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2023 年高考押题预测卷01
数学·全解全析
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先求出集合
和集合
，再利用集合间的运算即可求出结果.
【详解】由
，得到
，所以集合
，
又由
，得到
或
，所以集合
或
，
所以
，所以
.
故选：B．
2．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由复数的四则运算，求出，再得到共轭复数
.
【详解】由
，有
，所以
.
故选：D
3．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵
爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”
中，若
，则
（ ）
2
A
x x
2
1
0
B
x x
R
(
)
A
B
1,1
1,1
1,2
2,1
A
B
2
x
2
2
x
2
2
A
x
x
2
1
0
x
1
x
1
x
1
B
x x
1
x
R
| 1
1
B
x
x
R
| 1
1
A
B
x
x
1
2i
2
i
z
z
4
5 i
3
3
4
5 i
3
3
i
i
z
z
1
2i
2
i
z
2
i 1
2i
2
i
5i
i
1
2i
1
2i 1
2i
5
z
i
z
,
,
3
BC
a BA
b BE
EF
AE
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.
【详解】依题意，
，
于是
，
所以
.
故选：A
4．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，
天池盆盆口直径为36 寸，盆底直径为12 寸，盆深18 寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，
则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（ ）
A．
寸
B．2 寸
C．
寸
D．3 寸
【答案】C
【解析】由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案．
【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为18 寸，下底面半径为6 寸，高为18 寸．
积水深9 寸，
水面半径为
寸，
则盆中水的体积为
（立方寸）．
平地降雨量等于
（寸．
故选：C．
12
16
25
25
a
b
16
12
25
25
a
b
12
9
25
25
a
b
9
12
25
25
a
b
3
3
3
9
(
)
4
4
4
16
AE
BE
BA
BF
BA
BC
CF
BA
BC
AE
BA
25
3
3
16
4
4
AE
BC
BA
a
b
12
16
25
25
AE
a
b
5
3
7
3
1 (18
6)
12
2
2
2
1 π
9
(6
12
6 12)
756π
3
2
756π
7
π 18
3
)
2
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5．将甲、乙等5 名志愿者分配到4 个社区做新冠肺炎疫情防控宣传，要求每名志愿者去一个社区，每个社
区至少去一名志愿者，则甲、乙二人去不同社区的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】部分均匀分组问题，5 个人去4 个社区，只能是
的形式，据此先算出基本事件总数，再
求出甲、乙去相同的社区的事件数，利用古典概型公式和对立事件的定义求解.
【详解】5 个人去4 个社区，只能是
的形式，分组的情况总数为
，
再把这些分组分配到四个不同地方，有
种情况，因此基本事件总数为
；
甲、乙去相同的社区的情况有：
种，
由对立事件可得甲、乙二人去不同社区的概率为：
.
故选：C.
6．已知函数
的最小正周期
，将函数
的图像向右平
移
个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数
的说法错误的是（ ）
A．函数
的图像关于直线
对称
B．函数
在
上单调递减
C．函数
在
上有两个极值点
D．方程
在
上有3 个解
【答案】D
3
10
3
5
9
10
1
4
1 1 1
2
1 1 1
2
2
5
C =10
4
4
A
24
240
4
4
A
24
24
9
1
240
10
π
2sin 2
N ,
2
f x
x
3π 3π
,
4
2
T
f x
π
6
f x
f x
5π
12
x
f x
π π
,
6 2
f x
13π
0, 12
1
f x
0,π
3
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【解析】由题可得
，
.
A 选项，将
代入
，验证其值是否为
可判断选项；
B 选项，由
在
上的单调性可判断选项；
C 选项，由
在
上的极值点可判断选项；
D 选项，验证
在
上是否有3 个解可判断选项.
【详解】由题
.
的图像向右平移
个单位长度后对应的解析式为
，因其过原点，则
，结合
，可得
.
A 选项，
，则
的图像关于直线
对称，故A 正确；
B 选项，
时，
，因
，
在
上单调递减，则
在
上单调递减，故B 正确.
C 选项，
时，
.令
，
因
，
，则函数
在
上有两个极值点，故C 正确；
1
π
3
5π
12
x
π
2sin 2
3
f x
x
2
2sin
y
x
2π 4π
,
3
3
2sin
y
x
5
3
2
π
π
,
2sin
1
x
π 7π
,
3
3
1
2
3
2
3
2
4
4
2
3
3
π
π
π
,
,
ω
ω
ω
f x
π
6
2
2
3
π
si n
x
φ
3
3
π
π
π，
Z
π，
Z
φ
k
k
φ
k
k
π
2
π
3
5
2
2
12
2
π
π
si n
f
f x
5π
12
x
π π
,
6 2
x
π
2π 4π
2
,
3
3
3
x
2
4
3
3
3
2
2
π
π
π
π
,
,
2sin
y
x
π 3π
,
2
2
f x
π π
,
6 2
13π
0, 12
x
5
2
3
3
2
π
π
π
,
x
2
3
2
π
π
π，
Z
x
k
k
3
5
2
2
3
2
π
π
π
π
,
,
3
2
2 2
2
2
2
π
π
si n
,
si n
f x
13π
0, 12
4
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D 选项，
时，
.由
，可得
，则方程
在
上有2 个解，故D 错误.
