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08 机械能守恒定律
[-考点-01-] 恒力做功的分析和计算
1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力．
(2)物体在力的方向上发生位移．
2．公式W＝Flcos α
(1)α 是力与位移方向之间的夹角，l 为物体的位移．
(2)该公式只适用于恒力做功．
3．功的正负
(1)当0≤α＜时，W＞0，力对物体做正功．
(2)当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
(3)当＜α≤π 时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功．
1．是否做功及做功正负的判断
(1)根据力与位移的方向的夹角判断；
(2)根据力与瞬时速度方向的夹角α 判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°
＜α≤180°，力做负功．
2．计算功的方法
(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α 计算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F 合，再用W 合＝F 合lcos α 求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W 合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的
功．
方法三：利用动能定理W 合＝Ek2－Ek1.
典例 如图所示，质量为m 的物体静止在倾角为θ 的斜面体上，物体与斜面间的动摩擦因
数为μ，现使斜面体水平向左匀速运动距离l，物体始终与斜面体保持相对静止，重力加速
度为g.则在斜面体水平向左匀速运动距离l 的过程中( )
A．摩擦力对物体做的功为－μmglcos θ
B．斜面体对物体的支持力做的功为mglsin θcos2θ
C．重力对物体做的功为mgl
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D．斜面体对物体做的功为零
答案 D
解析 物体与斜面体相对静止，对物体受力分析，如图所示，
竖直方向有mg＝FNcos θ＋Ffsin θ，
水平方向有FNsin θ＝Ffcos θ，
可得FN＝mgcos θ，Ff＝mgsin θ.
摩擦力做功Wf＝－Ffcos θ·l＝－mglsin θcos θ，故A 错误；
支持力做功WN＝FNsin θ·l＝mglsin θcos θ，故B 错误；
重力做功为零，故C 错误；
斜面体对物体作用力的合力方向竖直向上，与运动方向垂直，则斜面体对物体做的总功为
零，故D 正确．
1．关于功的概念，以下说法正确的是( )
A．力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量
B．功有正、负之分，若某个力对物体做负功，表明这个力对该物体的运动起阻碍作用
C．若某一个力对物体不做功，说明该物体一定没有位移
D．某物体通过一段位移，作用在该物体上的力一定都做功
答案 B
解析 功是标量，A 错误；功有正、负之分，但功的正负不是表示方向，而是表示力对物
体的做功效果，B 正确；当力的方向和物体位移的方向垂直时，该力对物体不做功，此时
物体的位移可能不为零，C 错误；当力与位移的夹角是90°时，力对物体不做功，D 错误．
2.(2023·安徽·模拟)关于力对物体做的功，以下说法中正确的是( )
A.滑动摩擦力对物体做的功与路径有关
B.合外力不做功，物体必定做匀速直线运动
C.在相同的时间内作用力与反作用力做的功一定是绝对值相等，一正一负
D.一对作用力与反作用力不可能其中一个做功，而另一个不做功
答案 A
解析 滑动摩擦力做功与物体运动的路径有关，故A 正确；做匀速圆周运动的物体，合外
力不做功，但物体做曲线运动，故B 错误；作用力和反作用力的作用点的位移可能同向，
也可能反向，大小可以相等，也可以不等，故作用力和反作用力做功不一定相等，故相互
作用力做功之和不一定为零，故一对作用力和反作用力，可能作用力做功，而反作用力不
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做功，故C、D 错误.
3．如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ 角的恒定拉力F 作用
下，沿水平地面向右移动了一段距离l.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为
g，则雪橇受到的( )
A.支持力做功为mgl
B.重力做功为mgl
C.拉力做功为Flcos θ
D.滑动摩擦力做功为－μmgl
答案 C
解析 支持力和重力与位移方向垂直，不做功，A、B 错误；拉力和滑动摩擦力做功分别
为W1＝Flcos θ，W2＝－μ(mg－Fsin θ)l，C 正确，D 错误.
