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第六章 机械能守恒定律
1、理解重力势能的概念，会用重力势能的定义进行计算；
2、理解重力势能的变化和重力做功的关系；知道重力做功与路径无关；
3、掌握机械能守恒的条件，掌握应用机械能守恒定律分析、解决问题的基本方法；
4、掌握验证机械能守恒定律的实验方法。
一、功的概念
1．定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
2．物理意义：功是能量转化的量度。
3．做功的两个必要因素
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在力的方向上发生了位移。
4．公式：W＝Flcosα。
(1)α 是力与位移方向之间的夹角，l 为物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
(3)功是标量，功的正负表示对物体做功的力是动力还是阻力。
5．功的正负
夹角
功的正负
0≤α<
力对物体做正功
<α≤π
力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
α＝
力对物体不做功
6．一对作用力与反作用力的功
做功情形
图例
备注
都做正功
一对相互作用力做的总功可正、可负，也可
为零
都做负功
一正一负
一为
零
一为正
1
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一为负
7．一对平衡力的功
一对平衡力作用在同一个物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这一对力所做的功一
定是数值相等、一正一负或都为零。
二、功率
1．定义：功W 与完成这些功所用时间t 之比叫作功率。
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3．公式
(1)P＝，P 为时间t 内的平均功率。
(2)P＝Fvcosα(α 为F 与v 的夹角)
v
①为平均速度，则P 为平均功率。
v
②为瞬时速度，则P 为瞬时功率。
4．额定功率
机械正常工作时的最大输出功率。
5．实际功率
机械实际工作时的功率，要求不大于额定功率。
三、功的计算
1．恒力做功的计算方法
恒力做功的计算要严格按照公式W＝Fl cos α 进行，应先对物体进行受力分析和运动分析，确定力、位移
及力与位移之间的夹角，用W＝Fl cos α 直接求解或利用动能定理求解．
2．合力做功的计算方法
方法一：先求合力F 合，再用W 合＝F 合l cos α 求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3……再利用W 合＝W1＋W2＋W3＋……求合力做的功．
方法三：利用动能定理W 合＝Ek2－Ek1.
3、变力做功的分析和计算
求变力做功的五种方法
方法
以例说法
微元法
质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功
Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
2
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等效
转换法
恒力F 把物块从A 拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所
围面积表示拉力所做的功，W＝x0
平均
值法
当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝
·Δx
应用动
能定理
用力F 把小球从A 处缓慢拉到B 处，F 做功为WF，则有：WF－
mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
四、功率的计算
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度．其中F 为恒力，α 不变．
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v 为t 时刻的瞬时速度．F 可为恒力，也可为变力，α 为F 与v 的夹角，α 可
以不变，也可以变化．
(2)公式P＝Fvcos α 中，Fcos α 可认为是力F 在速度v 方向上的分力，vcos α 可认为是速度v 在力F 方向上
的分速度．
五、机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t 图像
和v－t 图像
OA
段
过程
分析
v↑F
⇒＝↓⇒a＝↓
a＝不变⇒F 不变⇒P＝Fv↑直到P
＝P 额＝Fv1
运动
性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，持续时间t0＝
AB
段
过程
分析
F＝F 阻⇒a＝0 vm
⇒
＝
v↑F
⇒＝↓⇒a＝↓
运动
以vm 做匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
3
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性质
BC 段
F＝F 阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀速
直线运动
2．三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝.
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝<vm＝.
