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2025 年初中学业水平考试
数学试题
本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔
将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 如图，数轴上表示 的点是（ ）
A. M B. N C. P D. Q
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了数轴，弄清数轴上表示数的位置是解题的关键．
观察数轴得到表示 的点即可．
【详解】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示 的点是M．
故选：A．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能
够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
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C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
3. 我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体 的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形成为解题的关键．
根据主视图是从正面看到的图形即可解答．
【详解】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为
．
故选：C．
4. 好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省
2024年全年接待游客超9亿人次．数据“9亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为 的形式，其中 ，n为整数，
正确确定a、n的值是解题的关键．
将“9亿”写成 其中 ，n为整数的形式即可．
【详解】解：“9亿” ．
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故选C．
5. 已知 ，则下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的
关键．
根据合并同类项、幂 的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可解答．
【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意；
B． ，故该选项正确，符合题意；
C． 与 不是同类项，无法合并为 ，故该选项错误，不符合题意；
D． ，故该选项错误，不符合题意．
故选：B．
6. 某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”
“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，
则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表确定所有等可能结果数和符合题意的结果
数是解题的关键．
先用列表法确定所有等可能结果数和符合题意的结果数，然后用概率公式计算即可．
【详解】解：设三款镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”分别用A、B、C表示：
根据题意列表如下：
A B C
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A A，A A，B A，C
B B，A B，B B，C
C C，A C，B C，C
则共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的结果数为1，则甲、乙两位同学同时
抽到“亚醜钺”的概率是 ．
故选A．
7. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒
若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒
有 个，夜叉有 个，则根据条件所列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键．
设哪吒有 个，夜叉有 个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可
解答．
【详解】解：设哪吒有 个，夜叉有 个，
然后根据题意可得： ．
故选D．
8. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的
平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（
）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关
键．
如图：连接 相交于O，由正方形 内的切圆的半径是2， ， ，再运用勾股
定理可得 ，则 ，最后根据圆的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：连接 相交于O，
∵正方形的内切圆的半径是2，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴图中阴影部分的面积是 ．
故选D．
9. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形 是面积为4的正方形．若函数
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的图象经过点 ，则满足 的 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形、反比例函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想
是解题的关键．
由题意可设点B的坐标为 ，易得 ，即点B的坐标为 ，再结合反比例函数图象即可解答．
【详解】解：∵四边形 是面积为4的正方形，设点B的坐标为 ，
∴ ，解得： （已舍弃负值）．
∴点B的坐标为 ，
∵函数 的图象经过点 ，
∴满足 的 的取值范围为 ．
故选A．
10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度 （厘米/天）和光照强度 （勒克斯）之间存
在一定关系．在低光照强度范围（ ）内， 与 近似成一次函数关系；在中高光照强度范
围 内， 与 近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（
）
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A. 当 时， 随 的增大而减小 B. 当 时， 有最大值
C. 当 时， D. 当 时，
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的
关键．
根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为 ，进而判定B
选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项．
【详解】解：A．当 时， 随 的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意；
B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为 ，即当 时， 有最大值，则B
选项正确，符合题意；
C．由函数图象可知：当 时， ，即C选项错误，不符合题意；
D．当 时，由图象知， 对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意．
故选B．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 写出使分式 有意义的 的一个值______．
【答案】1（不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．
先根据分式有意义的确定x的取值范围，然后确定x的可能取的值即可．
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【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，解得： ．
∴ 的取值可以为 ．
