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专题10.7 二项分布、超几何分布及正态分布
题型一
两点分布
题型二
超几何分布
题型三
二项分布
题型四
二项分布的概率最大问题
题型五
二项分布与超几何分布的综合
题型六
正态分布求概率
题型七
正态分布的对称
题型八
正态分布的实际应用
题型一
两点分布
例1．随机变量
服从两点分布，且
，令
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据两点分布的性质求出
，则
.
【详解】因为随机变量
服从两点分布，且
，
所以
，
由
，所以
.
故选：D
例2．已知离散型随机变量X 服从两点分布，且
，则随机变量X 的方差为
．
【答案】
1
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【分析】因为离散型随机变量X 服从两点分布，设
，所以
，由题意可求出
，所以可求出
．
【详解】因为离散型随机变量X 服从两点分布，设
，所以
，
所以，代入
有：
，
解得：
，
，
因为离散型随机变量X 服从两点分布，所以
.
故答案为：
.
练习1．已知离散型随机变量X 的分布列服从两点分布，满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据两点分布的性质可得
，结合题意求得
，再根据两点分布的期
望公式即可得解.
【详解】解：因为随机变量X 的分布列服从两点分布，
所以
，
则
，解得
或
，
又因
，
2
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所以
，则
，
所以
.
故选：C.
练习2．某企业拟定4 种改革方案，经统计它们在该企业的支持率分别为
，
，
，
，用“
”表示员工支持第种方案，用“
”表示员工不支持第种方案
，那
么方差
，
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可知：随机变量
服从两点分布，由两点分布的方差公式
可解.
【详解】由题意可知：用“
”表示员工支持第种方案，用“
”表示员工不支持，第种方案
，
所以随机变量
服从两点分布，
则
，
，
，
，
所以
，D 选项正确.
故选：D
3
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练习3．（多选）若随机变量
服从两点分布，其中
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】求出
，即可求出
、
，再根据期望与方差的性质计算可得.
【详解】依题意
，所以
，
所以
，
.
所以
，
，
，
所以AB 选项正确，CD 选项错误.
故选：AB
练习4．（多选）随机变量
服从两点分布，若
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出．
【详解】因为随机变量
服从两点分布，
，所以
，
故
，因此，
，
，所以正确的是ABD．
故选：ABD．
4
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练习5．已知随机变量
服从两点分布，且
，
，那么
．
【答案】
/0.5
【分析】根据概率之和为1 即可求解.
【详解】由题意可知
或
，
由于
，所以
，
故答案为：
题型二
超几何分布
例3．（多选）某单位推出了
道有关二十大的测试题供学习者学习和测试，乙能答对其中的道题，规
定每次测试都是从这
道题中随机抽出
道，答对一题加
分，答错一题或不答减分，最终得分最低为
分，则下列说法正确的是（ ）
A．乙得
分的概率是
B．乙得
分的概率是
C．乙得
分的概率是
D．乙得分的概率是
【答案】ABC
【分析】根据古典概型概率公式结合组合数计算即可.
【详解】设乙的得分为
，则由题意
的所有可能取值为0，10，25，40，
所以
，
，
，
，
故选：ABC
例4．某研究小组为研究经常锻炼与成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100 名学生进行调查，
其中有体育锻炼习惯的有45 人．经调查，得到这100 名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在
600 分以上的为优秀，其余为合格．
5
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(1)请完成下列
列联表．根据小概率值
的独立性检验，分析成绩优秀与体育锻炼有没有关系．
经常锻
炼
不经常锻炼
合计
合格
25
优秀
10
合计
100
(2)现采取分层抽样的方法，从这100 人中抽取10 人，再从这10 人中随机抽取5 人进行进一步调查，记抽
到5 人中优秀的人数为X，求X 的分布列．
附：
，其中
．
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)列联表见解析；成绩优秀与是否经常体育锻炼有关联
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据题意，得到
列联表，求得
的值，结合附表，即可得到结论；
（2）根据题意，求得抽取的10 人中合格有人，优秀的为人，得到
服从超几何分布，得出
的可能
值，求得相应的概率，列出分布列.
【详解】（1）解：根据题意，得到
列联表
经常锻
炼
不经常锻炼
合计
合格
25
45
70
优秀
20
10
30
6
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合计
45
55
100
零假设
：成绩是否优秀与是否经常体育锻炼无关，
可得
．
根据小概率值
的独立性检验，推断
不成立，
所以
的把握认为成绩优秀与是否经常体育锻炼有关联.
（2）解：根据频率分布直方图，可得大于600 分的频率为
，
小于600 分的频率为
，
所以由分层抽样知，抽取的10 人中合格有
人，优秀的为
人，
则从这10 人中随机抽取5 人，优秀人数
服从超几何分布，
由题意
的可能值为0，1，2，3
可得
，
，
，
所以随机变量
分布列为
X
0
1
2
3
P
练习6．第三十一届世界大学生夏季运动会于2023 年8 月8 日晚在四川省成都市胜利闭幕．来自113 个国
家和地区的6500 名运动员在此届运动会上展现了青春力量，绽放青春光彩，以饱满的热情和优异的状态谱
写了青春、团结、友谊的新篇章．外国运动员在返家时纷纷购买纪念品，尤其对中国的唐装颇感兴趣．现
随机对200 名外国运动员（其中男性120 名，女性80 名）就是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如下：
有兴趣
无兴
趣
合计
7
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男性运动员
80
40
120
女性运动员
40
40
80
合计
120
80
200
(1)是否有
的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”；
(2)按分层抽样的方法抽取6 名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取3 名运动员作进一步采访，记3 名
运动员中男性有
名，求
的分布列与数学期望．
参考公式：
临界值表：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【答案】(1)没有
的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关
(2)分布列见解析，期望为2
【分析】（1）根据卡方的计算即可求解，
（2）由超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列.
【详解】（1）由已知
故没有
的把握认为“外国运动员对店装感兴趣与性别有关”
（2）按分层抽样的方法抽取6 名对唐装有兴趣的运动员，则其中男性运动员4 名，
女性运动员2 名，则
的分布列如下表
1
2
3
练习7．某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100 名学员进行测试，并根据该项
8
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技能的评价指标，按
分成8 组，得到如图
所示的频率分布直方图．
(1)求a 的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在
和
内的学员中随机抽取12 名，再从这12 名学员中
随机抽取5 名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在
内的学员人数为
，求
的分布列与
数学期望．
【答案】(1)
，
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）由频率分布直方图概率之和为求出
，再由频率直方图中位数的计算方法求解即可；
（2）求出
的可能取值，及其对应的概率，即可求出分布列，再由数学期望公式即可得出答案.
