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2023 年高考押题预测卷02
数学·全解全析
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得，
，即
，所以
则
，故选:A
2．复数
在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，
所以，复数在复平面内所对应的点为
，
所以，复数在复平面内所对应的点位于第四象限.故选：D.
3．如图，在
中，点D 为线段BC 的中点，点E，F 分别是线段AD 上靠近D，A 的三等分点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，则
①；
，则
②；
①
②两式相加，
，即
，故选：C.
4．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为
，液面
呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点
，
到容器底部的距离分别是12 和18，则容器内液体的体积是（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图为圆柱的轴截面图，过M 作容器壁的垂线，垂足为F,
因为MN 平行于地面，故
，
椭圆长轴上的顶点
，
到容器底部的距离分别是12 和18，
故
,
在
中，
，即圆柱的底面半径为
，
所以容器内液体的体积等于一个底面半径为
，高为
的圆柱体积的一半，
即为
，故选：D.
5．四位爸爸
、
、
、
相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家
的小孩进行交谈，则
的小孩与
交谈的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
、
、
、
四位爸爸的小孩分别是
、
、、
，
则交谈组合有种情况，分别为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的小孩与
交谈包含的不同组合有种，
分别为：
，
，
，
的小孩与
交谈的概率是
．故选：A.
6．函数
在
的图像大致为
A．
B．
C．
D．
2
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【答案】B
【解析】设
，则
，
所以
是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．
又
排除选项D；
，排除选项A，故选B．
7．已知函数
为
的零点，
为
图象的对称轴，如果
存在实数
，使得对任意的实数
，都有
成立，当
取最小值时（ ）
A．
在
上是增函数
B．
在
上是增函数
C．
在
上是减函数
D．
在
上是减函数
【答案】B
【解析】已知函数
为
的零点，
为
图象的对称轴，
则
①，
②，
由①②可得：
，又
，则
或
；
又存在实数
，使得对任意的实数
，都有
成立，
则
，故
，
又
，且
，则
，由②得此时
则
，函数在
上的增区间满足
，
所以
，
则
的增区间为
，
所以
在
上是增函数.故选：B.
8．设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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【答案】C
【解析】由
，令
且
，
所以
，
令
且
，则
，即
递减，
所以
，故
在
上恒成立，则
在
上递减，
所以
，即
，则
；
由
，令
且
，
所以
在
上递增，故
，
故
在
上递增，
，即
，则
；
综上，
.故选：C
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．
9．已知由样本数据
，
，2，3，
，
组成的一个样本，得到回归直线方程为
，且
，去除两个样本点
和
后，得到新的回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是（ ）
A．相关变量
，
具有正相关关系
B．去除两个样本点
和
后，回归直线方程为
C．去除两个样本点
和
后，随
值增加相关变量
值增加速度变小
D．去除两个样本点
和
后，样本
的残差为0.1
【答案】AB
【解析】对于A，去除两个样本点
和
后，得到新的回归直线的斜率为3，
，
则相关变量
，
具有正相关关系，故A 正确；
对于B，由
代入
得
，则去除两个样本点
和
后，
得到新的
，
，
，
故去除样本点后的回归直线方程为
，故B 正确；
对于C，由于斜率为
，故相关变量
，
具有正相关关系且去除样本点后，
随
值增加相关变量
值增加速度变大，故C 错误，
对于D,当
时，
，则样本
的残差为
，故D 错误.故选：AB.
10．如图，矩形ABCD 中，E、F 分别为BC、AD 的中点，且
，
，现将
沿
AE 向上翻折，使B 点移到P 点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A．
B．存在点P，使得
C．存在点P，使得
D．三棱锥
的体积最大值为
4
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【答案】ACD
【解析】依题意，
，则四边形
为平行四边形，有
，
而
，
，即有
，因此
，
即
，因此
，A 正确；
因为
，
，因此
不平行，即不存在点P，使得
，B 错误；
连接
，当
时，因为
，即
，则
，
而
，
平面
，因此
平面
，
又
分别为
的中点，即
，于是
平面
，
而
平面
，则
，C 正确；
在翻折过程中，令
与平面
所成角为
，则点
到平面
的距离
，
又
的面积
，因此三棱锥
的体积
，
当且仅当
，即
平面
时取等号，所以三棱锥
的体积最大值为
，D 正
确.