故选：D
7．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据对数的运算，计算可得
，则
.构造函数
，根据导函
数得到函数的单调性，即可得出
，根据对数函数的单调性即可得出
；先证明当
时，
.然后根据二倍角公式以及不等式的性质，推得
.
【详解】因为
，
所以，
.
令
，
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
.
因为
在
上单调递增，所以
；
令
，则
恒成立，
所以，
在R 上单调递减，
所以，当
时，有
，即
，
0,π
x
π
π 7π
2
,
3
3
3
x
7
2
1
3
3
π
π
si n
,
,
x
x
5
13
6
6
π
π
,
x
x
1
f x
0,π
3
9
7
log
1
3
a
0.1
0.7e
b
2
cos 3
c
a
b
c
c
a
b
c
b
a
b
a
c
7
9
a
1
9
ln
ln
ln
10
10
b
a
1
ln
f x
x
x
ln
ln
0
b
a
a
b
0
x
sin x
x
c
a
3
3
7
lo
o
g 9
9
l g 7
1
7
3
3
9
a
7
1
9
ln
ln
0.1
ln 0.7
ln
ln
9
10
10
b
a
1
ln
f x
x
x
0
x
1
1
1
x
f
x
x
x
0
1
x
( )
0
f
x
>
f x
0,1
9
1
0
10
f
f
ln
ln
0
b
a
ln
y
x
0,
a
b
sin
g x
x
x
cos
1
0
x
g
x
g x
0
x
0
0
g x
g
sin x
x
5
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所以
.
因为
，
所以
，
所以
.
所以
.
故选：B．
【点睛】方法点睛：对
变形后，作差构造函数，根据导函数得到函数的单调性，即可得出值的大小
关系.
8．已知等腰直角
的斜边
分别为
上的动点，将
沿
折起，使点
到达
点
的位置，且平面
平面
.若点
均在球
的球面上，则球
表面积的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题设
共圆（
不与
重合），进而确定
，找到△
，四边形
外接圆圆心，由棱锥外接球、面面垂直的性质确定球心位置，设
且
，求外接球半径最小值，
即可得结果.
【详解】由点
均在球
的球面上，且
共圆（
不与
重合），
所以
（
不与
重合），
又
为等腰直角三角形，
为斜边，即有
，
如上图，△
、△
、△
都为直角三角形，且
，
由平面图到立体图知：
，
，
又面
面
，面
面
，
面
，
1
1
0
sin 3
3
2
2
1
cos
1
2sin
3
3
2
2
1
2
7
cos
1
2sin
1
3
3
9
9
c
a
c
a
b
, ,
a b c
ABC
2,
,
AB
M N
,
AC AB
AMN
MN
A
A
A MN
BCMN
, ,
,
,
A B C M N
O
O
8π
3
3π
2
6π
3
4π
3
,
,
,
B C M N
M
A
MN
AB
A NM
BCMN
A N
x
0
1
x
, ,
,
,
A B C M N
O
,
,
,
B C M N
M
A
π
NMC
B
C
MNB
M
C
ABC
AB
MN
AB
ANM
BNM
BCM
π
2
ANM
MNB
C
MN
A N
MN
BN
A MN
BCMN
A MN
BCMN MN
A N
A NM
6
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所以
面
，同理可得
面
，
将
翻折后，
的中点
分别为△
，四边形
外接圆圆心，
过
作
面
，过
作
面
，它们交于
，即为
外接球球心，如下图示，
再过
作
面
，交
于
，连接
，则
为矩形，
综上，
，
，则
为
中点，
所以
，而
，
，
令
且
，则
，故
，
，
所以球
半径
，
当
时，
，故球
表面积的最小值为
.
故选：D
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．
9．如图，在正方体
中，点P 为线段
上的一个动点（不包含端点），则（ ）
A．
B．直线PC 与直线
异面
A N
BCMN
BN
A MN
AMN
,
A M BM
,
D E
A NM
BCMN
D
DO
A NM
E
EO
BCMN
O
A
BNMC
D
DF
BCMN
NM
F
EF
EFDO
/ /
DF
A N
/ /
DO
BN
F
MN
1
2
DO
EF
BN
1
A C
BC
2
AB
A N
x
0
1
x
2
BN
x
2
2
x
DO
2
A M
x
O
2
2
2
2
2
4
3(
)
3
2 2
2
3
3
(
)
2
4
4
x
A M
x
x
r
DO
2
3
x
min
1
3
r
O
2
4π
4π
3
r
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1
AC
PC
BD
1
BB
7
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C．存在点P 使得PC 与
所成的角为60°
D．存在点P 使得PC 与底面ABCD 所成的角为60°
【答案】ABD
【解析】由线面垂直的判定定理可判断A；证明
平面
，PC
平面
，可判断B；求出
PC 与
所成的角的最大值恒小于60°可判断C；求出PC 与底面ABCD 所成的角为60°时，
的长度可
判断D.
