决胜小题压轴之函数综合
模块1
图像法与零点个数问题
3
模块2
二次型复合函数综合问题
6
模块3
函数性质综合
8
满分系列之导数小题
模块1
切线问题
17
模块2
极值与最值问题
20
满分系列之导数（上）
模块1
恒成立与存在性问题
25
模块2
端点效应
29
满分系列之导数（中）
模块1
零点问题
35
模块2
隐零点相关问题
38
目录
Contents
满分系列之立几小题
模块1
外接球与内切球问题
45
模块2
动点最值问题
49
满分系列之立几大题
模块1
几何法
55
模块2
向量法
59
满分系列之概率统计
模块1
统计案例全归纳
67
模块2
统计概率中的建模问题
70
第1 讲
决胜小题压轴之
函数综合
www.xueersi.com
3
1
1
模块
1
图像法与零点个数问题
方法点拨
1
函数零点的求法
代数法：求方程f(x) = 0 的实数根；
几何法：画出函数y = f(x) 的图象，从图象上找出零点．
2
单调函数的零点存在定理
若函数f(x) 在闭区间[a,b] 上的图象是一条连续不断的曲线，且f(x) 在(a,b) 上单调，
①若f(a)f(b) < 0 则函数f(x) 在区间(a,b) 内有且只有一个零点．
②若f(a)f(b) ⩾0 则函数f(x) 在区间(a,b) 内没有零点．
3
已知函数有零点(方程有根) 求参数取值范围常用的三种方法
直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围.
分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.
数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
精讲精练
考点1: 判断零点个数
例1
函数f (x) = 2x |log0.5x|−1 的零点个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
例2
已知函数f (x) =
2x2 +4x+1,x < 0
2
ex ,x ⩾0
，g(x) = −f (−x)，则方程f (x) = g(x) 的解的个数为( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
高三数学·目标985 班（全国）·春
4
1
例3
正确率：20%
已知函数f (x) =
2−|x|,x ⩽2
(x−2)2,x > 2
，函数g(x) = 3−f (2−x)，则函数y = f (x)−g(x) 的零点个数为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
考点2: 已知零点个数求参数
例4
已知函数f (x) =
log5 (1−x)(x < 1)
−(x−2)2 +2(x ⩾1)
，则关于x 的方程f (|x|) = a(a ∈R) 的实根个数不可能为( )
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
www.xueersi.com
5
1
例5
正确率：63%
函数y = f(x) 的图象如图所示，在区间[a，b] 上可找到n(n ⩾2) 个不同的数x1，x2，...，xn，使得f(x1)
x1
=
f(x2)
x2
= ... = f(xn)
xn
，则n 的取值范围是( )
A. {3,4}
B. {2,3,4}
C. {3,4,5}
D. {2,3}
例6
正确率：62%
已知函数f (x) = |lnx|，g(x) =
0,0 < x ⩽1
x2 −4
−2,x > 1
，若关于x 的方程f (x)+m = g(x) 恰有三个不相等
的实数解，则m 的取值范围是( )
A. [0,ln2]
B. (−2−ln2,0)
C. (−2−ln2,0]
D. [0,2+ln2)
高三数学·目标985 班（全国）·春
6
1
2
模块
2
二次型复合函数综合问题
知识凝炼
解决含二次函数的复合函数y = a(f (x))2 +bf (x)+c 问题的基本思想为：由外到里.
以二次函数的基本理论为基础, 把里层函数f (x) 看成整体, 通过研究二次函数的性质转化为函数f (x) 的
性质，再对f (x) 进行研究.
精讲精练
考点3: 二次型复合函数综合问题
例7
正确率：82%
函数y = x+2√2−x 的值域为
．
例8
函数f (x) = 3·4x −2x，则f (x) 在R 上的最小值为
．
www.xueersi.com
7
1
例9
正确率：89%
已知y = 4x −3·2x +3 的值域为[1,7]，则x 的取值范围是( )
A. [2,4]
B. (−∞,0)
C. (0,1)∪[2,4]
D. (−∞,0]∪[1,2]
例10 函数y =
(
log 1
2 x
)2
−log 1
4 x+5 在[2,4] 上的最大值为
，最小值为
．
例11
正确率：50%
对于函数f (x)，若在定义域内存在实数x，满足f (−x) = −f (x)，称f (x) 为“局部奇函数”，若f (x) =
4x −m·2x+1 +m2 −3 为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是( )
A. 1−
√
3 ⩽m ⩽1+
√
3
B. 1−
√
3 ⩽m ⩽2
√
2
C. −2
√
2 ⩽m ⩽2
√
2
D. −2
√
2 ⩽m ⩽1−
√
3
高三数学·目标985 班（全国）·春
8
1
3
模块
3
函数性质综合
知识凝炼
1
单调性的应用
单调性的应用主要有以下几个方面：
(1) 由单调性求参数的值或者范围．
(2) 由单调性比较函数值的大小．
(3) 由单调性解函数不等式．
(4) 由单调性求函数的最值．
2
奇偶性的基础概念
3
奇偶性的判断
判断函数的奇偶性有三种基本的方法：
(1) 定义法：利用定义式来判断，要注意验证函数的定义域是否对称．
(2) 图像法：奇函数的图象关于原点中心对称；偶函数的图象关于y 轴对称．
(3) 利用奇偶性的四则运算．
www.xueersi.com
9
1
精讲精练
考点4: 单调性与奇偶性综合
例12 已知定义域为R 的奇函数f (x)，对任意的x1，x2 ∈(0,+∞)(x1̸ = x2)，均有(x1 −x2)(f (x1)−f (x2)) > 0，
f (3) = 0，则不等式(x−1) f (x) > 0 的解集为( )
A. (−∞,−3)∪(0,1)∪(3,+∞)
B. (−3,0)∪(0,1)∪(1,3)
C. (−∞,−3)∪(0,3)
D. (−3,0)∪(1,3)
例13 已知函数f (x) = ex −1
ex ，其中e 是自然对数的底数．则关于x 的不等式f (2x−1)+ f (−x−1) > 0 的解
集为( )
A.