故答案为：1（不唯一）．
12. 在平面直角坐标系中，将点 向下平移2个单位长度，得到的对应点 的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了点 的平移，掌握平移规律“左减右加，上加下减”是解题的关键．
直接运用平移规律“上加下减”即可解答．
【详解】解：将点 向下平移2个单位长度，得到的对应点 的坐标是 ，即 ，
故答案为： ．
13. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别
式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到
判别式 ，即可求解本题．
【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ；
故答案为： ．
14. 取直线 上一点 ，①过点 作 轴的垂线，交 于点 ；②过点 作 轴
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的垂线，交 于点 ；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点 的坐标为 ，则
点 的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点 、 、 、 的坐标，从
而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点 的坐标．
【详解】解：∵点 的坐标为 ，
∴点 的横坐标为1，
∴点 的坐标为 ，
∴点 的纵坐标为1，
∴点 的坐标为 ，
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同理点 的横坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
∴四个点一个循环，
∵ 余1，
∴点 的坐标与点 相同，是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用
一次函数的性质和数形结合的思想解答．
15. 如图，在 中， ， ， ．点 为边 上异于 的一点，以 ，
为邻边作 ，则线段 的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识点，掌握平行四边形对角线相互平分是解
题的关键．
由勾股定理可得 ，设 与 交于点O，过O作 于点 ，由四边形作 是平行
四边形得 、 ，根据垂线段最短可得当 时，即P与 重
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合时， 最小；再运用三角函数求得 ，进而求得 即可解答．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
如图，设 与 交于点O，过O作 于点 ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ 、
∴当线段 长最小，则线段 的长最小，
由垂线段最短可得： 时，即P与 重合时， 最小；
∵ ，
∴ ，解得： ．
∴线段 长最小为 ．
故答案为： ．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （1）计算： ；
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（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1）2；（2） ，4
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式化简求值．
（1）根据零指数，算术平方根的性质，进行计算即可求解；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，然后进行乘法进行化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
当 时，原式 ．
17. 在 中， ， ， 的平分线 交 于点 ．如图1．
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（1）求 的度数；
（2）已知 ，分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ， ，作直
线 交 于点 ，交 的延长线于点F．如图2，求 的长．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角性质，垂直平分线的作法和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和
性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）由角平分线的定义求得 ，再利用三角形的外角性质求解即可；
（2）由作图知 是线段 的垂直平分线，求得 ，求得 ，
，再证明 ，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
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∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：由作图知 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
18. 山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，
建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．
（1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式；
（2）已知蓄水池的底面积为 万平方米，每立方米的水可供发电 千瓦时，求注水多长时间可供发电
万千瓦时？
【答案】（1）
（2）注水5小时可供发电 万千瓦时．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的
关键．
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（1）根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位
高度的和，据此列出函数关系式即可；
（2）根据y与x的函数关系式以及已知条件列关于x的一元一次方程并求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可得：蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式 ．
【小问2详解】
解：根据题意，得 ，
解得 ．
答：注水5小时可供发电 万千瓦时．
19. 在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的 值进行了检测，
并对一天（24小时）内每小时的 值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的 值数据：
7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，
8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26．
乙基地水体的 值数据：
7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，
8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．
【整理数据】
甲 2 5 7 7 3
乙 4 2 9 a 2
【描述数据】
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【分析数据】
平均数 众数 中位数 方差
甲 7.79 b 7.81 0.10
乙 7.78 7.77 c 0.13
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）填空： ______， ______；
（3）请判断甲、乙哪个基地水体的 值更稳定，并说明理由；
（4）已知两基地对水体 值的日变化量（ 值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明
该日两基地的 值是否符合要求．
【答案】（1）见解析 （2） ；
（3）甲基地水体的 值更稳定，理由见详解；
（4）甲符合要求，乙不符合要求．
【解析】
【分析】本题考查了直方图与统计表，中位数及众数，方差等知识点．
