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专题10.5 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
重难点题型1 条件概率
1．（25-26 高二上·全国·单元测试）设
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】计算条件概率
【分析】根据条件概率公式进行求解即可.
【详解】因为
，
，
，
所以
，所以
．
故选：C.
2．（2025·云南·模拟预测）某高中举行科技节活动，有甲、乙、丙、丁4 名同学去参加九连环、数独和汉
诺塔三个活动，其中每个活动都有人参加，且每个同学只能参加一项活动，则在甲参加九连环活动的条件
下，甲和乙都参加九连环活动的概率是（ ）
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
条件概率
重难点题型2
相互独立事件的判断
重难点题型3
相互独立事件概率的计算与应用
重难点题型4
全概率公式及其应用
重难点题型5
贝叶斯公式及其应用
重难点题型6
全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】计算条件概率
【分析】根据条件概率公式
来求解，先分别求出
（甲参加九连环活动的概率）和
（甲和乙都参加九连环活动的概率），再代入公式计算.
【详解】从
人中选
个人为一组，方法数有
种，
再把这一组与另外
个人全排列，安排到个活动中，方法数有
种.
根据分步乘法计数原理，总情况数为
种.
若甲单独参加九连环活动，那么从剩下人中选
个人为一组，方法数有
种，
再把这一组与另外个人全排列，安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有
种，
此时情况数为
种.
若甲和另外一人一起参加九连环活动，从剩下人中选人与甲一组，方法数有
种，
剩下
人全排列安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有
种，
此时情况数为
种.
所以甲参加九连环活动的情况数共有
种，
则甲参加九连环活动的概率
.
若甲和乙都参加九连环活动，则剩下
人全排列安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有
种，
则甲和乙都参加九连环活动的概率
.
2
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根据条件概率公式
.
故选：B.
3．（2025·山西朔州·模拟预测）已知事件A，B 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率
【分析】首先根据已知条件的两个等式进行化简，然后利用
可求出
.
【详解】因为
，所以
.
，
.
因为
，
所以
，化简得：
.
解得
.
故选：B.
4．（2024·上海·三模）抛掷两颗骰子，观察掷得的点数．用
表示事件“两个点数不同”，
表示事件
“至少出现一个点”，则
．（结果用最简分数表示）
【答案】
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算、计算条件概率
【分析】根据条件概率的计算公式求解即可.
【详解】没有一个3 点的情况有
种，
3
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所以至少出现1 个3 点的情况有
种，排除
后有10 种，
所以
，
，
.
故答案为：
.
5．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知随机事件
． 若
，
则
【答案】
/0.4
【难度】0.85
【知识点】计算条件概率
【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，以及和事件得概率公式，即可求解.
【详解】
，则
，即
，解得
，
故
.
故答案为：
6．（2025·天津武清·模拟预测）在一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5 的五张卡片，这些卡片除编
号不同外其他都相同，从口袋中有放回地摸卡片三次，每次摸一个.则三次摸出卡片的数字有两次不超过3
的概率 ；在已知三次摸出卡片的数字有两次不超过3 的前提下，这三次中有一次摸出编号为2 的卡
片的概率 .
【答案】
【难度】0.65
4
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【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率
【分析】根据题意可知三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，由二项分布的概率计算公式即可求
解①；求出事件A 与事件AB 包含的样本点个数，根据条件概率计算即可.
