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第6 讲 力的合成与分解
——划重点之精细讲义系列
一．力的合成
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力产生的效果跟几个力共同作用的效果相同，这一个力就叫那几个
力的合力，那几个力就叫这个力的分力．
(2)关系：合力和分力是一种等效替代关系．
2．共点力：作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力．
3．力的合成：求几个力的合力的过程．
4．力的运算法则
(1)三角形定则：把两个矢量首尾相连从而求出合矢量的方法．(如图甲所示)
(2)平行四边形定则：求互成角度的两个力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边
作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．(如图乙所示)
二．力的分解
1．概念：求一个力的分力的过程．
2．遵循的原则：平行四边形定则或三角形定则．
3．分解的方法
（1）把力按实际效果分解的一般思路
（2）正交分解法
①定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法．
②建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力
和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，以加速度方向和垂直加
速度方向为坐标轴建立坐标系．
③方法：物体受到多个力作用F1、
F2、F3…，求合力
1
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F 时，可把各力沿相互垂直的x 轴、y 轴分解．
x 轴上的合力：
Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y 轴上的合力：
Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小：F＝
合力方向：与x 轴夹角为θ，则
tan θ＝.
一般情况下，应用正交分解法建立坐标系时，应尽量使所求量(或未知量)“落”在
坐标轴上，这样解方程较简单，但在本题中，由于两个未知量FAC和FBC与竖直方向夹
角已知，所以坐标轴选取了沿水平和竖直两个方向．
4.力的分解的常见情况
已知F1和
F2的方向
已知F1
的大小和
F2方向
已知F1和
F2的大小
已知分力F1的方向和F2的大小
唯一解
唯一解
两组解、一
组解、无解
F2＝Fsinθ 或
F2>F 时，一组
解
Fsinθ<F2<F
时，两组解
F2<Fsin θ 时，无
解
（1）二个分力一定时，夹角θ 越大，合力越小．
（2）合力一定，二等大分力的夹角越大，二分力越大．
（3）合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力．
（4）几种特殊情况下力的合成
类型
作图
合力的计算
两力
互相
垂直
F＝ tan θ＝
F
F1
F2
F
F1
F2
2
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两力等大，夹
角为θ
F＝2F1cos F 与F1夹角为
两力等大且夹
角为120°
合力与分力等大
（5）三个共点力合成时，其合力的最小值不一定等于两个较小力的和与第三个较
大的力之差．
【典例1】(多选)作用在同一点上的两个力，大小分别是5 N 和4 N，则它们的合力大
小可能是( )
A．0 B．5 N C．3 N D．10 N
【典例2】减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保
障行人的安全．当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F 画
法正确且分解合理的是( )
【典例3】(多选)已知力F 的一个分力F1跟F 成30°角，大小未知，另一个分力F2的大
小为F，方向未知，则F1的大小可能是( )
A.
B.
C.
D.F
考点一 共点力的合成
1．共点力合成的方法
(1)作图法：根据力的三要素，利用力的图示法画规范图示求解．
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(2)计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力，是
解题的常用方法．
(3)重要结论
①二个分力一定时，夹角θ 越大，合力越小．
②合力一定，二等大分力的夹角越大，二分力越大．
③合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力．
2．合力的大小范围
(1)两个共点力的合成
|F1－F2|≤F 合≤F1＋F2，即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反
向时，合力最小，为|F1－F2|；当两力同向时，合力最大，为F1＋F2.
(2)三个共点力的合成
①最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3；
②最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个
力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力
的大小减去另外两个较小的力的大小之和．
1．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F 的大小，下列说法中正确的
是( )
A．F 大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F 至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
【典例2】一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示
(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( )
A．三力的合力有最大值为F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求出合力大小
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考点二 力的分解
1．按力的效果分解
(1)根据力的实际作用效果――→两个实际分力的方向；
(2)再根据两个实际分力方向――→平行四边形；
(3)最后由三角形知识――→两分力的大小．
2．正交分解法
(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法．
(2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容
易分解力为原则(即尽量多的
力在坐标轴上)；在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
(3)方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3…，求合力F 时，可把各力沿相互垂直的x
轴、y 轴分解．
x 轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y 轴上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小：F＝
合力方向：与x 轴夹角为θ，则tan θ＝.
