z，然后根据共轭复数的概念，写出z．
【详解】z =i(2+i)=2i+i2 =-1+2i，
所以z =-1-2i，选D．
【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力
的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误
．
第1页 | 共19页3.已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=
A. 2 B. 2
C. 5 2 D. 50
【答案】A
【解析】
【分析】
本题先计算a-b，再根据模的概念求出|a-b|．
【详解】由已知，a-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1)，
所以|a-b|= (-1)2 +12 = 2 ，
故选A
【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的
考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模
的过程中出错．
4.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，
则恰有2只测量过该指标的概率为
2 3
A. B.
3 5
2 1
C. D.
5 5
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的
计算公式求解．
【详解】设其中做过测试的3只兔子为a,b,c，剩余的2只为A,B，则从这5只中任取3只的
所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B}，
{b,c,A},{b,c,B},{b,A,B},{c,A,B}共10种．其中恰有2只做过测试的取法有
第2页 | 共19页{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}共6种，
6 3
所以恰有2只做过测试的概率为 = ，选B．
10 5
【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考
查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“
树图法”，可最大限度的避免出错．
5.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次
序为
A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙
C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙
【答案】A
【解析】
【分析】
利用逐一验证的方法进行求解.
【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩
由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正
确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预
测正确，不符合题意，故选A．
【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了
基础知识、逻辑推理能力的考查．
6.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=ex -1，则当x<0时，f(x)=
A. e-x -1 B. e-x +1
C. -e-x -1 D. -e-x +1
【答案】D
【解析】
第3页 | 共19页【分析】
先把x<0，转化为-x>0,代入可得 f(-x)，结合奇偶性可得 f(x).
1 1
【详解】
Q
f(x)是奇函数， f¢(x
0
)=
x
+
x 2
．当x<0时，-x>0，
0 0
f(-x)=e-x -1=-f(x)，得 f(x)=-e-x +1．故选D．
【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代
换法，利用转化与化归的思想解题．
7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A. α内有无数条直线与β平行
B. α内有两条相交直线与β平行
C. α，β平行于同一条直线
D. α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用
面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．
【详解】由面面平行的判定定理知：a内两条相交直线都与b平行是a//b的充分条件，
由面面平行性质定理知，若a//b，则a内任意一条直线都与b平行，所以a内两条相
交直线都与b平行是a//b的必要条件，故选B．
【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，
凭主观臆断，如：“若aÌa,bÌb,a//b，则a//b”此类的错误．
p 3p
8.若x = ，x = 是函数f(x)=sinwx(w>0)两个相邻的极值点，则w=
1 2
4 4
3
A. 2 B.
2
第4页 | 共19页1
C. 1 D.
2
【答案】A
【解析】
【分析】
从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得w.
2p 3p p
【详解】由题意知， f(x)=sinwx的周期T = =2( - )=p，得w=2．故选A．
w 4 4
【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算
素养．采取公式法，利用方程思想解题．
x2 y2
9.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 + =1的一个焦点，则p=
3p p
A. 2 B. 3
C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 p 的方程，即可解出 p ，或者利用检验排除
的方法，如 p=2时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可
排除B，C，故选D．
p x2 y2
【详解】因为抛物线y2 =2px(p >0)的焦点( ,0)是椭圆 + =1的一个焦点，所以
2 3p p
p
3p- p=( )2，解得 p=8，故选D．
2
【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
10.曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A. x- y-p-1=0 B. 2x- y-2p-1=0
C. 2x+ y-2p+1=0 D. x+ y-p+1=0
第5页 | 共19页【答案】C
【解析】
【分析】
先判定点(p,-1)是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】当x=p时，y =2sinp+cosp=-1，即点(p,-1)在曲线y =2sinx+cosx上
． y¢=2cosx-sinx,\y¢ =2cosp-sinp=-2,则y =2sinx+cosx在点(p,-1)