【详解】对A，在正方体
中，易得
，
底面
，
平面
，
，
，
平面
，则
平面
，
因为
平面
，所以
，故A 正确；
对B，因为
平面
，
平面
，
平面
，且
，
所以直线PC 与直线
异面，故B 正确；
对C，因为
，所以PC 与
所成的角即为PC 与
所成的角，
由图可知，当点
位于点
处时，
最大，此时
，
所以PC 与
所成的角恒小于60°，故C 不正确；
对D，过点
作
平面
交直线
于点
，则
，
设正方体的边长为，PC 与底面ABCD 所成的角即为
，
若
，则
，
则
，所以存在点P 使得PC 与底面ABCD 所成的角为60°.
故D 正确.
1
DD
1
BB
1
1
BCC B
1
1
BCC B
1
DD
1
C P
1
1
1
1
ABCD
A B C D
BD
AC
1
AA
ABCD
BD
Q
ABCD
1
AA
BD
1
AC
AA
A
∩
1
,
AC AA
1
1
ACC A
BD
1
1
ACC A
PC
1
1
ACC A
BD
PC
P
1
1
BCC B
C
1
1
BCC B
1
BB
1
1
BCC B
1
C
BB
1
BB
1
1
/ /
CC
DD
1
DD
1
CC
P
1A
1
PCC
1
1
1
1
1
cos
2
3
CC
PCC
AC
1
DD
P
PH
ABCD
AC
H
1
/ /
PH
AA
1
PCH
60
PCH
1
tan
3
PH
PCH
CH
CH
3
=
2
3
CH
8
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故选：ABD.
10．函数
，下列说法正确的是（ ）
A．存在实数
，使得直线
与
相切也与
相切
B．存在实数
，使得直线
与
相切也与
相切
C．函数
在区间
上单调
D．函数
在区间
上有极大值，无极小值
【答案】ABC
【解析】设切点分别为
，根据导数的几何意义列出方程，化简得
，解得
或
，得到公切线的斜率为
或
，得出切线方程可判定A、B 正确；令
，求得
，令
，利用导数求得所以
单调递增，得到
单调递增，结合
，得出
在区间
上单调递增，可判定C、D 错误.
【详解】设直线分别与
与
分别相切于点
，
则
且
，
所以
且
，
ln
1,
e
1
x
f x
x
g x
m
y
x
m
y
f x
y
g x
k
1
y
kx
y
f x
y
g x
g x
f x
2 ,
3
g x
f x
2 ,
3
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
P x y
Q x
y
2
2
(e
1)(
1)
0
x
x
2
0
x
2
1
x
1
k
e
k
h x
g x
f x
1
ex
h x
x
1 ,
0
ex
x
x
x
x
h x
2
( )
0
3
h
h x
2
( ,
)
3
y
f x
y
g x
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
P x y
Q x
y
2
1
1
1
2
ln
1,
e
1
x
y
f x
x
y
1 ,
ex
f
x
g
x
x
2
1
1
ex
x
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
ln
1
1
2
,
e
e
e
e
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
9
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化简得
，解得
或
，
当
时，可得
，即切线的斜率为
，且
，即切点坐标为
，
此时切线的方程为
；
当
时，可得
，即切线的斜率为
，且
，
即切点坐标为
，此时切线的方程为
，即
，
故公切线方程为
或
，所以选项A、B 正确；
令
，可得
，
令
，可得
，
所以
单调递增，即
单调递增，
又由
，因为
，所以
，
即
时，
，所以
在区间
上单调递增，
所以C 正确；
由C 知，函数
单调递增，所以函数
无极值，所以D 错误.
故选：ABC.