（1）先求得a的值，即可补全频数分布直方图；
（2）根据中位数及众数的定义求解即可；
（3）根据方差的意义求解即可；
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（4）计算 值最大值与最小值的差即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得 ，
补全频数分布直方图如图；
；
【小问2详解】
解：甲基地水体的 值数据中，7.67出现了4次，出现次数最多，
则 ；
乙基地水体的 值数据中，由小到大排列中间两个数为7.77和7.81：
则 ；
故答案为： ； ；
【小问3详解】
解：∵甲的方差为0.10，乙的方差为0.13， ，
∴甲基地水体的 值更稳定；
【小问4详解】
解：甲基地对水体 值的日变化量： ，
乙基地对水体 值的日变化量： ，
∴该日两基地的 值甲符合要求，乙不符合要求．
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20. 如图，在 中，点 在 上，边 交 于点 ， 于点 ． 是 的平
分线．
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 的半径为2， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2） ．
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等．
（1）利用等边对等角求得 ，由角平分线的定义求得 ，可证明
，即可证明 为 的切线；
（2）先证明 等腰三角形，求得 ，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
即 且 为半径，
∴ 为 的切线；
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【小问2详解】
解：∵ ，又 ，
∴ 等腰直角三角形，
∵ 的半径为2，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
21. 【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到
鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1．
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到 的长度的方案，以检测该
部件中 的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）．
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，
分别与 ， 相切于点 ， ．用游标卡尺测量出 的长度 ．
【问题解决】
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已知 ， 的长度要求是 ．
（1）求 的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为 ，现测得 ．根据以上信息，通过计算说明该部件 的长度
是否符合要求．（参考数据： ）
【结果反思】
（3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果
能，写出一个；如果不能，说明理由．
【答案】（1） ；（2）该部件 的长度符合要求；（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理，解直角三角形的应用．
（1）根据切线长定理求解即可；
（2）解直角三角形求得 ，推出 ，据此求解即可；
（3）能，将圆柱换成正方体．
【详解】解：（1）∵ 分别与 ， 相切于点 ， ，
∴ ， ；
（2）∵钢柱的底面圆半径为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
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∴ ，
∵ ，
∴该部件 的长度符合要求；
（3）能，将圆柱换成正方体．如图，
设正方体的棱长为 ，用游标卡尺测量出 的长度 ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
22. 已知二次函数 ，其中 ， 为两个不相等的实数．
（1）当 、 时，求此函数图象的对称轴；
（2）当 时，若该函数在 时，y随 的增大而减小；在 时， 随 的增大而增大，
求 的取值范围；
（3）若点 ， ， 均在该函数的图象上，是否存在常数 ，使得
？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由
【答案】（1）
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（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题
的关键．
（1）将 、 代入 化简，然后根据二次函数的性质即可
解答；
（2） 代入 化简可得 ，然后根据二次
函数的性质即可解答；
（3）先求出 ，然后代入 进行求解即可．
【小问1详解】
解：当 、 时，二次函数 可化为：
，
∴此函数图象的对称轴为 ．
【小问2详解】
解：当 时，二次函数 可化为：
，
∴抛物线对称轴为 ，
∵ ，
∴抛物线开口方向向上，
∵在 时，y随 的增大而减小；
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∴ ，
∵在 时， 随 的增大而增大；
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
解：∵若点 ， ， 均在该函数的图象上，
∴ ，
，
∴
；
；
∵ ，
∴ ，整理得：
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∵ ， 为两个不相等的实数，
∴ ，
∴ ，解得： ．
23. 【图形感知】
如图1，在四边形 中，已知 ， ， ．
（1）求 的长；
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．
在线段 上取一点 ，连接 ．将四边形 沿 翻折得到四边形 ，其中 ， 分别是
A，D的对应点．
（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点 恰好落在边 上，延长 交 于点 ，如图2．判断四边形 的形状，并说明理
由；
②乙：点 恰好落在边 上，如图3．求 的长；
（3）如图4，连接 交 于点P，连接 ．当点E在线段 上运动时，线段 是否存在最小值？
若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
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【答案】（1） ；（2）①四边形 是矩形，理由见解析；② ；（3）线段
的最小值为 ．
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求得 ，再证明 ，利用相似三角形的性质
求解即可；
（2）①由折叠的性质得 ， ，再证明 ，根据有三个角是直
角的四边形是矩形即可得解；
②延长 和 相交于点 ，连接 ，证明四边形 是正方形，再证明 ，据
此求解即可；
（3）先利用折叠的性质求得 ，推出点 在以 为直径的 上，连接 ， ，得到
，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①四边形 是矩形，理由如下，
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由折叠的性质得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
②延长 和 相交于点 ，连接 ，
由折叠的性质得 ， ， ，
∵点 恰好落在边 上，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∵ ，
∴点 在对角线 上，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ；
（3）由折叠的性质得 ， ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴点 在以 为直径的 上，连接 ， ，
∴ ，即点 在 上时，线段 存在最小值，
∵ ，
∴线段 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定
和性质，圆周角定理等知识点，难度较大，第三问判断点 在以 为直径的 上是解题的关键．
27