【详解】由题意可知，单次摸到不超过3 的概率为
，超过3 的概率为
，
记事件A=“三次摸出卡片的数字有两次不超过3”
三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，故
；
事件A 的总情况数为
，
记事件B=“三次中有一次摸出编号为2 的卡片”，
则事件AB 为：有一次摸出编号为2，另外一次为1 或3，第三次超过3，
可由如下步骤实线事件AB，
第一步：从三次摸出卡片中选出一次摸出编号2，共3 种情况，
第二步：从剩下的两次摸出卡片中选出一次摸出编号1 或3，共
种情况，
第三步：从剩下的一次摸出卡片中选出超过3 的编号，共2 种情况，
由分步乘法计数原理可知，事件AB 总情况数为
，
所以
故答案为：
，
7．（2025·甘肃白银·模拟预测）汤圆是汉族传统小吃的代表之一，同时也是中国的传统节日元宵节最具有
特色的食物，表达了人民对幸福生活的一种向往和期盼．在广东省流行四式汤圆，这四式汤圆指的是四种
不同的馅：绿豆、红豆、糖冬瓜、芋头，小王在今年元宵节时，盛了一碗（10 个）汤圆，其中绿豆馅、红
豆馅的汤圆各4 个，糖冬瓜馅、芋头馅的各1 个，则小王在碗里随机取的4 个汤圆中，在吃到1 个芋头馅
的前提下，4 个汤圆中恰有3 种不同馅的概率为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、计算条件概率
【分析】根据条件概率公式
来求解，先分别求出
（吃到个芋头馅的概率）和
5
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（吃到个芋头馅且
个汤圆中恰有种不同馅的概率），再代入公式计算.
【详解】设事件A：吃到个芋头馅.事件B：
个汤圆中恰有种不同馅.
从10 个汤圆中随机取
个的总组合数为
.
吃到个芋头馅，即从个芋头馅汤圆中选个，再从剩下的个汤圆中选个，组合数为
，
，所以
.
吃到个芋头馅且
个汤圆中恰有种不同馅有两种情况：
情况一：芋头馅个，绿豆馅
个，红豆馅个，组合数为
，
情况二：芋头馅个，绿豆馅个，红豆馅
个，组合数为
.
情况三：芋头馅个，糖冬瓜馅个，绿豆馅
个，组合数为
.
情况四：芋头馅个，糖冬瓜馅个，红豆馅
个，组合数为
.
则
.
根据条件概率公式
，将
，
代入可得：
.
故答案为：
.
重难点题型2 相互独立事件的判断
1．（2025·河北石家庄·三模）已知随机事件A、B，
表示事件B 的对立事件，
，
，
则下面结论正确的是（ ）
A．事件A 与B 一定是对立事件
6
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B．
C．
D．若事件A、B 相互独立，则
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】确定所给事件的对立关系、相互独立事件与互斥事件、独立事件的乘法公式
【分析】举例判断AB，由于不确定事件A、B 的关系，故不能求解
，即可判断C，结合对
立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解
判断D.
【详解】对于AB，一个密封的盒子中有标号为1,2，3,4,5 的5 个小球从中任取1 球，
记事件A：从中取出球的标号为1,2，事件
：从中取出球的标号为1,2,3，
则
，满足
，但
不是对立事件，故A 错误；
由上例可知
，故B 错误；
对于C，
仅在事件A、B 相互独立时才成立，而不知道事件A、B 的关系，故不确定
的值，错误.
对于D，若事件A、B 相互独立，则事件A、
也相互独立，
所以
，正确.
故选：D
2．（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，
，，
.任意掷一
次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间
，记事件
，事件
，事件
，则（ ）
A．事件
两两独立，事件
相互独立
7
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B．事件
两两独立，事件
不相互独立
C．事件
不两两独立，事件
相互独立
D．事件
不两两独立，事件
不相互独立
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】独立事件的判断、独立事件的乘法公式
【分析】根据独立事件的定义，结合题意即可判断各选项的正误.
【详解】由题知：
，
，
，
，
，
，
.
因为
，
，
所以事件
两两独立；
但
，所以事件
不相互独立.
故选：B.
3．（24-25 高二下·福建莆田·阶段练习）有6 个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放
回地随机取两次，每次取1 个球．用
表示第一次取到的小球的标号，用y 表示第二次取到的小球的标号，
记事件
为偶数，
为偶数，
，则下列不正确的是（ ）
A．
B．
与
相互独立
C．
与
相互独立
D．
与
相互独立
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】独立事件的乘法公式
【分析】分别求解各个事件的概率，利用独立事件的乘法公式可判断选项.