故选：ACD
11．已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，点
在椭圆内部，点N 在椭圆上，
椭圆C 的离心率为e，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率e 的取值范围为
B．存在点N，使得
C．当
时，
的最大值为
D．
的最小值为1
【答案】AC
【解析】A：由已知可得，
，所以
，即
，
则
，故
，正确；
B：由
知，
共线，故
必为椭圆的右顶点，
而
，即
，则
，
5
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所以
，不合A 分析结果，错误；
C：由已知
且
，所以
，
.
又
，则
.
根据椭圆的定义可得
，
所以
，
如上图示，当且仅当
三点共线时取得等号，正确；
D：因为
.
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.
所以，
的最小值为
，错误.故选：AC
12．已知函数
及其导函数
的定义域均为
．
，
，当
时，
，
，则（ ）
A．
的图象关于
对称
B．
为偶函数
C．
D．不等式
的解集为
【答案】BCD
【解析】由
可得
，故可知
的图象关于
对称，故A 错误，
由
得
，由
得
，
故
为偶函数，故B 正确，
由
可得
，所以
，又
为偶函数，所
，即
，故C 正确，
6
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由
为偶函数且
可得
，
所以
是周期函数，且周期为8，
又当
时，
，可知
在
单调递减
故结合
的性质可画出符合条件的
的大致图象：
由性质结合图可知：当
时，
，
由
得
，故
，
当
且
时，
此时无解，
当
时，
，解得
，
当
且
时，由
得
综上可得
的解集为
，故D 正确，
故选：BCD
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．
的展开式中，
的系数为______．
【答案】
【解析】二项式
的通项公式为
，
所以
的系数为
，
故答案为：
14．过点
且与圆
：
相切的直线方程为__________
【答案】
或
【解析】将圆
方程化为圆的标准方程
，得圆心
，半径为
，
当过点
的直线斜率不存在时，直线方程为
是圆
的切线，满足题意；
当过点
的直线斜率存在时，
可设直线方程为
，即
，
利用圆心到直线的距离等于半径得
，解得
，
即此直线方程为
，
故答案为：
或
．
15．已知函数
的图像关于直线
对称，且
时，
，则曲线
在点
处的切线方程为___________.
【答案】
7
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【解析】设
分别为函数
的图像上关于直线
对称的两点，不妨设
，则
.
所以
，所以
所以
.
所以当
时，
.
所以
.
而
，所以
.
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
故答案为：
.
16．已知点
在抛物线
上，过点A 作圆
的两条切线分别交抛物线于B，C 两
点，则直线BC 的方程为____________．
【答案】
【解析】因为点
在抛物线
上，则
，解得
，即抛物线方程为
，
显然过点A 作圆
的两条切线斜率存在，
设此切线方程为
，即
，
于是
，解得
，设点
，
不妨令直线
的斜率分别为
，于是
，
，
同理
，直线
的斜率
，
而点
，
直线BC 的方程为
，即
.
故答案为：
四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
已知
为等差数列，且
．
（1）求
的首项和公差；
（2）数列
满足
，其中
、
，求
．
【答案】（1）
；（2）
8
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【解析】（1）设等差数列
的公差为
，则
，
由
可得
，即
，
所以，
，解得
，
.
（2）因为
，则
，
所以
；
；
.
因此，
.
