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专题10.3 两个计数原理、排列与组合
题型一
分类及分步的简单应用
题型二
排列数及组合数问题
题型三
捆绑法及插空法
题型四
倍缩法
题型五
隔板法
题型六
特殊元素法
题型七
染色问题
题型八
平均分组问题
题型九
部分平均分组问题
题型一
分类及分步的简单应用
例1．“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些
与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6 个节气与夏季的6 个节气中共选出3 个节气，若春季的节气
和夏季的节气各至少选出1 个，则小明选取节气的不同情况的种数是（ ）
A．90
B．180
C．270
D．360
【答案】B
【分析】根据题意可知，小明可以选取1 春2 夏或2 春1 夏，由组合数计算即可.
【详解】根据题意可知，小明可以选取1 春2 夏或2 春1 夏，
1
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其中1 春2 夏的不同情况有：
种；
2 春1 夏的不同情况有：
种，
所以小明选取节气的不同情况有：
种．
故选：B．
例2．有语文、数学、英语、物理、化学、生物6 门课程，从中选4 门安排在上午的4 节课中，其中化学不
排在第四节，共有 种不同的安排方法．（用数字回答）
【答案】300
【分析】解法一，分类考虑，化学是否被排在上午，根据分类加法原理求得答案；
解法二，先排上午第四节，再排其余节次的课，根据分步乘法原理求得答案；
解法三，利用间接法，即求出从6 门课程中任意选4 门安排在上午的排法，减去化学排在第四节课的排法
数，即得答案.
【详解】解法一，第一类：化学被选上，有
种不同的安排方法；
第二类：化学不被选上，有
种不同的安排方法．
故共有
种不同的安排方法，
故答案为：300
解法二，第一步：化学不排在第四节，故第四节有
种排法；
第二步：其余三节有
种排法，故共有
种不同的安排方法，
故答案为：300
解法三（间接法）,从6 门课程中任意选4 门安排在上午，有
种排法，
而化学排第四节，有
种排法，故共有
种不同的安排方法．
故答案为：300
练习1．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉
古算经》等10 部专著是了解我国古代数学的重要文献．这10 部专著中据说有7 部产生于魏晋南北朝时期．
某校拟从这10 部专著中选择2 部作为“数学文化”校本课程的学习内容，则所选2 部专著中至少有1 部是
2
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魏晋南北朝时期的情况共有（ ）
A．42 种
B．39 种
C．10 种
D．35 种
【答案】A
【分析】根据题意分两种情况：一是所选的2 部专著中有1 部是魏晋南北朝时期的，二是所选的2 部专著
都是魏晋南北朝时期的，求出各个情况的方法数，然后利用分类加法原理可求得结果.
【详解】根据题意分两种情况：一是所选的2 部专著中有1 部是魏晋南北朝时期的，有
种方法，
二是所选的2 部专著都是魏晋南北朝时期的，有
种方法，
所以由分类加法原理可知共有
种方法，
故选：A
练习2．甲、乙、丙3 个公司承包6 项不同的工程，甲承包1 项，乙承包2 项，丙承包3 项，则共有
种承包方式（用数字作答）.
【答案】60
【分析】由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1 项，再让乙承包2 项，剩下的3 项丙承包，
根据分步乘法原理可求得结果.
【详解】由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1 项，有
种，再让乙承包2 项，有
，剩下的3 项丙承包，
所以由分步乘法原理可得共有
种方案，
故答案为：60
练习3．从5 男3 女共8 名学生中选出组长1 人，副组长1 人，普通组员3 人组成5 人志愿组，要求志愿组
中至少有3 名男生，且组长和副组长性别不同，则共有 种不同的选法.（用数字作答）
【答案】
【分析】根据题意，可分为志愿组有3 名男生，2 名女生和志愿组有4 名男生，1 名女生，两类情况，结合
分类计数原理，即可求解.
【详解】由题意可知，当志愿组有3 名男生，2 名女生时，有
种方法；
当志愿组有4 名男生，1 名女生时，有
种方法，
由分类计数原理得，共有
种不同的选法.
3
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故答案为：
.
练习4．2014 年国务院印发《关于深化考试招生制度改革意见》，福建省在2021 年高考进入“3+1+2”选科
模式，即语文、数学、英语三门必考，物理和历史二选一，化学、政治、生物、地理四选二，在此规则下，
学生共有 种选科方式.
【答案】12
【分析】根据分步乘法原理，结合组合数公式，即可求解.
【详解】依题意，根据计数乘法原理，有
种方法.
故答案为：12
练习5．有两个家庭共8 人暑假到新疆结伴旅游（每个家庭包括一对夫妻和两个孩子），他们在乌鲁木齐
租了两辆不同的汽车进行自驾游，每辆汽车乘坐4 人，要求每对夫妻乘坐同一辆汽车，且该车上至少有一
个该夫妻自己的孩子，则满足条件的不同乘车方案种数为 .
【答案】10
【分析】分两种情况考虑，即每个家庭乘坐一辆车和每对夫妻乘坐的车上恰有一个自己的孩子，根据分类
加法原理即可得答案.
【详解】由题意得当每个家庭各乘坐一辆车时，有2 种乘车方案；
当每对夫妻乘坐的车上恰有一个自己的孩子时，乘车方案种数为
，
故满足条件的不同乘车方案种数为
，
故答案为：10
题型二
排列数及组合数问题
例3．已知
（
，且
），则
（ ）
A．28
B．42
C．43
D．56
【答案】A
【分析】先根据排列数得出n,再计算组合数即可.