【详解】（1）由直方图可知
，
解得
．
因为
，
，
所以学员该项技能的评价指标的中位数在
内．
设学员该项技能的评价指标的中位数为
，则
，
解得
．
9
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（2）由题意可知抽取的12 名学员中该项技能的评价指标在
内的有4 名，在
内的有8 名．
由题意可知
的所有可能取值为
．
，
，
，
，
，
则
的分布列为
0
1
2
3
4
练习8．一个口袋中有4 个白球，2 个黑球，每次从袋中取出一个球
(1)若不放回的取2 次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；
(2)若不放回的取3 次球，求取出白球次数X 的分布列及
.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，2
【分析】（1）问题相当于“从3 个白球，2 个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，进而求得.（2）不
放回的依次取出3 个球，则取到白球次数X 的可能取值为1，2，3，计算出各自对应的概率，求得X 的分
布列，从而利用公式求得．
【详解】（1）问题相当于“从3 个白球，2 个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，
所以所求概率
；
（2）不放回的依次取出3 个球，则取到白球次数X 的可能取值为1，2，3，
则
；
；
.
10
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则X 的分布列为：
故
.
练习9．某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽
取9 箱进行检测，其中有5 箱为一等品.
(1)若从这9 箱产品中随机抽取3 箱，求至少有2 箱是一等品的概率；
(2)若从这9 箱产品中随机抽取3 箱，记
表示抽到一等品的箱数，求
的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）有古典概型概率计算公式以及组合数的计算即可求解.（2）利用超几何分布的知识求得分布
列以及期望.
【详解】（1）设从这9 箱产品中随机抽取的3 箱产品中至少有2 箱是一等品的事件为
，则
，
因此从这9 箱产品中随机抽取3 箱，求至少有2 箱是一等品的概率为
.
（2）由题意可知
的所有可能取值为
，由超几何分布概率公式得
，
，
，
，
所以
的分布列为：
0
1
2
3
11
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所以
.
练习10．下表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在
分数段内的学生
人数为21.`
分数段
频率
0.1
0.15
0.2
0.2
0.15
0.1
*
(1)求测试成绩在
分数段内的人数；
(2)现欲从
分数段内的学生中抽出2 人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为
，求
分数段内男生的人数；
(3)若在
分数段内的女生为4 人，现欲从
分数段内的学生中抽出3 人参加培优小组，
为分配
到此组的3 名学生中男生的人数．求
的分布列及期望
【答案】(1)6
(2)2
(3)分布列见解析，
【分析】（1）利用在
分数段内的学生数为21 人求出高二年级某班学生总数，再利用频率和为1 求
出，两数相乘可得答案；
（2）设男生有
人，根据抽出2 人这2 人都是男生的概率为
，解得
可得答案；
（3）求出在
分数段内的学生人数及男生人数，可得
的取值及对应的概率，可得分布列和期望.
【详解】（1）某班学生共有
人，
因为
，所以
，
12
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所以测试成绩在
分数段内的人数为
人.
（2）由（1）知在
分数段内的学生有6 人，设男生有
人，
若抽出2 人至少有一名男生的概率为
，
则
，解得
，所以在
分数段内男生有2 人.
（3）在
分数段内的学生有
人，所以男生有2 人，
X 的取值有
，
，
，
，
X 的分布列为
0
1
2
.
题型三
二项分布
例5．某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100 名学生的A，B 两门学科成绩作为样本．将他们的A
学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70 分为良好．已知他们中B 学科良好的有50 人，
两门学科均良好的有40 人．
13
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(1)根据所给数据，完成下面的2×2 列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A
学科良好与B 学科良好有关；
B 学科良好
B 学科不够良好
合计
A 学科良好
A 学科不够良好
合计
(2)用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3 人，记这3 人中A，B 学科均良
好的人数为随机变量X，求X 的分布列与数学期望．
附：
，其中
．
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.15
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
2.072
【答案】(1)填表见解析，有95%把握认为A 学科良好与B 学科良好有关
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）根据频率分布直方图计算可得出A 学科良好的人数，进而即可得出2×2 列联表.根据公式计
算得出
的值，比较即可根据独立性检验得出答案；
（2）根据（1）得出AB 学科均良好的概率
，可知
.然后计算得出
取不同值的概率，列
出分布列，根据期望公式即可得出答案.
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【详解】（1）由直方图可得A 学科良好的人数为
，
所以2×2 列联表如下：
B 学科良好
B 学科不够良好
合计
A 学科良好
40
30
70
A 学科不够良好
10
20
30
合计
50
50
100
假设
：A 学科良好与B 学科良好无关，
，
所以有95%把握认为A 学科良好与B 学科良好有关．
（2）AB 学科均良好的概率
，
X 的可能取值为0，1，2，3，且
．
所以
，
，
，
．
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
因为
，所以
．
例6．近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广
泛，已逐渐成为社交平台发展的新方向，同时出现了利用短视频平台进行直播销售的模式.已知甲公司和乙
公司两家购物平台所售商品类似，存在竞争关系.现对某时段100 名观看过这两家短视频的用户与使用这两
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家购物平台购物的情况进行调查，得到如下数据：
选择甲公司购物平台
选择乙公司购物平台
合计
用户年龄段为
岁
30
20
50
用户年龄段为
岁
20
30
50
合计
50
50
100
(1)能否有
的把握认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关？
(2)为了了解用户观看两家短视频后选择哪家公司购物的原因，用频率近似概率，从观看过这两家短视频的
年龄段为1924 岁和2534 岁的用户中各抽取2 名用户进行回访，求抽出的4 人中选择甲公司购物的人数恰
好为2 的概率.
参考公式：
，其中
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)有
的把握认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关联
(2)
【分析】（1）根据题意中的数据，由卡方的计算公式，结合独立性检验的思想即可写结论；
（2）由题意，根据二项分布的定义和二项分布求概率公式计算即可求解.
【详解】（1）根据列联表中的数据，则
，
所以有
的把握认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关联.
（2）设从观看过这两家短视频的年龄段为19~24 岁的用户中抽取的2 名用户中选择甲公司购物的人数为
，则
.
设从观看过这两家短视频的年龄段为25~34 岁的用户中抽取的2 名用户中选择甲公司购物的人数为
，则
.