【详解】由题意事件A 包含两种情况，两次取出的标号都是奇数和都是偶数，
所以
，
8
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类似可得
，
，故A 正确;
事件
表示两次取到的标号都是偶数，所以
，而
，所以
与
不
独立，故B 错误；
有放回地取球两次，共有基本事件为
个，
事件
表示的基本事件有
个，所以
，
由于
，所以
与
相互独立，故C 正确；
事件
表示的基本事件有
个，所以
，
由于
，所以
与
相互独立，故D 正确；
故选：B.
4．（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）
为随机事件，已知
，下列结论中正确的
是（ ）
A．若
为互斥事件，则
B．若
为互斥事件，则
C．若
是相互独立事件，则
D．若
，则
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式
【分析】由互斥、对立事件概率求法判断A、B；根据事件关系及独立事件乘法求
判断C；应用条
件概率公式求
.
9
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【详解】A：由A、B 是互斥事件，故
，错误．
B：由
知：由
，故B
错误；
C：由于A，B 是相互独立事件，
，
，错误．
D：
，则
，
，正确．
故选：D
5．（2025·河南信阳·模拟预测）（多选题）有甲，乙两个袋子，甲袋中有大小和质地相同的2 个红球，2
个黑球，乙袋中有大小和质地相同的2 个红球、1 个黑球．现从甲、乙两个袋子中各随机一次取出2 个球，
设事件
“甲袋中取出2 个红球”，
“甲袋中取出1 个红球、1 个黑球”，
“乙袋中取出2 个
红球”，
“乙袋中取出1 个红球、1 个黑球”，
“甲、乙两个袋子中取出3 个红球、1 个黑球”．
则下列说法正确的是（ ）
A．事件
与
是对立事件
B．事件
与
是对立事件
C．事件
与C 相互独立
D．事件
与C 相互独立
【答案】BC
【难度】0.85
【知识点】确定所给事件的对立关系、独立事件的判断
【分析】由对立事件和相互独立事件的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】
，
，
10
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，
，
“甲、乙两个袋子中取出3 个红球、1 个黑球”，所以
包含的基本事件为：
甲袋中取出2 个红球，乙袋中取出1 个红球，1 个黑球
或甲袋中取出1 个红球，1 个黑球，乙袋中取出2 个红球，
，
对于A，甲袋中取球可能为2 个红球，1 个红球、1 个黑球或2 个黑球，
所以事件
与
不是对立事件，故A 错误；
对于B，乙袋中取球可能为2 个红球，1 个红球、1 个黑球，
因此
为必然事件，所以事件
与
是对立事件，故B 正确；
对于C，事件
表示甲袋中取出1 个红球，1 个黑球，乙袋中取出2 个红球，
所以
，
，
，
，所以
，所以事件
与C 相互独立，
故C 正确.
对于D，事件
表示甲袋中取出2 个红球，乙袋中取出1 个红球，1 个黑球,
所以
，
，
，
，
，所以件
与C 不相互独立，
所以D 错误.
故选：BC.
6．（2025·贵州贵阳·模拟预测）（多选题）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件
：两次的点数
之和为偶数，
：两次的点数之积为奇数，
：第一次的点数小于，则（ ）
A．
B．
11
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C．
与
相互独立
D．
与
互斥
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断
【分析】通过确定样本空间中样本点的数量，利用古典概型概率公式计算各事件的概率，再根据事件独立
和互斥的定义判断事件间的关系.
【详解】根据题意，抛掷两次，其样本空间共有36 个样本点．
事件
的样本空间
，有18 个样本点；
事件
的样本空间有9 个样本点，
错误；
正确：
，
正确；
事件
与事件
能同时发生，所以不互斥，D 错误，
故选：BC．
重难点题型3 相互独立事件概率的计算与应用
1．（24-25 高二下·山东烟台·期中）某公司有甲，乙两个部门，每个部门各有7 名员工，其中甲部门有5 名
经验丰富的员工和2 名新员工，乙部门有4 名经验丰富的员工和3 名新员工，现从甲部门和乙部门各随机
选出一名员工进行交换，交换完成后，再从甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式
求概率
【分析】先分类求出甲部分员工情况及对应概率，再根据题意求解即可.
