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专题10.7 离散型随机变量及其分布列、数字特征（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 离散型随机变量分布列】..........................................................................................................................3
【题型2 离散型随机变量分布列的性质】..............................................................................................................5
【题型3 离散型随机变量的均值】..........................................................................................................................6
【题型4 离散型随机变量的方差】..........................................................................................................................7
【题型5 均值与方差中的决策问题】......................................................................................................................8
【题型6 离散型随机变量与其他知识综合】.......................................................................................................10
1、离散型随机变量及其分布列、数字特征
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解取有限个值的离散型
随机变量及其分布列的概念
(2)理解并会求离散型随机变
量的数字特征
2023 年新高考I 卷：第21 题，
12 分
2023 年全国甲卷（理数）：第
19 题，12 分
2023 年北京卷：第18 题，13
分
2024 年新高考Ⅱ卷：第18 题，
17 分
2024 年北京卷：第18 题，13
分
2025 年全国一卷：第14 题，5
分
2025 年北京卷：第18 题
（2），5 分
2025 年上海卷：第6 题，4 分
从近几年的高考情况来看，本节是
高考的重点、热点内容，主要考查离散
型随机变量的分布列、期望与方差等，
主要以填空题和解答题的形式考查，在
填空题中考查离散型随机变量的期望与
方差，难度不大；在解答题中往往会与
概率、统计、独立性检验等内容结合考
查，难度中等，复习时需要加强这方面
的练习，灵活求解.
知识点
1 离散型随机变量及其分布列
1．随机变量与离散型随机变量
(1)随机变量
①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω 中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X
为随机变量.
②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.
2．离散型随机变量的分布列
(1)定义
1
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一般地，设离散型随机变量X 的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X 取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，
i=1，2，…，n 为X 的概率分布列，简称分布列.
(2)分布列的表格表示
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n，还可以用图形表示.
(3)离散型随机变量分布列具有的两个性质
①pi≥0，i=1，2，…，n；
②p1+p2+…+pn=1.
3．离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
4．离散型随机变量分布列的求解步骤
第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；
第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；
第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列；
第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.
知识点
2 离散型随机变量的数字特征
1．离散型随机变量的均值
(1)定义
一般地，若离散型随机变量X 的分布列如下表所示：
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则称E(X)=x1 p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为离散型随机变量X 的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映
了随机变量取值的平均水平.
(2)对均值(期望)的理解
求离散型随机变量的期望应注意：
①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.
②E(X)是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即作为随机变量，X 是可变的，可取不同值，而E(X)是不变
的，它描述X 取值的平均状态.
③均值与随机变量有相同的单位.
2．离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义
设离散型随机变量X 的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
2
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则称
为随机变量X
的方差，并称
为随机变量X 的标准差，记为
.
(2)意义
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方
差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
3．均值与方差的性质
(1)均值的性质
若离散型随机变量X 的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b 为常数，则Y 也是一个离散型随机变量，且E(Y)=
E(aX+b)=aE(X)+b.
特别地，当a=0 时，E(b)=b；
当a=1 时，E(X+b)=E(X)+b；
当b=0 时，E(aX)=aE(X).
(2)方差的有关性质
当a，b 均为常数时，随机变量Y=aX+b 的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X).
特别地，当a=0 时，D(b)=0；当a=1 时，D(X+b)=D(X)；
当b=0 时，D(aX)=a2D(X).
4．求离散型随机变量ξ 的均值与方差的步骤
(1)理解ξ 的意义，写出ξ 可能的全部值.
(2)求ξ 取每个值的概率.
(3)写出ξ 的分布列.
(4)由均值的定义求E(ξ).
(5)由方差的定义求D(ξ).
【方法技巧与总结】
1．E(k)=k，D(k)=0，其中k 为常数.
2．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).
3．D(X)=E(X2)-(E(X))2.
4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2).
【题型1 离散型随机变量分布列】
【例1】（2025·云南玉溪·二模）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0 指向”和“1 指向”，光子
的发送和接收都有A、B 两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一
致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A 模式，从两个“1 指向”、两个“0 指向”的光子中随机选
择两个依次发送，接收器每次以A 或者B 模式接收，其概率分别为1
3和2
3.每次发送和接收相互独立.