4.(多选)如图所示，人站在自动扶梯上相对扶梯不动，随扶梯向上匀速运动，下列说法正确
的是( )
A．重力对人做负功
B．摩擦力对人做正功
C．支持力对人做正功
D．合力对人做功为零
答案 ACD
解析 人随扶梯向上匀速运动时只受重力和竖直向上的支持力．重力与速度方向的夹角大
于90°，所以重力做负功；支持力方向与速度方向间的夹角小于90°，支持力做正功；人受
到的合力为零，所以合力做功为零，选项A、C、D 正确，B 错误．
5.(多选)质量为m 的物体，静止在倾角为θ 的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离
l，如图所示.物体始终相对斜面静止，则下列说法正确的是( )
A.重力对物体做正功
B.合力对物体做功为零
C.摩擦力对物体做负功
D.支持力对物体做正功
答案 BCD
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解析 物体的受力和位移如图所示，支持力FN与位移l 的夹角α<90°，故支持力做正功，D
选项正确；重力方向与位移方向垂直，故重力不做功，A 选项错误；摩擦力Ff与位移l 的
夹角大于90°，故摩擦力做负功，C 选项正确；物体做匀速运动，所受合力为零，合力做功
为零，B 选项正确.
6．某人用20 N 的水平恒力推着小车在粗糙的水平面上前进了5.0 m，放手后，小车又前进
了2.0 m 才停下来，则在小车运动过程中，人的推力所做的功为( )
A．100 J
B．140 J
C．60 J
D．无法确定
答案 A
解析 人的推力作用在小车上的过程中，小车的位移大小是5.0 m，故推力做功为W＝
Flcos α＝20×5.0×cos 0° J＝100 J，故选A.
7.如图所示，质量为m 的物体A 静止在倾角为θ 的斜面体B 上，斜面体B 的质量为M.现对
该斜面体B 施加一个水平向左的推力F，使物体A 随斜面体B 一起沿水平方向向左匀速运
动，物体A 与斜面体始终保持相对静止，当移动的距离为l 时，斜面体B 对物体A 所做的
功为( )
A.Fl
B.mglsin θ·cos θ C.mglsin θ
D.0
答案 D
解析 对物体A 进行受力分析，其受到重力mg、支持力FN、静摩擦力Ff，如图所示，由
于物体A 做匀速运动，所以支持力FN与静摩擦力Ff的合力(即斜面体B 对物体A 的作用力)，
方向竖直向上，而位移方向水平向左，斜面体B 对物体A 的作用力的方向与位移方向垂直，
故斜面体B 对物体A 所做的功为0，D 正确.
8.如图所示，质量为m 的小物体，从高为h、底边长为L 的固定粗糙斜面顶端由静止开始沿
斜面下滑，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体从斜面顶端滑至斜面
底端的过程中，摩擦力所做的功为( )
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A．－μmg
B．－
C．－μmgL
D．－μmg
答案 C
解析 设斜面倾角为α，根据功的公式，摩擦力所做的功W＝－μmgcos α·＝－μmg＝－
μmgL，故选C.
9．(2021·湖南高二期中)生活中有人常说在车厢内推车是没有用的，如图所示，在水平地面
上运动的汽车车厢内一人用力向后推车，当车在匀速倒车的过程中( )
A．人的推力对车不做功
B．人的推力对车做负功
C．人的推力对车做正功
D．车对人做负功
答案 C
解析 人对车的推力向右，倒车时车的位移方向也是向右，所以推力对车做正功．车对人
在水平方向上的合力为0，所以车对人不做功．故选C.
10.如图所示，同一物体分别沿斜面AD 和BD 自顶点由静止开始下滑，该物体与两斜面间
的动摩擦因数相同.在滑行过程中克服摩擦力做的功分别为WA和WB，则( )
A.WA>WB
B.WA＝WB
C.WA<WB
D.无法确定
答案 B
解析 设斜面AD、BD 与水平面CD 所成夹角分别为α、β，根据功的公式，得WA＝μmgcos
α·lAD＝μmglCD，WB＝μmgcos β·lBD＝μmglCD，所以B 正确.
11.如图所示，一个质量为m＝2 kg 的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的力F＝10 N
作用，在水平地面上从静止开始向右移动的距离为l＝2 m，已知物体和地面间的动摩擦因
数为0.3，g 取10 m/s2，求外力对物体所做的总功．(cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6)
答案 7.6 J
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解析 物体受到的摩擦力为：Ff＝μFN
＝μ(mg－Fsin 37°)＝0.3×(2×10－10×0.6) N＝4.2 N
解法一 先求各力的功，再求总功．
拉力F 对物体所做的功为：
W1＝Flcos 37°＝10×2×0.8 J＝16 J
摩擦力Ff对物体所做的功为：
W2＝Fflcos 180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J
由于重力、支持力对物体不做功，故外力对物体所做的总功W 等于W1和W2的代数和，即
W＝W1＋W2＝7.6 J.