【详解】
,
.
故选:A.
4
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例4．（1）解不等式
．
（2）若
，求正整数n．
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）根据排列数及排列数公式，计算即可；
（2）根据组合数及组合数公式，计算即可．
【详解】（1）由
，可得
，可得
.
可得
，
所以
，即
，
因为
，
，
，
，
，
所以
；
（2）
，
故
，解得
.
5
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练习6．（多选）满足不等式
的
的值可能为（ ）
A．12
B．11
C．8
D．10
【答案】ABD
【分析】根据排列数公式得到不等式，解得
的取值范围，即可判断.
【详解】由排列数公式得
，
依题意可得
，解得
或
（舍去），
又
，所以
可以取
，
，
．
故选：ABD．
练习7．已知
，求n.
【答案】6
【分析】利用组合数性质以及组合数公式和排列数公式，将
化简并展开，解方程即可求得答
案.
【详解】由
得
，
即
，即
，
解得
，或
，由
知
，
故
.
练习8．计算：
(1)若
，求
(2)若
，求
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）根据组合式的性质计算可得；
6
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（2）根据排列数、组合数公式计算可得.
【详解】（1）因为
，所以
或
，
解得
或
.
（2）因为
，
所以
，又
，所以
，
所以
，解得
.
练习9．（1）解方程：
（2）解不等式
；
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）利用组合数的性质及计算公式解方程作答.
（2）利用排列数公式化简不等式，再求解不等式作答.
【详解】（1）由组合数性质及
，得
，
而
，则
，
因此
，即
，解得
，
所以原方程的解为
.
（2）由
，得
且
，解得
，
又
，化简得
，解得
，因此
，
所以不等式
的解为
.
练习10．（1）若
，则x= .
（2）不等式
的解集为 .
7
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【答案】 5
【分析】（1）根据排列数公式即可求解；
（2）根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可.
【详解】（1）
且
，
，化简得
，
解得
（不合题意，舍去），
；
（2）∵
，∴
，即
，解得
.
∵
，∴
.∴
的取值集合为
.
故答案为：5；
.
题型三
捆绑法及插空法
例5．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、
“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法错误的是（ ）
A．某学生从中选2 门课程学习，共有15 种选法
B．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480 种排法
C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144 种排法
D．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240 种排法
【答案】D
【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A 正确；利用特殊位置法可以判断B 错误；相邻问题利用捆
绑法可以判断C 正确； 不相邻问题利用插空法可以判断D 错误.
【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有
种，A 正确；
对于B，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有
种，B 正确；
对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有
8
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种，C 正确；
对于D，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有
种，D 错误.
故选： D.
例6．澉浦“八大碗”是由两冷菜，三大菜，三热炒组成.今有人欲以其中的“东坡肉”“红烧羊肉”“醋
鱼汤”“韭芽肉皮”“老笋干丝”“大蒜肉丝”共六道菜宴请远方来客，这六道菜要求依次而上，其中
“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（ ）
A．480
B．240
C．384
D．1440
【答案】A
【分析】应用排列数求出“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜的方法数，间接法求出上述两道菜不能
接连相邻上菜的方法种数即可.
【详解】若“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜，则有
种，
再将其与其它4 道菜作全排列，共有
种，
所以“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜的方法数有
种；
而六道菜依次上菜的总顺序有
种，
所以其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜的方法数
种.
故选：A
练习11．要从甲、乙等8 人中选5 人在座谈会上发言，若甲乙都被选中且他们发言中间恰好间隔一人，那
么不同的发言顺序共有 种．（用数字作答）
【答案】720
【分析】根据先选后排原理，再根据插空法，进行排列组合即可得解.
【详解】除甲乙外再选3 人共有
种可能，
从选中的3 人中选一人插在甲乙中间，此三人再进行排列共有
种可能，
9
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再将此三人看作整体和另外两人进行全排列，共有
种可能，
则共有
，
故答案为：720.
练习12．（多选）我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通
高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开设了八大类校本课程，具体为学科拓展（X）、体艺特长
（T）、实践创新（S）、生涯规划（C）、国际视野（I）、公民素养（G）、大学先修（D）、PBL 项目
课程（P）八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（
）
A．某学生从中选3 类，共有56 种选法
B．课程“X”“T”排在不相邻两天，共有
种排法
C．课程中“S”“C”“I”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“I”的中间，共有720 种排法
D．课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，共有
种排法
【答案】ABD
【分析】由题意，利用组合数、插空法、捆绑法、特殊元素优先法，解得分类加法原理，可得答案.
【详解】选项A，某同学从中选3 类，共有
(种)选法，A 正确；
选项B，若“X”“T”不相邻，剩余6 类排列方法为
，形成7 个空，则“X”“T”填入7 个空的方法为
，所
以共有
种排法，B 正确；
选项C，先排列“S”“C”“I”三科，则有2 种排列方法，3 科形成整体与剩余5 科再进行全排列，则有
种
排列方法，
所以共有
(种)排法，C 错误；
选项D，分成两类情况，一是“G”排在第一天，则此类情况下排法有
种，
二是“G”排在除第一天和最后一天之外的某一天，有
种方法，
10
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则共有
种排法，D 正确．
故选：ABD．
练习13．一条长椅上有七个座位，四人坐，要求三个空位中，有两个空位相邻，另一个空位与这两个相邻
空位不相邻，共有几种坐法？
【答案】480 种
【分析】首先将两个空位看成一个整体，再利用插空法求解.