(1)求发射器第1 次发送“0 指向”光子的条件下，第二次发送“1 指向”光子的概率；
(2)记发射器共发射“0 指向”光子个数为X，求X的分布列；
3
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(3)求检测器检测到两个“1 指向”光子的概率.
【变式1-1】（2025·贵州毕节·一模）甲，乙两名射击运动员进行射击训练，无论之前射击命中情况如何，
甲每次射击命中目标的概率都为2
3，乙每次射击命中目标的概率都为1
3．
(1)甲先射击，若未命中目标则甲继续射击，若命中目标则换乙射击，直至乙命中目标就结束训练．求第三
次射击就结束训练的概率；
(2)如果甲，乙两名射击运动员轮流射击，有人命中目标就结束训练．若甲先射击，求：
①甲射击一次就结束训练的概率；
②求结束训练时甲射击次数的分布列．
【变式1-2】（2025·湖北黄冈·二模）某校高三年级拟派出甲､乙､丙三人去参加校运动会100 m跑项目.比赛
分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为3
4
；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为2
3和3
4 ；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和3
2 −p
，其中1
2 < p< 3
4
(1)甲､乙､丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲､乙､丙三人中恰有两人进入决赛的概率为29
72，求p的值；
(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列.
4
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【变式1-3】（2025·广西·模拟预测）2025 年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦孙颖莎以
､
3:1战
胜日本队组合吉村真晴大藤沙月，连续第三次夺得世乒赛混双冠军
､
.假设2026 年的一次乒乓球比赛中，S
组合与D组合相遇.每局比赛必须决出胜负，已知每局比赛D组合获胜的概率为1
5，每局比赛胜负结果相互
独立，规定先达到净胜3 局者获得比赛胜利并结束比赛（规定：净胜m局指的是一方比另一方多胜m局）.
(1)分别求恰好3 局比赛结束时D组合获得比赛胜利的概率P( A)，恰好5 局比赛结束时D组合获得比赛胜利
的概率P(B)；
(2)若规定比赛总局数达到7 局时无论是否分出胜负都直接结束比赛，求结束比赛时双方对战的总局数X的
分布列；
(3)若比赛局数不限，求D组合获得比赛胜利的概率.
【题型2 离散型随机变量分布列的性质】
【例2】（2025 高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则常数c为（ ）
X
0
1
P
9c
2−c
3−8c
A．1
3
B．2
3
C．3
4 或2
3
D．1
4
【变式2-1】（25-26 高二上·全国·单元测试）设离散型随机变量X的分布列为下表，若随机变量Y =|X −1|
，则P(Y =1)=（ ）
X
0
1
2
3
P
a+0.1
0.1
a
0.6
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
【变式2-2】（24-25 高二下·江苏南京·期中）若随机变量ξ的分布如下表：
ξ
−2
−1
1
2
3
P
0.2
0.1
2m
0.25
m
5
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则P(|ξ|<2)的值为（ ）
A．0.3
B．0.4
C．0.55
D．0.85
【变式2-3】（24-25 高二下·河北邢台·期末）设随机变量ξ的分布列如下表所示，则a=（ ）
ξ
1
2
P
4 a−15a
2
4 a
A．2
15
B．1
3
C．1
5
D．1
5或1
3
【题型3 离散型随机变量的均值】
【例3】（2025·甘肃金昌·二模）已知随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
P
m
2−2m
1
2 m
2−m
0.4
则数学期望E ( X )=（ ）
A．0.8
B．1.4
C．2m−3
D．2
【变式3-1】（2025·浙江宁波·模拟预测）将2 个小球随机地投入编号为1，2，3，4 的4 个盒子中（每个盒
子容纳的小球个数没有限制），记1 号盒子中小球的个数为ξ，则E (ξ)=（ ）
A．1
2
B．2
3
C．7
12
D．5
16
【变式3-2】（2025·河南许昌·模拟预测）某公司为了庆祝公司成立二十周年，设计了一个“套圈游戏”，
规则如下：每人3 个套圈，向A，B 两个目标投掷，先向目标A 掷一次，套中得40 元，没有套中得0 元，
再向目标B 连续掷两次，每套中一次得80 元，没套中得0 元，根据累计金额发放红包.已知小胡每投掷一
次，套中目标A 的概率为3
4 ，套中目标B 的概率为1
2，假设小胡每次投掷的结果相互独立.