【详解】从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，有以下四种情况：
12
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第一种，甲部门经验丰富的员工与乙部门经验丰富的员工交换，则概率为
，
第二种，甲部门新员工与乙部门新员工交换，则概率为
，
第三种，甲部门经验丰富的员工与乙部门新员工交换，则概率为
，
第四种，甲部门新员工与乙部门经验丰富的员工交换，则概率为
，
第一种与第二种甲部门有5 名经验丰富的员工和2 名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的
概率为
，
第三种甲部门有4 名经验丰富的员工和3 名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为
，
第四种甲部门有6 名经验丰富的员工和1 名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为
，
故甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为
.
故选：C.
2．（2024·河南郑州·三模）拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为
1，2，3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1 或2，则再抛郑一次，否则停止抛掷（最多抛掷2 次）．
则抛掷骰子所得的点数之和至少为4 的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式
【分析】分抛掷次数为及抛掷次数为
，利用列举法及概率乘法公式计算即可得.
【详解】抛掷次数为的概率为
，点数可能为或
，
抛掷次数为
的概率为
，
此时基本事件有
、
、
、
、
、
、
、
共八种，
其中点数之和至少为4 的情况有
、
、
、
、
共五种，
13
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故抛掷骰子所得的点数之和至少为4 的概率为
.
故选：A.
3．（2024·广东深圳·模拟预测）有A、B、C、D 四位同学按照逆时针方向站在一个正方形的四个顶点，进
行传球游戏．持球者将球传给相邻顶点的人的概率是
，传给不相邻顶点的人的概率是
，例如
将球传
给
和
的概率均为
，传给
的概率为
．若游戏开始时，球在
同学手里，则经过3 次传球后，球回
到A 同学手里的概率为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式
【分析】应用独立事件乘法求A
B
C
A 等6 种情况的概率，再应用互斥事件加法求概率；
【详解】A
B
C
A 的概率为：
，A
B
D
A 的概率为：
，
A
C
B
A 的概率为：
，A
C
D
A 的概率为：
，
A
D
B
A 的概率为：
，A
D
C
A 的概率为：
，
经过3 次传球后，球回到A 同学手里的概率为
．
故答案为：
.
4．（2025·湖南·模拟预测）甲、乙两人进行投篮比赛，谁先投篮是随机的，一个人投完一球就要换成另一
个人投篮，共投个球，投中次数多者为胜．每次投篮，甲投中的概率为
，乙投中的概率为
，则甲
获胜的概率为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】独立事件的乘法公式
【分析】分甲先投篮和乙先投篮两种情况考虑甲获胜的可能，再分别计算出概率求和即可.
【详解】甲获胜包括以下情况，甲先投时，甲以
，
，
获胜，
乙先投时，甲以
获胜，所以甲获胜的概率为：
14
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.
故答案为：
5．（25-26 高三上·河南驻马店·开学考试）某批产品来自A，B 两条生产线，A 生产线占
，次品率为
；B 生产线占
，次品率为
，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A 生产线的
概率是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率
【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式列式求解.
【详解】设
“抽到的产品来自A 生产线”，
“抽到的产品来自B 生产线”，
“抽
到的一件产品是次品”，
则
，
，
由全概率公式得
，
所以它来自A 生产线的概率是
.
故答案为：
6．（2025·四川·二模）小杨上的高中食堂有3 种套餐，小王第一次选择A，B，C 三种套餐的概率相等，若
某次选择A 之后，下一次仍会在三种套餐以相等概率继续选择，若某次选择B 套餐之后，下一次只会在
B，C 两种套餐中以相等概率去选择，在某次选择C 套餐之后，以后只会选择C 套餐，根据以上规则回答
下列问题：
(1)试写出第n 次选择时，小王选A 套餐的概率表达式，并求出第3 次选择B 套餐的概率.
(2)试写出第n 次选择时，小王选B 套餐的概率表达式，并求出选A 套餐的均值.
【答案】(1)
15
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(2)
，
【难度】0.65
【知识点】错位相减法求和、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式
【分析】（1）应用古典概型结合独立事件的乘积公式计算求解；
（2）先应用独立事件乘法公式求概率，再应用错位相减法计算即可.
【详解】（1）设事件
，
，
为分别为第
次选择A，B，C 套餐，
，
如图得
，
.