(
−∞,−4
3
)
∪(2,+∞)
B. (2,+∞)
C.
(
−∞, 4
3
)
∪(2,+∞)
D. (−∞,2)
高三数学·目标985 班（全国）·春
10
1
例14 已知函数f (x) = |x|
(
10x −10−x)
，则不等式f (1−2x)+ f (3) > 0 的解集为( )
A. (−∞,2)
B. (2,+∞)
C. (−∞,1)
D. (1,+∞)
知识凝炼
1
中心对称
(1) 若f (x)+ f (a−x) = b，则f (x) 图象的对称中心为
(
a
2, b
2
)
；
(2) 若f (a+x)+ f (b−x) = c，则f (x) 图象的对称中心为
(
a+b
2
, c
2
)
．
2
轴对称
(1) 若f (x) = f (a−x)，则f (x) 图象的对称轴为x = a
2；
(2) 若f (a+x) = f (b−x)，则f (x) 图象的对称轴为x = a+b
2
．
3
周期性
(1) 若f (x+a) = f (x)，则T = a；
(2) 若f (x+a) = −f (x) 或f (x+a) = ±
1
f (x)，则T = 2a；
(3) 若f (x+a) = f (x+b)，则T = |a−b|；
(4) 若f (x) 的图象有两条对称轴x = a、x = b，则T = 2|a−b|；
(5) 若f (x) 的图象有两个对称中心(a,0)、(b,0)，则T = 2|a−b|；
(6) 若f (x) 的图象有对称轴x = a 和对称中心(b,0)，则T = 4|a−b|．
www.xueersi.com
11
1
精讲精练
考点5: 对称性与周期性综合
例15 已知定义在R 上的偶函数f (x) 满足：对任意的实数x 都有f (1−x) = f (x+1)，且f (−1) = 2，f (2) =
−1．则f (1)+ f (2)+ f (3)+···+ f (2019) 的值为( )
A. 2020
B. 2019
C. 1011
D. 1008
例16 定义在R 上的奇函数f (x) 满足条件f (1+x) = f (1−x)，当x ∈[0,1] 时，f (x) = x，若函数g(x) = |f (x)|−
ae−|x| 在区间[−2018,2018] 上有4032 个零点，则实数a 的取值范围是( )
A. (0,1)
B.
(
e,e3)
C.
(
e,e2)
D.
(
1,e3)
高三数学·目标985 班（全国）·春
12
1
考点6: 图象识别
例17 函数f (x) = |x|sinx 的图象大致是( )
例18 函数f (x) = ln|x|+1
ex
的图象大致为( )
www.xueersi.com
13
1
随堂测试
测试1 已知偶函数f (x) 在[0,+∞) 上单调递增，若f (2) = −2，则满足f (x−1) ⩾−2 的x 的取值范围是( )
A. (−∞,−1)∪(3,+∞)
B. (−∞,−1]∪[3,+∞)
C. [−1,−3]
D. (−∞,−2]∪[2,+∞)
测试2 已知函数f (x) =
2
ex +1 +sinx，其中f ′ (x) 为函数f (x) 的导数，求f (2018)+ f (−2018)+ f ′ (2019)−
f ′ (−2019) =( )
A. 2
B. 2019
C. 2018
D. 0
测试3 函数f (x) =
(
x−1
x
)
cosx(−π⩽x ⩽π 且x̸ = 0) 的图象可能为( )
高三数学·目标985 班（全国）·春
14
1
课堂总结
第2 讲
满分系列之导数
小题
www.xueersi.com
17
2
1
模块
1
切线问题
知识凝炼
命题角度：曲线的切线问题
关键一：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，即斜率k = f
′(x)，切线方程为y−f(x0) =
k(x−x0)，其中(x0, f(x0)) 为曲线y = f(x0) 上一点.
关键二：关注切点的双重性，即切点既在切线上又在曲线上；
关键三：搞清楚是在某点处的切线还是过某点的切线.
易错点：直线与曲线有一个公共点，不能说明直线与曲线相切，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线
与曲线有一个公共点.