(1)求小胡至少套中1 次的概率；
(2)记小胡的累计金额为随机变量X，求X 的分布列和数学期望.
【变式3-3】（2025·河北·一模）疫情结束以来，为缓解就业压力、解决生计问题，很多城市放开了夜市地
6
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摊经济.很多小朋友对夜市中的“套圈”比较感兴趣.在一个“套圈”的摊位上，摊主规定：成功套中商品1
次或套5 次后游戏结束，每套一次圈需花费5 元，每次套中商品的概率为 1
4 ，用随机变量X 表示某位小
朋友的“套圈”次数.
(1)求X 的分布列和数学期望；
(2)若“套圈”摊位中，每件商品的平均价格为10 元，调查发现，一个套圈摊位，每天约有40 名小朋友玩
“套圈”，用数学期望估计该摊主每天的利润（保留整数）.
【题型4 离散型随机变量的方差】
【例4】（2025·陕西西安·模拟预测）已知某随机变量X的分布列如图表，则随机变量X 的方差D (X )=
（ ）
X
0
20
40
P
m
2m
m
A．120
B．160
C．200
D．260
【变式4-1】（2025·四川成都·模拟预测）若随机变量X的可能取值为1,2,3,4，且P( X =k )= λk（
k =1,2,3,4），则D( X )=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式4-2】（2025·广东中山·一模）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6 道备选题中一
次性随机抽取3 道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2 道题的便可通过.已知6 道备选题中
应聘者甲有4 道题能正确完成，2 道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是2
3，且每题正确完成与
否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
(2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
7
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【变式4-3】（2025·湖南长沙·三模）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学
生困难的重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为
确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生
进行简单随机抽样，获得数据如表:
男
女
支持方案
一
24
16
支持方案
二
25
35
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支 持相互独立.
(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1 人，设X为抽出两人中女生的个数，求X的分布
列与数学期望;
(2)在(1)中Y 表示抽出两人中男生的个数，试判断方差D (X )与D (Y )的大小.
【题型5 均值与方差中的决策问题】
【例5】（2025·湖南长沙·二模）在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环
境条件(安静或嘈杂)的影响．
(1)已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.9；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6.某天进行
测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7，求测试结果为语音识别成功的概
率；
(2)已知当前每次测试成功的概率为0.8，每次测试成本固定，现有两种测试方案：
方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测
试，为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？
8
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【变式5-1】（2025·辽宁鞍山·二模）某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下：
夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只
投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中
（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概
率分别为p、q、r，且每次每人投中与否相互独立.
(1)若p=0.4，q =0.3，r =0.2，求游戏停止时小队有人投中的概率；
(2)若1> p>q>r >0，现在小队计划两种方案参加游戏.
方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后；
（ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目X的分布列和期望E ( X )；
（ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小.
【变式5-2】（2025·河北秦皇岛·一模）某大学舞蹈社有4 名男生、2 名女生，现要举办社团巡礼活动，拟
从这6 人中抽取2 人参加巡礼活动中的相应比赛，比赛有“啦啦操”“健美操”“活力燃脂操”三项，被
选中的人可以根据自身情况选择参加比赛的项数，具体如下：
参加一项的可能性
参加两项的可能
性
参加三项的可能性
女
生
0.5
0.5
0
男
生
0
0.5
0.5
每参加1 项比赛，社团的积分将增加100 分.
(1)在抽取的2 人至少有1 名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率；
(2)求该舞蹈社团最终的积分为600 分的概率；
(3)现学校对参加比赛的社团提出两种嘉奖方案．
方案一：每个社团奖励“参与奖”400 元；
方案二：对参加比赛的社团最后获得的积分以“1 积分=1 元”奖金进行兑换.