（2）由（1）知：
①
则
②
16
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②－①得到：
，
X
1
2
3
4
．．．
n
P
．．．
③
则
④
③－④得：
，
.
7．（2025·陕西西安·模拟预测）某芯片加工厂对其生产的芯片采用AI 质检系统进行检测，该厂芯片的次品
率为
，系统检测到次品时，有95%的概率正确标记为“不合格”，检测到正品时有90%的概率
正确标记为“合格”
(1)现从生产线上随机抽取1 件芯片进行检测，若
，求被系统标记为合格品的概率；
(2)若质检系统把次品标记为“合格”或把正品标记为“不合格”，则称系统检测误判，且将单件产品被系
统检测误判的概率称之为系统检测误判率.已知该工厂通过技术升级使芯片的次品率
有所降低，那么随着
的降低，系统检测误判率是升高还是降低?并说明理由.
【答案】(1)0.815
(2)随着
的降低，系统的误判率
升高，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】利用全概率公式求概率
【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算.
（2）求出误判率的函数关系，再借助函数单调性判断.
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【详解】（1）用事件
表示抽到的是正品，把抽到的产品标记为合格品为事件
，
则
，
，
由全概率公式得
.
（2）设系统的误判率为
，则
，
所以随着
的降低，系统的误判率
升高.
重难点题型4 全概率公式及其应用
1．（25-26 高三上·陕西西安·开学考试）全概率公式指的是：设
为样本空间，若事件
两两互
斥，
，则对任意的事件
，有
.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西
安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，
则小张一家去游乐园的概率为（ ）
A．0.48
B．0.49
C．0.52
D．0.54
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】利用全概率公式求概率
【分析】根据全概率公式计算即可.
【详解】设去西安市与汉中市旅游分别为事件
，
，则
，
.
设事件
为去游乐园，则
，
.
所以
.
故选：D
2．（24-25 高二下·宁夏·期中）某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B 两个箱子中．A
箱中有4 道代数题和2 道几何题，B 箱中有3 道代数题和3 道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个
箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2 道题（不放回）作答．若乙同学选择A 箱，答题结束后工作人员失
误将乙抽取的题目放回了B 箱，接着丙同学选择从B 箱抽取题目，则丙抽取的2 道题中至少有一道代数题
18
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的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式
求概率
【分析】先设出事件
，依题分别求出
和
，
和
，利用全概率公式计算即可.
【详解】设事件
为“丙从
箱中抽取的2 道题中至少有一道代数题”，
事件
为“乙从
箱中取出2 道代数题”，则
，
事件为“乙从
箱中取出1 道代数题和1 道几何题”，则
，
事件
为“乙从
箱中取出2 道几何题”，则
，
当
发生时，
箱中有5 道代数题和3 道几何题，则
；
当发生时，
箱中有4 道代数题和4 道几何题，则
；
当
发生时，
箱中有3 道代数题和5 道几何题，则
.
由全概率公式可得
.
故选：D.
3．（24-25 高三上·四川德阳·阶段练习）某汽车4S 店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，
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400，100 辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从
该4S 店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承
担的责任比为（ ）
A．2：3：5
B．10：12：5
C．5：12：10
D．5：4：1
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率
【分析】设事件
分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，事件
表示智驾出现故
障，由贝叶斯公式得
，
，
即可求解.
【详解】设事件
分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，
则
，
事件
表示智驾出现故障，
则由全概率公式得
，
由贝叶斯公式得
，
，
，
所以甲乙丙要承担的责任比为
.
故选：B.
4．（25-26 高三上·天津·阶段练习）某学校有A，B 两家餐厅，王同学第1 天午餐时随机地选择一家餐厅用
餐，如果第1 天去
餐厅，那么第2 天去
餐厅的概率为0.6；如果第1 天去
餐厅，那么第2 天去
餐厅
的概率为0.8．则王同学第2 天去
餐厅用餐的概率为 ．
【答案】
/
【难度】0.94
【知识点】利用全概率公式求概率
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【分析】根据题意结合全概率公式和对立事件的概率公式计算即得.