设“抽出的4 人中选择甲公司购物的人数恰好为2”为事件A，
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则
.
因为
，
，
，
所以
.
练习11．某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1 到4 号的四个箱子中随机放入奖品，每个箱
子中放入的奖品个数
满足
，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规
定：当箱子中奖品的个数超过3 个时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游
戏的同学依次从1 到4 号箱子中取奖品，4 个箱子都取完后该同学结束游戏．甲、乙两人依次参与该游戏．
(1)求甲能从1 号箱子中取走一个奖品的概率；
(2)设甲游戏结束时取走的奖品个数为
，求
的概率分布与数学期望；
(3)设乙游戏结束时取走的奖品个数为
，求
的数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
(3)
【分析】（1）先求得
，然后求得
的概率分布，进而求得甲能从1 号箱子中取走一个奖品的概率.
（2）根据二项分布的知识求得
的概率分布，进而求得数学期望.
（3）根据二项分布的期望计算公式求得正确答案.
【详解】（1）因为每个箱子中放入的奖品个数
满足
，
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所以
，则
，所以
的概率分布为：
1
2
3
4
5
P
设事件
为甲能从1 号箱子中取走一个奖品，
则
，
所以甲能从1 号箱子中取走一个奖品的概率为
.
（2）
，因为甲能从每个箱子中取走一个奖品的概率为
，所以
，
所以
，
，X 的概率分布为：
0
1
2
3
4
所以X 的数学期望为
．
或
．
（3）乙能从箱子中取到奖品必须箱子中最初有5 个奖品，即乙能从每个箱子中取走一个奖品的概率为
，所以
，所以Y 的数学期望为
．
练习12．设甲、乙两位同学上学期间，每天
之前到校的概率均为
．假定甲、乙两位同学到校情况
互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用
表示甲同学上学期间的三天中
之前到校的天数，求随机变量
的分布列；
(2)设
为事件“上学期间的三天中，甲同学在
之前到校的天数比乙同学在
之前到校的天数恰好
多
”，求事件
发生的概率．
【答案】(1)分布列见解析
18
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(2)
【分析】（1）根据二项分布概率公式可求得
每个取值对应的概率，由此可得分布列；
（2）事件
，根据互斥、独立事件、和事件概率公式可求得结果.
【详解】（1）由题意知：
，则
所有可能的取值为
，
；
；
；
；
的分布列为：
（2）设乙同学上学期间的三天中
之前到校的天数为
，则
，
事件
．
由题意知：事件
与
互斥，且事件
与
，事件
与
均相
互独立，
.
练习13．某公司使用甲、乙两台机器生产芯片，已知每天甲机器生产的芯片占产量的六成，且合格率为
；乙机器生产的芯片占产量的四成，且合格率为
，已知两台机器生产芯片的质量互不影响. 现对
某天生产的芯片进行抽样.
(1)从所有芯片中任意抽取一个，求该芯片是不合格品的概率；
(2)现采用有放回的方法随机抽取3 个芯片，记其中由乙机器生产的芯片的数量为
，求
的分布列以及数
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学期望
.
【答案】(1)0.056
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据全概率公式即可求得答案；
（2）确定
，由二项分布的概率计算可求得分布列，根据期望公式即可求得数学期望.
【详解】（1）记事件
表示芯片来自甲机器生产，事件
表示芯片来自乙机器生产，事件
表示取到的
是合格品；
则
.
（2）由题意得，
，
故
，
所以
的分布列为
0
1
2
3
故
.
练习14．卡塔尔世界杯的吉祥物“拉伊卜”引发网友和球迷喜爱，并被亲切地称为“饺子皮”.某公司被
授权销售以“拉伊卜”为设计主题的精制书签.该精制书签的生产成本为50 元/个，为了确定书签的销售价
格，该公司对有购买精制书签意向的球迷进行了调查，共收集了200 位球迷的心理价格来估计全部球迷的
心理价格分布.这200 位球迷的心理价格对应人数比练习分布如下图：
20
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若只有在精制书签的销售价格不超过球迷的心理价格时，球迷才会购买精制书签.公司采用常见的饥饿营销
的方法刺激球迷购买产品，规定每位球迷最多只能购买一个该精制书签.设每位球迷是否购买该精制书签相
互独立，精制书签的销售价格为
元/个(
).
(1)若
，已知某时段有3 名球迷有购买意向而咨询公司，设
为这3 名球迷中购买精制书签的人数，
求
的分布列和期望；
(2)假设共有
名球迷可能购买该精制书签，请比较当精制书签的售价分别定为70 元和80 元时，哪种售价
对应的总利润的期望最大?
【答案】(1)分布列见解析，
(2)当精制书签的销售价格定为70 元时，对应的总利润的期望最大
【分析】（1）先确定购买该精制书签的概率，根据二项分布的概率得分布列与数学期望；
（2）根据随机变量之间的关系确定当
，
时的
与
的关系，即可判断得结论.
【详解】（1）当
时，由样本数据估计球迷购买该精制书签的概率为
.
因每位球迷是否购买该精制书签相互独立，
∴
，X 的可能取值为
.
；
其分布列为：
0
1
2
3
其期望为
.
（2）设该公司销售该精制书签所得总利润为
元，
21
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当
时，由样本数据估计球迷购买该精制书签的概率为
，
此时
；
当
时，由样本数据估计球迷购买该精制书签的概率为
.
此时
；
∵
，所以当精制书签的销售价格定为70 元时，对应的总利润的期望最大.
练习15．“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解
学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取
人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小
时），分别位于区间
，
，
，
，
，
，用频率分布直方图表示如下，假
设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.
(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间
的概率；
(2)从全校学生中随机选取人，记
表示这人一周参加课后活动的时间在区间
的人数，求
的分
布列和数学期望
.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据频率分布直方图计算对应的频率即为所求概率；
（2）用频率估计概率，可知
，利用二项分布概率公式可求得
每个取值对应的概率，由此可
22
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得分布列；根据二项分布数学期望公式可求得
.
【详解】（1）由频率分布直方图知：
人中，一周参加课后活动的事件位于区间
的频率为
，
用频率估计概率，全校学生一周参加课后活动的时间位于区间
的概率为
.
（2）用频率估计概率，从全校学生中随机抽取人，则该人一周参加课后活动的事件在区间
的概率
，
，
则
所有可能的取值为
，
；
；
；
；
的分布列为：
数学期望
.
题型四
二项分布的概率最大问题
例7．若
，则
取得最大值时，
.
