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2023-2024 学年高考适应性测试
数学
本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知 为纯虚数，则实数 （ ）
A. 0 B. 1 C. D.
2. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3. 已知平面向量 ， ，则下列结论一定错误的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数中，是偶函数，且在 上是减函数的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为 的直线与直线 交于点A，点M在抛物线上，且
满足 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
6. 在 展开式中，x的系数为（ ）
的
A. 9 B. 15 C. D.7. 将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，下列结论正
确的是（ ）．
A. 是最小正周期为 的偶函数 B. 点 是 的对称中心
C. 在区间 上的最大值为 D. 在区间 上单调递减
8. 已知直线 与圆 ，则“ ，直线 与圆 有公共点”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角 ，使该几何体
与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴.则正方体的旋转轴共有（ ）
A. 7条 B. 9条
C. 13条 D. 14条
10. 已知函数 ，则下列命题不正确的是（ ）
A. 当 时， 有唯一极小值 B. 存在定直线始终与曲线相切
C. 存在实数a，使 为增函数 D. 存在实数a，使 为减函数
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知 ，若 ，则 ______.
12. 双曲线 的焦点坐标是______.
13. 已知 ， ，若对任意实数x都有 恒成立，则满足条件的一组有序数对 为______.
的
14. 在数学发展史上，已知各除数及其对应 余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问
题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解
法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余
定理”的高度.现有一个剩余问题：在 的整数中，把被 除余数为 ，被 除余数为 ，被 除余数
也为 的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列 ，则数列 的项数为______.
15. 在棱长为6的正方体 中，E为棱 上一动点，且不与端点重合，F，G分别为
， 的中点，给出下列四个结论：
①平面 平面 ；
②平面 可能经过 的三等分点；
③在线段 上的任意点H（不与端点重合），存在点E使得 平面 ；
④若E为棱 的中点，则平面 与正方体所形成的截面为五边形，且周长为 .
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16. 中，角A，B，C对边分别为a，b，c， ， .
（1）求 的大小；
（2）若 ，求 的面积.17. 如图（1），在 中， ， ，将 沿 折起到 的位
置，E，F分别为 ， 上的动点，过 作平面 ，交 于点Q，使得 平面 ，如图
（2）.
（1）证明： ；
（2）若 ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角 的余弦
值.
条件①：平面 平面 ；
条件②： .
18. 某居民小区某栋楼共有10户家庭入住，若该楼住户在2024年4月的用电量（单位：度）如下图所示：
若电力公司组织了线上抽奖活动，各住户抽奖相互独立，但对用电量不同 的住户，系统设定了如下中
奖率：
用电量
中奖率 50% 50%
（1）在该楼中随机抽取一户家庭，求其4月用电量不低于30度的概率；
（2）在该楼随机抽取2户家庭，以X表示中奖的户数，试求X的分布列和期望；（3）以频率估计概率，在该小区随机抽取2户家庭，以Y表示中奖的户数，试比较 与 的大小
关系.（结论不要求证明）
19. 已知函数 .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 ，求曲线 与曲线 的交点个数.
20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，且点 在椭圆上，动点C，D分别在
直线 和椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程及其焦点坐标；
（2）若椭圆上存在一点E，使得四边形 是矩形，求点D的横坐标.
21. 已知整数 ，数列 是递增的整数数列，即 且 定义
数列 的“相邻数列”为 ，其中 或
的
（1）已知 ，数列 ，写出 所有“相邻数列”；
（2）已知 ，数列 是递增的整数数列， ，且 的所有“相邻数列”均
为递增数列，求这样的数列 的个数；
（3）已知 ，数列 是递增的整数数列， ，且存在 的一个“相邻数列”
，对任意的 ，求 的最小值．