解法二 先求合力，再求总功．
物体受到的合力为：
F 合＝Fcos 37°－Ff＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 N，方向水平向右
所以W＝F 合lcos α＝3.8×2×cos 0° J＝7.6 J.
12.如图所示，倾角为30°的光滑斜面上用固定的竖直挡板夹住一个质量为m 的光滑球，重
力加速度为g，当整个装置沿水平面向左匀速运动距离L 的过程中，求：
(1)重力对球做的功；
(2)竖直挡板以及斜面对球的弹力分别做的功；
(3)球所受合力做的功．
答案 (1)0 (2)－mgL mgL (3)0
解析 (1)由于装置沿水平面运动，重力方向竖直向下，故重力做功为WG＝0
(2)如图，对球受力分析，设挡板以及斜面对球的支持力大小分别为FN1，FN2，可得FN1＝
mgtan θ＝mg
FN2＝＝mg
则竖直挡板以及斜面对球的弹力做功分别为WN1＝－mgL
WN2＝mg·cos 60°·L＝mgL
(3)球所受合力做功为W 总＝WG＋WN1＋WN2＝0.
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13.(2021·广东汕头调研)如图所示，密度为ρ、边长为a 的正立方体木块漂浮在水面上(h 为
木块在水面上的高度).现用竖直向下的力F 将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，则
此过程中木块克服浮力做功为(已知水的密度为ρ0、重力加速度为g)( )
A.ρa3gh
B.a3gh(ρ＋ρ0)
C.ρ0a2gh(a－h)
D.a2gh(a－h)(ρ＋ρ0)
答案 B
解析 木块漂浮在水面上时有F 浮＝G＝ρga3，木块上表面刚浸没时受到的浮力为F 浮′＝G
＝ρ0ga3，浮力做的功为W＝h＝ga3h(ρ＋ρ0)，故选项B 正确.
14.(多选)质量为m＝2 kg 的物体沿水平面向右做直线运动，t＝0 时刻受到一个水平向左的
恒力F 的作用，如图甲所示，取水平向右为正方向，此物体的v－t 图像如图乙所示，g 取
10 m/s2，则( )
A．物体与水平面间的动摩擦因数为0.5
B．10 s 内恒力F 对物体做功为102 J
C．10 s 末物体在计时起点位置左侧2 m 处
D．10 s 内物体克服摩擦力做功为34 J
答案 CD
解析 设物体向右做匀减速直线运动的加速度为a1，则由v－t 图像得加速度大小a1＝2
m/s2，方向与初速度方向相反，设物体向左做匀加速直线运动的加速度大小为a2，则由v－
t 图像得a2＝1 m/s2，方向与初速度方向相反，根据牛顿第二定律得，F＋μmg＝ma1，F－
μmg＝ma2，解得F＝3 N，μ＝0.05，故选项A 错误；根据v－t 图像中图线与坐标轴所围成
的“面积”表示位移得，10 s 末物体的位移为x＝×4×8 m－×6×6 m＝－2 m，负号表示物
体在计时起点位置的左侧，则10 s 内恒力F 对物体做功W＝6 J，故选项B 错误，C 正确；
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10 s 内物体运动的路程s＝34 m，克服摩擦力做功W 克f＝μmgs＝34 J，故选项D 正确．
15.如图，在倾角θ＝37°的固定斜面上，一质量m＝1 kg 的物块在一与斜面也成θ 角的斜向
右上方的拉力F 作用下，由静止沿斜面向上做匀加速直线运动。开始运动的2 s 内，拉力F
对物块做功16 J。已知物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°
＝0.6，cos 37°＝0.8，斜面足够长，则拉力F 的大小等于( )
A.10 N
B.12 N
C.14 N
D.16 N
答案 A
解析 设物块的加速度为a，2 s 内匀加速的位移为x，根据运动学规律得x＝at2，拉力F 对
物块做功W＝Fxcos θ，斜面对物块的支持力FN＝mgcos θ－Fsin θ，根据牛顿第二定律得
Fcos θ－mgsin θ－μFN＝ma，联立解得F＝10 N，故选A.
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