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考点巩固卷38
曲线运动与能量结合的综合应用
建议用时：50 分钟
考点序号
考点
题型分布
考点1
曲线运动与机械能结合的综合应用
4 单选+3 多选+2 解答
考点2
曲线运动与能量守恒定律结合的综合应用
1 单选+1 多选+3 解答
考点01：曲线运动与机械能结合的综合应用（4 单选+3 多选+2 解答）
一、单选题
1．（2023·湖北·模拟预测）如图甲所示的陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一
样，这被称为“魔力陀螺”。它可简化为一质量为m 的质点在固定竖直圆轨道外侧运动的模型，如图乙所
示．在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B 两点与分别为轨道的最高点最低点，C、D 两点与
圆心O 等高，质点受到的圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O 且大小恒为7mg，不计摩擦和空气阻力，重
力加速度为g，若质点能始终沿圆弧轨道外侧做完整的圆周运动，则（ ）
A．质点经过C、B 两点时，质点对轨道压力的差值为6mg
B．质点经过A 点的最大速度为
C．质点由A 到B 的过程中，轨道对质点的支持力逐渐增大
D．质点经过C、D 两点时，轨道对质点的支持力可能为0
【答案】B
【详解】A．设质点经过C、B 两点的速度为分别为
与
，轨道对其支持力分别为
与
由牛顿第二定律知，对C 点和B 点分别有
，
由机械能守恒定律知
1
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联立解得
由牛顿第三定律知，质点经过C、B 两点时，质点对轨道压力的差值为3mg，故A 错误；
B．要使质点始终沿圆弧轨道外侧做完整的圆周运动，在最低点B，质点的向心力
由此可知，质点经过B 点速度最大时，轨道对质点的支持力为0，由
知质点经过B 点的最大速度为
由机械能守恒定律知
解得
故B 正确；
C．从A 到B 的过程中，设质点在轨道上的某点的速度为v，速度与水平向右方向的夹角为
，则由牛顿第
二定律知
则
由于从A 到B 的过程中，
角逐渐增大，速度v 逐渐增大，故轨道对质点的支持力
逐渐减小，故C 错误；
D．假设质点经过C、D 点时轨道对质点的支持力为0，则由牛顿第二定律知
对C 点
得
2
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由能量守恒定律知，这是不可能的，故在质点绕轨道做完整圆周的情况下，质点经过C、D 两点时，轨道
对质点的支持力不可能为0，故D 错误。
故选B。
2．（2023·江西宜春·校联考二模）如图所示，有一根长
的细线水平伸直，绳子左端固定在O 点，右端
连接一个质量
的小球，在绳子的下方某处固定一个钉子，当小球运动到最低点时，细绳刚好断裂，已
知钉子与O 点之间的连线与水平方向成
，绳子能够承受的最大拉力是
，取
，则钉子离
O 的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设小球到达最低点时的速度为
，细线与钉子接触时小球的速度为
，细线的长度为
，钉子离
O 的距离为
，最低点绳子的最大拉力为
，则由机械能守恒有
由动能定理有
由牛顿第二定律有
联立解得
故选D。
3．（2023·河北衡水·校联考二模）天文学家于2022 年1 月6 日发现了小行星2022AE1，对其跟踪观察并完
善其轨迹发现，小行星2022AE1 的直径约为
，质量
，运动轨迹为抛物线，它将会在2023
3
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年7 月4 日与地球擦肩而过。把地球看作半径为R 的均质球体，忽略地球的自转，地球表面的重力加速度
大小为g，预计小行星2022AE1 距地心为
时的速度大小为空
，方向与它和地心连线所成的角为
，
如图所示。已知小行星2022AE1 的弱引力势能
，式中r 为行星2022AE1 到地心的距离，小行
星2022AE1 与地心的连线在任意相等时间内扫过的面积相等，忽略其他天体的影响，据此可推测出
（ ）
A．小行星2022AE1 与地心的连线在单位时间内扫过的面积为
B．小行星2022AE1 距地球表面的最小距离为
C．小行星2022AE1 的最大速度为
D．小行星2022AE1 的最大加速度为
【答案】C
【详解】A．小行星与地心的连线在单位时间内扫过的面积
故A 错误；
BC．小行星与地球最近时，小行星在抛物线的顶点，此时加速度及速度均达到最大，结合机械能守恒定律
有
解得
4
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故B 错误，C 正确；
D．根据黄金代换有
解得
故D 错误。
故选C。
4．（2023·福建·模拟预测）如图1，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道
