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第四章 多元函数微分学
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1 、 单选题
正确答案： A
解析：
2 、 单选题
曲面z－e^z＋2xy＝3在点（1，2，0）处的切平面方程为（ ）。
A ： 3（x－1）＋2（y－2）＝0
B ： 4（x－1）＋2（y－2）＝0
C ： 3（x－1）＋（y－2）＝0
D ： 4（x－1）＋（y－2）＝0
正确答案： B
解析：3 、 单选题
A ： 4
B ： 1
C ： 0
D ： 2
正确答案： D
解析：
4 、 单选题
二元函数z＝f（x，y）在点（x0，y0）处存在一阶连续偏导数是它在此点处可微的（
）。
A ： 充分条件
B ： 必要条件
C ： 充要条件
D ： 以上都不是
正确答案： A
解析：
一阶偏导数在（x0，y0）点连续，则函数在（x0，y0）处可微；而函数在（x0，y0）处
可微，其一阶偏导数不一定连续。
5 、 单选题
下列结论正确的是（ ）。
A ： z＝f（x，y）在点（x0，y0）处两个偏导数存在，则z＝f（x，y）在点（x0，y0）
处连续
B ： z＝f（x，y）在点（x0，y0）处连续，则z＝f（x，y）在点（x0，y0）处两个偏导
数存在
C ： z＝f（x，y）在点（x0，y0）处的某个邻域内两个偏导数存在且有界，则z＝f
（x，y）在点（x0，y0）处连续
D ： z＝f（x，y）在点（x0，y0）处连续，则z＝f（x，y）在点（x0，y0）处两个偏导
数有界正确答案： C
解析：
要证明f（x，y）在点（x0，y0）处连续，则假设|fx′（x0，y0）|≤M，|fy′
（x0，y0）|≤M，（M＞0为常数），则
其中，Δx＝x－x0，Δy＝y－y0，0＜θ1＜1，0＜θ2＜1。
当 时，有Δx→0，Δy→0，则必有|f（x，y）－f
（x0，y0）|≤M（|Δx|＋|Δy|）→0。
所以f（x，y）在点（x0，y0）处连续。
6 、 单选题
设u＝sinx＋φ（sinx＋cosy）（φ为可微函数），且当x＝0时，u＝sin2y，则?u/?y＝
（ ）。
A ： sinxsiny＋cosysiny
B ： sinxsiny＋cosycosy
C ： 2（sinxsiny＋cosysiny）
D ： 2（sinxsiny＋cosycosy）
正确答案： C
解析：
7 、 单选题
设u＝2xy－z^2，则u在点（2，－1，1）处的方向导数的最大值为（ ）。
A.
B.4
C.（－2，－4，－2）
D.6
正确答案： A解析：
8 、 单选题
正确答案： A
解析：
9 、 单选题
已知x＋y－z＝e^x，xe^x＝tant，y＝cost，则（dz/dt）|t＝0＝（ ）。
A ： 1/2
B ： 1/2
C ： 1
D ： 0
正确答案： D
解析：
由x＋y－z＝e^x，xe^x＝tant，y＝cost，均对t求导，得t＝0时，x＝0，y＝1，z＝0，则xt′＝1，yt′＝0，zt′＝0。
10 、 单选题
正确答案： A
解析：
11 、 单选题
正确答案： D
解析：12 、 单选题
A ： 2
B ： 1
C ： e
D ： 0
正确答案： A
解析：
13 、 单选题
正确答案： A
解析：
14 、 单选题
正确答案： B解析：
15 、 单选题
若u＝（x/y）^1/z，则du（1，1，1）＝（ ）。
A ： dx/dy
B ： dxdy
C ： dx－dy
D ： dx＋dy
正确答案： C
解析：
16 、 单选题
曲面z＝x＋f（y－z）的任一点处的切平面（ ）。