Q x=p
处的切线方程为y-(-1)=-2(x-p)，即2x+ y-2p+1=0．故选C．
【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学
运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错
，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切
点，再求导，然后列出切线方程．
π
11.已知a∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
2
1 5
A. B.
5 5
3 2 5
C. D.
3 5
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
æ pö
【详解】 Q 2sin2a=cos2a+1，\4sina×cosa=2cos2a. Q aÎ ç 0, ÷ ,\cosa>0
è 2ø
．
1
sina>0, \ 2sina=cosa，又sin2a+cos2a=1，\5sin2a=1, sin2a= ，又
5
5
sina>0，\sina= ，故选B．
5
第6页 | 共19页【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判
断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范
围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
x2 y2
12.设F为双曲线C： - =1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆
a2 b2
与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A. 2 B. 3
C. 2 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率
．
【详解】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ^ x轴，
c
又
Q
PQ =|OF |=c，\|PA|= , \PA为以OF 为直径的圆的半径，
2
c
\A为圆心|OA|= ．
2
æc cö
\P ç , ÷，又P 点在圆x2 + y2 =a2上，
è2 2ø
c2 c2 c2 c2
\ + =a2，即 =a2, \ e2 = =2．
4 4 2 a2
\e= 2 ，故选A．
第7页 | 共19页【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先
考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆
锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
ì2x+3y-6³0，
ï
13.若变量x，y满足约束条件íx+ y-3£0， 则z=3x–y的最大值是___________.
ï
y-2£0，
î
【答案】9.
【解析】
【分析】
作出可行域，平移3x- y=0找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数
可得.
【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，
阴影部分表示的三角形ABC区域，根据直线3x- y-z =0中的z表示纵截距的相反数，当
直线z =3x- y过点C（3,0）时，z取最大值为9．
第8页 | 共19页【点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目
标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．
14.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点
率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车
所有车次的平均正点率的估计值为___________.
【答案】0．98.
【解析】
【分析】
本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．
【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为
100.97+200.98+100.99=39.2，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高
39.2
铁平均正点率约为 =0.98．
40
【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估
算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算
出正点列车数量与列车总数的比值．
15.VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=_________
__.
3p
【答案】 .
4
【解析】
【分析】
先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.
【详解】由正弦定理，得sinBsin A+sin AcosB=0． AÎ(0,p),BÎ(0,p)，
Q
3p
\sinA0,得sinB+cosB=0，即tanB=-1，\B= .故选D．
4
【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取
定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,p)
范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．
第9页 | 共19页16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体
或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是
由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个
棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1
．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．
【答案】 (1). 共26个面. (2). 棱长为 2-1.
【解析】
【分析】
第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几
何解决．
【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正
多面体共有18+8=26个面．
如图，设该半正多面体的棱长为x，则AB= BE = x，延长BC与FE交于点G，延长
BC交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，DBGE为等腰直角三角形，
2 2
\BG =GE =CH = x, \ GH =2 x+x=( 2+1)x=1，
2 2
1 x
\x= = 2-1，即该半正多面体棱长为 ．
2+1 x-1
【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌
第10页 | 共19页乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想
象能力，快速还原图形．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求
作答．
（一）必考题：共60分。
17.如图，长方体ABCD–A B C D 的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，BE⊥EC .
1 1 1 1 1 1
（1）证明：BE⊥平面EB C ；
1 1
（2）若AE=A E，AB=3，求四棱锥E-BBCC的体积．
1 1 1
【答案】（1）见详解；（2）18
【解析】
【分析】
（1）先由长方体得，BC ^平面AABB，得到BC ^ BE，再由BE ^ EC ，根据线
1 1 1 1 1 1 1
面垂直的判定定理，即可证明结论成立；
（2）先设长方体侧棱长为2a，根据题中条件求出a =3；再取BB 中点F ，连结EF，
1
证明EF ^平面BBCC，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果.
1 1
【详解】（1）因为在长方体ABCD-ABC D 中，BC ^平面AABB；
1 1 1 1 1 1 1 1
BE Ì平面AABB，所以BC ^ BE，
1 1 1 1
又BE ^ EC ，BC ÇEC =C ，且EC Ì平面EBC ，BC Ì平面EBC ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以BE ^平面EBC ；
1 1
（2）设长方体侧棱长为2a，则AE = AE =a，
1
第11页 | 共19页由（1）可得EB ^ BE；所以EB2 +BE2 = BB2，即2BE2 = BB2，
1 1 1 1
又AB=3，所以2AE2 +2AB2 = BB2，即2a2 +18=4a2，解得a =3；
1
取BB 中点F ，连结EF，因为AE = AE ，则EF∥AB；
1 1
所以EF ^平面BBCC，
1 1
所以四棱锥E-BBCC的体积为
1 1
1 1 1
V = S ×EF = ×BC×BB ×EF = 363=18.
E-BB 1 C 1 C 3 矩形BB 1 C 1 C 3 1 3
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，
以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.