【答案】6 或7
【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式列不等式即可求解．
【详解】由题意可知，
服从二项分布，
所以
，
23
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，
且
，
由不等式
，即
，解得
，
所以
时，
，
时，
，其中当
时，
，
所以
或7 时，
取得最大值．
故答案为：6 或7．
例8．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速
还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100 名盲拧魔方
爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
用时/秒
男性人数
17
21
13
9
女性人数
8
10
16
6
以这100 名盲拧魔方爱好者用时不超过10 秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10 秒的概
率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10 秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20 名盲拧
魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10 秒的人数最有可能（即概率最大）是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】求出1 名盲拧魔方爱好者用时不超过10 秒的概率，确定
，即可表示出
，列
不等式组求
最大时k 的值，即可得答案.
【详解】根据题意得，1 名盲拧魔方爱好者用时不超过10 秒的概率为
，
设随机抽取的20 名盲拧魔方爱好者中用时不超过10 秒的人数为
，
则
，其中
，
24
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时，
；
显然
，即
不可能为
最大值，
当
时，由
得
，
化简得
，解得
，
又
这20 名盲拧魔方爱好者中用时不超过10 秒的人数最有可能是5，
故选：C．
练习16．设随机变量
，记
，
．在研究
的最大值时，某学习
小组发现并证明了如下正确结论：若
为正整数，当
时，
，此时这两项概率均为
最大值；若
不为正整数，则当且仅当
取
的整数部分时，
取最大值．某同学重复投掷一
枚质地均匀的骰子并实时记录点数1 出现的次数．当投掷到第20 次时，记录到此时点数1 出现4 次，若继
续再进行80 次投掷试验，则在这100 次投掷试验中，点数1 总共出现的次数为 的概率最大．
【答案】17
【分析】直接根据
服从二项分布
，结合
取整数部分可得后面
80 次出现点数1 的次数为13 概率最大，从而得解.
【详解】继续再进行80 次投掷试验，出现点数为1 次数
服从二项分布
，
由
，结合题中结论可知，
时概率最大，即后面80 次中出现13 次点数1
的概率最大，
25
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加上前面20 次中的4 次，所以出现17 次的概率最大.
故答案为：17.
练习17．近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，
改变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3 次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3 次甚至
从不在网上买菜的市民认定为"不喜欢网上买菜".某市
社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了
该社区100 名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买
菜
不喜欢网上买菜
合计
年龄不超过45 岁的市民
40
10
50
年龄超过45 岁的市民
20
30
50
合计
60
40
100
(1)是否有99.9%的把握认为
社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关?
(2)
社区的市民李华周一、周二均在网上买菜，且周一从
，
两个买菜平台随机选择其中一个下单买
菜.如果周一选择
平台买菜，那么周二选择
平台买菜的概率为
；如果周一选择
平台买菜，那么周二
选择
平台买菜的概率为
，求李华周二选择平台
买菜的概率；
(3)用频率估计概率，现从
社区市民中随机抽取20 名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为
，事件
“
”的概率为
，求使
取得最大值时的
的值.
参考公式：
，其中
.
0.1
0.05
0.0
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)有99.9%的把握认为
社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
(2)
(3)12
【分析】（1）根据题意，计算出
的值即可求解；
26
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（2）根据概率的乘法公式求解；
（3）利用二项分布求出
，然后计算，可得结果.
【详解】（1）零假设
社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关，
由题可得，
，
所以零假设不成立，
所以有99.9%的把握认为
社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
（2）周二选择
平台买菜的情况有：
①周一选择
平台买菜，周二选择
平台买菜，概率为
,
②周一选择
平台买菜，周二选择
平台买菜，概率为
,
所以李华周二选择平台
买菜的概率为
.
（3）由表知，喜欢网上买菜的频率为
，则
,
所以
设
，
令
，解得
，
；
，解得
，
所以当
时，
最大，
所以使
取得最大值时的
的值为12.
27
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练习18．为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防毒拒毒意识”，我市组织
开展青少年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP”，参加各种学习活动，同时热衷
于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20 分，第1 个达到100 分的
比赛者获得第1 名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20 局，前2 局是有效局，根据得分
情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1 局获得第1 名的得3 分，获得第2､3 名的得2 分，获
得第4 名的得1 分；第2 局获得第1 名的得2 分，获得第2､3､4 名的得1 分；后18 局是无效局，无论获得
什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1 局四人赛中获得3 分､2 分､1 分的概率分别为
，
，
，在第2 局四人赛中获得2 分､1 分的概率分别为
，
.
(1)设小明每天获得的得分为X，求X 的分布列和数学期望；
(2)若小明每天赛完20 局，设小明在每局四人赛中获得第1 名从而赢得该局比赛的概率为
，每局是否赢
得比赛相互独立，请问在每天的20 局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)在每天的20 局四人赛中，小明赢得5 局的比赛概率最大
【分析】（1）记事件
表示第一局获得分，事件
表示第二局获得分，
的可能值
为5，4，3，2，根据事件相互独立求出
的分布列、数学期望；
（2）设小A 每天赢得的局数为
，则
，从而得到关于
的不等式组，解之即可得解.
【详解】（1）记事件
表示第一局获得分，事件
表示第二局获得分，
这些事件相互独立，由条件知
的可能值为5，4，3，2.
；
；
；
28
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.
则其分布列为
5
4
3
2
所以
.
（2）设小明每天赢得的局数为
，则易知
，
于是
.
假设赢得
局的概率最大，则据条件得
，
即
，
整理得
，解之得
，
又因为
，所以
，
因此在每天的20 局四人赛中，小明赢得5 局的比赛概率最大.
练习19．在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯．某研究小组为研究转笔与学习成绩好
差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100 名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有45 人．经调查，
得到这100 名学生近期考试的分数的频率分布直方图．记分数在600 分以上的为优秀，其余为合格．
29
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(1)请完成下列2 2 列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过
的条件下，认为成绩是否优秀与上课是
否转笔有关．
上课转
笔
上课不转笔
合计
合格
25
优秀
10
合计
100
(2)现采取分层抽样的方法，从这100 人中抽取10 人，再从这10 人中随机抽取5 人进行进一步调查，记抽
到5 人中合格的人数为
，求
的分布列和数学期望．
(3)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20 人进行调查，记20 人中上课转笔的人数为
的
概率为
，当
取最大值时，求k 的值．
附：
，其中
k
【答案】(1)列联表见解析，有
的把握认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关.
(2)分布列见解析，
.
(3)
.