(3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt．由动能定理得：Pt－F 阻x＝ΔEk.此式经常用于求解机
车以恒定功率启动过程的位移大小和时间．
六、动能
1．定义：物体由于运动而具有的能．
2．公式：Ek＝mv2．
3．矢标性：动能是标量，只有正值，动能与速度方向无关．
4．状态量：动能是状态量，因为v 是瞬时速度．
5．相对性：由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性．
6．动能的变化：物体末动能与初动能之差，即ΔEk＝m
－m
．动能的变化是过程量．
七、动能定理
1．内容：合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．
2．表达式
(1)W＝ΔEk．
(2)W＝Ek2－Ek1．
(3)W＝m
－m
．
3．物理意义：合外力的功是物体动能变化的量度．
4．适用范围广泛
(1)既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用．
5. 应用动能定理求变力做功
在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功的公式求解时，可用动能定理，W 变＋W 恒＝
mv22－mv12，物体初、末速度已知，恒力做功W 恒可根据功的公式求出，这样就可以得到W 变＝mv22
－mv12－W 恒，就可以求变力做的功了．
4
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八、动能定理与图象结合问题
1．解决图像问题的基本步骤
(1)弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．
(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．
(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交
点、图与坐标轴围成的面积等所表示的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数
关系式求物理量．
2．图像所围“面积”和图像斜率的含义
九、重力势能
1．定义
物体由于被举高而具有的能量，叫作重力势能。
2．表达式
Ep＝mgh，其中h 是相对于参考平面（零势能面）的高度。
3．特点
(1)系统性：重力势能是地球与物体所组成的“系统”所共有的。
(2)相对性：重力势能的数值与所选参考平面有关，物体在参考平面上方，h>0，在参考平面下方，h<0．
(3)标量性：重力势能是标量，正负表示大小。
4．重力做功与重力势能变化的关系
(1)重力做功不引起物体机械能的变化
(2)重力对物体做正功，重力势能减小，重力对物体做负功，重力势能增大。
(3)重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝Ep1－Ep2＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。
(4)重力势能的变化量是绝对的，与参考平面的选取无关。
十、弹性势能
1．定义
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。
5
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2．大小：弹簧的弹性势能跟弹簧的形变量及劲度系数有关，形变量越大，劲度系数越大，弹性势能就越
大。
3．弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹
力做负功，弹性势能增加，用公式表示：W＝－ΔEp。
十一、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
2．常用的三种表达式
(1)守恒式：E1＝E2 或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。E1、E2 分别表示系统初末状态时的总机械能。
(2)转化式：ΔEk＝－ΔEp 或ΔEk 增＝ΔEp 减。表示系统势能的减少量等于动能的增加量。
(3)转移式：ΔEA＝－ΔEB 或ΔEA 增＝ΔEB 减。表示系统只有A、B 两物体时，A 增加的机械能等于B 减
少的机械能。
3．对机械能守恒定律的理解
(1)只受重力或弹力作用，系统的机械能守恒。
(2)除受重力或弹力之外，还受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功，系统机械能守
恒。
(3)除受重力或弹力之外，还受其他力，但其他力所做功的代数和为零，系统机械能守恒。
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化。
十二、机械能守恒的判断
1．机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
(2)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数
和为0)，则机械能守恒．
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其他形式能的转
化，则机械能守恒．
十三、单个物体的机械能守恒
1．表达式
6
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2．一般步骤
十四、多物体组成的系统机械能守恒的应用
1．轻绳连接的物体系统模型
常见
情景
模型
提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系
统，机械能则可能守恒。
2．轻杆连接的物体系统模型
常见
情景
模型
特点
①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能
不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做
功，则系统机械能守恒。
3．轻弹簧连接的物体系统模型
模型
特点
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内
物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
两点
提醒
①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是
压缩。
②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速