【详解】把两个相邻空位看成一个整体，另一个空位与这个整体不相邻，则是用四个人把两个元素隔开的
典型问题，就可先让四人坐在四个位置上，再让后两个“元素”（一个是两个作为一个整体的空位，另一
个是单独的空位）选择被四人造成的五个“空隙”中的两个插入，
所以共有
种坐法．
练习14．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像
（排成一排）.
(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？
(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用捆绑法进行求解即可；
（2）利用插空法进行求解即可.
【详解】（1）因为喜羊羊家族的四位成员必须相邻，
所以可以把它们捆绑一起,然后与灰太狼、红太狼全排列,
所以一共有
种排法.
（2）喜羊羊家族的四位成员一共形成5 个空, 灰太狼、红太狼进行插空,
所以一共有
练习15．一天课程表中，6 节课要安排3 门理科，3 门文科，要使文、理科间排，不同的排课方法有
种；要使数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有 种．
【答案】 72 144
【分析】分类讨论文理科的顺序可得第一空；利用捆绑法结合插空法可得第二空.
【详解】要使文、理科间排，有两种情况：文科排1，3，5，理科排2，4，6 或理科排1，3，5，文科排
11
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2，4，6，共有
种排法；
数学与物理连排，则把数学、物理当作一个元素，化学不得与数学、物理连排，用插空法得：
种排法．
故答案为：72；144.
题型四
倍缩法
例7．某学习小组
、
、
、
、
、
、
七名同学站成一排照相，要求
与
相邻，并且
在
的
左边，
在
的右边，则不同的站队方法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将
与
捆绑，然后要求
在
的左边，
在
的右边，结合倍缩法可得结果.
【详解】由题意可知，
与
相邻，则将
与
捆绑，
然后要求
在
的左边，
在
的右边，
由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为
种.
故选：C.
例8．某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会
计划在原定排好的5 个学生节目中增加2 个教师节目，若保持原来5 个节目的出场顺序不变，则增加的2
个教师节目有 种不同排法（用数字作答）
【答案】42
【分析】用相对顺序已定的排列模型求解.
【详解】5 个学生节目中增加2 个教师节目，共有7 个节目，把7 个节目看成有顺序的7 个位置，
将这7 个位置挑出2 个位置安排给2 个教师节目，共有
种安排方法，再将剩下的5 个位置安排给5
个学生节目，因原来5 个学生节目的出场顺序不变，故只有1 种安排方法，故共有
种不同排法.
故答案为：42
练习16．小武是1993 年12 月18 日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的
8 个数字进行排列得到一个8 位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（ ）
12
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A．2760
B．3180
C．3200
D．3360
【答案】D
【分析】先将8 个数字进行全排列，再利用定序倍缩法除以重复的情况即可.
【详解】先将这8 个数字进行全排列，有
种情况，
而这8 个数字中有三个1 和两个9，可将这三个1 和两个9 看作是顺序固定的排列方法，
所以一共可以组成
个六位数，即可以设置的不同密码的个数为
．
故选：D．
练习17．五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等5 名同学
参加，抽签确定出场顺序．在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的前提下，学生甲、乙相邻出场的概率
为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设“学生甲、乙相邻出场”为事件
，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件
，根据倍缩
法求出学生甲必须在学生乙的前面出场的种数，得出
，再根据捆绑法求出学生甲必须在学生乙的前面
出场且甲、乙相邻出场的种数，求出
，根据条件概率公式计算即可．
【详解】设“学生甲、乙相邻出场”为事件
，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件
，
共有
种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有
种，
所以
，
甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有
种，
所以
，
则
，
13
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故选：B．
练习18．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡
脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子
净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．6 种
B．12 种
C．36 种
D．72 种
【答案】B
【分析】将香菌、新笋、豆腐干看作一个元素，利用捆绑法结合倍缩法求解.
【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素，
此时共有5 个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，
定序问题用倍缩法，共有
种不同的排列方式.
故选：B.
练习19．（多选）用3，4，5，6，7，9 六个数字组成没有重复数字的六位数，下列结论正确的有（ ）
A．这样的六位数共有720 个
B．在这样的六位数中，偶数共有240 个
C．在这样的六位数中，4，6 不相邻的共有144 个
D．在这样的六位数中，4 个奇数数字从左到右、从小到大排序的共有30 个
【答案】ABD
【分析】根据排列的知识对每个选项一一分析即可.
【详解】对于A，符合题意的六位数有
个，故A 正确；
对于B，若六位数为偶数，其个位数字为4 或6，有2 种情况，
其他数位没有限制，则符合题意的偶数有
个，故B 正确；
对于C，将其他4 个数字全排列，再将4，6 安排在产生的空位中，
所以有
个4，6 不相邻的六位数，故C 错误；
对于D，4 个奇数数字按从左到右、从小到大的顺序排好，
则有
个符合题意的六位数，故D 正确．
故选：ABD．
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练习20．甲、乙、丙、丁、戊5 名同学从周一至周五轮流安排写作练习，甲、乙均不安排在周一和周二，
且甲在乙之前，则不同的排列方式共有 种.