【分析】（1）由卡方独立性检验计算可得；
（2）由超几何分布的概率计算公式可得；
（3）由二项分布的概率公式，结合求概率最大的方法
可得.
30
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【详解】（1）
上课转
笔
上课不转笔
合计
合格
25
45
70
优秀
20
10
30
合计
45
55
100
零假设
：成绩是否优秀与上课是否转笔无关.
根据小概率值
的独立性检验，推断
不成立，
所以有
的把握认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关.
（2）根据频率分布直方图大于600 分的频率为
，
小于600 分的频率为
，
故由分层抽样知，抽取的10 人中合格有
人，优秀的为
人，
则从这10 人中随机抽取5 人，合格人数
服从超几何分布，
由题意
的可能值为
，
故
，
，
，
，
故分布列为
2
3
4
5
.
（3）由题意随机抽取1 人则其上课转笔的概率为
，
31
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故根据题意
，则
，
若上课转笔的人数为
时，
最大，
则
，
解得
，故
，
所以当
最大时，
.
练习20．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，一般地，果径越大售价
越高.为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验，其
中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100 个果实，按果
径分成5 组进行统计：
（单位：mm）.统计后分别制成如下的频率
分布直方图，并规定果径达到36 mm 及以上的为“大果”.
(1)估计实验园的“大果”率；
(2)现采用分层抽样的方法从对照园选取的100 个果实中抽取10 个，再从这10 个果实中随机抽取3 个，记
其中“大果”的个数为X，求X 的分布列；
(3)以频率估计概率，从对照园这批果实中随机抽取n（
，
）个，设其中恰有2 个“大果”的概
率为
，当
最大时，写出n 的值.
【答案】(1)60%
(2)分布列见解析
32
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(3)6
【分析】（1）由频率分布直方图求出频率，得到实验园的“大果”率；
（2）求出
的可能取值及对应的概率，得到
的分布列；
（3）根据
，求出n 的取值范围，由
求出答案.
【详解】（1）由题中实验园的频率分布直方图得这100 个果实中大果的频率为（
，
所以估实验园大果率为60%.
（2）由题中对照园的频率分布直方图得，这100 个果实中大果的个数为（（
采
用分层抽样的方法从对照园选取的100 个果实中抽取10 个，其中大果有
，
从这10 个果实中随机抽取3 个，其中“大果”的个数
的可能取值为0，1，2，3，
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
（3）由题可知
，
要使
最大，则
且
，
∴
，又∵
，
∴
.
题型五
二项分布与超几何分布的综合
例9．2023 年5 月，某高中开展了“最美寝室”文化布置评比活动，学生会成员随机抽取了12 间寝室进行
量化评估，其中有4 间寝室被评为优秀寝室.
(1)现从这12 间寝室中随机抽取3 间，求有1 间优秀的概率；
(2)以这12 间寝室的评估情况来估计全校寝室的文化布置情况，若从全校所有寝室中任选3 间，记X 表示
抽到优秀的寝室间数，求X 的分布列和期望.
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【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据组合数公式，结合超几何分布的概率公式，即可求解；
（2）首先由题意可得
，再根据二项分布概率公式，即可求分布列和数学期望.
【详解】（1）设
表示所抽取的3 间寝室中有间寝室优秀，抽取的3 间寝室中有1 间优秀为事件
，
则
；
（2）由题表数据可知，从12 间寝室中任选1 间是优秀的概率为
，
由题可知
的所有可能取值为
，则
，
，
所以
的分布列为
0
1
2
3
.
例10．某学校从全体师生中随机抽取30 位男生、30 位女生、12 位教师一起参加社会实践活动.
(1)假设30 位男生身高均不相同，记其身高的第80 百分位数为
，从学校全体男生中随机选取3 人，记
为3 人中身高不超过
的人数，以频率估计概率求
的分布列及数学期望；
(2)从参加社会实践活动的72 人中一次性随机选出30 位，记被选出的人中恰好有
个男生的
概率为
，求使得
取得最大值的
的值.
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
；
(2)
.
34
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【分析】（1）
所有可能的取值为
，且
，根据二项分布的概率公式求解，从而可得
分布列与期望；
（2）设事件
为“被选出的人中恰好有
位男生”，求解
即可.
【详解】（1）
所有可能的取值为
，且
.
；
；
；
.
故
的分布列为
0
1
2
3
0.008
0.096
0.384
0.512
所以
.
（2）设事件
为“被选出的人中恰好有
位男生”，
则30 个人中剩下
个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为
，
所以
.
所以
，解得
.
所以
，
故当
时，
最大.
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练习21．2022 年2 月20 日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办
推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动，某校组织了一次全校冰雪运动知识竞
赛，并抽取了100 名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：
竞赛得
分
频率
0.1
0.1
0.3
0.3
0.2
(1)如果规定竞赛得分在
为“良好”，竞赛得分在
为“优秀”，从成绩为“良好”和“优
秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取10 个学生，问各抽取多少人？
(2)在（1）条件下，再从这10 学生中抽取6 人进行座谈，求至少有3 人竞赛得分都是“优秀”的概率；
(3)以这100 名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的
概率.现从该校学生中随机抽取3 人，记竞赛得分为“优秀”的人数为
，求随机变量
的分布列及数学期
望.
【答案】(1)6 人，4 人
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】(1)结合频率分布表，求出抽样比，进而即可得到答案；(2)结合超几何分布即可求解；(3)结合已
知条件，利用二项分布即可求解.
【详解】（1）因为成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计
，共
人，抽样比为
，
所以成绩为“良好”的抽取
人，成绩为“优秀”的抽取
人．
（2）抽取的6 人中至少有3 人竞赛得分都是“优秀”可以分成两类：3 个优3 个良和4 个优2 个良，
故至少有3 人竞赛得分都是“优秀”的概率
.
（3）由题意知，
的可能取值，，
，．
由题可知，任意1 名学生竞赛得分“优秀”的概率为
，竞赛得分不是“优秀”的概率为
．若以频率估计概率，则
服从二项分布
，
36
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；
；
；
．
故
的分布列为
数学期望
.