，半径为
，小球以一
定的初速度从最低点A 冲上轨道，图2 是小球在半圆形轨道上从A 运动到
的过程中，其速度平方与其对
应高度的关系图像。已知小球在最高点
受到轨道的作用力为
，空气阻力不计，
点为
轨道中点，
重力加速度
取
，下列说法错误的是（ ）
A．最高点时小球所受的合外力竖直向下
B．图2 中
C．小球在B 点受到轨道作用力为
D．小球质量为
【答案】C
【详解】A．在最高点，小球所受合外力提供向心力，故方向竖直向下，A 正确，不符合题意；
D．由图2 可得在最高点，小球的速度
，由牛顿第二定律
可解得小球的质量
5
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故D 正确，不符合题意；
B．小球从A 运动到
的过程中，由机械能守恒定律
解得
故B 正确，不符合题意；
C．小球从A 运动到B 的过程中，由机械能守恒定律
解得
小球在B 点受到轨道作用力为
故C 错误，符合题意。
故选C。
二、多选题
5．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图，长为
的不可伸长轻绳一端系于固定点O。另一端系一质
量
的小球，将小球从O 点左侧与O 点等高的A 点以一定初速度
水平向右抛出，经一段时间后
小球运动到O 点有下方的B 点时，轻绳刚好被拉直，此后小球以O 为圆心在竖直平面内做圆周运动。已知
O、A 的距离为
，轻绳刚被拉直时与竖直方向的夹角为
。重力加速度取
。
，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
6
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A．小球抛出时的初速度大小
B．轻绳被拉直前瞬间小球的速度为
C．小球做圆周运动摆到最低点时的动能为
D．小球做圆周运动摆到最低点时，轻绳对小球的拉力大小为
【答案】AD
【详解】A．小球抛出后经时间t 轻绳刚好被拉直，根据平抛运动规律有
解得
，
选项A 正确；
B．轻绳刚被拉直前，小球竖直方向的分速度大小为
此时小球的瞬时速度
选项B 错误；
C．轻绳被拉直后沿着轻绳方向的速度为零，垂直于轻绳的速度
小球之后做圆周运动摆到最低点过程中，则根据机械能守恒定律有
解得
选项C 错误；
D．小球圆周运动摆到最低点时，根据牛顿第二定律有
7
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其中
解得
选项D 正确。
故选AD。
6．（2023·山东日照·统考三模）如图所示，水平传送带以
的速率顺时针转动，左右两端点A、
间距
。光滑水平面
、足够长的光滑斜面
及传送带左侧平滑相连，竖直面内半径
的
光滑半圆形轨道
与传送带右侧相切于
点（物块通过各连接处时无机械能损失）。现将一质量
的小物块（视为质点）自斜面
上高度为的某点由静止释放，能顺利通过传送带从半圆轨道
点水平拋
出。已知物块与传送带间的动摩擦因数
，重力加速度
。下列判断正确的是（ ）
A．物块通过半圆轨道
点时对轨道的最小压力为零
B．物块通过
点时的最小速度为
C．若物块总能以相同的速度通过轨道
点，则最小为
D．若物块总能以相同的速度通过轨道
点，则最大为
【答案】CD
【详解】A．物块通过半圆轨道
点对轨道的最小压力为零时，有
此时
无论h 值多少，物块运动到D 点时，速度均大于
，所以物块通过半圆轨道
点时对轨道的最小压力
8
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不可能为零，故A 错误；
B．若物块从A 点由静止开始运动，根据
解得，运动到B 点时速度
由因为从h 高度滑下，所以物块通过
点时的最小速度一定大于
，故B 错误；
C．根据机械能守恒，若物块总能以相同的速度通过轨道
点，则总能以相同的速度通过B 点，通过B 点
时速度
当h 取最小时，物块在传送带上做加速运动，根据动能定理
解得
故C 正确；
D．当h 取最大时，物块在传送带上做减速运动，根据动能定理
解得
故D 正确。
故选CD。
7．（2023·山东青岛·统考三模）如图，水平直杆AB 与光滑圆弧杆BC 在B 点平滑连接，固定在竖直平面内，
一直径略大于杆的圆环穿在水平直杆上的A 点。现让圆环以
的初速度由A 向B 运动，同时在竖直
面内对圆环施加一垂直于杆向上的恒力F，运动到B 点时撤去恒力F，之后圆环沿圆弧杆BC 上滑。已知
AB 长度
，BC 半径
，圆环质量
，圆环与直杆AB 间动摩擦因数
，恒力
，重力加速度
，
，下列说法正确的是（ ）
9
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A．圆环到达B 点时的速度为2m/s
B．圆环能够到达的最大高度为0.2m
C．圆环在BC 上运动的时间约为8s
D．圆环能返回A 点
【答案】ABC
【详解】A．直杆对圆环的弹力大小为
方向竖直向下，对圆环分析有
解得
根据速度与位移关系有
解得
A 正确；
B．圆环能够到达的最大高度的过程有
解得
