2021年高考数学试卷（天津）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号， 2，本卷共9小题，每小题5分，共45分 参考公式： •如果事件A、B互斥，那么P(AÈB)= P(A)+P(B)． •如果事件A、B相互独立，那么P(AB)= P(A) P(B)． 1 •球的体积公式V = R3，其中R表示球的半径． 3 1 •圆锥的体积公式V = Sh，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高． 3 一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合A=-1,0,1，B=1,3,5,C =0,2,4，则(AÇB)ÈC =（ ） 0 {0,1,3,5} {0,1,2,4} A. B. C. D. {0,2,3,4} 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集并集的定义即可求出. 【详解】 A=-1,0,1，B=1,3,5,C =0,2,4， Q \AÇB=1 ，\(AÇB)ÈC =0,1,2,4 . 故选：C. 2. 已知aÎR，则“a >6”是“a2 >36”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件 第1页 | 共19页【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】由题意，若a >6，则a2 >36，故充分性成立； 若a2 >36，则a >6或a<-6，推不出a >6，故必要性不成立； 所以“a >6”是“a2 >36”的充分不必要条件. 故选：A. ln|x| 3. 函数y= 的图像大致为（ ） x2 +2 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 第2页 | 共19页【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当xÎ0,1 时， f x<0，排除D，即可得解. 【详解】设y= f x= ln|x| ，则函数 f x 的定义域为  x x0  ，关于原点对称， x2 +2 ln|-x| 又 f -x= = f x ，所以函数 f x 为偶函数，排除AC； -x2 +2 当xÎ0,1 时，ln|x|<0,x2 +1>0 ，所以 f x<0，排除D. 故选：B. 4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分 数据分为8组： 66,70 、 70,74 、L、 94,98 ，并整理得到如下的费率分布直方 图，则评分在区间 82,86 内的影视作品数量是（ ） A. 20 B. 40 C. 64 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间 82,86 内的影视作品数量. 【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间 82,86 内的影视作品数量为 400´0.05´4=80. 故选：D. a=log 0.3,b=log 0.4,c=0.40.3 5. 设 2 1 ，则a，b，c的大小关系为（ ） 2 第3页 | 共19页A. alog 2 2=1，\b>1， 2 0<0.40.3 <0.40 =1，\00,b>0)的右焦点与抛物线y2 =2px(p>0)的焦点重合， a2 b2 第5页 | 共19页抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 CD = 2|AB|．则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设公共焦点为 c,0 ，进而可得准线为x=-c，代入双曲线及渐近线方程，结合 1 线段长度比值可得a2 = c2，再由双曲线离心率公式即可得解. 2 x2 y2 【详解】设双曲线 - =1(a>0,b>0)与抛物线y2 =2px(p>0)的公共焦点为 c,0 ， a2 b2 则抛物线y2 =2px(p>0)的准线为x=-c， c2 y2 b2 2b2 令x=-c，则 - =1，解得y =± ，所以 AB = , a2 b2 a a b 2bc 又因为双曲线的渐近线方程为y =± x，所以 CD = ， a a 2bc 2 2b2 1 所以 = ，即c= 2b，所以a2 =c2 -b2 = c2， a a 2 c 所以双曲线的离心率e= = 2. a 故选：A. 9. ìcos(2x-2a). x2时，令 f(a)=a2 -2a(a+1)+a2 +5=-2a+5³0，则2 时， f x 有1个零点. 2 综上，要使 f(x)在区间(0,+¥)内恰有6个零点，则应满足 ì7 9 ì9 11 ï îa<2 ïî 2 ïî 2 æ 9ù æ5 11ù 则可解得a的取值范围是ç2, ú Èç , ú. è 4û è2 4û 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x0 , b>0，则 + +b的最小值为____________． a b2 【答案】2 2 【解析】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】 a>0 , b>0， Q 1 a 1 a 2 2 \ + +b³2 × +b= +b³2 ×b =2 2， a b2 a b2 b b 1 a 2 当且仅当 = 且 =b，即a = b = 2时等号成立， a b2 b 1 a 所以 + +b的最小值为2 2. a b2 故答案为：2 2. 