练习22．某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现
场设置了抽奖环节．在盒中装有9 张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普
法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参
与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重
复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，
从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是
．”
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9 张卡片的盒中随机抽出1 张不放回，再用剩下8 张
卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X 表示获奖的人数，求X 的分布列
和均值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设“扫黑除恶利国利民”卡有n 张，根据题意求出n，再计算抽奖者获奖的概率即可；
（2）在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为
，则X～B
，写出分布列和期望即可．
【详解】（1）设“扫黑除恶利国利民”卡有n 张，由
＝
，得n＝4，
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故“普法宣传人人参与”卡有5 张，抽奖者获奖的概率为
＝
．
（2）在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为
×
＋
×
＝
，
所以X～B
，则
，（k＝0，1，2，3），
X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝3×
＝
．
练习23．某试验机床生产了12 个电子元件，其中8 个合格品，4 个次品．从中随机抽出4 个电子元件作为
样本，用X 表示样本中合格品的个数．
(1)若有放回的抽取，求X 的分布列与期望；
(2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比练习与总体中合格品的比练习之差的绝对值不超过
的概率．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
.
(2)
【分析】（1）依题意可得X 的可能取值为0、1、2、3、4，求出对应的概率，即可列出分布列、求出数学
期望.
（2）总体中合格品的比练习为
，样本中合格品的比练习与总体中合格品的比练习之差的绝对值不超过
即样品中合格品的比练习大于
小于
.
(1)
有放回的抽取
，
，
根据题意可得X 的可能取值为0、1、2、3、4，
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所以
,
,
,
,
.
X 的分布列为：
P
0
1
2
3
4
X
所以X 的数学期望
.
(2)
由题意得总体中合格品的比练习为
，
因为样本中合格品的比练习与总体中合格品的比练习之差的绝对值不超过
，
所以样本中样品中合格品的比练习大于
小于
，即样品中合格品的个数为2 或3.
,
。
所以
练习24．甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10 道题中，甲答对其中每道题的概率都是
，乙能答
对其中的5 道题.规定每次考试都从备选的10 道题中随机抽出3 道题进行测试，答对一题加10 分，答错一
题（不答视为答错）减5 分，至少得15 分才能入选.甲乙两人的答题情况相互独立
(1)求甲得分的分布列和数学期望；
(2)求甲、乙两人同时入选的概率；
【答案】(1)分布列见解析，12
(2)
【分析】（1）由二项分布概率公式求解
（2）由概率的加法与乘法公式求解
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【详解】（1）设甲答对的题目数量为随机变量X，则
得分为随机变量Y，
，
，
，
Y
-15
0
15
30
P
（2）设乙入选的事件为
，则
甲入选的概率为
甲乙同时入选的概率为
练习25．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8 个试题中随机挑选出4 个进行作答，至少答对3
个才能通过初试，已知甲、乙两人参加初试，在这8 个试题中甲能答对6 个，乙能答对每个试题的概率为
，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.
（1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；
（2）若答对一题得5 分，答错或不答得0 分，记乙答题的得分为
，求
的分布列.
【答案】（1）甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）见解析
【分析】（1）根据条件答对3 题或4 题才能通过初试，再由8 个试题中甲能答对6 个，知甲通过初试的概
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率计算属于超几何分布概率计算，而乙能答对每个试题的概率为
，知乙通过初试的概率计算属于二项分
布概率计算，根据各自的概率计算公式即可求解.
（2）设乙答对试题的个数为
，得
，由
的可能取值及乙能答对每个试题的概率为
知：
，根据二项分布概率计算公式及
与
的关系可得到
的分布列.
【详解】解：（1）参加自主招生的学生从8 个试题中随机挑选出4 个进行作答，至少答对3 个才能通过初
试，在这8 个试题中甲能答对6 个，
甲通过自主招生初试的概率
，
参加自主招生的学生从8 个试题中随机挑选出4 个进行作答，至少答对3 个才能通过初试，
在这8 个试题中乙能答对每个试题的概率为
，
乙通过自主招生初试的概率
，
，
甲通过自主招生初试的可能性更大.
（2）根据题意，乙答对题的个数
的可能取值为0，1，2，3，4，
因为乙能答对每个试题的概率为
，
所以
，
且
，
的概率分布列为：
0
5
10
15
20
【点睛】本题考查超几何分布与二项分布的概率计算，二项分布的分布列及性质，关键在于熟知二项分布
与超几何分布的区别，根据条件能准确识别.
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题型六
正态分布求概率
例11．已知某工厂生产零件的尺寸指标
，单位为
.该厂每天生产的零件尺寸在
的数量为818600，则可以估计该厂每天生产的零件尺寸在15.15 以上的数量为（ ）
参考数据：若
，则
，
，
.
A．1587
B．2275
C．2700
D．1350
【答案】D
【分析】由正态分布得
，
，零件尺寸在
的概率为
，零件尺寸在
15.15 以上的概率为
，根据已知求得其概率后可得所求零件数．
【详解】由已知
，
，
，
零件尺寸在15.15 以上的概率为
，
设零件尺寸在15.15 以上的零件数为
，
则
，
，
故选：D．
例12．一批灯泡的使用时间
（单位：小时）服从正态分布
，则这批灯泡使用时间在
内的概率是 ．
【答案】
【分析】利用3
原则即可得到概率.
【详解】因为
，
，
则
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故答案为：
.
练习26．甲､乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩
，乙地学生的成绩
.下图分别是其正态分布的密度曲线，则（ ）
（若随机变量
，则
，
，
）
A．甲地数学的平均成绩比乙地的高
B．甲地数学成绩的离散程度比乙地的小
C．
D．若
，则
【答案】D
【分析】根据正态曲线比较两地平均值可判断A；根据曲线的特征比较成绩的离散程度判断B；根据正态
曲线的对称性可判断C，根据特殊区间的概率值可判断D.
【详解】对于A，由正态曲线可知甲地数学平均分为90 分，乙地数学平均分为100 分，
故甲地数学的平均成绩比乙地的低，A 错误；
对于B，由正态分布曲线可看出乙地数学成绩更集中，
故甲地数学成绩的离散程度比乙地的大，B 错误；
对于C，由于
，根据正态分布曲线的对称性可知
，
C 错误；
对于D，
，
，
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，D 正确，
故选：D
练习27．某田地生长的小麦的株高
服从正态分布
，则
（ ）
（附：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
）
A．0.6827
B．0.8186
C．0.9545
D．0.9759
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性及所提供数据运算即可.
【详解】由题知，
，
所以
.
故选：B
练习28．（多选）已知在一次数学测验中，某校1000 学生的成绩服从正态分布
，其中90 分为
及格线，120 分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有(参考数据：①
；②
；③
（ ）
A．标准差为100
B．及格率超过
C．得分在
内的人数约为997
D．得分低于80 的人数和优秀的人数大致相等
【答案】CD
【分析】利用正态分布中两个量
和
的意义，以及曲线的对称性即可判断各选项正误.