度，弹性势能最大。
7
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一、单选题
1．无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m 的雨滴在地面附近
以速率v 下落高度h 的过程中，克服空气阻力做的功为（重力加速度大小为g）（ ）
A．0
B．mgh
C．
D．
2．物体在两个相互垂直的力F1、F2作用下运动，力F1对物体做功6J，力F2对物体做功8J，则F1、F2的合
力对物体做的功 为（ ）
A．14J
B．10J
C．2J
D．-2J
3．如图所示为跳伞爱好者表演高楼跳伞的情形，他们从楼顶跳下后，在距地面一定高度处打开伞包，最
终安全着陆。则跳伞者（ ）
A．机械能一直减小
B．机械能一直增大
C．动能一直减小
D．重力势能一直增大
4．一物块沿倾角为
的斜坡向上滑动，当物块的初速度为时，上升的最大高度为
，如图所示。当物块
的初速度为
时，上升的最大高度记为。重力加速度为
，则物块与斜坡间的动摩擦因数
和分别为
（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
5．如图所示，在某滑雪场滑雪者从O 点由静止沿斜面自由滑下，接着在水平面上滑至N 点停下，斜面、
水平面与滑雪板之间的动摩擦因数都为μ＝0.1，滑雪者（包括滑雪板）的质量为m＝50kg，g 取10m/s2，
8
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O、N 两点间的水平距离为s＝100m。在滑雪者经过ON 段运动的过程中，克服摩擦力做的功为（ ）
A．1250J
B．2500J
C．5000J
D．7500J
6．一根质量为m、长为L 的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图甲
所示。若将一个质量为m 的小球分别拴在链条右端和左端，如图乙、图丙所示。约束链条的挡板光滑，三
种情况均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度关系，下列判断正确的是（ ）
A．v 甲 = v 乙 = v 丙
B．v 甲 < v 乙 < v 丙
C．v 丙 > v 甲 > v 乙
D．v 乙 > v 甲
> v 丙
7．质量为1kg 的物体，放置在动摩擦因数为0.2 的水平面上，在水平拉力的作用下由静止开始运动，水平
拉力做的功W 和物体发生的位移x 之间的关系如图所示，重力加速度为10m/s2，则下列说法正确的是（
）
A．x=3m 时速度大小为
B．x=9m 时速度大小为
C．OA 段加速度大小为3m/s2
D．AB 段加速度大小为3m/s2
8．如图所示，在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧，上端O 点与管口A 的距离为2x0，一质量为m 的小球
从管口由静止下落，将弹簧压缩至最低点B，压缩量为x0，不计空气阻力，则（ ）
9
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A．弹簧的最大弹性势能为3mgx0
B．小球运动的最大速度等于2
C．弹簧的劲度系数为
D．小球运动中最大加速度为g
9．图为某电动车做直线运动的v-t 图像。若该车质量和所受阻力保持不变，从t1时刻开始汽车的功率保持
不变，则该电动车（ ）
A．t1～t2时间内，加速度不断减小
B．0～t1时间内，牵引力不断增大
C．t1～t2时间内，牵引力小于阻力
D．t1～t2时间内，平均速率等于
10．如图所示，表面粗糙的“
”型水平轨道固定在地面上，劲度系数为
、原长为
的轻弹簧一端固定
在轨道上的
点，另一端与安装有位移、加速度传感器的滑块相连，滑块总质量为
。以
为坐标原点，
水平向右为正方向建立
轴，将滑块拉至坐标为
的A 点由静止释放，向左最远运动到坐标为
的
点，
测得滑块的加速度
与坐标
的关系如图所示，其中
为图线纵截距。则滑块由A 运动至
过程中（弹簧
始终处于弹性限度内）下列描述正确的是（ ）
A．
B．最大动能为
C．动摩擦因数
D．滑块在
和
处的弹性势能
10
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二、多选题
11．人们用滑道从高处向低处运送货物．如图所示，可看作质点的货物从
圆弧滑道顶端
点静止释放，
沿滑道运动到圆弧末端
点时速度大小为
。已知货物质量为
，滑道高度为
，且过
点的切
线水平，重力加速度取
。关于货物从
点运动到
点的过程，下列说法正确的有（ ）
A．重力做的功为
B．克服阻力做的功为
C．经过
点时向心加速度大小为
D．经过
点时对轨道的压力大小为
12．轻杆AB 长2L，A 端连在固定轴上，B 端固定一个质量为2m 的小球，中点C 固定一个质量为m 的小
球．AB 杆可以绕A 端在竖直平面内自由转动．现将杆置于水平位置，如图所示，然后由静止释放，不计
各处摩擦与空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．AB 杆转到竖直位置时，角速度为
B．AB 杆转到竖直位置的过程中，B 端小球的机械能的增量为
mgL
C．AB 杆转动过程中杆CB 对B 球做正功，对C 球做负功，杆AC 对C 球做正功
D．AB 杆转动过程中，C 球机械能守恒
13．如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面abcd，其中ab 段为平直上
坡路面，bc 段为水平路面，cd 段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下
列说法正确的是（ ）
A．在ab 段汽车的输出功率逐渐减小
B．汽车在ab 段的输出功率比bc 段的大
11
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C．在cd 段汽车的输出功率逐渐减小
D．汽车在cd 段的输出功率比bc 段的小
14．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m 的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球
运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其
图像如图乙所示，则
（ ）
A．当地的重力加速度为
B．轻质绳长为
C．当
时，轻质绳的拉力大小为
D．只要
，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为