精讲精练
考点1: 求切线方程
例1
曲线y = 3
(
x2 +x
)
ex 在点(0,0) 处的切线方程为
．
例2
已知曲线f (x) = ex cosx−x，则该曲线在点(0, f (0)) 处的切线方程为
．
例3
已知函数f (x) = ln 1+x
1−x，则该曲线在点(0, f (0)) 处的切线方程为
．
高三数学·目标985 班（全国）·春
18
2
考点2: 已知切线方程求参数
例4
正确率：60%
已知曲线y = aex +xlnx 在点(1,ae) 处的切线方程为y = 2x+b，则( )
A. a = e，b = −1
B. a = e，b = 1
C. a = e−1，b = 1
D. a = e−1，b = −1
例5
已知曲线f (x) = [ax2 −(4a+1)x+4a+3]ex，且该曲线在点(1, f (1)) 处的切线与x 轴平行，则a =
．
例6
设函数f(x) = xea−x +bx，曲线y = f(x) 在点(2, f(2)) 处的切线方程为y = (e−1)x+4，则a =
，
b =
．
考点3: 公切线问题
例7
若f (x) = lnx 与g(x) = x2 +ax 两个函数的图象有一条与直线y = x 平行的公共切线，则a =( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 3 或−1
www.xueersi.com
19
2
例8
已知函数p(x) = lnx−x+4，q(x) = aex
x (a ∈R)，若函数y = p(x),y = q(x) 的图象有平行于坐标轴的公
切线，则a =
．
例9
若曲线y = 1
2ex2 与曲线y = alnx 在它们的公共点P(s,t) 处具有公共切线，则实数a =( )
A. −2
B. 1
2
C. 1
D. 2
例10 若两曲线y = x2 −1 与y = alnx−1 存在公切线，则正实数a 的取值范围是
．
高三数学·目标985 班（全国）·春
20
2
2
模块
2
极值与最值问题
知识凝炼
命题角度：利用导数求函数的单调性或函数的极值与最值
关键一：f(x) 在x = x0 处取得极值的充要条件是f
′(x0) = 0，且在x0 左侧与右侧f
′(x) 的符号不同.
关键二：若f(x) 在区间(a,b) 内是单调函数，则f(x) 在区间(a,b) 内一定没有极值.
关键三：用导数求最值的步骤：求导→令f
′(x) = 0，求极值点→将极值点与区间端点代入求最值.
易错点：在利用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导数等于0 的点，而没有对这些点左右两
侧导数的符号进行判断，误以为使导数等于0 的点就是函数的极值点.
精讲精练
考点4: 极值问题
例11 若函数f (x) = x3 −6bx+3b 在(0,1) 内有极小值，则实数b 的取值范围是
．
例12 若函数f (x) = mx2 +2cosx+m(x ∈R) 在x = 0 处取得极小值，则实数m 的取值范围是
．
www.xueersi.com
21
2
例13
正确率：45%
设函数f (x) = lnx+ax2 −3
2x，若x = 1 是函数f (x) 的极大值点，则函数f (x) 的极小值为( )
A. ln2−2
B. ln2−1
C. ln3−2
D. ln3−1
例14 设函数f(x) = (x−2)2(x+b)ex，若x = 2 是f (x) 的一个极大值点，则实数b 的取值范围为
．
考点5: 最值问题
例15 若函数f (x) = 2x3 −ax2 +1(a ∈R) 在(0,+∞) 内有且只有一个零点，则f (x) 在[−1,1] 上的最大值与
最小值的和为
．
例16 设函数f (x) = x−e−x，直线y = mx+n 是曲线y = f (x) 的切线，则m+n 的最小值是( )
A. −1
e
B. 1
C. 1−1
e
D. 1+ 1
e3
高三数学·目标985 班（全国）·春
22
2
随堂测试
测试1
正确率：86%
已知函数f (x) =
(
x2 +x−1
)
ex，则曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程为( )
A. y = 3ex−2e
B. y = 3ex−4e
C. y = 4ex−5e
D. y = 4ex−3e
测试2
正确率：91%
设曲线y = ax+ex −1 在点(0,0) 处的切线方程为y = 3x，则a =( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
测试3
正确率：67%
若曲线f (x) = aelnx
x
在点(1, f (1)) 处的切线过点(0,−2e)，则函数y = f (x) 的极大值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. e
www.xueersi.com
23
2
课堂总结
第3 讲
满分系列之导数
（上）
www.xueersi.com
25
3
1
模块
1
恒成立与存在性问题
知识凝炼
恒成立问题
(1) f (x) 在区间D 上有最大值或最小值，则：
f (x) > a 在区间D 上恒成立⇔f(x)min > a；
f (x) ⩾a 在区间D 上恒成立⇔f(x)min ⩾a；
f (x) < a 在区间D 上恒成立⇔f(x)max < a；
f (x) ⩽a 在区间D 上恒成立⇔f(x)max ⩽a．
(2) f (x) 在区间D 上不存在最大值或最小值，值域为(m,n)，则：
f (x) > a 或f (x) ⩾a 在区间D 上恒成立⇔m ⩾a；
f (x) < b 或f (x) ⩽b 在区间D 上恒成立⇔n ⩽b．
不等式中的不等号是否取等与值域区间的开闭对应．
高三数学·目标985 班（全国）·春
26
3
精讲精练
考点1: 恒成立与存在性问题
例1
已知函数f (x) = ex −ax2 + (a+1)x −1 的定义域为{x|0 < x < 1}，其中a ∈R，e = 2.71828··· 为自然
对数的底数．
（1）设g(x) 是函数f (x) 的导函数，讨论g(x) 的单调性．
（2）若函数f (x) 在区间(0,1) 上单调递增，求实数a 的取值范围．
www.xueersi.com
27
3
例2
已知函数f(x) = x3 −ax2 +10．
（1）当a = 1 时，求曲线y = f(x) 在点(2, f(2)) 处的切线方程.