若你是舞蹈社社长，以获得的奖励金额的期望为决策依据，判断哪种方案比较有利.
9
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【变式5-3】（2025·湖北·二模）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置
甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为1
3，乙箱
和丙箱每次抽取中奖的概率均为1
2，中奖与否互不影响.
(1)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50 元的学习用品，中奖两次获得价值30 元的学
习用品，其他情况没有奖励.
方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70 元的学习用品，中奖两次获得价值40 元的学习用品，其
他情况没有奖励；
通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？
(2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中
奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率.
【题型6 离散型随机变量与其他知识综合】
【例6】（2025·江苏镇江·模拟预测）2025 年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场
面震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比
赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束），已知该同学第一局获胜的概
率为1
3，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为1
2；如果上一局失败，则本局获胜的概率
为1
4 ，每局比赛均没有平局.
(1)该同学在以2:1获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率；
(2)记整场比赛该同学的获胜局数为ξ，求ξ的分布列和期望.
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【变式6-1】（2025·山东德州·三模）随着信息技术的迅猛发展，智能化家居让人们的生活越来越幸福，智
能门锁就是其中之一．智能门锁的质量是根据其正常使用的时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，
且使用时间大于或等于6 年的为优质品．现用A，B两种不同品牌的智能门锁做试验，各随机抽取部分产
品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示，以试验结果中各组的频率作为相应的概率．
(1)现从大量的A，B两种品牌的智能门锁中各随机抽取2 件产品，求其中至少有3 件是优质品的概率；
(2)通过多年统计发现，A品牌智能门锁每件产品的利润y（单位：元）与其使用时间t（单位：年）的关系
如下表：
使用时间t（单位：年）
t <5
5≤t <6
t ≥6
每件产品的利润y（单位：元）
－200
200
400
若从大量的A品牌智能门锁中随机抽取两件，其利润之和记为X（单位：元），求X的分布列及数学期
望．
【变式6-2】（2025·山西临汾·三模）“政府送温暖，老人有饭吃”．近年来，我国各级政府重视提高老年
人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区创建了“幸福大食
堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．据统计“幸福大食
堂”2025 年1 月份共为1600 名老人提供了午餐服务，其中好评有1200 位老人，其余均为非好评．为了提
升菜品品质，该食堂更换了厨师，更换厨师后该食堂2025 年2 月份为4000 名老人提供了午餐服务，其中
好评有3200 位老人，其余均为非好评．
11
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好
评
非好评
合计
更换厨师前
更换厨师后
合计
(1)完成上面：2×2列联表，并依据小概率值α =0.01的χ
2的独立性检验，判断该食堂的好评率是否与更换
厨师有关联；
(2)现从更换厨师前的评价中，用比例分配的分层抽样方法做抽样调查，拟从好评和非好评两层中抽取8 位
老人，再从这8 位老人中随机抽取3 位，记抽取的3 位老人中好评的人数为X，求X 的分布列和数学期
望．
附：χ
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c +d．
α
0.1
0.05
0.01
0.005
χα
2.706
3.841
6.635
7.879
【变式6-3】（2025·江苏南京·三模）魔方，又叫鲁比可方块，拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程
度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.