【详解】设
“第1 天去
餐厅用餐”，
“第1 天去B 餐厅用餐”，
“第2 天去A 餐厅用餐”，
根据题意得
，
，
，
由全概率公式，得
，
即王同学第2 天去
餐厅用餐的概率为0.7，故王同学第2 天去
餐厅用餐的概率为
.
故答案为：
5．（25-26 高三上·重庆·阶段练习）已知有A，B 两个盒子，其中A 盒装有2 个黑球和1 个白球，B 盒装有
1 个黑球和2 个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A 盒、乙从B 盒各随机取出一个球，若2 个球同色，
则甲胜，并将取出的2 个球全部放入A 盒中；若2 个球异色，则乙胜，并将取出的2 个球全部放入B 盒中.
按上述方法重复操作两次后，A 盒，B 盒中球的个数保持不变的概率是 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率
【分析】根据题意可知：要保证重复操作两次后，A 盒，B 盒中球的个数保持不变，须甲、乙各胜出一次.
依次分析各种取球情况，即可得到正确答案.
【详解】根据题意可知：要保证重复操作两次后，A 盒，B 盒中球的个数保持不变，须甲、乙各胜出一次.
记
为甲第次胜出，
；记
为乙第次胜出，
；
第一次取球，甲、乙均取到黑球，甲胜出的概率为
.此时，B 盒只余两个白球，A 盒中有3 个黑球
1 个白球，所以第二次乙只能取到白球，而甲取到黑球的概率为
.
第一次取球，甲、乙均取到白球，甲胜出的概率为
.此时，B 盒中有1 个白球1 个黑球，A 盒中有2
个黑球2 个白球，所以第二次乙取到白球、甲取到黑球的概率为
，第二次乙取到黑球、甲取到白
球的概率为
，即该情况下，第二次乙胜出的概率为
.
21
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.第一次取球，甲取到白球、乙取到黑球，乙胜出的概率为
.此时，A 盒只余两个黑球，B 盒中有1
个黑球3 个白球，所以第二次甲只能取到黑球，而乙取到黑球的概率为
.
第一次取球，甲取到黑球、乙取到白球，乙胜出的概率为
.此时，A 盒中有1 个白球1 个黑球，B
盒中有2 个黑球2 个白球，所以第二次甲、乙均取到黑球的概率为
，第二次甲、乙均取到白球的
概率为
，即该情况下，第二次甲胜出的概率为
.
因此
，
.
故重复操作两次后，A 盒，B 盒中球的个数保持不变的概率是
.
故答案为：
.
6．（2025·河南许昌·三模）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1 车间的次品率为0.15，第2 车
间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2 车间生产的成品比例为
.今有
一客户从成品仓库中随机提一台产品，若取到的是合格品，则此合格品由第1 车间生产的概率是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率
【分析】首先要根据两个车间生产成品的比例确定从两个车间取到产品的概率，再根据各车间的次品率算
出各车间生产合格品的概率，然后用全概率公式算出取到合格品的总概率，最后用贝叶斯公式计算在取到
合格品的条件下，该合格品是由第1 车间生产的概率.
【详解】设
{从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，
{提出的一台是第车间生产的产品}，
，
2，
则
，
由题意可得
，
，
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，
，
由全概率公式可得
.
则此合格品由第1 车间生产的概率是
.
故答案为：
.
重难点题型5 贝叶斯公式及其应用
1．（2025·江西·模拟预测）已知编号为1，2，3 的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且
各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3 号箱中分别占
．从3 个箱中的所有球中随机
取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3 号箱中的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】利用贝叶斯公式求概率
【分析】由题意，根据古典概型的概率计算以及条件概率的计算公式，结合全概率公式，可得答案.
【详解】设事件
为“取出的红球在i 号箱中”，事件B 为“取出的球为红球”，
则
组成了完整的样本空间，且
两两互斥．
由题意有
，
．
则由全概率公式，
，
则在取出的球为红球的条件下，
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其取自3 号箱的概率为
．
故选：A．
2．（25-26 高二·江苏·假期作业）已知贝叶斯公式：
．某视频网站利用AI 换脸掺入
了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI 对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的
真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有
的可能鉴定为“AI”；它的误报
率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有
的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该
视频是“AI”合成的可能性约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】利用贝叶斯公式求概率
【分析】根据给定条件，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果．
【详解】记“视频是AI 合成”为事件
，记“鉴定结果为AI”为事件B，
则
，
由贝叶斯公式得：
．
故选：B.