11．已知
是抛物线
的焦点，过
的直线交抛物线于
两点，以线段
为直径的圆交
轴于
两点，交准线于
点，则下列说法正确的是（ ）
A．以
为直径的圆与
轴相切
B．若抛物线上的点
到
的距离为2，则抛物线的方程为
C．
D．
的最小值为
【答案】AC
【解析】根据抛物线的焦半径公式结合条件可判断AB，设直线
的方程，与抛物线联立利用韦达定理法
2
2
(e
1)(
1)
0
x
x
2
0
x
2
1
x
2
0
x
0
0
g
1
k
0
0
g
(0,0)
Q
y
x
2
1
x
e
1
g
e
k
1
e 1
g
(1,e 1)
Q
(e 1)
e(
1)
y
x
e
1
y
x
y
x
e
1
y
x
e
ln
2
x
h x
g x
f x
x
1
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h x
x
1 ,
0
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x
x
x
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e
0
x
x
x
x
h x
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2
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e
3
h
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8
2
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0
3
h
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)
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x
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h x
h x
g x
f x
2
( ,
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3
h x
h x
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2
2
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p
F
,
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y
,
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AB
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可得以
为直径的圆与准线相切进而可判断C，根据圆的弦长公式求出
的表达式可判断D，
【详解】由题意可得抛物线的焦点
，准线方程为
，
设
，则
的中点
，
对于A，
，则以
为直径的圆的半径为
，
的中点的横坐标为
，
所以
的中点到
轴的距离为
，即以
为直径的圆与
轴相切，所以A 正确；
对于B，因为抛物线上的点
到
的距离为2，所以
，得
，则抛物线的方程为
，
所以B 错误；
对于C，设直线
的方程为
，则
的中点
，
由
，得
，
所以
，
所以
，
所以
，则以
为直径的圆的半径为
，
的中点
的横坐标为
，
所以
的中点
到准线的距离为
，即以AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切，
所以
为切点，
，
，故C 正确；
AB
MN
,0
2
p
F
2
p
x
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
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B x
y
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AB
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y
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p
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,
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4
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p
x
x
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y
p
m p
p x x
p
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x
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p
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p
m
Q
AQ
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0
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对于D，
，所以当
时，
取
得最小值
，所以D 错误.
故选：AC.
12．已知函数
，
的定义域均为
，其导函数分别为
，
．若
，
，且
，则（ ）
A．函数
为偶函数
B．函数
的图像关于点
对称
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由
，可设
，，由
，得
，赋值
，则有
，即
，函数
的图像关于直线
对称，又
得
，
也是周期为4 的函数，通过赋值可判断选项
【详解】因为
，所以
．
又因为
，所以
．
于是可得
，令
，则
，所以
．
所以
，即函数
的图像关于直线
对称，即
．
因为
，所以函数
的图像关于点
对称，即
，所以
，即
，于是
，所以函数
是周期为4 的周期函数．
因为函数
的图像关于直线
对称，所以
的图像关于
轴对称，所以
为偶函数，所
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
2
2 [ (1
)]
2
2
2
4
p
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p
m
p
m
p m
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MN
3p
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g x
R
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g
x
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x
g x
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1
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R
f x
a
g x
b a b
3
2
f
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g
x
a
g x
b
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x
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a
b
3
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g
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g x
g x
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g
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g x
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g x
g x
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g x
b a b
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g x
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g
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a
g x
b
1
x
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g
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g
b
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b
3
1
g
x
g x
g x
2
x
4
g
x
g x
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0
g
x
g x
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g x
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g x
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g x
g x
g x
g x
2
x
2
g x
y
2
g x
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以A 选项正确．
将
的图像作关于
轴对称的图像可得到
的图像，再向右平移3 个单位长度，可得到
的图像，再将所得图像向下平移2 个单位长度，即可得到
的图
像，因此函数
也是周期为4 的函数．又
的图像关于点
对称，所以
的图像关于点
对称，所以B 选项不正确．
因为
，令
，得
，即
，所以
；令
，得
，所以
，所以
，所以
，所以C 选项
正确．
因为
，所以
，
，
，
，
，
则有
，
可得
，所以D 选项正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛： 一般地，若函数的图像具有双重对称性，则一定可以得到函数具有周期性，且相邻
的两条对称轴之间的距离为半个周期；相邻的两个对称中心之间的距离也是半个周期；相邻的一条对称轴
和一个对称中心之间的距离为四分之一个周期．
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．
的展开式中的常数项为___．（用数字作答）
【答案】1792
【解析】由
的展开式通项公式得到
符合要求，从而求出答案.
g x
y
y
g
x
3
3
y
g
x
g
x
3
2
g
x
f x
f x
g x
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f x
2, 2
2
0
g
x
g x
1
x
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1
0
g
g
1
0
g
1
3
0
g
g
0
x
2
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g
g
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0
g
g
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g
g
g
g
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1
2
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2
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6
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【详解】
展开式的通项公式
，
令
，得
，令
无整数解，所以展开式中的常数项为
．
故答案为：1792
14．已知圆
及圆
，若圆
上任意一点
，圆
上均存在一点
使得
，则实数
的取值范围是______.