【典例1】如图所示，电灯的重力G＝10 N，AO 绳与顶板间的夹角为45°，BO 绳水平，
试求AO 绳和BO 绳拉力的大小？
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正交分解法的适用原则
正交分解法是分析力或其他矢量问题的常用方法，往往适用于下列情况：
(1)物体受到三个以上的力的情况．
(2)物体受到三个力的作用，其中有两个力互相垂直的情况．
(3)只分析物体某一方向的运动情况时，需要把不沿该方向的力正交分解，然后分析该
方向上的受力情况．
【典例1】(多选)将物体所受重力按力的效果进行分解，下列图中正确的是( )
【典例2】(多选)如图所示，质量为M 的斜面体A 放在粗糙水平面上，用轻绳拴住质
量为m 的小球B 置于斜面上，整个系统处于静止状态，已知斜面倾角及轻绳与竖直方向夹
角均为θ＝30°.不计小球与斜面间的摩擦，则( )
A．轻绳对小球的作用力大小为mg
B．斜面对小球的作用力大小为mg
C．斜面体对水平面的压力大小为(M＋m)g
D．斜面体与水平面间的摩擦力大小为mg
【典例3】如图所示，开口向下的“┍┑”形框架两侧竖直杆光滑固定，上面水平横
杆中点固定一定滑轮，两侧杆上套着的两滑块用轻绳绕过定滑轮相连，并处于静止状态，
此时连接滑块A 的绳与水平方向夹角为θ，连接滑块B 的绳与水平方向的夹角为2θ，则
A、B 两滑块的质量之比为( )
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A．1∶2cos θ
B．2cos θ∶1
C．2sin θ∶1
D．1∶2sin θ
考点三 力的合成与分解方法在实际问题中的应用
【典例1】某压榨机的结构示意图如图所示，其中B 为固定铰链，若在A 铰链处作用
一垂直于墙壁的力F，则由于力F 的作用，使滑块C 压紧物体D，设C 与D 光滑接触，杆
的重力及滑块C 的重力不计，图中a＝0.5 m，b＝0.05 m，则物体D 所受压力的大小与力F
的比值为( )
A．4
B．5
C．10
D．1
【典例2】电梯修理员或牵引专家常常需要监测金属绳中的张力，但不能到绳的自由
端去直接测量．某公司制造出一种能测量绳中张力的仪器，工作原理如图所示，将相距为
L 的两根固定支柱A、B(图中的小圆圈表示支柱的横截面)垂直于金属绳水平放置，在A、B
的中点用一可动支柱C 向上推动金属绳，使绳在垂直于A、B 的方向竖直向上发生一个偏
移量d(d≪L)，这时仪器测得金属绳对支柱C 竖直向下的作用力为F.
(1)试用L、d、F 表示这时金属绳中的张力FT；
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(2)如果偏移量d＝10 mm，作用力F＝400 N，L＝250 mm，计算金属绳中张力的大小．
考点四 绳上的“死结”和“活结”模型
1．“死结”模型的4 个特点
(1)“死结”可理解为把绳子分成两段；
(2)“死结”是不可以沿绳子移动的结；
(3)“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳；
(4)“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等．
2．“活结”模型的4 个特点
(1)“活结”可理解为把绳子分成两段；
(2)“活结”是可以沿绳子移动的结点；
(3)“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的．绳子虽然因“活
结”而弯曲，但实际上是同一根绳；
(4)“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两
段绳子夹角的平分线．
【典例1】如图甲所示，细绳AD 跨过固定的水平轻杆BC 右端的定滑轮挂住一个质量
为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG 一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G 通过
细绳EG 拉住，EG 与水平方向也成30°，轻杆的G 点用细绳GF 拉住一个质量为M2的物体，
求：
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(1)细绳AC 段的张力FTAC与细绳EG 的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC 对C 端的支持力；
(3)轻杆HG 对G 端的支持力．
【典例2】如图所示，某同学通过滑轮组将一重物吊起，该同学对绳的竖直拉力为
F1，对地面的压力为F2，不计滑轮与绳的重力及摩擦，则在重物缓慢上升的过程中，下列
说法正确的是( )
A．F1逐渐变小
B．F1逐渐变大
C．F2先变小后变大
D．F2先变大后变小