A ： 垂直于一定直线
B ： 平行于一定平面
C ： 与一定坐标面成定角
D ： 平行于一定直线
正确答案： D
解析：
17 、 单选题
二元函数f（x，y）在点（0，0）处可微的一个充分条件是（ ）。
正确答案： C解析：
C项中，因
故
则，即fx′（0，0）＝0。同理得fy′（0，0）＝0。
令，其中，α是（x，y）→（0，0）时的无穷小量。则
即f（x，y）在点（0，0）处可微。
18 、 单选题
正确答案： B
解析：
方程两边对x求偏导数有
整理得
方程两边对y求偏导数有19 、 单选题
正确答案： D
解析：
20 、 单选题
过直线 且平行于曲线 在点（1，－1，2）处的切线的平面方程为（ ）。
A ： 4x－5y－12z＋9＝0
B ： 4x－5y－12z＋17＝0
C ： 3x－9y－12z＋17＝0
D ： 3x－8y－11z＋9＝0
正确答案： C
解析：
21 、 单选题
设k为常数，则 （ ）。
A ： 等于0
B ： 等于1/2
C ： 不存在
D ： 存在与否与k值有关
正确答案： A
解析：
22 、 单选题正确答案： B
解析：
23 、 单选题
A ： 16x＋8y－16z＝0
B ： 2x＋3y－4z＋5＝0
C ： 16x＋8y－16z＋11＝0
D ： 8x－3y＋4z＋7＝0
正确答案： C
解析：24 、 单选题
A ： 1/5
B ： 1/7
C ： 1/7
D ： 1/5
正确答案： C
解析：
25 、 单选题
设f（x，y）＝ax＋by，其中a，b为常数，则f[xy，f（x，y）]＝（ ）。
正确答案： D
解析：26 、 单选题
设函数f（x，y）在点（0，0）附近有定义，且fx′（0，0）＝3，fy′（0，0）＝1，则
（ ）。
A.dz｜（0，0）＝3dx＋dy
B.曲面z＝f（x，y）在点（0，0，f（0，0））的法向量为（3，1，1）
C.曲线 在点（0，0，f（0，0））的法向量为（1，0，3）
D.曲线 在点（0，0，f（0，0））的法向量为（3，0，1）
正确答案： C
解析：
A项中，函数z＝f（x，y）在点M0（x0，y0）处存在偏导数，并不能保证函数在该点可
微，则A项错误。B项中，同理，偏导数存在不能保证可微，所以不能保证曲面在点M0
（x0，y0）处存在切面，故B项错误。C、D两项中，曲线均在xOz平面上，则由导函数
的几何意义知曲线 在点（0，0）处的切线向量为（1，0，fx′（0，0）），
故C正确，D错误。
27 、 单选题
设f（x，y）与φ（x，y）均为可微函数，且φy′（x，y）≠0。已知（x0，y0）是f（x，y）
在约束条件φ（x，y）＝0下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）。
A ： 若fx′（x0，y0）＝0，则fy′（x0，y0）＝0
B ： 若fx′（x0，y0）＝0，则fy′（x0，y0）≠0
C ： 若fx′（x0，y0）≠0，则fy′（x0，y0）＝0
D ： 若fx′（x0，y0）≠0，则fy′（x0，y0）≠0
正确答案： D
解析：
设z＝f（x，y）＝f（x，y（x）），由题意可知?z/?x＝fx′＋fy′·（dy/dx）＝0。
又φ（x，y）＝0，则dy/dx＝－φx′/φy′。故fx′－（φx′/φy′）fy′＝0。又φy′≠0，则fx′φy′
＝φx′fy′。所以当fx′≠0时fy′≠0。28 、 单选题
函数 在A（1，0，1）点处沿A点指向B（3，－2，2）点的方
向导数为（ ）。
A ： 1/2
B ： 1/3
C ： 1/4
D ： 1
正确答案： A
解析：
29 、 单选题
正确答案： A