【详解】由题意知，
，
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A：标准差：
，故A 错误；
B：
，
，故B 错误；
C：
，
人，故C 正确；
D：
，
因为成绩服从标准正态分布，
，故D 正确.
故选：CD
练习29．（多选）装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀
系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数
，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数
，则下列选项正确的是（ ）．
（附：若
，则
，
，
）
A．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在
的概率约为0.7685
B．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中
C．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大
D．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数为
，则甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率约为
乙生产线的2 倍
【答案】BD
【分析】根据正态分布性质及对应特殊区间上的概率计算分别判断各个选项即可.
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【详解】因为
，所以
，
．
因为
，所以
，
．
因为
，故A 错误．
因为
，所以甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，故B 正确．
因为
，
，
所以
，所以甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大，故C 错误．
因为
，
，所以D 正确．
故选：BD.
练习30．假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170（单位：
，下同），标准差为10.
在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：
(1)不高于170 的概率；
(2)在区间
内的概率；
(3)不高于180 的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用正态分布将指定区间上的概率转化为特殊区间上的概率求解.
【详解】（1）设该学生的身高为X，由题意可知
易知
.
（2）因为均值为170，标准差为10，而
，
所以
.
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（3）由概率的加法公式可知
.
又由（2）以及正态曲线的对称性可知
，
因此
题型七
正态分布的对称
例13．已知随机变量
服从正态分布
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．6
【答案】D
【分析】由正态分布性质可得答案.
【详解】因为
，所以
，因为随机变量服从正态分布
，所以
，解得：
.
故选：D.
例14．设随机变量
服从正态分布
，且
，
，则
.
【答案】
/
【分析】由题意可得
，由
可求出
，而
与
关于
对称，
由正态分布的对称性即可求出
.
【详解】因为随机变量
服从正态分布
，且
，
所以
，又
，所以
，
所以
，而
与
关于
对称，
所以
.
故答案为：
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练习31．（多选）设随机变量ξ 服从正态分布
，若
，则下列结论正确的为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据正态分布的对称性，以及正态分布的性质，即可判断选项.
【详解】因为
，根据正态分布的对称性，可知，
，故A 正确；
根据对称性可知，
，故B 错误；
因为
，所以
，故C 错误；
根据对称性可知，
，故D 正确.
故选：AD
练习32．已知随机变量
，若
，则实数
的值为 .
【答案】1
【分析】根据正态分布的对称性即可解得实数
的值；
【详解】由随机变量
，且
，
所以
与
关于
对称，
即
，解得
；
故答案为：1
练习33．设随机变量
服从正态分布
，向量
与向量
的夹角为锐角的概率是
，
则
．
【答案】
【分析】先由向量夹角为锐角求得
，再利用正态分布的性质即可得解.
【详解】当向量
与向量
的夹角为锐角时，
且
不共线，
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则
，且
，解得
，
又向量
与向量
的夹角为锐角的概率是
，所以
，
又随机变量
服从正态分布
，
，
故答案为：
.
练习34．已知随机变量
，且其正态曲线在
上是增函数，在
上是减函数，且
．
(1)求参数
，
的值．
(2)求
．
附：若
，则
，
【答案】(1)
，
(2)0.1359
【分析】（1）由题设及特殊区间的概率值得到
，即可确定参数；
（2）利用正态分布的对称性求
、
，进而求目标概率值.
【详解】（1）由题设
，而
，则
，可得
.
（2）由（1）知：
，
正态曲线关于
对称 ，即
，
所以
，故
，
由
，则
，
所以
，
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综上，
.
练习35．（多选）若
，则
，
．已
知
，且
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】由正态分布的对称性求出
，再由
原则求解即可.
【详解】因为
，且
，
所以
，解得
．
．
故选：AC．
题型八
正态分布的实际应用
例15．零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品
质量，质检部门随机抽查了100 个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：
零件直径（单位：厘
米）
零件个数
10
25
30
25
10
已知零件的直径可视为服从正态分布
，
，
分别为这100 个零件的直径的平均数及方差（同一
组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.
50
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(1)分别求
，
的值；
(2)试估计这批零件直径在
的概率；
(3)随机抽查2000 个零件，估计在这2000 个零件中，零件的直径在
的个数.
参考数据：
；若随机变量
，则
，
，
.
【答案】(1)
，
;
(2)0.8186;
(3)1637．
【分析】（1）根据平均数与方差的公式即可求解.
（2）根据正态分布的性质，结合正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.
（3）根据区间
上的概率计算即可.
【详解】（1）由平均数与方差的计算公式分别得：
故
，
.
（2）设
表示零件直径，则
，即
.
51
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，
由对称性得，
，即
.
同理，
，
，即
.
.
故这批零件直径在
的概率为0.8186.
（3）由（2）知，
，
所以在这2000 个零件中，零件的直径在
的有
个.
例16．某校举办颠乒乓球比赛，现从高一年级1000 名学生中随机选出40 名学生统计成绩，其中24 名女生
平均成绩为70 个，标准差为4；16 名男生平均成绩为80 个，标准差为6.
(1)高一年级全员参加颠球比赛的成绩近似服从正态分布
，若用这40 名参赛的同学的样本平均数
和标准差（四舍五入取整数）分别作为
，
，估计高一年级颠球成绩不超过60 个的人数（四舍五入
取整数）；
(2)颠球比赛决赛采用5 局3 胜制，甲、乙两名同学争夺冠亚军，如果甲每局比赛获胜的概率为
，在甲获
胜的条件下，求其前2 局获胜的概率.
附：若
，则
，
，
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平均数、方差公式求出
、
，再根据正态分布的性质求出
，即可估计人数；
（2）设事件
表示“甲获胜”，事件
表示“甲前
局获胜”，求出
、
，再利用条件概率的
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概率公式计算可得.
【详解】（1）依题意
，即
，
，
所以
，
同理
，
所以
，
所以
，
所以
，即
，
因为
，且
，
所以
，
所以
，即估计颠球成绩不超过
个的人数为
.
（2）设事件
表示“甲获胜”，事件
表示“甲前
局获胜”，甲获胜有
，
，
三类，
对应的概率分别为
，
，
，
所以
，
，
53
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所以
，
所以在甲获胜的条件下，求其前2 局获胜的概率为
.