14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一 5 1 方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次 6 5 活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概 率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________． 2 20 【答案】 ①. ②. 3 27 【解析】 【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少 获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解. 5 4 2 【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为 ´ = ； 6 5 3 第9页 | 共19页2 3 æ2ö 1 æ2ö 20 则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C2´ ç ÷ ´ + ç ÷ = . 3 è3ø 3 è3ø 27 2 20 故答案为： ； . 3 27 15. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE ^ AB且交AB于点E． uuur uuur uuur uuur uuur DF//AB且交AC于点F,则|2BE+DF|的值为____________；(DE+DF)×DA的最小值 为____________． 11 【答案】 ①. 1 ②. 20 【解析】 uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2 【分析】设BE = x，由(2BE+DF)2 =4BE +4BE×DF +DF 可求出；将 ( u D uu E r + u D uu F r )× u D uu A r 化为关于x的关系式即可求出最值. æ 1ö 【详解】设BE = x，xÎ ç 0, ÷， QV ABC为边长为1的等边三角形，DE ^ AB， è 2ø \ÐBDE =30o,BD=2x,DE = 3x,DC =1-2x， Q DF//AB，\ V DFC 为边长为1-2x的等边三角形，DE^DF， uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2 \(2BE+DF)2 =4BE +4BE×DF +DF =4x2 +4x(1-2x)´cos0o +(1-2x)2 =1， uuur uuur \|2BE+DF |=1， uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur (DE+DF)×DA=(DE+DF)×(DE+EA)= DE +DF×EA Q 2 æ 3 ö 11 =( 3x)2 +(1-2x)´(1-x)=5x2 -3x+1=5 x- + ， ç ÷ è 10ø 20 3 11 uuur uuur uuur 所以当x= 时，(DE+DF)×DA的最小值为 . 10 20 11 故答案为：1； . 20 第10页 | 共19页三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成 演算步骤． 16. 在 V ABC ，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c，已知 sin A:sinB:sinC =2:1: 2，b= 2 ． （I）求a的值； （II）求cosC 的值； æ ö （III）求sin ç 2C- ÷的值． è 6 ø 3 21-1 【答案】（I）2 2；（II）（III） 16 【解析】 【分析】（I）由正弦定理可得a:b:c=2:1: 2，即可求出； （II）由余弦定理即可计算； （III）利用二倍角公式求出2C的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】（I）因为sin A:sinB:sinC =2:1: 2，由正弦定理可得a:b:c=2:1: 2， b= 2，\a =2 2,c=2； Q a2 +b2 -c2 8+2-4 3 （II）由余弦定理可得cosC = = = ； 2ab 2´2 2´ 2 4 3 7 （III） Q cosC = ，\sinC = 1-cos2C = ， 4 4 7 3 3 7 9 1 \sin2C =2sinCcosC =2´ ´ = ，cos2C =2cos2C-1=2´ -1= ， 4 4 8 16 8 第11页 | 共19页æ ö   3 7 3 1 1 3 21-1 所以sin ç 2C- ÷ =sin2Ccos -cos2Csin = ´ - ´ = . è 6 ø 6 6 8 2 8 2 16 17. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABC D 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点 1 1 1 1 ． （I）求证：DF //平面AEC ； 1 1 1 （II）求直线AC 与平面AEC 所成角的正弦值． 1 1 1 （III）求二面角A-AC -E的正弦值． 1 1 3 1 【答案】（I）证明见解析；（II） ；（III） . 9 3 【解析】 uuuur ur 【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出DF 及平面AEC 的一个法向量m，证明 1 1 1 uuuur ur DF ^m，即可得证； 1 uuuur ur uuuur （II）求出AC ，由sinq= cos m,AC 运算即可得解； 1 1 uuur ur uuur ur DB×m （III）求得平面AAC 的一个法向量 u D uu B r ，由 cos DB,m = uuur ur 结合同角三角函数的 1 1 DB × m 平方关系即可得解. 