【答案】18
【分析】先从除甲、乙外的3 名学生中选出2 名，安排在周一和周二，再将剩余3 名学生安排在周三至周
五，且甲在乙之前，再根据分步计数乘法原理可得答案.
【详解】先从除甲、乙外的3 名学生中选出2 名，安排在周一和周二，共有
种排列方式；
再将剩余3 名学生安排在周三至周五，共有
种排列方式.
又甲在乙之前，则不同的排列方式共有
种.
故答案为：18.
题型五
隔板法
例9．方程
的非负整数解的组的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将问题转化为：将排成一列的14 个完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解.
【详解】依题意，可知
为非负整数，
因为
，所以
，
从而将问题转化为：将排成一列的14 个完全相同的小球分成部分，
一共有13 个间隔，利用4 个隔板插入即可，故共有
种.
故选：A
例10．现有6 个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为 .
【答案】
【分析】分只有一个班分到名额，恰有两个班分到名额和三个班都分到了名额三种情况求出总的情况，然
15
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后利用古典概型求概率的方法能求出恰有两个班分到三好学生名额的概率．
【详解】将6 个三好学生名额分到三个班级，有3 种类型：
第一种是只有一个班分到名额，有3 种情况；
第二种是恰好有两个班分到名额，由隔板法得有
种情况，
第三种是三个班都分到了名额，由隔板法得有
种情况，
则恰有两个班分到三好学生名额的概率为
．
故答案为：
．
练习21．在空间直角坐标系
中，
，则三棱锥
内部整点(所有坐
标均为整数的点，不包括边界上的点)的个数为（ ）
A．35
B．36
C．84
D．21
【答案】A
【分析】首先求平面
的一个法向量，并根据法向量确定三棱锥内部的点满足的条件，
并结合隔板法，求方法种数.
【详解】由条件可知，
，
，
设平面
的一个法向量
，则
，令
，则
，故
，
设
是平面
上的点，则
，
故
，则
，
不妨设三棱锥
内部整数点为
，则
，且
，
，
，则
若
时，则
在平面
上，
若
，则
在三棱锥
的外部，
16
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所以
，
当
，且
时，
将
写成
个1 排成一列，利用隔板法将其隔成三部分，则结果的个数为
的取值的方法个数，显然有
个方法，
所有整数点
的个数为
.
故选：A
练习22．
的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ）
A．72 项
B．75 项
C．78 项
D．81 项
【答案】C
【分析】由多项式展开式中的项为
，即
，将问题转化为将2 个隔板和11 个
小球分成三组，应用组合数求项数即可.
【详解】由题设，多项式展开式各项形式为
且
，
故问题等价于将2 个隔板和11 个小球分成三组，即
.
故选：C
练习23．（多选）把8 个相同的小球放到编号为1，2，3，4 的4 个盒子中，则（ ）
A．每个盒子中至少放1 个小球的放法共有35 种
B．有空盒的放法共有161 种
C．恰有1 个空盒的放法共有21 种
D．编号为2 的盒子中至少放2 个小球，其他3 个盒子每个盒子至少放1 个小球的放法共有20 种
【答案】AD
【分析】利用隔板法可判断选项A；根据分类加法计数原理及组合的知识结合隔板法可判断B，D；由分
步乘法计数原理及组合的知识可判断C．
【详解】对于A，有8 个相同的小球，放入编号为1，2，3，4 的4 个盒子中，
相当于将8 个球排成一排，分为4 份，即在这8 个球之间形成的7 个空中，选3 个插入隔板，
每个盒子中至少放1 个小球的放法共有
种，故A 正确．
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对于B，有8 个相同的小球，放入编号为1，2，3，4 的4 个盒子中，
有空盒的放法可分为：8 个球放一个盒子里，有
种放法；
8 个球放二个盒子里，有
种放法；放三个盒子，有
种方法，
所以共有
种放法，故B 错误；
对于C，有8 个相同的小球，放入编号为1，2，3，4 的4 个盒子中，
恰有1 个空盒的放法,结合B 可知即将8 个相同的小球放入3 个盒子里，
共有
种，故C 错误；
对于D，有8 个相同的小球，放入编号为1，2，3，4 的4 个盒子中，
编号为2 的盒子中至少放2 个小球，其他3 个盒子每个盒子至少放1 个小球的放法分4 类：
编号为2 的盒子放2 个小球，其他3 个盒子每个盒子至少放1 个小球的放法有
种，
编号为2 的盒子放3 个小球，其他3 个盒子每个盒子至少放1 个小球的放法有
种，
编号为2 的盒子放4 个小球，其他3 个盒子每个盒子至少放1 个小球的放法有
种，
编号为2 的盒子放5 个小球，其他3 个盒子每个盒子至少放1 个小球的放法有1 种，
则共有
种放法，故D 正确，
故选：AD．
练习24．在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等，
因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”．如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8，这样的
数称为“英雄数”（比如1223，
，就是一个“英雄数”），则所有的“英雄数”有
个（用数字回答）
【答案】120
【分析】根据题意，将原问题转化为将8 个小球分为4 组且第一组不能为0 的问题，根据0 的个数分情况，
结合挡板法即可求解．
【详解】根据题意，8 个相同的小球排成一排，8 个小球两两之间不包括头尾共有7 个空位中，
若四位数的“英雄数”中不含0，则需要在这7 个空位中随机安排3 个挡板，可以将小球分为4 组每两个挡
板之间的小球的数目依次对应四位数的千、百、十、个位数字，共有