【典例3】(多选)如图所示，A 物体被绕过小滑轮P 的细线所悬挂，B 物体放在粗糙的
水平桌面上；小滑轮P 被一根细线系于天花板上的O 点；O′是三根线的结点，bO′水平
拉着B 物体，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩
擦力均可忽略，整个装置处于静止状态．若悬挂小滑轮的细线OP 上的张力是20 N，取g
＝10 m/s2，则下列说法中正确的是( )
A．弹簧的弹力为10 N
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B．A 物体的质量为2 kg
C．桌面对B 物体的摩擦力为10 N
D．OP 与竖直方向的夹角为60°
1．已知合力的大小和方向求两个分力时，下列说法中错误的是（ ）
A．若已知两个分力的方向，分解是唯一的
B．若已知一个分力的大小和方向，分解是唯一的
C．若已知一个分力的大小及另一个分力的方向，分解是唯一的
D．此合力可以分解成两个与合力等大的分力
2．如图所示，某工人正在修理草坪，推力F 与水平方向成α 角，割草机沿水平方向做匀速
直线运动，则推力F 在水平方向的分力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图所示是李强同学设计的一个小实验。他将细绳的一端系在手指上，绳的另一端系在
直杆的A 端，杆的左端顶在掌心上，组成一个“三角支架”。在杆的A 端悬挂不同重物，
并保持静止。下列不正确的说法是（ ）
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A．绳子是被拉伸的，杆是被压缩的
B．杆对手掌施加作用力的方向沿杆由C 指向A
C．绳对手指施加作用力的方向沿绳由B 指向A
D．所挂重物质量越大，绳和杆对手的作用力也越大
4．某同学周末在家大扫除，移动衣橱时，无论怎么推也推不动，于是他组装了一个装置，
如图所示，两块相同木板可绕
处的环转动，两木板的另一端点
、
分别用薄木板顶住
衣橱和墙角，该同学站在该装置的
处。若调整装置
点距地面的高
时，
、
两点的间距
，
处衣橱恰好移动。已知该同学的质量为
，重力加速度大
小取
，忽略A 处的摩擦，则此时衣橱受到该装置的水平推力为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．有一种瓜子破壳器其简化截面如图所示，将瓜子放入两圆柱体所夹的凹槽之间，按压瓜
子即可破开瓜子壳。瓜子的剖面可视作顶角为θ 的扇形，将其竖直放入两完全相同的水平
等高圆柱体A、B 之间，并用竖直向下的恒力F 按压瓜子且保持静止，若此时瓜子壳未破
开，忽略瓜子重力，不考虑瓜子的形状改变，不计摩擦，若保持A、B 距离不变，则（
）
A．圆柱体A、B 对瓜子压力的合力为零
B．顶角θ 越大，圆柱体A 对瓜子的压力越小
C．顶角θ 越大，圆柱体A 对瓜子的压力越大
D．圆柱体A 对瓜子的压力大小与顶角θ 无关
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6．（多选）已知三个共点力合力为零，则这三个力大小不可能是（ ）
A．15N，5N，6N
B．3N，6N，4N
C．1N，2N，10N
D．1N，6N，3N
7．（多选）小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图所示，已知两人手臂上的拉力大小
相等且为
，两人手臂间的夹角为
，水和水桶的总重力为
，则下列说法中正确的是（
）
A．当
为120°时，
B．不管
为何值，均有
C．当
时，
D．
越大时，
越小
8．如图所示，重力为G 的小球用轻绳悬于O 点，用力F 拉住小球，使轻绳保持偏离竖直
方向60°角且不变，当F 与竖直方向的夹角为θ 时F 最小，则θ、F 的值分别为( )
A．0°，G
B．30°，G
C．60°，G
D．90°，G
9．如图所示，光滑斜面的倾角为30°，轻绳通过两个滑轮与A 相连，轻绳的另一端固
定于天花板上，不计轻绳与滑轮的摩擦．物块A 的质量为m，不计滑轮的质量，挂上物块
B 后，当动滑轮两边轻绳的夹角为90°时，A、B 恰能保持静止，则物块B 的质量为( )
A. m
B. m
C．m
D．2 m
10．如图所示，起重机将重为G 的重物匀速吊起，此时四条钢索与竖直方向的夹角均
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为60°，则每根钢索中弹力大小为( )
A.
B.
C.
D.
11．图甲为杂技表演的安全网示意图，网绳的结构为正方格形，O、a、b、c、d…等
为网绳的结点．安全网水平张紧后，若质量为m 的运动员从高处落下，并恰好落在O 点上．
该处下凹至最低点时，网绳dOe、bOg 均成120°向上的张角，如图乙所示，此时O 点受到
的向下的冲击力大小为F，则这时O 点周围每根网绳承受的力的大小为( )
A．F
B.
C．F＋mg
D.