B 正确；
C．根据上述可知
则圆环在圆弧上的运动可以等效为单摆，则
圆环在BC 上运动的时间约为
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解得
C 正确；
D．圆环返回B 点至停止过程有
解得
可知，圆环不能返回A 点，D 错误。
故选ABC。
三、解答题
8．（2023·西藏·统考模拟预测）如图所示，光滑斜面AB 与粗糙斜面CD 为两个对称斜面，斜面的倾角均为
θ，其上部都足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面BEC 的两端相切，一个物体在离切点B 的高度为H 处，
以初速度v0沿斜面向下运动，物体与CD 斜面的动摩擦因数为μ。
（1）物体首次到达C 点的速度大小；
（2）物体沿斜面CD 上升的最大高度h；
（3）请描述物体从静止开始下滑的整个运动情况，并简要说明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）根据机械能守恒定律
解得
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（2）物体沿CD 上升的加速度
解得
（3）AB 段和CD 段物块所受合力恒定不变，加速度恒定，物块做匀变速运动，BEC 段物块所受合力不断
变化，物块变速运动，若重力的分力小于摩擦力，则最后停止于CD 斜面上不动，反之也可能在BC 间做
等幅振动。
9．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图所示，在竖直平面内距离水平地面高度为3h 处固定一光
滑的半径为R 的圆弧形轨道（轨道长度小于四分之一圆弧长），圆弧形轨道右端与一光滑水平轨道相切，
在光滑水平轨道右侧固定一倾角为
的光滑斜面，斜面高度为2h。一质量为m 的小球自圆弧形轨道的最
高点由静止滑下，小球刚好从斜面顶端沿切线落入斜面，并沿斜面下滑到斜面底端，不计空气阻力，重力
加速度为g。求：
（1）圆弧形轨道最高点和最低点之间的高度差。
（2）小球运动至圆弧形轨道最低点时对轨道的压力大小。
（3）小球沿斜面运动的时间。
【答案】（1）；（2）
；（3）
【详解】（1）由平抛运动规律，可得
其中
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根据动能定理，有
解得圆弧形轨道的高度
（2）小球运动到圆弧形轨道最低点时，有
解得
由牛顿第三定律可知，小球运动至圆弧形轨道最低点时对轨道的压力大小
（3）由牛顿第二定律，小球沿斜面运动时，有
小球落在斜面上的速度
斜面长度
根据匀变速直线运动的公式有
解得小球沿斜面运动的时间
考点02：曲线运动与能量守恒定律结合的综合应用（1 单选+1 多选+3 解答）
一、单选题
1．（2023·上海徐汇·统考二模）嫦娥五号返回舱关闭推进器，沿如图轨迹以类似“打水漂”的方式两度进
入大气层，途经相同高度的A、C 两点时具有的机械能分别为EA、EC，在B 点受空气作用力FB与重力G，
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则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】嫦娥五号由A 点到B 点再到C 点过程，需克服空气阻力做功一部分机械能要转化为内能，所以
；B 点附近一段轨迹可以看作圆周运动的一部分圆弧，分析嫦娥五号在B 点时，竖直方向合力向上，
空气对嫦娥五号的作用力的竖直分力大于重力，水平分力与运动方向相反为空气阻力，竖直分力与水平分
力的合力为空气对嫦娥五号的作用力，故嫦娥五号在B 点受的空气作用力FB 大于重力G，故A 正确，BCD
错误。
故选A。
二、多选题
2．（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）轻质弹簧原长为L，现将该弹簧水平放置，一端固定在A 点，另一
端与物块P 接触但不连接。AB 是长度为3L 的水平轨道，B 端与半径为
的光滑半圆轨道BCD 相切，半
圆的直径BD 竖直，如图所示。物块P 与AB 间的动摩擦因数μ=0.2。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度
，使其具有2mgL 的弹性势能然后静止释放，P 开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。则下列说法正确
的是（ ）
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A．P 与弹簧相互作用的过程中，P 与弹簧组成的系统机械能守恒
B．若P 的质量为m，则P 到达B 点时速度的大小为
C．若P 的质量为m，它能沿圆弧轨道到达D 点
D．若P 能滑上圆轨道，但仍能沿圆轨道滑下，则P 的质量的取值范围
m
M<4m
【答案】BD
【详解】A．P 与弹簧相互作用的过程中，因为有摩擦力做功，所以P 与弹簧组成的系统机械能不守恒。A
错误；
B．根据动能定理得