（2）在区间[1,2] 内至少存在一个实数x，使得f(x) < 0 成立，求实数a 的取值范围．
高三数学·目标985 班（全国）·春
28
3
例3
已知函数f (x) = x−alnx，g(x) = −1+a
x
(a ∈R)．
（1）设函数h(x) = f (x)−g(x)，求函数h(x) 的单调区间．
（2）若在[1,e](e = 2.718···) 上存在一点x0，使得f (x0) < g(x0) 成立，求实数a 的取值范围．
www.xueersi.com
29
3
2
模块
2
端点效应
知识凝炼
存在性问题
将不等式合理变形使参变分离，转化为求函数最值问题．
(1) f (x) 在区间D 上有最大值或最小值，则：
f (x) > a 在区间D 上有解⇔f(x)max > a；
f (x) ⩾a 在区间D 上有解⇔f(x)max ⩾a；
f (x) < a 在区间D 上有解⇔f(x)min < a；
f (x) ⩽a 在区间D 上有解⇔f(x)min ⩽a．
(2) f (x) 在区间D 上不存在最大值或最小值，值域为(m,n)，则：
f (x) > a 或f (x) ⩾a 在区间D 上有解⇔a < n；
f (x) < b 或f (x) ⩽b 在区间D 上有解⇔b > m．
高三数学·目标985 班（全国）·春
30
3
精讲精练
例4
已知函数f (x) = lnx+a(x−1)2 (a ∈R)．
（1）当a < 0 时，求函数y = f (x) 的单调区间．
（2）当x ⩾1 时，f (x) ⩾a
(
x2 −1
)
−ex +e 恒成立，求a 的取值范围．
www.xueersi.com
31
3
例5
已知f (x) = (2x+2 f ′ (0))ex，g(x) = f (x)+ 1
2a(x−1)2，h(x) = f (x)+a
(
x2 +4x
)
+4．
（1）求f (x)．
（2）求g(x) 的单调区间．
（3）若不等式h(x) ⩾0 在[0,+∞) 上恒成立，求实数a 的取值范围．
高三数学·目标985 班（全国）·春
32
3
随堂测试
测试1 已知函数f (x) = x2 +ax−lnx，若m,n ∈[1,+∞)，且f (m)−f (n)
m−n
> 3 恒成立，则a 的取值范围是( )
A. [1,+∞)
B.
[
3−2
√
2,+∞
)
C. (2,+∞)
D. [2,+∞)
测试2
正确率：75%
设函数f (x) = lnx+ax(x > 0)，若存在x0 ∈(0,+∞)，使f (x0) > 0，则a 的取值范围是( )
A.
(
−1
e ,1
)
B.
(
−∞, 1
e
)
C. (−1,+∞)
D.
(
−1
e ,+∞
)
测试3
正确率：78%
当x ∈[−2,1] 时，不等式ax3 −x2 +4x+3 ⩾0 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A. [−5,−3]
B.
[
−6,−9
8
]
C. [−6,−2]
D. [−4,−3]
www.xueersi.com
33
3
课堂总结
第4 讲
满分系列之导数
（中）
www.xueersi.com
35
4
1
模块
1
零点问题
知识凝炼
零点问题：
①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.
②分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决.
③数形结合法：先将解析式变形，转化为两函数图像的交点问题，在同一平面直角坐标系中画出两函数的
图像，再数形结合求解.
精讲精练
考点1: 零点问题
例1
设函数f (x) = mex −x2 +3，其中m ∈R．若函数f (x) 在区间[−2,4] 上有两个零点，求m 的取值范围．
高三数学·目标985 班（全国）·春
36
4
例2
已知函数f (x) = (x−2)ex +a(x−1)2．
（1）讨论f (x) 的单调性．
（2）若f (x) 有两个零点，求a 的取值范围．
www.xueersi.com
37
4
例3
已知函数f (x) = xex−1 −ax+1，其中a ∈R．
（1）当a = 0 时，证明：f (x) > 0．
（2）当a > 0 吋，讨论f (x) 的零点个数．
高三数学·目标985 班（全国）·春
38
4
2
模块
2
隐零点相关问题
方法点拨
一、不含参的隐零点问题
已知不含参的函数f (x)，导函数方程f
′(x) = 0 的根存在，却无法求出，设方程f
′(x) = 0 的根为x0，则有关
系式f
′(x0) = 0 成立. 利用该关系式我们可以将式中关于x0 的难以处理的部分（如指数、对数）消掉，从而将
要求解的问题转化为较简单的形式. 另外，求解过程中尤其注意确定x0 的合适范围.