【答案】
【解析】问题转化为
为射线
与圆
交点时，使过
点相互垂直的两直线与圆
有交点且
与两条垂
线的夹角均为
，则有
，为圆
半径，即可求范围．
【详解】由
，即
在
上运动，而
为圆
上任意一点，
要使圆
上存在一点
使
，
即过
点相互垂直的两直线与圆
有交点且
与两条垂线的夹角均为
即可，
所以，只需
为射线
与圆
交点时，使过
点相互垂直的两直线与圆
有交点且
与两条垂线的夹角
均为
，
如上图，上述两条垂线刚好与圆
相切为满足要求的临界情况，
所以，只需
，为圆
半径，即
，
又
，故
，可得
.
故答案为：
8
3
2
x
x
4
8
1
8
3
8
3
8
2
C
2
C
0,1,2,
,8
r
r
r
r
r
r
rT
x
x
r
x
4
8
0
3
r
6
r
4
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3
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6
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6
2
C
1792
2
2
:
8
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y
2
2
:
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1
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15．与曲线
和
都相切的直线方程为__________.
【答案】
【解析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程
求解.
【详解】设直线与曲线
相切于点
，
因为
，所以该直线的方程为
，即
，
设直线与曲线
相切于点
，
因为
，所以该直线的方程为
，即
，
所以
，解得
，
所以该直线的方程为
，
故答案为：
.
16．椭圆
：
的左，右焦点分别为
，
，上顶点为
，离心率为
，直线
将
分成面积相等的两部分，则
的取值范围是_________.
【答案】
【解析】根据已知条件求得
，根据直线
与
轴的交点的位置进行分类讨论，由此列不
等式来求得
的取值范围.
【详解】依题意，
，解得
，
所以椭圆
的方程为
，
ex
y
2
4
x
y
1
y
x
ex
y
1
1,ex
x
ex
y
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1
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2
2
2,
4
x
x
2
x
y
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2
2
2
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2
x
x
y
x
x
2
2
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2
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x
y
x
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1
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由于
，
，
所以
是等腰直角三角形，
所以
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
设直线
与
的交点为
，与
轴的交点为
，
①当
与
重合时，
，则
，
所以
，解得
.
②当
在
之间时，
，
所以
，
由
解得
，
，
由
令
，得
，
所以
，所以
，
整理得
，由
解得
.
③当
在
左侧，则
，
，
1
2
1
OA
OF
OF
1
2
1
2
2,
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设直线
与
的交点为
，
由
解得
，
因为
，
所以
，
，所以
，
所以
，
所以
.
综上所述，
的取值范围是
.
故答案为：
【点睛】求解椭圆的方程，关键点是根据已知条件求得
，
是个未知数，需要个条件，其中
一个条件是
，另外的两个条件由题目给出，如本题中的
点坐标以及离心率，通过解方程组可
求得
，进而求得椭圆的方程.
四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
记
为数列
的前
项和，已知
，
．
0
y
kx
m k
1
AF
P
1
y
kx
m
y
x
1
,
1
1
P
P
m
k
m
x
y
k
k
1
1
1
2
2
PAD
S
△
1
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1
1
1
, 1
1
2
2
1
1
D
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m
m
m
x
x
m
k
k
2
2
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1
m
k
2
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m
k
2
2
1
,
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2
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m
m
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a b c
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(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）利用退一相减法可得数列
的递推公式，再利用累乘法可得数列
的通项公式；
（2）利用裂项相消法求数列
的前
项和，再根据
，即可得证.
【详解】（1）由已知
①，
所以当
时，
②，
①
②得
，整理可得
，则
，
，
，
，
，
，
等式左右分别相乘得
，
又
，所以
；
（2）由（1）得
，
则
，所以
，
所以
na
1
2
1
1
1
3
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1
2
2
2
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又
，所以
，
所以
，
即
.
18．（12 分）
在
中，角
所对的边分别为
，且
.
(1)求证：
；
(2)求
的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为
【解析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明.
（2）将问题转化
，根据第一问解得
，然后结
合不等式求解.
【详解】（1）在
中，
，
由正弦定理得
，
又
，
因为
,
所以
,
所以
,又
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
4
3
5
1
1
2
n
n
n
n
1
1
1
1
1
2
2
1
2
n
n
3
1
1
1
4
2
1
2
n
n
N
n
1
1
0
1
2
n
n
3
1
1
1
3
4
2
1
2
4
n
n
1
2
1
1
1
3
2
1
2
2
2
4
n
a
a
a
n
ABC
, ,
A B C
, ,
a b c
2 cos
a
b
c
B
2
C
B
3
cos
a
b
b
B
4 2
3
2 cos
2
cos
cos
a
b
c
B
b
b
B
b
B
2
4cos
cos
B
B
π
1
0,
,cos
,1
3
2
B
B
ABC
2 cos
a
b
c
B
sin
sin
2sin cos
A
B
C
B
π
A
B
C
sin
sin
2sin
cos
B
C
B
C
B
sin
cos
sin
cos
sin
C
B
B
C
B
sin
sin
C
B
B
sin
0
B
19
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所以
，且
,
所以
，
故
.