【详解】（I）以A为原点，AB,AD,AA分别为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系， 1 第12页 | 共19页则A0,0,0 ,A 0,0,2 ,B2,0,0 ,C2,2,0 ,D0,2,0 ,C 2,2,2 ,D 0,2,2 ， 1 1 1 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以E2,1,0 ，F1,2,0 ， uuuur uuuur uuur 所以DF =1,0,-2 ,AC =2,2,0 ,AE =2,1,-2 , 1 1 1 1 ur 设平面AEC 的一个法向量为m=x ,y ,z ， 1 1 1 1 1 ur uuuur ì ïm×AC =2x +2y =0 ur 则í 1 1 1 1 ，令x =2，则m=2,-2,1， ur uuur 1 îïm×AE =2x + y -2z =0 1 1 1 1 uuuur ur uuuur ur 因为DF×m=2-2=0，所以DF ^m， 1 1 因为DF Ë平面AEC ，所以DF //平面AEC ； 1 1 1 1 1 1 uuuur （II）由（1）得，AC =2,2,2， 1 设直线AC 与平面AEC 所成角为q， 1 1 1 ur uuuur ur uuuur m×AC 2 3 则sinq= cos m,AC = 1 = = ； 1 m ur × u A u C uur 3´2 3 9 1 uuur （III）由正方体的特征可得，平面AAC 的一个法向量为DB=2,-2,0， 1 1 uuur ur uuur ur DB×m 8 2 2 cos DB,m = = = 则 uuur ur ， DB × m 3´2 2 3 uuur ur 1 所以二面角A-AC -E的正弦值为 1-cos2 DB,m = . 1 1 3 18. 第13页 | 共19页x2 y2 2 5 已知椭圆 + =1a >b>0的右焦点为F ，上顶点为B，离心率为 ，且 a2 b2 5 BF = 5． （1）求椭圆的方程； （2）直线l与椭圆有唯一的公共点M ，与y轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直 的直线交x轴于点P．若MP//BF，求直线l的方程． x2 【答案】（1） + y2 =1；（2）x- y+ 6 =0. 5 【解析】 【分析】（1）求出a的值，结合c的值可得出b的值，进而可得出椭圆的方程； x x （2）设点M x ,y  ，分析出直线l的方程为 0 + y y=1，求出点P的坐标，根据 0 0 5 0 MP//BF可得出k =k ，求出x 、y 的值，即可得出直线l的方程. MP BF 0 0 【详解】（1）易知点Fc,0 、B0,b ，故 BF = c2 +b2 =a = 5， c 2 5 因为椭圆的离心率为e= = ，故c=2，b= a2 -c2 =1， a 5 x2 因此，椭圆的方程为 + y2 =1； 5 x2 （2）设点M x ,y  为椭圆 + y2 =1上一点， 0 0 5 x x 先证明直线MN 的方程为 0 + y y=1， 5 0 ìx x 0 + y y =1 ï ï 5 0 联立í ，消去y并整理得x2 -2x x+x2 =0，D=4x2 -4x2 =0， x2 0 0 0 0 ï + y2 =1 ïî 5 x2 x x 因此，椭圆 + y2 =1在点M x ,y  处的切线方程为 0 + y y=1. 5 0 0 5 0 第14页 | 共19页1 æ 1 ö 在直线MN 的方程中，令x=0，可得y = ，由题意可知y >0，即点Nç0, ÷， y 0 y 0 è 0 ø b 1 1 直线BF 的斜率为k =- =- ，所以，直线PN 的方程为y =2x+ ， BF c 2 y 0 1 æ 1 ö 在直线PN 的方程中，令y=0，可得x=- ，即点Pç- ,0÷， 2y 2y 0 è 0 ø y 2y2 1 0 = 0 =- 因为MP//BF，则k =k ，即 1 2x y +1 2 ，整理可得x +5y 2 =0 MP BF x + 0 0 0 0 0 2y 0 ， x2 6 5 6 所以，x =-5y ，因为 0 + y2 =6y2 =1，\y >0，故y = ，x =- ， 0 0 5 0 0 0 0 6 0 6 6 6 所以，直线l的方程为- x+ y =1，即x- y+ 6 =0. 6 6 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y=kx+m与椭圆方程联立，由D=0进行求解； x2 y2 x x y y （2）椭圆 + =1在其上一点 x ,y  的切线方程为 0 + 0 =1，再应用此方程时 a2 b2 0 0 a2 b2 x x y y x2 y2 ，首先应证明直线 0 + 0 =1与椭圆 + =1相切. a2 b2 a2 b2 19. 已知 a  是公差为2的等差数列，其前8项和为64． b  是公比大于0的等比数列， n n b =4,b -b =48． 1 3 2 第15页 | 共19页（I）求 a  和 b  的通项公式； n n 1 （II）记c =b + ,nÎN*， n 2n b n （i）证明  c2 -c  是等比数列； n 2n n a a （ii）证明å k k+1 <2 2  nÎN* c2 -c k=1 k 2k 【答案】（I）a =2n-1,nÎN*，b =4n,nÎN*；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见 n n 解析. 