个，
若四位数的“英雄数”中只有一个0，则需要在这7 个空位中随机安排2 个挡板，可以将小球分成个数不
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为0 的3 组，0 可以作为百、十、个位其中一位上的数字，此时共有
个，
若四位数的“英雄数”中有两个0，则需要在这7 个空位中随机安排1 个挡板，可以将小球分成个数不为0
的2 组，0 可以作为百、十、个位其中两位上的数字，此时共有
个，
若四位数的“英雄数”中有3 个0，则只能是8000，只有一种情况，
综上：共有
个“英雄数”．
故答案为：120．
练习25．用0~9 十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位､十位､百位的数字之和等于9 的三位数称为
“长久数”，则“长久数”一共有 个．
【答案】
【分析】将“长久数”的排列转化为将9 个表示1 的球与2 个表示0 的球排成一排，利用隔板法即可求解．
【详解】设
对应个位到百位上的数字，则
且
，相当于将9 个表
示1 的球与2 个表示0 的球排成一排，如图，
这11 个数有10 个空，用2 个隔板隔开分为3 组，左起第一组数的和作为
，第二组数的和作为
，第三
组数的和作为
，
故共
种，
故答案为：45．
题型六
特殊元素法
例11．第
届世界大学生夏季运动会于月
日至月日在成都举办，现在从男
女共
名青年志愿
者中，选出男
女共名志愿者，安排到编号为、
、、
、的个赛场，每个赛场只有一名志愿者，
其中女志愿者甲不能安排在编号为、
的赛场，编号为
的赛场必须安排女志愿者，那么不同安排方案有
（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【答案】D
【分析】对女志愿者甲是否被选中进行分类讨论，分别确定各赛场的人员安排，结合分类加法计数原理可
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得结果.
【详解】分以下两种情况讨论：
①女志愿者甲被选中，则还需从剩余的人中选出男女，选法种数为
，
则女志愿者甲可安排在号或
号或号赛场，另一位女志愿者安排在
号赛场，
余下个男志愿者随意安排，此时，不同的安排种数为
；
②女志愿者甲没被选中，则还需从剩余人中选出男
女，选法种数为
，
编号为
的赛场必须安排女志愿者，只需从
名女志愿者中抽人安排在
号赛场，
余下
人可随意安排，此时，不同的安排方法种数为
.
由分类加法计数原理可知，不同的安排方法种数为
种.
故选：D.
例12．为了纪念世界地球日，复兴中学高三年级参观了地球自然博物馆，观后某班级小组7 位同学合影，
若同学
与同学
站在一起，同学
站在边缘，则同学
不与同学
或
相邻的概率为 ．
【答案】
【分析】利用分步乘法原理先求出同学
与同学
站在一起，同学
站在边缘的方法数，再求出其中同学
不与同学
或
相邻的方法数，然后利用古典概型的概率公求解即可.
【详解】将同学
与同学
看成一个整体，与剩下的5 人排列，先让同学
站在边上，有
种方法，然后
同学
与同学
组成的整体与剩下4 人排列，有
种方法，
所以分步乘法原理可知同学
与同学
站在一起，同学
站在边缘，共有
种方法，
其中同学
不与同学
或
相邻的有：先让同学
站在边上，有
种方法，然后同学
与同学
组成的整
体从与同学
不相邻的4 个位置中选一个位置，有
种方法，再让剩下的4 人去站剩下的4 个位置，有
种方法，
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所以由分步乘法原理可得同学
不与同学
或
相邻的共有
种方法，
所以所求概率为
，
故答案为：
练习26．从0，1，2，…，9 中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5242．这样
的四位数共有（ ）
A．1692 个
B．3672 个
C．3708 个
D．3888 个
【答案】D
【分析】就含零的个数分类讨论后可得正确的选项.
【详解】情形一 不含0 的四位数个数为
．
情形二 含1 个0 的四位数个数为
．
情形三 含2 个0 的四位数个数为
．
于是符合题意的四位数个数为
．
故选：D.
练习27．用0，1，2，3，4，5 共6 个数字，可以组成 个没有重复数字的六位奇数．
【答案】288
【分析】解法一，从特殊位置入手，即先考虑个位或十万位上的数字，根据分步计数原理可求得答案；
解法二，从特殊元素入手，即先考虑0 的排法，再排其他数字，根据分步计数原理可求得答案.
【详解】解法一（从特殊位置入手）
①从个位入手：个位上的数字的排法有
种，十万位上的数字的排法有
种，余下的数字可以在其余各
位上进行全排列，有
种排法．
由分步乘法计数原理知，符合题意的六位奇数共有
个．
②从十万位入手：十万位排定后，个位数字的排法与十万位所排数字是奇数还是偶数有关，因此，需分2
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类．
第1 类，十万位排奇数的六位奇数有
个；
第2 类，十万位排偶数的六位奇数有
个．
故符合题意的六位奇数共有
个．
解法二（从特殊元素入手）
0 不在两端有
种排法，从1，3，5 中任选一个排在个位有
种排法，
其余各数位用余下的数字全排列，
由分步乘法计数原理知，符合题意的六位奇数共有
个．
故答案为：288
练习28．“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等.数学上具有这样特征
的一类数称为“回文数”.“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142 等，在
所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有 个．（用数字作答）
【答案】
【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再由0 出现的次数分类求解作答.