18．（12 分）
在
中，内角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，且满足
．
（1）求证：
；
（2）求
的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
（2）由（1）可得：
，且C 为钝角，
即
，
即
，
，
，
当且仅当
，即
时取等号．
故
的最大值为
．
19．（12 分）
ABC
2
3
6 sin
0
2
A
B
a
b
b
3 cos
0
a
b
C
tan A
3
4
2
3
6 sin
0
2
A
B
a
b
b
2
2
π
3
6 sin
3
6 cos
0
2
2
C
C
a
b
b
a
b
b
1
cos
3
6
0
2
C
a
b
b
3 cos
0
a
b
C
sin
3sin
cos
0
A
B
C
4sin
cos
cos
sin
0
B
C
B
C
4tan
tan
0
B
C
tan
4tan
C
B
2
tan
tan
3tan
3
tan
tan
1
1
tan
tan
4tan
1
4tan
tan
B
C
B
A
B
C
B
C
B
B
B
3
3
4
1
2 4tan
tan
B
B
1
4tan
tan
B
B
1
tan
2
B
tan A
3
4
9
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如图，直三棱柱
内接于圆柱，
，平面
平面
．
（1）证明：
为圆柱底面的直径；
（2）若M 为
中点，N 为
中点，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接
，在直三棱柱
中，
，
∴四边形
为正方形，∴
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
∴
平面
，又
平面
，∴
又
平面
，
平面
，∴
．
又
，
,
平面
，
∴
平面
，又
平面
，
∴
，∴
为圆柱底面的直径．
（2）由已知
平面
，
，
∴以
为正交基底建立空间直角坐标系
，
∴
，
，
，
，
，
．
∵
为
，
中点，
∴
，
．
设平面
的一个法向量为
．
则
，又
，
，
∴
，取
，得
，
，∴
，
设平面
的一个法向量为
．
1
1
1
ABC
A B C
-
1
2
AB
AA
BC
1A BC
1
1
AA B B
AC
1
1
AC
1
CC
1A BC
BMN
5 7
14
1
AB
1
1
1
ABC
A B C
-
1
2
AB
AA
1
1
AA B B
1
1
AB
A B
1A BC
1
1
AA B B
1A BC
1
1
1
AA B B
A B
1
AB
1
1
AA B B
1
AB
1A BC
BC
1A BC
1
BC
AB
1
AA
ABC
BC
ABC
1
BC
AA
1
1
AB
AA
A
1
AB
1
AA
1
1
AA B B
BC
1
1
AA B B
AB
1
1
AA B B
AB
BC
AC
1
B B
ABC
AB
BC
1
,
,
BA BC BB
B
xyz
0,0,0
B
2,0,0
A
0,2,0
C
1 0,0,2
B
1 2,0,2
A
1 0,2,2
C
,
M N
1
1
AC
1
CC
1,1,2
M
0,2,1
N
1A BC
1
1
1
,
,
m
x y z
1
0
0
BA m
BC m
1
2,0,2
BA
0,2,0
BC
uuur
1
1
1
2
2
0
2
0
x
z
y
1
1
z
1
1
x
1
0
y
1,0, 1
m
BMN
2
2
2
,
,
x
n
y z
10
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则
，又
，
，
∴
，取
，得
，
．∴
，
∴
，
所以平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
．
20．（12 分）
党的十八大以来，习近平总书记多次对职业病防治工作作出重要指示，并在全国卫生与健康大会上强调，
推进职业病危害源头治理．东部沿海某蚕桑种植场现共有工作人员110 人，其中有22 人从事采桑工作，另
外88 人没有从事采桑工作．
（1）为了解职工患皮炎是否与采桑有关，现采用分层随机抽样的办法从全体工作人员中抽取25 人进行调
查，得到以下数据：
采
桑
不采桑
合计
患皮炎
4
未患皮炎
18
合计
25
①请完成上表；
②依据小概率值
的独立性检验，分析患皮炎是否与采桑有关？
（2）为了进一步了解职工职业病的情况，需要在上表患皮炎的工作人员中抽取4 人做进一步调查，将其中
采桑的人数记作
，求
的分布列和期望．
附：
，其中
，
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
【答案】（1）① 填表见解析；②认为患皮炎与采桑之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005
（2）分布列见解析；期望为
【解析】（1）①
采
桑
不采桑
合计
患皮炎
4
2
6
未患皮炎
1
18
19
合计
5
20
25
②零假设为
：患皮炎与采之间无关联，根据列联表中的数据，
经计算得到
,
0
0
BM n
BN n
1,1,2
BM
0,2,1
BN
2
2
2
2
2
2
0
2
0
x
y
z
y
z
2
2
z
2
3
x
2
1
y
3,1, 2
n
3
2
5 7
cos
,
14
2
14
m n
m n
m n
1A BC
BMN
5 7
14
0.005
X
X
2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d
n
a
b
c
d
x
8
3
0
H
2
2
25
4 18
2 1
6 19 5 20
x
0.005
1225
10.746
7.879
114
x
11
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根据小概率值
的独立性检验，我们推断
不成立，
即认为患皮炎与采桑之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
（2）用
表示抽取的4 人中采桑的工作人员人数，
的取值为：2，3，4,
，
，
随机变量X 的分布列为：
2
3
4
则
．
21．（12 分）
已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，
且双曲线
经过点
．
（1）求双曲线
的方程；
（2）过点
作动直线，与双曲线的左、右支分别交于点
、
，在线段
上取异于点
、
的
点
，满足
，求证：点
恒在一条定直线上．
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【解析】（1）因为
，则
，
由双曲线的定义可得
，
所以，
，则
，
因此，双曲线
的方程为
.