二、含参函数的隐零点问题
已知含参函数f(x,a)，其中a 为参数，导函数方程f
′(x,a) = 0 的根存在，却无法求出，设方程f
′(x) = 0 的
根为x0，则有关系式f
′(x0) = 0 成立. 该关系式给出了x0,a 的关系，因此我们可以利用该关系式去消参或者消
x0，将问题转化为不含参的单个变量的问题.
www.xueersi.com
39
4
精讲精练
考点2: 隐零点问题
例4
已知函数f (x) = xlnx．令g(x) = ex −f (x+2)+x，证明：g′ (x) > 0．
高三数学·目标985 班（全国）·春
40
4
例5
设f (x) = ax+lnx+1，若对任意的x > 0，f (x) ⩽xe2x 恒成立，求a 的取值范围．
www.xueersi.com
41
4
例6
已知函数f(x) = 2ex +2ax−a2,a ∈R．
（1）求函数f(x) 的单调区间；
（2）若x ⩾0 时，f(x) ⩾x2 −3 恒成立，求实数a 的取值范围．
高三数学·目标985 班（全国）·春
42
4
随堂测试
测试1 定义在(0,+∞) 上的函数f (x) 满足f (x)+x f ′ (x) = 1
x，f (1) = 0，若关于x 的方程|f (x)|−a = 0 有3
个实根，则a 的取值范围是( )
A.
(
0, 1
e
)
B. (0,1)
C.
(
1
e ,1
)
D. (1,+∞)
测试2 已知函数f (x) = ex−2，其中e ≈2.71828··· 是自然对数的底数．设m 为整数，函数g(x) = f (x)−lnx−m
有两个零点，求m 的最小值( )
A. 1
B. 2
C. −1
D. 0
www.xueersi.com
43
4
课堂总结
第5 讲
满分系列之立几
小题
www.xueersi.com
45
5
1
模块
1
外接球与内切球问题
知识凝炼
1
解题思路：找球心．常见题目为棱锥的外接圆，设底面所在平面为α，底面多边形外接圆圆心为O，则球心
O′ 在过点O 且垂直于α 的直线上．
2
常用做法：嵌入法，将几何体嵌入直四棱柱、圆柱等几何体中，便于求出外接球半径．
(1) 嵌入直四棱柱：三棱锥中三条棱两两垂直，或对棱相等（等腰四面体）；
(2) 嵌入圆柱：棱柱，或一条侧棱垂直于底面的棱锥；
高三数学·目标985 班（全国）·春
46
5
(3) 嵌入圆锥：底面外接圆心与顶点连线垂直于底面的棱锥，利用轴截面求解．
精讲精练
考点1: 嵌入法
例1
长方体的边长分别为a,b,c，其外接球半径为
．
例2
若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长分别为1，2，
√
3，则其外接球的表面积是
．
例3
正四面体的棱长为a，其外接球的半径为
．
例4
正确率：20%
四面体A−BCD 中，AB = CD = 5 ，AC = BD =
√
34，AD = BC =
√
41，则四面体A−BCD 外接球的表面
积为( )
A. 50π
B. 100π
C. 150π
D. 200π
www.xueersi.com
47
5
考点2: 找球心
例5
如图，多面体ABCD −A1B1C1D1 是棱长为1 的正方体，棱锥S −ABCD 是高为1 的正四棱锥，若点
S,A1,B1,C1,D1 在同一个球面上，则该球的表面积为
．
例6
正确率：64%
在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，将△ABC 沿AC 折起后，三棱锥B−ACD 的外接球表面积为( )
A. 16π
B. 25π
C. 36π
D. 100π
例7
正确率：52%
在四面体S−ABC 中，AB⊥BC，AB = BC =
√
2，SA = SC = 2，SB =
√
6，则该四面体外接球的体积是( )
A. 8
√
6π
B.
√
6π
C. 24π
D. 6π
高三数学·目标985 班（全国）·春
48
5
知识凝炼
1
几何体的内切球：
球内切于几何体，则球在几何体内部，球心到几何体各平面距离、旋转体母线距离都相等，且距离为内切球
的半径．
2
解题思路：
等体积法，球心到各顶点的连线将多面体分割成若干个棱锥，利用其体积之和等于多面体体积求出内切球
的半径；或作出示意图（轴截面或对角面），再根据题目中的数量关系利用相似三角形求解．
精讲精练
考点3: 等体积法
例8
正四面体的棱长为a，其内切球的半径为
．
例9
已知三棱锥P−ABC，若PA，PB，PC 两两垂直，且PA = PB = PC = 1，则三棱锥P−ABC 的内切球半径
为
．
例10 已知三棱锥P−ABC 中，PA⊥底面ABC，AC = 4,BC = 3,AB = 5,PA = 3，则该三棱锥的内切球的体积为
．
www.xueersi.com
49
5
2
模块
2
动点最值问题
知识凝炼
动点最值问题的解题方法：
(1) 根据动点的约束条件分析不变量，根据不变量来分析图形的几何性质进一步求出最值．
(2) 构造函数或代数式，利用函数性质和常用不等式求最值．
精讲精练
例11 棱长为2 的正方体ABCD −A1B1C1D1 中，E 为CC1 的中点，点P，Q 分别为面A1B1C1D1 和线段B1C
上的动点，则△PEQ 周长的最小值为( )
A. 2
√
2
B.