3．（2025·江西景德镇·三模）一质点落在三棱锥
的顶点
处，每次均以相同的可能性沿着某条棱
移动到另一个顶点处，记事件
表示“该质点移动次后落在顶点
”，
为
的对立事件，则
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用贝叶斯公式求概率、null
【分析】先分析某次在点
则下次在或不在点
，某次不在点
，则下次在或不在
的概率，再按照分步
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乘法计算
、
、
，进而利用概率的乘法公式得
、
，最后利用贝叶
斯公式计算即可.
【详解】我们将
三个点看作为一个整体，
如果某次在点
，则下次一定不在点
的概率为；
如果某次不在点
，则下次在
与不在
的概率分别为
、
，
因
，
，
则
，
因
，
，
则
，
则根据贝叶斯公式可得
．
故答案为：
4．（2025·广东佛山·二模）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为
四个外观相同的空
箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个
箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增
加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开
号箱子的概率为 ，在主持人打开
号箱子
的情况下，奖品在
号箱子的概率为 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率
【分析】用
表示号箱有奖品，用
表示主持人打开号箱子，根据条件求出
，
，
，
，利用全概率公式，即可求解
；再利用贝叶斯
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公式，即可求解
.
【详解】用
表示号箱有奖品，用
表示主持人打开号箱子，
由题知
，
，
，
又
，
所以
，
又
，
故答案为：
.
【点晴】关键点点睛：本题考查条件概率的求解、决策类问题，解题关键是能够根据奖品所在箱子号码，
确定主持人可打开的箱子数，再由全概率公式及贝叶斯公式进行求解.
重难点题型6 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
1．（2025·山东·二模）甲乙二人进行比赛，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，各局比赛的结果相互独立．为决出最终获胜的一方，有以下两种方案可供选择：
方案一：规定每局比赛的胜方得1 分，败方得0 分，则首次比对手高两分的一方获胜．
方案二：首次连胜两局比赛的一方获胜．
(1)若
，且采用方案一，求第四场比赛结束时恰好分出胜负的概率．
(2)若
，为使甲获胜的概率更大，则应该选择哪种比赛方案？请说明理由．
附：当0 < q < 1 时，
．
【答案】(1)
(2)方案二，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率
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【分析】（1）根据题意，列出满足题意的所有事件，根据概率的加法公式即可求解；
（2）根据概率公式分别求得选方案一和方案二时甲获胜的概率，作商比较大小即可求解．
【详解】（1）第四场结束恰好分出胜负对应的事件为：
：甲贏第1，3，4 局，乙赢第2 局，
：甲赢第2，3，4 局，乙赢第1 局，
：乙赢第1，3，4 局，甲赢第2 局，
：乙赢第2，3，4 局，甲赢第1 局，
对应概率：
；
（2）设事件
：甲最终获胜，事件
：甲乙在前两局结束后得分相同．
记使用方案一，二时甲胜出的概率分别为
．
对于方案一，根据条件概率公式：
，
因为每场比赛的结果相互独立，所以在前两局甲，乙各胜出一局达到同分的条件下，甲从第三局开始出现
优先超过乙两分的概率恰为
，即
，
故
，
从而
．
对于方案二，甲最终获胜对应的事件只可能是甲乙相互获胜且最后甲连胜两局，即每局胜者按照“甲乙甲
乙…甲乙甲甲”或“乙甲乙甲…乙甲甲”的规律．
从而甲获胜的概率
，
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显然
，令
，
有
，即
，
因为
，所以
所以应选择方案二．
3．（2025·吉林·模拟预测）某游戏有三个骰子，其面数如下：骰子
：四个面，分别标有数字1，1，3，
4；骰子
：四个面，分别标有数字2，4，5，6；骰子
：六个面，分别标有数字1，3，5，7，9，11；玩
家按骰子面数比例随机选择一个骰子（即选择概率等于其面数占总面数的比例），然后掷该骰子两次，记
录两次结果的最大值．请解答以下问题：
(1)若玩家选择骰子
，求两次投掷的最大值为4 的概率；
(2)求两次投掷的最大值为4 的概率；
(3)设奖金为最大值的平方（单位：元），若玩家获得的奖金超过16 元，求玩家选择骰子
的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率
【分析】（1）由独立事件乘法公式及对立事件概率计算求解即可；
（2）由全概率公式代入数据即可求解；
（3）由全概率公式及条件概率公式求解即可.