12．三段不可伸长的细绳OA、OB、OC 能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，
如图所示，其中OB 是水平的，A 端、B 端固定，若逐渐增加C 端所挂物体的质量，则最先
断的绳是( )
A．必定是OA
B．必定是OB
C．必定是OC
D．可能是OB，也可能是OC
13．如图所示，三根轻绳系于竖直杆上的同一点O，其中轻绳OA 与OB 等长且夹角为
60°，竖直杆与平面AOB 所成的角为30°.若轻绳OA、OB 的拉力均为20 N，要使杆受到绳
子作用力的方向竖直向下，则水平轻绳 OC 的拉力大小为( )
A．10 N
B．20 N
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C．20 N
D．10 N
14．如图所示，作用在滑块B 上的推力F＝100 N，若α＝30°，装置重力和摩擦力均不
计，则通过连杆工件受到向上的压力为( )
A．100 N
B．100 N
C．50 N
D．200 N
15．(多选)如图所示，作用于O 点的三个力F1、F2、F3合力为零．F1沿－y 方向，大小
已知．F2与x 轴正方向夹角为θ(θ＜90°)，大小未知．下列说法正确的是( )
A．F3可能指向第二象限
B．F3一定指向第三象限
C．F3与F2的夹角越小，则F3与F2的合力越小
D．F3的最小可能值为F1cos θ
16．(多选)如图所示，将一劲度系数为k 的轻弹簧一端固定在内壁光滑的半球形容器底
部O′处(O 为球心)，弹簧另一端与质量为m 的小球相连，小球静止于P 点．已知容器半
径为R，与水平地面之间的动摩擦因数为μ，OP 与水平方向的夹角为θ＝30°.下列说法正确
的是( )
A．容器相对于水平面有向左的运动趋势
B．容器和弹簧对小球的作用力的合力竖直向上
C．弹簧原长为R＋
D．轻弹簧对小球的作用力大小为mg
17．如图所示，质量为M 的斜劈形物体放在水平地面上，质量为m 的粗糙物块以某一
初速度沿斜劈的粗糙面向上滑，至速度为零后又加速返回，而物体M 始终保持静止，则在
物块m 上、下滑动的整个过程中（ ）
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A．地面对物体M 的摩擦力先向左后向右
B．地面对物体M 的摩擦力大小不变
C．地面对物体M 的摩擦力方向不变
D．地面对物体M 的支持力总等于（M+m）g
18．如图所示，倾角
的斜面上有一木箱，木箱与斜面之间的动摩擦因数
。现对木箱施加一拉力F，使木箱沿着斜面向上做匀速直线运动。设F 的方向与斜
面的夹角为
，在
从0 逐渐增大到53°的过程中，木箱的速度保持不变，则（ ）
A．F 先减小后增大
B．F 先增大后减小
C．F 一直增大
D．F 一直减小
19．（多选）如图甲所示，小物块A 放在斜面体B 的斜面上，斜面体B 置于水平地面
上，给物块A 沿斜面向下的初速度v0时，A 恰好可沿斜面匀速下滑，对运动中的A 分别施
加如图乙所示的其中一个恒力后，A 仍沿斜面下滑，斜面体B 始终静止.则在A 运动的过程
中，下列说法正确的是（ ）
A．若施加的是F1，则A 加速下滑，地面对B 无摩擦力
B．若施加的是F2，则A 继续匀速下滑，地面对B 无摩擦力
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C．若施加的是F3，则A 减速下滑，地面对B 的摩擦力方向水平向右
D．若施加的是F4，则A 减速下滑，地面对B 的摩擦力方向水平向右
20．（多选）粗糙水平面上
、
、、
四个相同小物块用四根完全相同的轻弹簧连接，
正好组成一个等腰梯形，系统静止。
之间、
之间以及
之间的弹簧长度相同且等于
之间弹簧长度的一半。
之间弹簧弹力大小为
之间弹簧弹力大小的一半。若
受到
的摩擦力大小为
，则（ ）
A．
之间的弹簧一定是压缩的
B．
受到的摩擦力大小为
C．受到的摩擦力大小为
D．
受到的摩擦力大小为
21．（多选）如图所示，重力为 G 的光滑木块置放在倾角为的固定斜面上，现对木块施
加一水平推 力 F ，使木块相对于斜面体静止，已知木块对斜面体压力大小等于斜面对木
块的支持 力大小，则关于压力大小的结论正确的是（ ）
A．G2+F2
B．G cosθ
C．
D．G cosθ+F sinθ
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