√
11
C.
√
10
D. 2
√
3
高三数学·目标985 班（全国）·春
50
5
例12 已知二面角α −l −β 为60◦，动点P，Q 分别在平面α，β 内，P 到β 的距离为
√
3，Q 到α 的距离为
2
√
3，则P，Q 两点之间距离的最小值为( )
A.
√
3
B. 2
C. 2
√
3
D. 4
例13 如图，四棱锥S−ABCD 的底面是矩形，AB = a，AD = 2，SA = 1，且SA⊥底面ABCD．若线段BC 上存在
异于B，C 的一点P，使得PS⊥PD，则a 的最大值为
．
www.xueersi.com
51
5
例14
正确率：40%
如图，平面ABC⊥平面α，D 为AB 的中点，|AB| = 2，∠CDB = 60◦，P 为α 内的动点，且P 到直线CD
的距离为
√
3，则∠APB 的最大值为( )
A. 30◦
B. 60◦
C. 90◦
D. 120◦
例15
正确率：73%
如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′ 中，点P，Q 分别是棱BC，CD 上的动点，BC = 4，CD = 3，CC′ = 2
√
3，
直线CC′ 与平面PQC′ 成30◦角，则三棱锥C′ −PQC 体积的最小值是( )
A. 8
√
3
3
B. 6
√
15
5
C. 10
√
3
3
D. 16
3
高三数学·目标985 班（全国）·春
52
5
随堂测试
测试1 四棱锥P−ABCD 的底面ABCD 是边长为6 的正方形，且PA = PB = PC = PD，若一个半径为1 的球
与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )
A. 6
B. 5
C. 9
2
D. 9
4
测试2 如图，棱长为1 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，M 为线段A1B 上的动点，则下列结论正确的有( )
①三棱锥M −DCC1 的体积为定值，
②DC1⊥D1M，
③∠AMD1 的最大值为90◦，
④AM +MD1 的最小值为2．
A. ①②
B. ①②③
C. ③④
D. ②③④
www.xueersi.com
53
5
课堂总结
第6 讲
满分系列之立几
大题
www.xueersi.com
55
6
1
模块
1
几何法
知识凝炼
平行与垂直的几何法证明方向
1
线线平行：
平面几何相关定理（中位线、同位角相等、等高线），平行公理，线面平行，面面平行，线面垂直．
2
线面平行：
线线平行，面面平行．
3
面面平行：
线面平行，线线平行．
4
线线垂直：
平面几何相关定理（勾股定理等），线面垂直．
5
线面垂直：
线线垂直，面面垂直．
6
面面垂直：
线面垂直．
面面平行判定定理和线面垂直判定定理在使用时，注意说明平面内两条或两组相交直线．
高三数学·目标985 班（全国）·春
56
6
精讲精练
例1
等边三角形ABC 的边长为3，点D、E 分别是边AB、AC 上的点，且满足AD
DB = CE
EA = 1
2(如图1)．将△ADE
沿DE 折起到△A1DE 的位置，使二面角A1 −DE −B 成直二面角，连接A1B、A1C(如图2)．
（1）求证：A1D⊥平面BCED．
（2）在线段BC 上是否存在点P，使直线PA1 与平面A1BD 所成的角为60◦？若存在，求出PB 的长；若
不存在，请说明理由．
www.xueersi.com
57
6
例2
如图，△ABC 中，AB = AC = 2，∠BAC = 120◦，D 为线段BC 上一点，且DC = 2
5BC，让△ADC 绕直线AD
翻折到△ADC′ 且使AC′⊥BC．
（1）在线段BC 上是否存在一点E，使平面AEC′⊥平面ABC？请证明你的结论．
（2）求直线C′D 与平面ABC 所成的角．
高三数学·目标985 班（全国）·春
58
6
例3
如图，正方形ABCD 与等边三角形ABE 所在的平面互相垂直，M，N 分别是DE，AB 的中点．
（1）证明：MN// 平面BCE．
（2）锐二面角M −AB−E 的余弦值是( )
A.
√
7
7
B.
√
7
21
C.
√
21
7
D.
√
21
21
利用几何法证明平行与垂直，关键是根据平行与垂直的判定定理及性质定理来确定有关的线与面，
如果所给图形中不存在这样的线与面，可以连接或添加有关的线与面.
www.xueersi.com
59
6
2
模块
2
向量法
知识凝炼
设−→
m 和−→n 是两条直线的方向向量，则两条直线的夹角θ 满足cosθ =
−→
m ·−→n
|−→
m|·|−→n |
.
设−→
m 和−→n 分别是直线l 的方向向量与平面α 的法向量，则线面夹角θ 满足sinθ =
−→
m ·−→n
|−→
m|·|−→n |
.
设−→
m 和−→n 是二面角α −l −β 的两个半平面的异侧法向量，即一个指向内侧，一个指向外侧，则两向量的
夹角θ 就是二面角α −l −β 的平面角，且满足cosθ =
−→
m ·−→n
|−→
m|·|−→n |.