【详解】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字
相同，
求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：
最多1 个0，取奇数字有
种，取能重复的偶数字有
种，它们排入数位有
种，取偶数字占百位有
种，
不同“回文数”的个数是
个，
最少2 个0，取奇数字有
种，占万位和个位，两个0 占位有1 种，取偶数字占百位有
种，
不同“回文数”的个数是
个，
由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有
个.
故答案为：
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练习29．某34 人班级派5 人参观展览，班级里有11 人喜欢唱，4 人喜欢跳，5 人喜欢rap，14 人喜欢篮球，
每个人只喜欢一种.5 人站一队参观，但是当队伍中第
个人分别喜欢唱、跳、rap、篮球时，
上述4 人会讨论蔡徐坤，展览馆不希望有人讨论蔡徐坤.当且仅当两个队伍中至少有一个位置上的人的喜好
不同，两个队伍才被认为是不同的，则满足上述条件的不同的排队方案数为 .
【答案】
【分析】就5 个人中喜欢的种类分类讨论后可得正确的排队方案数.
【详解】如果5 个人中喜欢的种类有1 种，则不同的排队方案数为3 种，
如果5 个人中喜欢的种类有2 种，则不同的排队方案数为
；
如果5 个人中喜欢的种类有3 种，
则不同的排队方案数为
；
如果5 个人中喜欢的种类有4 种，
则不同的排队方案数为
；
故不同的排队方案数为
.
故答案为：
.
【点睛】思路点睛：对于较为复杂的计数问题，注意根据问题的特征选择合理的分类讨论的角度，这样能
简化计算.
练习30．现有包括甲、乙在内的5 名同学在比赛后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，则
符合要求的排列方法共有 种
【答案】54
【分析】利用排列组合先排特殊元素，再排其余元素即可
【详解】先排乙，从中间的3 个位置中选1 个安排乙，则有
种方法，
再排甲，从除左端外，剩下的3 个位置中选1 个安排甲，则有
种方法，
最后排其余3 个，有
种方法，
所以由分步乘法原理可知共有
种方法，
故答案为：54
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题型七
染色问题
例13．某植物园要在如图所示的5 个区域种植果树，现有5 种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同
一种果树，则共有（ ）种不同的方法.
A．120
B．360
C．420
D．480
【答案】C
【分析】利用分类计数原理求解，按2 与4 两区域种植果树是否相同进行分类即可.
【详解】分两类情况：
第一类：2 与4 种同一种果树，
第一步种1 区域，有5 种方法；
第二步种2 与4 区域，有4 种方法；
第三步种3 区域，有3 种方法；
最后一步种5 区域，有3 种方法，
由分步计数原理共有
种方法；
第二类：2 与4 种不同果树，
第一步在1234 四个区域，从5 种不同的果树中选出4 种果树种上，是排列问题，共有
种方法；
第二步种5 号区域，有2 种方法，
由分步计数原理共有
种方法.
再由分类计数原理，共有
种不同的方法.
故选：C.
例14．在如图所示的五块土地上种植四种庄稼，有五种庄稼秧苗可供选择，要求相邻的土地不种同一种庄
稼，共有（ ）种植方式．
A．240 种
B．300 种
C．360 种
D．420 种
【答案】A
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【分析】先选出4 种庄稼，再根据可能的相同庄稼情况计算种数，运用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】根据题意，五块土地上种植四种庄稼，先选出4 种庄稼，共有
种选择，
则
地种植相同庄稼或
地种植相同庄稼，共有
种选择，
根据分步乘法计数原理可知，有
种．
故选：A
练习31．某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5 个区域．现有6 种
不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，
则不同的布置方案有（ ）
A．720 种
B．1440 种
C．1560 种
D．2520 种
【答案】C
【分析】先对图中不同的区域命名，分
与
布置相同的花卉、
与
布置不同的花卉两种情况，再运用
分步计数和分类计数的方法从
开始计数即可.
【详解】
如图，不同的布置方案分两类：
当
与
布置相同的花卉时，
先安排
，有6 种不同的选择；再安排
与
，有5 种不同的选择；再安排
，有4 种不同的选择；最后
安排
，有4 种不同的选择，共有
种.
当
与
布置不同的花卉时，
先安排
，有6 种不同的选择；再安排
与
，有
种不同的选择；再安排
,有3 种不同的选择；最后
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安排
，有3 种不同的选择，共有
种.
所以不同的布置方案有
种.
故选：C
练习32．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞
面被伞骨分成8 个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求
每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1 与区域5）所涂颜色
相同.若有7 种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．1050 种
B．1260 种
C．1302 种
D．1512 种
【答案】C
【分析】由题意可得，只需确定区域
的颜色，先涂区域1，再涂区域2，再分区域3 与区域1 涂的颜
色不同、区域3 与区域1 涂的颜色相同，最后根据分步乘法原理即可求解.
【详解】由题意可得，只需确定区域
的颜色，即可确定整个伞面的涂色.
先涂区域1，有7 种选择；再涂区域2，有6 种选择.
当区域3 与区域1 涂的颜色不同时，区域3 有5 种选择，剩下的区域4 有5 种选择.