（2）由（1）
得
，
所以
，
因为
，
所以
，
当且仅当
即
，且
，即当且仅当
时等号成立，
所以当
时，
的最小值为
.
19．（12 分）
如图，在三棱柱
中，平面
平面
，四边形
是边长为2 的菱形，
为等
边三角形，
，
为
的中点，
为
的中点，
为线段
上的动点，
平面
．
(1)请确定点
在线段
上的位置；
(2)求平面
和平面
所成二面角的正弦值．
【答案】(1)点
是线段
上靠近点
的四等分点
0
π
C
B
C
π
B
C
B
C
B
C
B
2
C
B
2
C
B
3
0,π
B
C
B
π
1
0,
,cos
,1
3
2
B
B
2 cos ,
2
a
b
c
B C
B
3
2 cos
2
cos
cos
a
b
c
B
b
b
B
b
B
2sin
cos
2sin
2sin2
cos
2sin
sin
cos
sin
cos
C
B
B
B
B
B
B
B
B
B
2
4cos
4 2
cos
B
B
2
4cos
cos
B
B
2
cos
2
B
π
0, 3
B
π
4
B
π
4
B
3
cos
a
b
b
B
4 2
1
1
1
ABC
A B C
-
1
1
ABB A
ABC
1
1
ABB A
ABC
1
60
A AB
E
BC
D
1
CC
P
AC
1
AB //
PDE
P
AC
PDE
1
1
AB C
P
AC
C
20
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(2)
【解析】（1）根据线面平行的性质定理可推出
.由已知可推得
，得出
，得到
.然后根据
，即可得出
；
（2）先证明
，然后根据面面垂直的性质推得
平面
.以点
为坐标原点，建立空间直角
坐标系，写出各点的坐标.然后求出平面
和平面
的法向量，根据法向量求出二面角的余弦值，进
而即可求出正弦值.
【详解】（1）如图1，连接
与
相交于
，连接
，连接
与
交于点
.
∵
平面
，平面
平面
，
平面
，
∴
.
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
.
∵
，∴
，
4 91
91
1 / /
AB
PF
1
//
ED
BC
1
2
CF
CG
1
1
4
CF
B C
1 / /
AB
PF
1
1
4
CP
CF
CA
CB
1
OA
AB
1
OA
ABC
O
PDE
1
1
AB C
1
B C
DE
F
PF
1
BC
1
B C
G
1
AB //
PDE
1
AB C
PDE
PF
1
AB
1
AB C
1 / /
AB
PF
BE
CE
1
CD
DC
1
1
CD
CE
DC
BE
1
//
ED
BC
1
2
CF
FG
CG
1
1
BC
B C
G
1
1
2
CG
B C
21
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∴
.
∵
，
∴
，
∴点
是线段
上靠近点
的四等分点.
（2）如图2，取
的中点
，连接
，
，
∵四边形
为边长为2 的菱形，
，
∴
，
为等边三角形.
∵
，
为等边三角形，
∴
.
∵平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，
∴
平面
.
∵
为等边三角形，
，
∴
，可得
，
，
两两垂直.
建立如图所示的空间直角坐标系，可得
，
，
，
，
，
1
1
1
2
4
CF
CG
B C
1 / /
AB
PF
1
1
4
CP
CF
CA
CB
P
AC
C
AB
O
OC
1
OA
1
1
ABB A
1
60
A AB
1
2
A B
1
AA B
OA
OB
1
AA B
1
OA
AB
1
1
ABB A
ABC
1
1
ABB A
ABC
AB
1
OA
AB
1
OA
1
1
ABB A
1
OA
ABC
ABC
OA
OB
OC
AB
OB
OC
1
OA
0,0,0
O
0,1,0
B
0, 1,0
A
3,0,0
C
1 0,0, 3
A
3 1
,
,0
2
2
E
3 3
1
,
,0
4
4
P
1 0,2, 3
B
1
3,1, 3
C
1
3
3,
,
2
2
D
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，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，由
，
，
有
，
取
，
，
，可得
.
设平面
的法向量为
，由
，
，
有
取
，
，
，可得
.
所以
，
，
，
所以
，
所以平面
和平面
所成二面角的正弦值为
．
20．（12 分）
李医生研究当地成年男性患糖尿病与经常喝酒的关系，他对盲抽的60 名成年男性作了调查，得到如下表统
计数据，还知道被调查人中随机抽一人患糖尿病的概率为
.