18.已知{a }是各项均为正数的等比数列，a =2,a =2a +16.
n 1 3 2
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设b =log a ，求数列{b }的前n项和.
n 2 n n
【答案】（1）a =22n-1 ；（2）S =n2.
n n
【解析】
【分析】
(1)本题首先可以根据数列 a 是等比数列将a 转化为aq2，a 转化为aq，再然后将其
n 3 1 2 1
带入a =2a +16中，并根据数列 a 是各项均为正数以及a =2即可通过运算得出结果
3 2 n 1
；
(2)本题可以通过数列
a
的通项公式以及对数的相关性质计算出数列
b
的通项公式，
n n
第12页 | 共19页再通过数列
b
的通项公式得知数列
b
是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得
n n
出结果。
【详解】(1)因为数列 a 是各项均为正数的等比数列，a =2a +16，a =2，
n 3 2 1
所以令数列 a 的公比为q，a =aq2=2q2，a =aq =2q，
n 3 1 2 1
所以2q2 =4q+16，解得q =-2(舍去)或4，
所以数列 a 是首项为2、公比为4的等比数列，a =24n-1 =22n-1。
n n
(2)因为b =log a ，所以b =2n-1，b =2n+1，b - b =2，
n 2 n n n+1 n+1 n
所以数列 b 是首项为1、公差为2的等差数列，S =1+2n-1´ n=n2。
n n 2
本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差
数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题。
19.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些
企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组 [-0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)
企业数 2 24 53 14 7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例
；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间
的中点值为代表）.（精确到0.01）
附： 74 »8.602.
【答案】(1)
增长率超过40 0 的企业比例为 21 ，产值负增长的企业比例为 2 = 1 ；（2）平均数0.3
0 100 100 50
；标准差0.17.
【解析】
【分析】
0
(1)本题首先可以通过题意确定100个企业中增长率超过40 的企业以及产值负增长的企
0
第13页 | 共19页0
业的个数，然后通过增长率超过40 的企业以及产值负增长的企业的个数除随机调查的
0
企业总数即可得出结果；
(2)可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果。
0
【详解】(1)由题意可知，随机调查的100个企业中增长率超过40 的企业有14+7=21
0
个，
产值负增长的企业有2个，
所以增长率超过40 0 的企业比例为 21 ，产值负增长的企业比例为 2 = 1 。
0 100 100 50
(2)由题意可知，平均值y =
2´(-0.1)+24´0.1+53´0.3+14´0.5+7´0.7
=0.3，
100
标准差的平方：
s2 = 1 é 2´ (-0.1- 0.3)2 +24´ (0.1- 0.3)2 +53´ (0.3- 0.3)2 +14´ (0.5- 0.3)2 +7´ (0.7- 0.3)2ù
100
êë úû
= 1 [0.32+0.96+0.56+1.12] =0.0296，
100
所以标准差s = 0.0296 = 0.0004´ 74» 0.02´ 8.602» 0.17。
【点睛】本题考查平均值以及标准差的计算，主要考查平均值以及标准差的计算公式，考
查学生从信息题中获取所需信息的能力，考查学生的计算能力，是简单题。
x2 y2
20.已知F,F 是椭圆C: + =1(a >b>0)的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点
1 2 a2 b2
．
（1）若VPOF 为等边三角形，求C的离心率；
2
（2)如果存在点P，使得PF ^ PF ，且 △F PF 的面积等于16，求b的值和a的取
1 2 1 2
值范围.
【答案】(1) e= 3-1；（2）b=4，a的取值范围为[4 2,+¥).
【解析】
【分析】
（1）先连结PF ，由VPOF 为等边三角形，得到ÐFPF =90o， PF =c， PF = 3c
1 2 1 2 2 1
；再由椭圆定义，即可求出结果；
第14页 | 共19页1
（2）先由题意得到，满足条件的点P(x,y)存在，当且仅当 y ×2c=16，
2
y y x2 y2
× =-1， + =1，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.
x+c x-c a2 b2
【详解】（1）连结PF ，由VPOF 为等边三角形可知：在 △F PF 中，ÐFPF =90o
1 2 1 2 1 2
， PF =c， PF = 3c，
2 1
于是2a = PF + PF =c+ 3c，
1 2
c 2
故椭圆C的离心率为e= = = 3-1；
a 1+ 3
1
（2）由题意可知，满足条件的点P(x,y)存在，当且仅当 y ×2c=16，
2
y y x2 y2
× =-1， + =1，
x+c x-c a2 b2
即c y =16 ①
x2 + y2 =c2 ②
x2 y2
+ =1 ③
a2 b2
b4 162
由②③以及a2 =b2 +c2得y2 = ，又由①知y2 = ，故b=4；
c2 c2
a2
由②③得x2 = (c2 -b2)，所以c2 ³b2，从而a2 =b2 +c2 ³2b2 =32，故a³4 2；
c2
当b=4，a³4 2时，存在满足条件的点P .
故b=4，a的取值范围为[4 2,+¥).