当区域3 与区域1 涂的颜色相同时，剩下的区域4 有6 种选择.
故不同的涂色方案有
种.
故选：C
练习33．（多选）如图，用
种不同的颜色把图中
四块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种
颜色，则（ ）
A．
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B．当
时，若
同色，共有48 种涂法
C．当
时，若
不同色，共有48 种涂法
D．当
时，总的涂色方法有420 种
【答案】ABD
【分析】根据
同色或者
不同色，即可结合选项，根据分步乘法计数原理求解.
【详解】对于A，由于区域
与
均相邻，所以至少需要三种及以上的颜色才能保证相邻区域不同色，
故A 正确，
对于B，当
时，此时按照
的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有
种涂法，
涂
时，由于
同色（D 只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的颜色或者与
同色的两种颜色中选
择一种涂
，
故共有
种涂法，B 正确；
对于C，当
时，涂
有
种，
当
不同色（D 只有一种颜色可选），此时
四块区域所用颜色各不相同，涂
只能用与
同色，
此时共有24 种涂法，C 错误；
对于D，当
时，此时按照
的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有
种涂法，
涂
时，当
同色（D 只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的两种颜色中或者与
同色的颜色中选
择一种涂
，
故共有
种涂法，
当
不同色，此时
四块区域所用颜色各不相同，共有
，
只需要从剩下的颜色或者与
同色的两种颜色中选择一种涂
此时共有
种涂法，
综上可知，总的涂色方法有420 种，故D 正确，
故选：ABD
练习34．有三种不同颜色供选择，给图中六个格子涂色，相邻格子颜色不能相同，共有 种不
同的涂色方案.
【答案】96
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【分析】将格子自左向右编号为1，2，3，4，易得格子1，2 有
种选法，再分格子3 与格子1 相同
和不同求解.
【详解】解：将格子自左向右编号为1，2，3，4，5,6
格子1，2 有
种选法，
当格子3 与格子1 相同时，此时格子4，5，6 都有2 种选法，
当格子3 与格子1 不同时，此时格子3 有1 种选法，格子4，5，6 都有2 种选法，
所以当格子1 和2 颜色确定后，格子4，5，6 共有
种选法，
所以不同的涂色方法有
种，
故答案为：96
练习35．用4 种不同的颜色对图中5 个区域涂色（4 种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻
的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种．
【答案】48
【分析】根据题意，由分步乘法计数原理，即可得到结果.
【详解】先涂区域1，有4 种选择，再涂区域2，有3 种选择，接着涂区域3，有2 种选择，最后剩下的两
个区域有2 种选择．故不同的涂色方法有
种．
故答案为：
题型八
平均分组问题
例15．新高考按照“
”的模式设置，其中“3”为语文，数学、外语3 门必考科目，“1”由考生在物
理、历史2 门科目中选考1 门科目，“2”由考生在化学、生物，政治，地理4 门科目中选考2 门科目，若
学生甲、乙随机选择自己的选考科目，则甲、乙选考的三门科目均不相同的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合排列组合数的运算，利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】由题意，甲、乙随机选择自己的选考科目的情况有
种，
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甲、乙选考的三门科目均不相同的情况有
种，
所以所求的概率是
.
故选：A
例16．临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人．春联分为长联和短联
两种，无论是长联或短联，内容均不相同．经过调查，四户老人各户需要1 副长联，其中乙户老人需要1
副短联，其余三户各要2 副短联．书法爱好小组按要求选出11 副春联，则不同的赠送方法种数为 ．
【答案】15120
【分析】利用全排列计算长联的分配方式，利用平均分组分配计算短联的分配方式，结合分布乘法原理，
可得答案.
【详解】4 副长联内容不同，赠送方法有
种；从剩余的7 副短联中选出1 副赠送给乙户老人，
有
种方法，再将剩余的6 副短联平均分为3 组，最后将这3 组赠送给三户老人，
方法种数为
．所以所求方法种数为
．
故答案为：
.
练习36．某冷饮店有“桃喜芒芒”“草莓啵啵”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四
位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意按照分组分配问题的步骤，首先计算出恰有两种饮品没人购买的总数，再计算出四种饮
品四人随意选择的总数，即可求得其概率.
【详解】解决该问题，可以将四位同学先分为2，2 或3，1 两堆，共有
种分堆方法，
再从4 种饮品中选出2 种，分配给两堆人，
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故共有
种方法.
所以恰有两种饮品没人购买的概率为
.
故选：A
练习37．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022 年10 月31 日我国将
“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按
照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023 年，中国空间站将正式进入
运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6 名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安
排方法有（ ）
A．450 种
B．360 种
C．90 种
D．70 种
【答案】A
【分析】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得.
【详解】由题知，6 名航天员安排三舱，
三舱中每个舱至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种：分人数为
的三组，共有
种；
第二种：分人数为
的三组，共有
种；
所以不同的安排方法共有
种.
故选：A.
练习38．在某项建造任务中，需6 名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行
工作，由于空间限制，每个舱至少1 人，至多3 人，则不同的安排方案共有（ ）
A．450 种
B．180 种
C．720 种
D．360 种
【答案】A
【分析】安排方案分为两类，第一类，每个舱各安排2 人，第二类，分别安排3 人，2 人，1 人，结合分堆
分配问题解决方法求解即可.