经常喝
酒
不经常喝酒
患糖尿病
4
没患糖尿病
6
(1)写出本研究的
列联表，依据小概率值
的独立性检验，判断当地成年男性患糖尿病是否和喝
酒习惯有关联？
(2)从该地任选一人，
表示事件“选到的人经常喝酒”，
表示事件“选到的人患糖尿病”，把
3 1
,
,0
2
2
E
3 3
1
,
,0
4
4
P
1 0,2, 3
B
1
3,1, 3
C
1
3
3,
,
2
2
D
PDE
, ,
m
x y z
3 3
,
,0
4
4
PE
3
3
,0,
2
2
ED
3
3
0
4
4
3
3
0
2
2
PE m
x
y
ED m
x
z
1
y
3
x
3
z
3, 1, 3
m
1
1
AB C
, ,
n
a b c
1
0,3, 3
AB
1
1
3,1,0
C B
1
1
1
3
3
0,
3
0,
AB n
b
c
C B n
a
b
1
a
3
b
3
c
1,
3,3
n
5 3
m n
7
m
13
n
5 3
5 3
cos
,
7
13
91
m n
m n
m
n
PDE
1
1
AB C
75
4 91
1
91
91
1
6
2
2
0.01
A
B
P B A
23
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与
的比值叫“常喝酒和患糖尿病的关联指数”，记为
.
（ⅰ）利用该调查数据求
的值；
（ⅱ）证明：
.
参考公式及数表：
，
0.15
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)联立表见解析；当地成年男性患糖尿病与喝酒习惯无关联；
(2)
；证明见解析.
【解析】（1）根据题干填写联立表，再根据卡方公式计算对照数表进行判断即可.
（2）根据条件概率公式求出（2）问中对应条件概率，代入式中计算即可.
【详解】（1）根据题意可知，患糖尿病的人数为
人，这10 人中不经常喝酒的有6 人，
经常喝
酒
不经常喝酒
患糖尿病
4
6
没患糖尿病
6
44
，
因此依据小概率值
的独立性检验，当地成年男性患糖尿病与喝酒习惯无关联.
（2）（ⅰ）经常喝酒且患糖尿病的人数有4 人，则
，
经常喝酒的人数有10 人，则
，
，
经常喝酒且没患糖尿病的人数有6 人，则
，
P B A
5Ψ
P A B
P A B
2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
n
a
b
c
d
x
2
3
1
60
=10
6
2
2
60
4 44
6 6
4.704<6.635
10 50 10 50
0.01
1
15
P AB
1
6
P A
2
5
P AB
P B A
P A
1
10
P AB
24
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，
；
（ⅱ）证明：患糖尿病的人数有10 人，则
；没患糖尿病的人数有50 人，则
，
，
，
.
21．（12 分）
已知双曲线
，点
与双曲线上的点的距离的最小值为
．
(1)求双曲线E 的方程；
(2)直线
与圆
相切，且交双曲线E 的左、右支于A，B 两点，交渐近线于点
M，N．记
，
的面积分别为
，
，当
时，求直线l 的方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设
是双曲线上的任意一点，先求得
，再结合题意即可求得
的值，进而即可求出双曲线E 的方程；
（2）先根据直线与圆
相切得到
，设
，
，再联立直线的方程和双曲线E 的
方程，求得
，
，根据题意求得
的取值范围，设点
到AB 的距离
，从而求得
，再联立
直线的方程和双曲线E 的渐近线的方程，求得
，
，设点O 到MN 的距离
，从而求得
，再
结合
即可求得
的值，进而即可求得直线l 的方程．
3
5
P AB
P B A
P A
2
3
1
6
P B
5
6
P B
2
5
P AB
P A B
P B
3
25
P AB
P A B
P B
10
5Ψ
3
P A B
P A B
2
2
2
2
:
1
x
y
E a
a
(0,2)
D
3
:l y
kx
m
2
2
:
(
2)
1
C x
y
DAB
OMN
1S
2
S
1
2
8
4
7
S
S
2
2
1
x
y
3
3
4
4
y
x
( , )
P x y
2
2
2
2(
1)
2
DP
y
a
2
a
l
C
2
2
1
1
m
k
1
1
,
A x y
2
2
,
B x
y
l
1
2
x x
1
2
x
x
m
(0,2)
D
1d
1S
l
3
4
x x
3
4
x
x
2
d
2
S
1
2
8
4
7
S
S
k
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【详解】（1）设
是双曲线上的任意一点，
则
，
所以当
时，
的最小值为
，所以
，得
，
所以双曲线E 的方程为
．
（2）由直线
与圆
相切得
，
由直线交双曲线的左、右支于A，B 两点，设
，
，
联立
，消
整理得
，
则
，
，
，所以
，
所以
，即
，解得
，
又
，则
，解得
或
，
所以
，
所以
，
又点
到AB 的距离
，故
，
设
，
，
联立方程组
，消
整理得
，
则
，
，
，所以
，
( , )
P x y
2
2
2
2
2
2
2
(
2)
2
4
4
2(
1)
2
DP
x
y
y
y
a
y
a
1
y
2
DP
2
2
a
2
2
3
a
2
1
a
2
2
1
x
y
:l y
kx
m
2
2
:
(
2)
1
C x
y
2
2
1
1
m
k
1
1
,
A x y
2
2
,
B x
y
2
2
1
x
y
y
kx
m
y
2
2
2
1
2
1
0
k
x
mkx
m
2