【详解】（1）骰子
的面为1，1，3，4，每个面出现的概率为
，两次投掷共有16 种可能的结果组合，
最大值是4 的情况包括至少有一次掷出4，两次都不出现4 的概率为
，
因此至少有一次出现4 的概率为
．
（2）玩家选择骰子的概率分别为
（骰子
）、
（骰子
）和
（骰子
）；
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计算各骰子最大值为4 的概率：骰子
：概率为
；
骰子
：两次投掷共有
个结果，两次投掷的最大值为4 的情况是两次结果都不超过4 且至少有一
次为4，
共有3 种情况（（2，4），（4，2），（4，4）），故概率为
；
骰子
：没有数字4，因此概率为0．
总概率为：
．
（3）奖金超过16 元意味着最大值超过4，
计算各骰子最大值超过4 的概率：
骰子
：不可能超过4，概率为0；
骰子
：至少有一次掷出5 或6 共有
种，故概率为
；
骰子
：共有
个结果，至少有一次掷出超过4，共有
，故概率为
．
设最大值超过4 为事件
，选择骰子
为事件
，
计算全概率：
，
则
．
4．（2025·上海黄浦·二模）一盒子中有大小与质地均相同的20 个小球，其中白球
个，其余为
黑球．
(1)当盒中的白球数
时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用
表示事件“第一次取到白
球”，用
表示事件“第二次取到白球”，求
和
，并判断事件
与
是否相互独立；
(2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10 个球，若其中恰有3 个白球，则获奖，否
则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量
？
【答案】(1)
，不独立；
(2)当
时，获奖的可能性最大；当
时，获奖的可能性最小.
【难度】0.65
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【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、独立事件的判断、利用全概率公式求概率
【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求解，再利用全概率公式求出
，利用相
互独立事件定义判断即可.
（2）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值.
【详解】（1）当
时，盒中有6 个白球，14 个黑球，
，
，
，
，则
，所以事件
与
相互不独立.
（2）从20 个球中取10 个球，恰有3 个白球的概率
，
设
，当
时，
，
，当
时，
，
当
时，
，因此
，
而
，则
，
所以当
时，参与者获奖的可能性最大；当
时，参与者获奖的可能性最小.
5．（2025·福建·模拟预测）电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的．某体育用品
供应商在甲电商平台推广新品
和
，在乙电商平台推广新品
．已知甲平台向一用户推送
的概率为
0.7，推送
的概率为0.5，同时推送
和
的概率为0.3；乙平台向该用户推送
的概率为0.6，且甲平台
的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响．
(1)在甲平台没有向该用户推送
的条件下，求它向该用户推送
的概率；
(2)求这两个平台至少向该用户推送A、B、C 中的一种的概率．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概
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率
【分析】（1）设甲平台向该用户推送
为事件
，推送
为事件
，则甲平台没有向该用户推送
为事
件
，应用条件概率公式，计算可得结果；
（2）应用对立事件的性质，可以计算这两个平台向该用户不推送A、B、C 中任一种的概率，用1 减去可
得结果.
【详解】（1）解：设甲平台向该用户推送
为事件
，推送
为事件
，则甲平台没有向该用户推送
为事件
，由题设可知：
，
，
，
，
又
，所以
，
（2）设平台向该用户推送
为事件
，
则这两个平台向该用户至少推送A、B、C 中的一种的概率为：
，
因为甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响，所以
，
因为
，所以
，
即
，
所以
.
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