其中
解得
B 正确；
C．假设能沿圆弧轨道到达D 点，从B 到D 根据动能定理得
解得
而物体到达最高点的最小速度为
假设不成立。C 错误；
D．若P 能滑上圆轨道，则物体在B 点的速度要大于零，即
解得
P 能沿圆轨道滑下，则有
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解得
所以P 的质量的取值范围
m
M<4m
D 正确。
故选BD。
三、解答题
3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）如图所示，某一游戏装置由轻弹簧发射器、长度
的粗
糙水平直轨道AB 与半径可调的光滑圆弧状细管轨道CD 组成。质量
的滑块1 被轻弹簧弹出后，
与静置于AB 中点、质量
的滑块2 发生完全非弹性碰撞并粘合为滑块组。已知轻弹簧贮存的弹
性势能
，两滑块与AB 的动摩擦因数均为
，两滑块均可视为质点，各轨道间连接平滑且
间隙不计，若滑块组从D 飞出落到AB 时不反弹且静止。
（1）求碰撞后瞬间滑块组的速度大小；
（2）调节CD 的半径
，求滑块组进入到圆弧轨道后在C 点时对轨道的压力大小；
（3）改变CD 的半径R，求滑块组静止时离B 点的最远距离，并写出
应满足的条件。
【答案】（1）3m/s；（2）1N；（3）0.8m，R 大于等于0.1m
【详解】（1）滑块1 被弹簧弹出的速度为
，有
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滑块1 与滑块2 碰撞前速度为
，有
滑块1 与滑块2 粘在一起后速度为
，有
解得
（2）滑块组在碰撞后到C 点的过程中有
解得
由牛顿第三定律有
（3）当半径为
时，其滑块组恰好能到达D 点，因为是细管管道，所以此时在D 点速度为零，有
解得
所以当圆弧轨道半径小于0.1m 时，滑块组能从D 点飞出，之后做平抛运动，继续调节圆弧轨道半径，其
从D 点飞出的速度不同，其落在水平轨道上距离B 点的距离也不同，设半径为R 时，有
滑块组在D 点之后做平抛运动，有
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整理有
根据数学知识有，当
时，s 取最大值，其值为0.2m。
当圆弧轨道半径大于0.1m 时，滑块组不能从D 点飞出，沿轨道滑回水平轨道，最终静止在水平轨道上，
设在水平轨道上滑动路程为s'，由能量守恒
解得
s'=1.8m
则滑块组静止时离B 点的最远距离为
4．（2023·天津·模拟预测）如图所示，光滑水平面AB 与竖直面内粗糙半圆形轨道在B 点平滑相接，半圆
形轨道半径为R，一质量为
的物块（可视为质点）将弹簧压缩至A 点后由静止释放，获得向右速度后脱
离弹簧，经过B 点进入半圆形轨道后瞬间对轨道的压力大小为其重力的8 倍，之后沿圆周运动，到达C 点
时对轨道的压力恰好为0。重力加速度为g，求：
（1）释放物块时弹簧的弹性势能；
（2）物块从B 点运动到C 点过程中克服摩擦力做的功；
（3）物块离开C 点后落回水平面时，重力的瞬时功率大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）物体在B 点时
解得
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根据能量守恒可知弹簧的弹性势能为
（2）物体在C 点时
化简得
物体从B 到C 的过程中
解得物体克服摩擦力做功
（3）物体从C 点飞出后做平抛运动，竖直方向有
所以重力的功率为
5．（2023·全国·模拟预测）如图，水平桌面上一个质量
的物体（视为质点）将弹簧压缩至A 点
后由静止释放，在弹力作用下物体获得一向右速度后脱离弹簧，之后从桌子边缘B 点平抛出去，并从C 点
沿CD 方向进入竖直平面内，由斜直轨道CD 和圆弧形轨道DEFGH 平滑连接而成的光滑轨道上运动，CD
与水平面成
角，EG 为竖直直径，FH 为水平直径。已知物块刚好能沿圆轨道经过最高点G，AB 间
的距离
，物体与桌面间的动摩擦因数
，C 点距离桌面的水面距离
，B、C 两点间的
高度差
，C、D 两点间的高度差
，重力加速度g 取
，
，
，
求：
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（1）弹簧被压缩至A 点时的弹性势能
；
（2）圆弧轨道半径R；
（3）当物体从D 点进入圆弧轨道后，撤去斜直轨道CD，物体从H 点落到水平面的时间t。
【答案】（1）0.18J；（2）1m；（3）
【详解】（1）物体从B 到C 做平抛运动，则竖直方向有
解得
则水平方向有
解得
物体从A 运动到B，根据能量守恒定律有
代入数据解得
（2）物块在C 点的速度为
由题知物块刚好能沿圆轨道经过最高点G，则有
20
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解得
物体从C 运动到G，根据动能定理有
由几何关系可得
联立解得
（3）物体从G 运动到H，根据动能定理有
解得
从H 点下落到地面上，根据运动学公式有
代入数据解得
21