15．如图所示，半径可变的四分之一光滑圆弧轨道置于竖直平面内，轨道末端切线水平。将一小球从轨道
顶端由静止释放。若保持轨道圆心位置不变，改变圆弧轨道的半径不超过圆心离地的高度，小球仍从轨
道顶端由静止释放，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到轨道末端时对轨道的压力相等
B．小球落地时重力的功率相等
C．轨道半径越大，小球落地的水平位移越大
D．轨道半径越大，小球落地时速度方向与竖直方向夹角越大
三、实验题
16．如图甲所示，一位同学利用光电计时器等器材做“验证机械能守恒定律”的实验。有一直径为d、质
量为m 的金属小球由A 处由静止释放，下落过程中能通过A 处正下方、固定于B 处的光电门，测得A、B
间的距离为H（
），光电计时器记录下小球通过光电门的时间为t，当地的重力加速度为g。则：
12
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（1）如图乙所示，用游标卡尺测得小球的直径d= cm。
（2）多次改变高度H，重复上述实验，作出
随H 的变化图像如图丙所示，当图中已知量
和重力
加速度g 及小球的直径d 满足以下表达式： 时，可判断小球下落过程中机械能守恒。
（3）实验中发现动能增加量
总是稍小于重力势能减少量
，增加下落高度后，则
将
（选填“增大”“减小”或“不变”）。
17．如图甲所示的装置叫做阿特伍德机，是英国数学家和物理学家阿特伍德（G·Atwood 1746~1807）创制
的一种著名力学实验装置，用来研究匀变速直线运动的规律。某同学对该装置加以改进后用来验证机械能
守恒定律，如图乙所示。
（1）实验时，该同学进行了如下操作：
①将质量均为M（A 的含挡光片、B 的含挂钩）的重物用绳连接后，跨放在定滑轮上，处于静止状态。测
量出 （填“A 的上表面”、“A 的下表面”或“挡光片中心”）到光电门中心的竖直距
离h。
②在B 的下端挂上质量为m 的物块C，让系统（重物A、B 以及物块C）中的物体由静止开始运动，光电
门记录挡光片挡光的时间为Δt。
③测出挡光片的宽度d，计算有关物理量，验证机械能守恒定律。
（2）如果系统（重物A、B 以及物块C）的机械能守恒，应满足的关系式为 （已知重力加速度为
g）。
（3）引起该实验系统误差的原因有 （写一条即可）。
（4）验证实验结束后，该同学突发奇想：如果系统（重物A、B 以及物块C）的机械能守恒，不断增大物
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块C 的质量m，重物B 的加速度a 也将不断增大，那么a 与m 之间有怎样的定量关系？a 随m 增大会趋于
一个什么值？请你帮该同学解决：
①写出a 与m 之间的关系式： （还要用到M 和g）。
②a 的值会趋于 。
四、解答题
18．某跳台滑雪滑道示意图如图所示，倾斜滑道
与光滑圆弧滑道
相切于
点，
段的长度
，与水平方向的夹角
，圆弧滑道的半径
，C 是圆弧的最低点。质量
的运动
员（含装备，视为质点）从A 处由静止开始下滑，到达
点后水平飞出，恰好落到水平地面上的缓冲垫上
的
点。已知运动员在整个过程中没有任何助力动作，
点与
点的高度差
，运动员滑到
点时对
滑道的压力大小
。不计空气阻力，取重力加速度大小
，
，
。
求：
（1）
点到
点的水平距离；
（2）滑板与滑道
间的动摩擦因数
19．在离地80 m 处无初速度释放一小球，小球的质量为m=200g，不计空气阻力，g 取10m/s2，取释放点
所在水平面为零势能参考平面。求：
（1）在第2s 末小球的重力势能；
（2）3s 内重力所做的功及重力势能的变化。
20．由于三大常规能源的短缺，新能源汽车成为当下各国研发的主方向。理论上汽车刹车车轮抱死的情况
下，刹车距离与速度的平方成正比，与动摩擦因数成反比，当摩擦因数一定时，刹车距离取决于车速。现
实生活中，车速一样的情况下，往往车载重越重，刹车距离就越长。为探究这个问题，研究小组对某新能
源汽车进行研究，该车质量为
，额定功率为
，以额定功率在水平路面上启动，受到的阻
14
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力恒为
。保持额定功率行驶时间
时，速度达到最大，随即刹车（防抱死制动装置ABS
启动，不考虑反应时间），测得制动距离等于启动到最大速度距离的
倍。查得抱死时动摩擦因数为
，计算发现防抱死时刹车系统的制动力
小于车轮抱死时与地面的滑动摩擦力
。由此可知，这
就是车载重越重刹车距离越长的原因。求：
（1）该车从启动到最大速度的过程中，汽车行驶的位移大小；
（2）上述刹车过程中刹车系统的制动力
。
21．弯曲轨道与水平地面平滑连接，右侧有一与地面等高的传送带，传送带始终以速度
顺时针匀速转
动，如图甲所示。将一滑块从轨道上高处无初速释放，当
时，滑块离开传送带时的速
度不变，当滑块从其他高度释放后，离开传送带时的速度大小与高度的图像为如图乙所示的曲线。已
知滑块与传送带间的动摩擦因数
，弯曲轨道与水平地面均光滑，取重力加速度大小
，
求：
（1）传送带的传送速度
；
（2）传送带的长度
。
22．如图所示，一物体质量m＝2kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A 点以初速度v0＝3m/s 下滑，A 点距弹簧上
端挡板位置B 点的距离AB＝4m。当物体到达B 点后将弹簧压缩到C 点，最大压缩量BC＝0.2m，然后物体
又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D 点，D 点距A 点的距离AD＝3m。挡板及弹簧质量不计，g 取
10m/s2，sin37°＝0.6，求：（结果均保留三位有效数字）
（1）物体与斜面间的动摩擦因数μ；
（2）弹簧的最大弹性势能Epm。
15
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23．如图，AB 是倾角为θ 的粗糙直轨道，BCD 是光滑的圆弧轨道，AB 恰好在B 点与圆弧相切，圆弧的半
径为R。一个质量为m 的物体（可以看作质点）从直轨道上的P 点由静止释放，结果它能在两轨道间做往
返运动。已知P 点与圆弧的圆心O 等高，物体与轨道AB 间的动摩擦因数为μ。求：
（1）物体做往返运动的整个过程中在AB 轨道上通过的总路程；
（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E 时，对圆弧轨道的压力；
（3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B 点的距离L′应满足什么条件。
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