练习36．河北省高考从2018 年秋季高中入学的新生开始新模式，即
模式；2021 年开始，高考总成
绩由语数外＋物理、历史（选1 门）＋化学、生物、政治、地理（选2 门）等六门科目构成．现将每门选
考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、
、B、
、C、
、D、E 共8 个等级．参照正态分布原则，
确定各等级人数所占比练习分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生
总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比练习转换法则，分别转换到
、
、
、
、
、
、
、
八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年
级共2000 人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服
从正态分布
．
(1)求化学原始成绩在区间
的人数；
(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3 人，记X 表示这3 人中等级成绩在区间
的人数，求
X 的分布列和数学期望．
（附：若随机变量
，则
，
，
）
【答案】(1)1637（人）
(2)分布列见解析，
．
【分析】（1）根据物理原始成绩
，结合正态分布的对称性求解即可；
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（2）由题意
，再列出分布列，结合二项分布的数学期望求解即可.
【详解】（1）因为物理原始成绩
，
所以
．
所以化学原始成绩在
的人数为
（人）．
（2）由题意得，随机抽取1 人，其成绩在区间
内的概率为
．
所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且
，
所以
，
，
，
．
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以数学期望
．
练习37．根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X 服从正态分布
，并把钢管内径在
内的产品称为一等品，钢管内径在
内的产品称为二等品，一等品与二等品统称
为正品，其余范围内的产品作为废品回收．现从该企业生产的产品中随机抽取1000 件，测得钢管内径的样
本数据的频率分布直方图如图：
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(1)通过检测得样本数据的标准差
，用样本平均数x 作为
的近似值，用样本标准差s 作为
的估计
值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的钢管内径尺寸范围；（同一组中的数据用该组区间的中点
值代表）
(2)假如企业包装时要求把2 个一等品和
个二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出
两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B．
①试用含n 的代数式表示某箱产品抽检被记为B 的概率p；
②设抽检5 箱产品恰有3 箱被记为B 的概率为
，求当n 为何值时，
取得最大值，并求出最大值．
参考数据：
【答案】(1)
(2)①
；②当
时，
取得最大值
【分析】（1）运用频率分布直方图求得平均数，得出
的值即可求解；
（2）①运用对立事件的概率公式、古典概型概率公式求解；②利用独立重复试验的概率公式求出
，
运用导数研究函数
的单调性，进而求得最值即可．
【详解】（1）由题意，结合参考数据，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000 件的平均数为：
，所以
，
，则
，
，
，
则一等品内径在
内，即
，
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二等品内径在
内，即
，
所以该企业生产的产品为正品的范围为：
.
（2）①从
件正品中任选2 个，有
种选法，其中等级相同的有
种选法，
所以某箱产品抽检被记录为B 的概率为：
．
或者
.
②由题意，一箱产品抽检被记为B 的概率为p，
则5 箱产品恰有3 箱被记录为B 的概率为：
，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以当
时，
取得最大值
，
此时，
，解得
或
（舍去）．
所以当
时，
取得最大值
.
练习38．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民
群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升
农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019 年50 位农民的年收入并制成如下频率分布直
方图：
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(1)根据频率分布直方图，估计50 位农民的年平均收入
（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的
中点值表示）；
(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X 服从正态分布
，其中
近似为年平均收入
，
近似为样本方差
，经计算得
，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低
年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000 位农民.若每位农民的
年收入互相独立，记这1000 位农民中的年收入高于
千元的人数为
，求
.
附参考数据：
，
若随机变量X 服从正态分布
，则
，
，
.
【答案】(1)17.40
(2)①14.77；②977.3
【分析】（1）根据频率分布直方图求平均值方法可得，
（2）①根据
原则可得，②根据
原则先得每位农民年收入高于
千元的概率，根据二项分布的期
望公式可得.
【详解】（1）
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（千元），
故估计50 位农民的年平均收入
为17.40 千元.
（2）由题意知
，
①
，
所以
时，满足题意，
即最低年收入大约为
千元.
②由
，
每个农民的年收入高于
千元的事件的概率为
，
则
，其中
，
所以
.
练习39．全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．
某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000 户农户家庭年收入x（单位：万元）进行调查，并绘制
得到如下图所示的频率分布直方图．
(1)求这2000 户农户家庭年收入的样本平均数
和样本方差
（同一组的数据用该组区间中点值代表）．
(2)由直方图可认为农户家庭年收入
近似服从正态分布
，其中
近似为样本平均数
，
近似
为样本方差
．
①估计这2000 户农户家庭年收入超过9.52 万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取
4 户，即年收入不超过9.52 万元的农户家庭数为
，求
．（结果精确到0.001）
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附：①
；②若
，则
，
；③
．
【答案】(1)
，
(2)①317 户；②
【分析】（1）由平均数和方差的计算公式求解即可；
（2）①根据正态分布的对称性得出
，进而得出所求户数；②年收入不超过9.52 万元的农户家
庭数
服从二项分布，根据二项分布的概率公式求解即可.
【详解】（1）这2000 户农户家庭年收入的样本平均数
.
这2000 户农户家庭年收入的样本方差
.
（2）①农户家庭年收入
近似服从正态分布
.
因为
，所以
.
因为
，
所以这2000 户农户家庭年收入超过9.52 万元（含9.52）的户数为317.
②年收入不超过9.52 万元的农户家庭数
服从二项分布
.
所以
.
练习40．某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，
规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失
败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.
(1)若甲第一关通过的概率为
，第二关通过的概率为
，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450 分，现要根据得分给共2500 名参加者中得分前
60
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400 名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分数为171 分，351 分以上共有57 人，已知甲的得分为270 分，问甲能否获得奖励，
请说明理由；
②丙得知他的分数为430 分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201 分，351 分以上共有57 人”，
请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量
，则
；
；
.
【答案】(1)
(2)①能，理由见解析②假
【分析】（1）设
为第次通过第一关，
为第次通过第二关，计算
即可；
（2）①由
，且
，计算
，求出前400 名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可；
②假设乙所说为真，由
计算
，求出
，利用小概率事件即可得出结
论．
【详解】（1）设
：第i 次通过第一关，
：第i 次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为
，由题意
知
.
（2）设此次闯关活动的分数记为
.①由题意可知
，因为
，且
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，
所以
，则
；而
，
且
，
所以前400 名参赛者的最低得分高于
，而甲的得分为270 分，所以甲能够获得奖励；
②假设乙所说为真，则
，
，
而
，所以
，从而
，
而
，
所以
为小概率事件，即丙的分数为430 分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发
生了，所以可认为乙所说为假.
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