精讲精练
例4
如图，在正三棱柱ABC −A1B1C1 中，AB = AA1 = 2，点P，Q 分别为A1B1，BC 的中点．
（1）求异面直线BP 与AC1 所成角的余弦值( )
A. 3
√
10
20
B. 3
√
10
10
C.
√
10
10
D.
√
10
20
（2）求直线CC1 与平面AQC1 所成角的正弦值．
高三数学·目标985 班（全国）·春
60
6
例5
如图，AD//BC 且AD = 2BC，AD⊥CD，EG//AD 且EG = AD，CD//FG 且CD = 2FG，DG⊥平面ABCD，
DA = DC = DG = 2．
（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN// 平面CDE．
（2）求二面角E −BC −F 的正弦值．
（3）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60◦，求线段DP 的长( )
A.
√
6
2
B.
√
6
3
C.
√
3
2
D.
√
3
3
www.xueersi.com
61
6
例6
如图1，在四边形ABCD 中，AD//BC，∠BAD = 90◦，AB = 2
√
3，BC = 4，AD = 6，E 是AD 上的点，
AE = 1
3AD．将△ABE 沿BE 折起到△A1BE 的位置，且A1C = 4，如图2．
（1）求证：平面A1BE⊥平面BCDE．
（2）若P 为线段BE 上任一点，求直线PA1 与平面A1CD 所成角的正弦值的最大值．
高三数学·目标985 班（全国）·春
62
6
例7
如图，正方形ABCD 的中心为O，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G 为AB 的中点，
AB = BE = 2．
（1）求证：EG// 平面ADF；
（2）求二面角O−EF −C 的余弦值；
（3）设H 为线段AF 上的点，且AH = 2
3HF，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值( )
A.
√
7
7
B. 2
√
7
7
C.
√
7
21
D. 2
√
7
21
www.xueersi.com
63
6
随堂测试
测试1 如图，已知△ABC，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A′CD，所成二面角A′ −CD−B 的平
面角为α，则( )
A. ∠A′DB ⩽α
B. ∠A′DB ⩾α
C. ∠A′CB ⩽α
D. ∠A′CB ⩽α
测试2 如图，正方形A1BCD 折成直二面角A−BD−C，则二面角A−CD−B 的余弦值是( )
A. 1
3
B.
√
3
3
C. 1
2
D.
√
2
2
测试3 如图，已知平面α⊥β,α ∩β = l，A、B 是直线l 上的两点，C、D 是平面β 内的两点，且DA⊥l,CB⊥l,AD =
3,AB = 6,CB = 6．P 是平面α 上的一动点，且直线PD,PC 与平面α 所成角相等，则二面角P−BC−D
的余弦值的最小值是( )
A.
1
√
5
B. 1
2
C.
√
3
2
D. 1
高三数学·目标985 班（全国）·春
64
6
课堂总结
第7 讲
满分系列之概率
统计
www.xueersi.com
67
7
1
模块
1
统计案例全归纳
精讲精练
考点1: 回归方程问题
例1
某知名中学高三年级甲班班主任近期对班上每位同学的成绩作相关分析时，得到某同学的某些成绩数
据如下：
（1）求总分年级排名关于数学总分的线性回归方程ˆy = ˆbx+ ˆa(必要时用分数表示)．
（2）若该同学想在下次测试时考入年级前100 名，预测该同学下次测试的数学成绩至少应考多少分？
附：线性回归方程ˆy = ˆbx+ ba 中，bb =
n
∑
i=1
(xi −x)(yi −y)
n
∑
i=1
(xi −x)2
，ˆa = y−ˆbt．
高三数学·目标985 班（全国）·春
68
7
考点2: 独立性检验
例2
为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选
择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．
在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记
不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有50 家企事业单位，150 家个体经
营户，普查情况如表所示：
附：K2 =
n(ad −bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
（1）写出选择5 个国家综合试点地区采用的抽样方法．
（2）根据列联表判断是否有90% 的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有
关”．
www.xueersi.com
69
7
考点3: 正态分布
例3
每年3 月21 日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了做好今年的世界睡眠
日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100 人，通过问询的方式得到他们在一周
内的睡眠时间t(单位：小时)，并绘制出如下的频率分布直方图：
（1）求这100 人睡眠时间的平均数x(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)．
（2）由直方图可以认为，人的睡眠时间t 近似服从正态分布N
(
µ,σ2)
，其中µ 近似地等于样本平均数
x，σ2 近似地等于样本方差s2，s2 ≈33.6．假设该辖区内这一年龄层次共有10000 人，试估计该人群
中一周睡眠时间位于区间(39.2,50.8) 的人数．
附：
√
33.6 ≈5.8．若随机变量Z 服从正态分布N
(
µ,σ2)
，则P(µ −σ < Z < µ +σ) = 0.6826，P(µ−
2σ < Z < µ +2σ) = 0.9544．
高三数学·目标985 班（全国）·春
70
7
2
模块
2
统计概率中的建模问题
精讲精练
考点4: 建模与模型评估
例4
一只红铃虫的产卵数y 和温度t 有关．现收集了7 组观测数据如表：
为了预报一只红铃虫在40◦C 时的产卵数，根据表中的数据建立了y 与t 的两个回归模型．模型①：先
建立y 与t 的指数回归方程ˆy(1) = e0.272t−3.849，然后通过对数变换u = lny，把指数关系变为u 与t 的线
性回归方程：ˆu(1) = 0.272t −3.849；模型②：先建立y 与t 的二次回归方程ˆy(2) = 0.367t2 −202.543，然
后通过变换x = t2，把二次关系变为y 与x 的线性回归方程：ˆy(2) = 0.367x−202.543．