【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记
椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.
21.已知函数 f(x)=(x-1)lnx-x-1.证明：
（1） f(x)存在唯一的极值点；
第15页 | 共19页（2） f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【解析】
【分析】
（1）先对函数 f(x)求导，根据导函数的单调性，得到存在唯一x ，使得 f¢(x )=0，进
0 0
而可得判断函数 f(x)的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立；
（2）先由（1）的结果，得到 f(x )< f(1)=-2<0， f(e2)=e2 -3>0，得到
0
1
f(x)=0在(x ,+¥)内存在唯一实根，记作x =a，再求出 f( )=0，即可结合题意，
0 a
说明结论成立.
【详解】（1）由题意可得， f(x)的定义域为(0,+¥)，
由 f(x)=(x-1)lnx-x-1，
x-1 1
得 f¢(x)=lnx+ -1=lnx- ，
x x
1
显然 f¢(x)=lnx- 单调递增；
x
1 ln4-1
又 f¢(1)=-1<0， f¢(2)=ln2- = >0，
2 2
故存在唯一x ，使得 f¢(x )=0；
0 0
又当x> x 时， f¢(x )>0，函数 f(x)单调递增；当0< x< x 时， f¢(x )<0，函数
0 0 0 0
f(x)单调递减；
因此， f(x)存在唯一的极值点；
（2）由（1）知， f(x )< f(1)=-2，又 f(e2)=e2 -3>0，
0
所以 f(x)=0在(x ,+¥)内存在唯一实根，记作x =a.
0
1
由1< x 0)在曲线C:r=4sinq上，直线l过点
0 0 0
A(4,0)且与OM 垂直，垂足为P.
p
（1）当q= 时，求r及l的极坐标方程；
0 3 0
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
p
【答案】（1）r =2 3，l的极坐标方程为rsin(q+ )=2；（2）
0 6
p p
r=4cosq( £q£ )
4 2
【解析】
【分析】
p
（1）先由题意，将q= 代入r=4sinq即可求出r；根据题意求出直线l的直角坐标
0 3 0
方程，再化为极坐标方程即可；
（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值
范围.
【详解】（1）因为点M(r,q)(r >0)在曲线C:r=4sinq上，
0 0 0
p
所以r =4sinq =4sin =2 3；
0 0 3
p p
即M(2 3, )，所以k =tan = 3，
3 OM 3
因为直线l过点A(4,0)且与OM 垂直，
3
所以直线l的直角坐标方程为y =- (x-4)，即x+ 3y-4=0；
3
p
因此，其极坐标方程为rcosq+ 3rsinq=4，即l的极坐标方程为rsin(q+ )=2
6
；
y y
（2）设P(x,y)，则k = ， k = ，
OP x AP x-4
第17页 | 共19页y2
由题意，OP^ AP，所以k k =-1，故 =-1，整理得x2 + y2 -4x=0，
OP AP x2 -4x
因为P在线段OM上，M在C上运动，所以0£ x£2,2£ y£4，
p p
所以，P点轨迹的极坐标方程为r2 -4rcosq=0，即r=4cosq( £q£ ).
4 2
【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考
题型.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知 f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
（1）当a=1时，求不等式 f(x)<0的解集；
（2）若xÎ(-¥,1)时， f(x)<0，求a的取值范围.
【答案】（1）(-¥,1)；（2）[1,+¥)
【解析】
【分析】
（1）根据a=1，将原不等式化为|x-1|x+|x-2|(x-1)<0，分别讨论x<1，1£ x<2
，x³2三种情况，即可求出结果；
（2）分别讨论a≥1和a<1两种情况，即可得出结果.
【详解】（1）当a=1时，原不等式可化为|x-1|x+|x-2|(x-1)<0；
当x<1时，原不等式可化为(1-x)x+(2-x)(x-1)<0，即(x-1)2 >0，显然成立，
此时解集为(-¥,1)；
当1£ x<2时，原不等式可化为(x-1)x+(2-x)(x-1)<0，解得x<1，此时解集为空集
；
当x³2时，原不等式可化为(x-1)x+(x-2)(x-1)<0，即(x-1)2 <0，显然不成立；
此时解集为空集；
综上，原不等式的解集为(-¥,1)；
第18页 | 共19页（2）当a≥1时，因为xÎ(-¥,1)，所以由 f(x)<0可得(a-x)x+(2-x)(x-a)<0，
即(x-a)(x-1)>0，显然恒成立；所以a≥1满足题意；
ì 2(x-a),a£ x<1
当a<1时， f(x)=í ，因为a£ x<1时，
î2(x-a)(1-x),x