(1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为3
5，小吴每局比赛获胜的概率均为2
5
，若采用三局两胜制，两人共进行了X局比赛，求X的分布列和数学期望；
(2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，比赛没有平局.首局比赛小吴获胜的概率为1
2，小王在某局中若取胜，则
他下一局比赛获胜的概率为3
5，若负，则他下一局比赛获胜的概率为1
2，为了赢得比赛，小王应选择“五
局三胜制”还是“三局两胜制”？
12
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一、单选题
1．（24-25 高二下·重庆·阶段练习）设离散型随机变量X服从两点分布，其分布列如下表，则a=（ ）
X
0
1
P
a
a+0.4
A．0.2
B．0.3
C．0.6
D．0.7
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知随机变量X 的分布列如下表所示，则P(|2 X −3|<3)=（ ）
X
1
2
3
4
P
0.1
m
0.3
0.2
A．7
10
B．3
5
C．1
2
D．2
5
3．（2025·重庆·模拟预测）已知一组数据x1，x2，…，x7的方差为3，则数据2 x1+1，2 x2+1，…，
2 x7+1的方差为（ ）
A．3
B．7
C．12
D．13
4．（2025·甘肃陇南·模拟预测）设随机变量X的概率分布列如表所示，则E (X )=（ ）
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.5
0.1
A．0.4
B．1.6
C．0.1
D．0.2
5．（24-25 高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.2
0.4
0.3
0.1
若随机变量Y =|X −1|，则P(Y =1)=（ ）
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
6．（2025·广东·模拟预测）一个盒子里有3 个相同的球，分别标有数字2，3，4，若每次不放回地从盒子
中随机取出一个球，直到取出的所有球的数字之积大于或等于8 为止.记此时取出的所有球的数字之和为X
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，则E ( X )=（ ）
A．22
3
B．7
C．25
4
D．6
7．（2025·陕西·三模）某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的1000 名顾客进行了随机调
查．调查发现，有600 名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品（称为“计划型顾客”），其余
400 名顾客则没有特定的购买计划（称为“随机型顾客”）．根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超
市的平均消费金额为200 元，而“随机型顾客”中，有30 %的人平均消费金额为100 元，另外70 %的人平
均消费金额为300 元．若从该超市近期进入的顾客中随机抽取1 名，则这名顾客的平均消费金额不低于
200 元的概率，以及该顾客的平均消费金额的估计值分别为（ ）．
A．概率为0.72，平均消费金额为210 元B．概率为0.88，平均消费金额为216 元
C．概率为0.88，平均消费金额为240 元
D．概率为0.82，平均消费金额为230 元
8．（2025·湖南长沙·模拟预测）从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，
甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y 的分布列如下表一和下表二所示；
表一
X
6
7
8
9
10
P
0.0
7
0.2
2
0.3
8
0.3
0
0.0
3
表二
Y
6
7
8
9
10
P
0.0
9
0.2
4
0.3
2
0.2
8
0.0
7
概率分布条形图如下图三和图四所示：
则以下对这两名同学的射击水平的评价，正确的是（ ）
A．E (X )> E (Y )
B．E (X )< E (Y )
C．D (X )> D (Y )
D．D (X )< D (Y )
二、多选题
9．（2025·福建福州·模拟预测）已知离散型随机变量X 的分布列如下，则下列选项中正确的是（ ）
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X
0
1
2
P
0.36
1−2q
q
2
A．q =0.2
B．E (X )=0.68
C．E(X
2)=0.4624
D．D (X )=0.2976
10．（2025·云南·模拟预测）某高中打算采购一批教室挂钟，现有甲、乙两种品牌的挂钟，已知甲乙使用
一年后它们的走时误差分别为X 和Y（单位：秒），其分布列如下，则下列选项正确的是（ ）
甲品牌的走时误差分布列
X
-1
0
1
P
0.1
0.6
a
乙品牌的走时误差分布列
X
-2
-1
0
1
2
P
0.1
0.2
b
0.4
0.1
A．a=0.3，b=0.2
B．E (X )= E (Y )
C．若η= 1
2 X +1，则D (η)=1.3
D．甲乙两种品牌中甲的质量更稳定
11．（2025·山东青岛·模拟预测）某游戏推出两种抽奖活动A和B，玩家可以通过参与活动获得游戏币，从
而换取稀有道具.活动A和活动B的抽奖收益X，Y （单位：千个）及其概率分布如下表所示，则下列选项
正确的是（ ）
活动A的收益分布：
X
3
7
11
P
0.4
m
0.3
活动B的收益分布：
X
0
8
18
P
n
0.6
0.1
A．m+n=0.6
B．E (5Y −3)=18
C．两个活动的收益期望一样多
D．活动B的收益风险低于活动A
三、填空题
12．（25-26 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设离散型随机变量X的分布列如下表，若随机变量
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Y =|X −2|，则P(Y =2)=
.