2
1
Δ
4
1
0
m
k
2
1
2
2
1
1
m
x x
k
1
2
2
2
1
mk
x
x
k
2
2
1
2
2
4
1
1
m
k
x
x
k
2
2
1
2
2
2
1
1
0
1
4
2
m
m
x x
k
m
m
2
4
2
0
m
m
2
2
2
2
m
2
|
2 |
1
1
m
k
2
1
m
1
m
3
m
2
2, 3
1, 2
2
m
2
2
2
2
1
2
2
4
1
1
1
1
m
k
AB
k
x
x
k
k
(0,2)
D
1
2
2
1
m
d
k
1
1
2
1
(2
)
4
2
2
4
2
m
m
S
AB d
m
m
3
3
,
M x
y
4
4
,
N x
y
2
2
0
x
y
y
kx
m
y
2
2
2
1
2
0
k
x
mkx
m
2
2
Δ
4m
3
4
2
2
1
mk
x
x
k
2
3
4
2
1
m
x
x
k
3
4
2
2
1
m
x
x
k
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所以
，
又点O 到MN 的距离
，故
，
所以当
时，有
，
整理得
，即
，
又
，则
，即
，解得
，
（舍去），
所以
，则
，所以直线方程为
．
【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系，利用韦达定理解决弦长问题，进而解决面积相关
的取值范围问题，属中难题，关键是熟练掌握弦长公式和直线与双曲线的位置关系的判定方法．
22．（12 分）
已知函数
．
(1)判断
在区间
上的单调性；
(2)若
恰有两个不同的零点
，
，且
，证明：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）求导得
，分两种情况：若
，若
，讨论
的单调性，进而可得答
2
2
3
4
2
2
1
1
1
m
MN
k
x
x
k
k
2
2
1
m
d
k
2
2
2
2
1
2
4
2
m
S
MN d
m
m
1
2
8
4
7
S
S
2
2
2
(2
)
4
2
8
4
4
2
4
2
7
m
m
m
m
m
m
m
2
4
(2
)
4
2
5
8
4
7
m
m
m
m
4
(2
)
4
2
(5
2)(
2)
7
m
m
m
m
2
m
4
4
2
(5
2)
7
m
m
2
200
258
81
0
m
m
1
3
4
m
2
27
50
m
3
4
m
3
4
k
3
3
4
4
y
x
e ln
2
a
f x
x
ax
a a
R
f x
e，
f x
1
x
2
x
1
2
x
x
1
2
4
3
4
x
x
a
a
ex
ax
f
x
x
0
a
0
a
f x
27
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案．
（2）由（1）可知若
有两个不同的零点，则
，且极大值
，
，即
，当
时，又
，
且
，两式相减可得
，不妨设
，则
且
，
，进而可得
，要证
，即证
，
即可得出答案．
【详解】（1）解：
，
若
，则
恒成立，
所以
在
上单调递增，
若
，当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
下面判断
与的大小关系，
令
，
则
，
所以当
时，
，
f x
0
a
e
0
a
f
a
e
e
e
e ln
e
2
e
ln
1
2
a
a
a
a
a
a
f
a
a
a
a
a
e
e
ln
1
0
a
a
a
0
a
1
1
e ln
2
0
a
x
ax
a
2
2
e ln
2
0
a
x
ax
a
2
1
2
1
e
ln
ln
a
x
x
x
x
a
2
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t
x
1
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2
1
x
tx
1
2
1 ln
e
ln
ln
e
1
1
1
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所以
在
上单调递减，
当
时，
，
所以
在
上单调递减，
所以
，
所以
，即
，
当且仅当
时，取等号，
所以当
且
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递减，
综上所述，当
，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递减，
当
且
时，
在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）证明：由
可知若
有两个不同的零点，则
，且极大值
，
，
由不等式
可得
，
所以
，
所以当
时，
恒成立，
又
，且
，
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两式相减可得
，
不妨设
，则
且
，
所以
，即
，
所以
，
，
设
，
，
所以
，即
，
所以
，
由
可得
，
要证
，
需要证
，
只要证
，
即
，
即
，
即证
，由
可证，
所以
即证．
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【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是：由
时，函数有两个零点，由
，且
，两式相减可得
，设
，
，构造
，进而得
到
，将
，转化为
证明而得解.
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