（2）证明：设点
、
、
，
则
，可得
，
设
，则
，其中
，
0.005
0
H
X
X
2
2
4
2
4
6
C C
2
2
C
5
P X
3
l
4
2
4
6
C C
8
3
C
15
P X
4
0
4
2
4
6
C C
1
4
C
15
P X
X
P
2
5
8
15
1
15
2
8
1
8
2
3
4
5
15
15
3
E X
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
1F
2
F
1
2
2 3
F F
E
3,2
A
E
2,1
P
l
M
N
MN
M
N
H
PM
MH
PN
HN
H
2
2
1
2
y
x
1
2
2
2 3
F F
c
3
c
2
2
2
2
1
2
2
3
3
2
0
3
3
2
0
4
2
2
a
AF
AF
1
a
2
2
3 1
2
b
c
a
E
2
2
1
2
y
x
,
H x y
1
1
,
M x y
2
2
,
N x
y
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
y
x
y
x
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
PM
MH
PN
HN
PM
PN
MH
HN
1
12
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即
，整理可得
，
所以，
，
，
将
代入
可得
，
将
代入
可得
，即
，
所以，点
恒在直线
上.
22．（12 分）
已知函数
．
（1）若函数
在
上是单调递增，求实数
的取值范围；
（2）若对于任意
，存在正实数
，使得
，试判断
与
的大小关系，
并给出证明．
【答案】（1）
；（2）
；证明见解析
【解析】（1）
则
由题意可得
当
时恒成立
构建
，则
当
时恒成立
∴
在
上单调递增，
当
时恒成立
则
即
（2）构建
，
则
∵
且
在区间
连续
则
在区间
上存在极值点
即存在正实数
，使得
，
即
设
，
，
当
时恒成立
1
1
2
2
1
1
2
2
2,
1
2,
1
,
,
x
y
x
y
x
x y
y
x
x y
y
1
2
1
2
1
2
1
2
2 1
1
1
1
x
x
y
y
x
x
x
y
y
y
2
2
2
2
1
2
2 1
x
x
x
2
2
2
2
1
2
1
y
y
y
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
2
2
2
2
1
2
1
y
y
y
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
x
x
y
2
2
2
2
1
2
2 1
x
x
x
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
x
x
y
2
2
2
2
1
2
1
1
x
y
4
2
0
x
y
H
4
2
0
x
y
2
1
e
2
x
f x
x
ax
f x
0,
a
2
1
0
x
x
0x
2
1
0
2
1
f x
f x
f
x
x
x
0
2x
1
2
x
x
1
a
0
1
2
2x
x
x
2
1
e
2
x
f x
x
ax
ex
f
x
x
a
0
f
x
0,
x
x
f
x
e
1
0
x
x
0,
x
x
0,
0
1
x
a
0,
x
1
0
a
1
a
2
1
1
1
2
1
f x
f x
F x
f x
f x
x
x
x
x
2
1
2
1
f x
f x
F
x
f
x
x
x
1
2
0
F x
F x
F x
1
2
,
x x
F x
1
2
,
x x
0
1
2
,
x
x x
2
1
0
0
2
1
0
f x
f x
F
x
f
x
x
x
2
1
0
2
1
f x
f x
f
x
x
x
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
2
f x
f x
x
x
x
x
f
x
f
f
x
x
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
e
e
e
e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
2
x
x
g x
x
0
x
e
e
2
0
x
x
g
x
0
x
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则函数
在
上单调递增，则
，
即
，则
，
由（1）可知函数
在
上单调递增，
则
，即
．
g x
0,
0
0
g x
g
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
e
e
0
2
x
x
x
x
x
x
x
x
g
2
1
0
2
x
x
f
x
f
f
x
0,
14
1
2
0
2
x
x
x
0
1
2
2x
x
x
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