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.1
0.3
m
13．（2025·全国一卷·高考真题）有5 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3
次，每次取1 个球.记X 为这5 个球中至少被取出1 次的球的个数，则X 的数学期望E( X )=
.
14．（2025·山西·三模）一个盒子中有2 个红球，3 个白球．从中随机取一个球，观察其颜色后放回，并同
时放入与其颜色相同的1 个球，再从中不放回地取2 个球，若取到的两个球中红球的个数为ξ，则E (ξ)=
．
四、解答题
15．（2025·湖南岳阳·模拟预测）某班4 名男生3 名女生组队参加学校组织的知识竞赛，题库中只有学科
类或常识类问题，且题库中学科类问题占比为2
3.每轮问答中主持人随机从题库中抽取一道题目，再从该小
队中随机选出两名男生两名女生分别独立作答，每人是否答对题目互不影响.若抽中学科类问题，男生中有
且仅有三人能答对，女生能答对的概率均为2
3；若抽中常识类问题，男生能答对的概率为1
2，女生中有且
仅有两人能答对，
(1)求一轮问答中该小队至少有两人答对的概率；
(2)一轮问答中该小队至少有三人答对，小队积分加1 分，否则扣1 分，小队初始积分为1 分，主持人最多
提问四轮，当小队积分为3 分时则成功晋级，积分为0 分或四轮作答完毕积分不足3 分时淘汰，小队晋级
或淘汰均停止作答，设随机变量Y 为小队停止作答时被提问的轮数，求Y 的分布列.
16．（2025·湖北·模拟预测）2025 年4 月25 日，中国人形机器人生态大会在上海汽车会展中心举办.其中，
人形机器人拳王争霸赛让人大开眼界：在4 米乘以4 米的拳台上，可以看到各家公司在多模态融合算法、
运动控制、视觉、感知等技术上的突破.比赛前，某科技公司机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台
机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队都需派不同机器人参赛，每局比赛获胜得1 分，否则得0 分
（每局比赛都分胜负，没有平局）.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器
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人H 1，机器人G1每局比赛获胜的概率分别为1
2 , 3
4 .
(1)设前两轮比赛中甲队得3 分为事件A，前两轮比赛中机器人H 1得2 分为事件B，求P(B∣A)；
(2)机器人续航时间有限，规定本次比赛最多进行6 轮，规定当一队得分比另一队得分多2 分时比赛结束.设
比赛结束时共进行了X轮，求X的分布列及数学期望.
17．（2025·甘肃嘉峪关·三模）“村BA”是由贵州省台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展而来的赛事，比
赛由村民组织，参赛者以村民为主，极具乡村气息. 某学校为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情
况，进行了一次抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80 名作为样本，设事件M=“了解村BA”，N=“学生
为女生”.据统计数据得P(M | N )= 1
16，P(N | M )= 1
7 .
(1)根据已知条件，作出2×2 列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性
别有关；
(2)现从该校不了解“村BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10 名学生，再从这10 名学生中随机
抽取4 人，设抽取的4 人中男生的人数为X，求X 的分布列和数学期望.
18．（2025·湖南郴州·一模）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工
艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个
环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作A ,B ,C三幅不同的湘绣作品，已知
A ,B ,C三幅作品通过设计图案环节的概率依次为3
4 , 2
3 , 4
5 ，通过刺绣环节的概率依次为2
3 , 3
4 , 3
5.
(1)求A ,B ,C三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率；
(2)若已知A ,B ,C三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为A的概率；
(3)经过设计图案和刺绣两个环节后，A ,B ,C三幅作品成为成品作品的件数为X.求随机变量X的分布列及
数学期望E ( X ).
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19．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年
级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100 名学
生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答
题相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1 名，设X 为这2 名学生中该题选择正确的人数，估计X =1的
概率及X 的数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知
识点，甲校学生选择正确的概率为100 %，乙校学生选择正确的概率为85 %.设甲、乙两校高一年级学生掌
握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小（结论不要求证明）.
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