解析：30 、 单选题
可微函数f（x，y）在点（x0，y0）取得极小值，下列结论正确的是（ ）。
A ： f（x0，y）在y＝y0处的导数等于零
B ： f（x0，y）在y＝y0处的导数大于零
C ： f（x0，y）在y＝y0处的导数小于零
D ： f（x0，y）在y＝y0处的导数不存在
正确答案： A
解析：
由题意可知，fx′（x0，y0）＝fy′（x0，y0）＝0。则当x＝x0时，f（x0，y）是一元可导
函数，且它在y＝y0处取得极小值。故f（x0，y）在y＝y0处的导数为0。
31 、 单选题
下列二元函数中，在全平面上连续的是（ ）。
正确答案： C
解析：32 、 单选题
正确答案： A
解析：
由题得
33 、 单选题
正确答案： A解析：
34 、 单选题
设z＝φ（x2－y2），其中φ有连续导数，则函数z满足（ ）。
正确答案： C
解析：
35 、 单选题
若 ，且当x＝0时，u＝siny，当y＝0时，u＝sinx，则u（x，y）＝（ ）。
A ： xy＋sinx－siny
B ： xy＋sinx＋siny
C ： x/y＋sinx－cosy
D ： x/y＋sinx＋cosy
正确答案： B
解析：36 、 单选题
A ： 2e
B ： 1
C ： e
D ： 0
正确答案： D
解析：
37 、 单选题
正确答案： B
解析：
38 、 单选题
A ： 1＋2ln2
B ： 2＋2ln2
C ： 1＋ln2
D ： 2＋ln2
正确答案： A解析：
39 、 单选题
正确答案： D
解析：
40 、 单选题
A ： 2
B ： 2
C ： 1
D ： 0
正确答案： B
解析：
41 、 单选题函数 在（0，0）点（ ）。
A ： 连续，但偏导数不存在
B ： 偏导数存在，但不可微
C ： 可微
D ： 偏导数存在且连续
正确答案： B
解析：
42 、 单选题
设 ，其中φ具有二阶导数，ψ具有
一阶导数，则必有（ ）。
正确答案： B
解析：43 、 单选题
设z＝x^3－3x＋y^2，则它在点（1，0）处（ ）。
A ： 取得极大值
B ： 不取得极值
C ： 取得极小值
D ： 不能确定是否取得极值
正确答案： C
解析：
44 、 单选题
A ： e
B ： 2e
C ： 0
D ： 1
正确答案： D
解析：
45 、 单选题
设函数z＝f（x，y）的全微分为dz＝xdx＋ydy，则点（0，0）（ ）。
A ： 不是f（x，y）的连续点
B ： 不是f（x，y）的极值点
C ： 是f（x，y）的极大值点D ： 是f（x，y）的极小值点
正确答案： D
解析：
46 、 单选题
正确答案： C
解析：
47 、 单选题
正确答案： C
解析：48 、 单选题
函数u＝sinxsinysinz满足条件x＋y＋z＝π/2（x＞0，y＞0，z＞0）的条件极值为（
）。
A ： 1
B ： 0
C ： 1/6
D ： 1/8
正确答案： D
解析：
构造函数F（x，y，z）＝sinxsinysinz＋λ[x＋y＋z－（π/2）]，则
解得x＝y＝z＝π/6
把x＝y＝z＝π/6代入u＝sinxsinysinz得u＝1/8。
49 、 单选题A ： 1/6
B ： 1/2
C ： 1/6
D ： 1/2
正确答案： D
解析：
50 、 单选题
曲面z＝x^2＋y^2与平面2x＋4y－z＝0平行的切平面的方程是（ ）。
A ： 2x＋4y－z－5＝0
B ： 2x＋4y－z＝0
C ： 2x＋4y－z－3＝0
D ： 2x＋4y－z＋5＝0
正确答案： A
解析：
51 、 单选题
设 ，则fx′（0，1）＝（ ）。
A ： 0B ： 1
C ： 2
D ： 不存在
正确答案： B
解析：
由题知， 。