【详解】方案一：每个舱各安排2 人，共有
（种）不同的方案；
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方案二：分别安排3 人，2 人，1 人，共有
（种）不同的方案．
所以共有
（种）不同的安排方案．
故选：A．
练习39．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙等
名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【答案】A
【分析】根据分类计数加法原理，结合平均分组以及不平均分组方法求解.
【详解】6 名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种：分人数为
的三组，共有
种；
第二种：分人数为
的三组，共有
种；
所以不同的安排方法共有
种，
故选：A.
练习40．近年来喜欢养宠物猫的人越来越多．某猫舍只有5 个不同的猫笼﹐金渐层猫3 只（猫妈妈和2 只
小猫嶲）、银渐层猫4 只、布偶猫1 只．该猫舍计划将3 只金渐层猫放在同一个猫笼里，4 只银渐层猫每2
只放在一个猫笼里，布偶猫单独放在一个猫笼里，则不同的安排有（ ）
A．8 种
B．30 种
C．360 种
D．1440 种
【答案】C
【分析】根据分组原理先确定4 只银渐层猫分两组的分组方法，再根据排列数计算即可得安排方法总数.
【详解】根据题意，将3 只金渐层猫放在同一个猫笼里，则把3 只金渐层猫看成是1 个整体，
4 只银渐层猫每2 只放在一个猫笼里，则分组方法有
（种）
一共有4 个整体进行排列放在5 个不同的猫笼，在5 个不同的猫笼中可以放4 个整体，
则一共可以安排的方法有：
（种）
故选：C.
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题型九
部分平均分组问题
例17．教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了
5 名教师到A、B、C 三个乡村学校去支教，每个学校至少去1 人，每名教师只能去一个学校，不同的选派
方法数有（ ）种
A．25
B．60
C．90
D．150
【答案】D
【分析】按照分类分步计数原理可先将5 人分成3 组，再将3 组人员分配到3 个学校去，即可计算出结果.
【详解】由题意可知，先将5 人分成三组有2 类分法，
第一类：各组人数分别为1，1，3，共有
种分法；
第二类：各组人数分别为1，2，2，共有
种分法，
再将三组人员分配到A、B、C 三个乡村学校去，共有
种，
所以不同的选派方法共有
种.
故选：D
例18．为了提高命题质量，命题组指派5 名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3 种题进行改编，
则每种题型至少至少指派1 名教师的不同分派方法种数为（ ）
A．144
B．120
C．150
D．180
【答案】C
【分析】将5 名老师分为
和
的两种情况，计算得到答案.
【详解】5 名老师分为
的情况时：共有
；
5 名老师分为
的情况时：共有
，
故共有
种不同的分派方法.
故选：C.
练习41．某中学举行全区教研活动，有10 名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班至少3
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人，每人每天值一班，则教研活动当天不同的排班种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先对10 人分成
三组，再分早中晚三班排列即可得解.
【详解】10 人分成三组，每组至少3 人，故可分为4 人,3 人,3 人三组，
共有
种，
再把三组人员安排到早中晚三班，共有
种，
由分步乘法计数原理可得共有
种.
故选：B
练习42．有6 名同学要分到4 个不同的单位去实习，要求每个单位至少接收1 名同学，则不同的分配方法
有 种．
【答案】1560
【分析】根据要求分类讨论四个单位分配到分别为一个单位3 人，其余三个单位各1 人；和两个单位各2
人，余下两个单位各1 人两种情况，根据分类计数原理及平均分组计算即可.
【详解】一个单位3 人，其余三个单位各1 人的分配方法有
；
两个单位各2 人，余下两个单位各1 人的分配方法有
；
综上共有480+1080=1560 种分配方法.
故答案为：1560
练习43．习近平总书记强调说，调查研究是谋事之基、成事之道.琼中县委、县政府根据党中央、国务院
《关于在全党大兴调查研究的工作方案》文件精神，决定派出7 人分成3 个小组，到3 个乡镇开展调查研
究工作，其中2 个小组各2 人，1 个小组3 人，则不同的安排方法共有 .
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【答案】
【分析】运用分步计数原理及部分平均分组分配模型先将7 人分成3 组分别2 人、2 人、3 人再将3 组分配
到3 个乡镇即可求得结果.
【详解】第一步：将7 人分成3 组分别2 人、2 人、3 人有
种方法；
第二步：将这3 组分配到3 个乡镇有
种方法；
所以不同的安排方法有
种.
故答案为：630.
练习44．为了落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某校开设
三门德育校本课程，现有甲､乙､
丙､丁四位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法
有 .
【答案】36
【分析】根据已知对四位同学分3 组，根据分组分配方法求解即可．
【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学选
，
，
三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，则三组人数为1、1、2，此时有
种.
故答案为：
．
练习45．有3 名党员干部到5 个贫困户家里扶贫，每名党员干部至少帮扶一个贫困户，且每个贫困户家里
有且仅有一名党员干部帮扶，则共有 种不同的安排方案.（用数字作答）
【答案】
【分析】个贫困户可能分成
或
两种形式的分组，根据部分均分的处理方法求分组结果，然
后全排列分给个党员.
【详解】由题意，个贫困户需要分成组，有如下两种情况：
分成
的形式，根据部分均分的原理，有
种分组办法；
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分成
的形式，根据部分均分的原理，有
种分组办法.
然后把这
种分组方法分配给个党员干部，有
种.
故答案为：
35