(参考数据：模型①的残差平方和Q1 = 1550.538，模型①的相关指数R2
1 = 0.98；模型②的残差平
方和Q2 = 15448.431，模型②的相关指数R2
2 = 0.8；e7.031 = 1131，e7 = 1096，e8 = 2981，ln7 = 1.946，
ln11 = 2.398，ln21 = 3.045，ln24 = 3.178，ln66 = 4.190，ln115 = 4.745，ln325 = 5.784)
（1）分别利用这两个模型，求一只红铃虫在40◦C 时产卵数的预测值．
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
www.xueersi.com
71
7
例5
如图是某地区2000 年至2016 年环境基础设施投资额y(单位：亿元) 的折线图．
为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据
2000 年至2016 年的数据(时间变量t 的值依次为1，2，···，17) 建立模型①：by = −30.4 + 13.5t；根据
2010 年至2016 年的数据(时间变量t 的值依次为1，2，···，7) 建立模型②：by = 99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值．
（2）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值，
模型①：
亿元；模型②：
亿元．(填小数)
（3）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
高三数学·目标985 班（全国）·春
72
7
例6
某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6 个月广告投入量x(单位：万元) 和收
益y(单位：万元) 的数据如下表：
它们分别用两种模型①y = bx+a，②y = aebx 分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得
到如图所示的残差图及一些统计量的值：
附：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，···，(xn,yn)，其回归方程by = bbx + ba 的斜率和截距的最小二乘估计分
别为：bb =
n
∑
i=1
(xi −x)(yi −y)
n
∑
i=1
(xi −x)2
=
n
∑
i=1
xiyi −nxy
n
∑
i=1
x2
i −nx2
，ba = y−bbx．
（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由．
www.xueersi.com
73
7
（2）残差绝对值大于2 的数据被认为是异常数据，需要剔除：
①剔除异常数据后求出(1) 中所选模型的回归方程；
②若广告投入量x = 18，该模型收益的预报值是多少？
例7
我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的
“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖
规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量(克) 在正常环境下服从正态
分布N (32,16)．
（1）购买10 只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g 的牡蛎的可能性有多大？
高三数学·目标985 班（全国）·春
74
7
（2）2019 年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x(人) 与年收益增量y(万元) 的数据如
下：
该基地为了预测人工投入增量为16 人时的年收益增量，建立了y 与x 的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程：by = 4.1x+11.8；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：y = b√x+a 的附近，对人工投入增
量x 做变换，令t = √x，则y = b·t +a，且有t = 2.5，y = 38.9，
7
∑
i=1
(ti −t)(yi −y) = 81.0，
7
∑
i=1
(ti −t)2 =
3.8．
(i) 根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程(精确到0.1)；
(ii) 根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预
测人工投入增量为16 人时的年收益增量．
附：若随机变量Z∽n
(
µ,σ2)
，则P(µ −3σ < Z < µ +3σ) = 0.9974，0.998710 ≈0.9871；
样本(ti,yi)(i = 1,2,...,N) 的最小二乘估计公式为：ˆb =
n
∑
i=1
(ti −t)(yi −y)
n
∑
i=1
(ti −t)2
，ˆa = y−ˆbt，
另，刻画回归效果的相关指数R2 = 1−
n
∑
i=1
(yi −ˆyi)2
n
∑
i=1
(yi −y)2 ．
www.xueersi.com
75
7
随堂测试
测试1 以下四个命题中，其中真命题的个数为( )
①在回归分析中，可用相关指数R2 的值判断模型的拟合效果，R2 越大，模拟的拟合效果越好；
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1；
③若数据x1，x2，x3 ... ，xn 的方差为1，则3x1，3x2，3x3 ...，3xn 的方差为3；
④对分类变量x 与y 的随机变量的观测值k2 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
测试2 实验测得四组数对(x,y) 的值为(1,2),(2,5),(4,7),(5,10)，则y 与x 之间的回归直线方程是( )
参考公式：bb =
n
∑
i=1
(xi −¯x)(yi −¯y)
n
∑
i=1
(xi −¯x)2
, ba = ¯y−bb¯x．
A. by = 1.8x+0.6
B. by = 1.8x−0.6
C. by = 1.5x+2.5
D. by = −0.5x+7.5
测试3
正确率：80%
某中学数学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别有关，随机询问了
100 名性别不同的学生，得到如下的2×2 列联表：
根据以上数据，该数学兴趣小组认为喜爱该食品与性别有关的把握为( )
A. 99% 以上
B. 97.5% 以上
C. 95% 以上
D. 85% 以上
高三数学·目标985 班（全国）·春
76
7
课堂总结
1119091112633