【解析】 【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得 a  的通项，由等比数列的通项公式运算 n 可得 b  的通项公式； n （II）（i）运算可得c2 -c =2×4n，结合等比数列的定义即可得证； n 2n a a 4n2 n a a 1 n k （ii）放缩得 n n+1 < ，进而可得å k k+1 < å ，结合错位相减法即可得 c2 -c 2×22n c2 -c 2 2k-1 n 2n k=1 k 2k k=1 证. 【详解】（I）因为 a  是公差为2的等差数列，其前8项和为64． n 8´7 所以a +a +×××+a =8a + ´2=64，所以a =1， 1 2 8 1 2 1 所以a =a +2n-1=2n-1,nÎN*； n 1 设等比数列 b  的公比为q,q>0 ， n 所以b -b =bq2 -bq=4  q2 -q  =48，解得q=4（负值舍去）， 3 2 1 1 所以b =bqn-1 =4n,nÎN*； n 1 1 1 （II）（i）由题意，c =b + =42n + ， n 2n b 4n n æ 1 ö 2 æ 1 ö 所以c2 -c =ç42n + ÷ -ç44n + ÷=2×4n， n 2n è 4n ø è 42n ø c2 -c 2×4n+1 所以c2 -c 0，且 n+1 2n+2 = =4， n 2n c2 -c 2×4n n 2n 第16页 | 共19页所以数列  c2 -c  是等比数列； n 2n a a 2n-12n+1 4n2 -1 4n2 （ii）由题意知， n n+1 = = < ， c2 -c 2×4n 2×22n 2×22n n 2n a a 4n2 2n 1 n 所以 n n+1 < = = × ， c2 -c 2×22n 2×2n 2 2n-1 n 2n n a a 1 n k 所以å k k+1 < å ， c2 -c 2 2k-1 k=1 k 2k k=1 n k 1 2 3 n 设T =å = + + +×××+ ， n 2k-1 20 21 22 2n-1 k=1 1 1 2 3 n 则 T = + + +×××+ ， 2 n 21 22 23 2n æ 1 ö 1×ç1- ÷ 1 1 1 1 n è 2n ø n n+2 两式相减得 T =1+ + +×××+ - = - =2- ， 2 n 2 22 2n-1 2n 1 2n 2n 1- 2 n+2 所以T =4- ， n 2n-1 n a a 1 n k 1 æ n+2ö 所以å k k+1 < å = ç4- ÷<2 2. c2 -c 2 2k-1 2è 2n-1 ø k=1 k 2k k=1 【点睛】关键点点睛： n a a 最后一问考查数列不等式的证明，因为å k k+1 无法直接求解，应先放缩去除根号，再 c2 -c k=1 k 2k 由错位相减法即可得证. 20. 已知a >0，函数 f(x)=ax-xex． （I）求曲线y = f(x)在点(0, f(0))处的切线方程： （II）证明 f(x)存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得 f(x)£a+b对任意xÎR成立，求实数b的取值范围． 【答案】（I）y =(a-1)x,(a >0)；（II）证明见解析；（III） -e,+¥ 【解析】 【分析】（I）求出 f x 在x=0处的导数，即切线斜率，求出 f 0 ，即可求出切线方程 ； 第17页 | 共19页（II）令 f¢x=0，可得a=(x+1)ex，则可化为证明y =a与y = gx 仅有一个交点， 利用导数求出gx 的变化情况，数形结合即可求解； （III）令h(x)=  x2 -x-1  ex,(x>-1)，题目等价于存在xÎ(-1,+¥)，使得h(x)£b， 即b³h(x) ，利用导数即可求出hx 的最小值. min 【详解】（I） f¢(x)=a-(x+1)ex，则 f¢(0)=a-1， 又 f(0)=0，则切线方程为y =(a-1)x,(a >0)； （II）令 f¢(x)=a-(x+1)ex =0，则a=(x+1)ex， 令g(x)=(x+1)ex，则g¢(x)=(x+2)ex， 当xÎ(-¥,-2)时，g¢(x)<0，gx 单调递减；当xÎ(-2,+¥)时，g¢(x)>0，gx 单调递增， 当x®-¥时，gx<0，g-1=0，当x®+¥时，gx>0，画出gx 大致图像 如下： 所以当a >0时，y =a与y = gx 仅有一个交点，令gm=a，则m>-1，且 f¢(m)=a-g(m)=0， 当xÎ(-¥,m)时，a> g(x)，则 f¢(x)>0， f x 单调递增， 当xÎm,+¥ 时，a< g(x)，则 f¢(x)<0， f x 单调递减， 第18页 | 共19页x =m为 f x 的极大值点，故 f(x)存在唯一的极值点； （III）由（II）知 f(x) = f(m)，此时a=(1+m)em,m>-1， max 所以{f(x)-a} = f(m)-a =  m2 -m-1  em,(m>-1)， max 令h(x)=  x2 -x-1  ex,(x>-1)， 若存在a，使得 f(x)£a+b对任意xÎR成立，等价于存在xÎ(-1,+¥)，使得h(x)£b， 即b³h(x) ， min h¢(x)=  x2 +x-2  ex =(x-1)(x+2)ex，x>-1， 当xÎ(-1,1)时，h¢(x)<0，hx 单调递减，当xÎ(1,+¥)时，h¢(x)>0，hx 单调递 增， 所以h(x) =h(1)=-e，故b³-e， min 所以实数b的取值范围 -e,+¥ . 【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y =a与y = gx 仅有一个交点；第 三问解题的关键是转化为存在xÎ(-1,+¥)，使得h(x)£b，即b³h(x) . min 第19页 | 共19页