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专题11 利用隐零点设而不求解决导数问题
1．（2023 秋·北京·高三统考开学考试）已知函数
，曲线
在
的切线为
．
(1)求a，b 的值；
(2)求证：函数在区间
上单调递增；
(3)求函数
的零点个数，并说明理由．
【答案】(1)
.
(2)证明见解析
(3)零点个数为0，证明见解析.
【详解】（1）
，则有
，解得
，
，则
.
（2）由（1）知
，
，
设
，因为
在
上单调递增，
则
，所以
在
上恒成立，
所以函数
在区间
上单调递增.
（3）因为
，令
，
令
，得
，设
，
由（2）知
在
上单调递增，且
，
，
故存在唯一零点
使得
，
即存在唯一零点
满足
，即得
，则
，
且当
时，
，此时
单调递减，
当
时，
，此时
单调递增，
所以
，
1
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当
时，
，
，
则
，
则函数
的零点个数为0.
2．（2023 秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知
，
．
(1)当
时，证明：
；
(2)若
，
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）当
时，设
，
，
当
时，
，
时，
，
所以
在
单调递减，
单调递增，
所以
，而
，∴
，即
．
（2）法一：若
，
恒成立，
即
，
即
，
构造函数
，易知
在
递增，
则不等式为
，
∴
，设
，
，
则
在
递增，
递减，
，∴
．
法二：
，
恒成立，即
．
令
，
，
有唯一实数根，设为
，
2
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即
，
，则
在
递减，在
递增，
∴
，
即
，
设
，显然
在
单调递减，
而
，∴
，则
，
，
，∴
，
．
3．（2023 春·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）已知函数
，
.
(1)求证：
；
(2)若
对
恒成立，求
的最大值与
的最小值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
的最大值为
，
的最小值为1.
【详解】（1）由
，求导得
，
因为在区间
上
，则
在区间
上单调递减，
所以
.
（2）当
时，“
”等价于“
”，“
”等价于“
”，
令
，
，则
，
当
时，
对任意
恒成立，当
时，因为对任意
，
，
于是
在区间
上单调递减，则
对任意
恒成立，
当
时，存在唯一的
使得
，
当
时，
，函数
单调递增，当
时，
，函数
单调递减，
显然
，
，则当
，即
时，
对
恒成立，
3
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因此当且仅当
时，
对任意
恒成立，当且仅当
时，
对任意
恒成
立，
所以
对任意
恒成立时，
的最大值为
，
的最小值为1.
4．（2023 秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知函数
有两个极值点
．其中
，为自然对数的底数．
(1)求实数
的取值范围；
(2)若
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由于
，
由题知
有两个不同实数根，即
有两个不同实数根．
令
，则
，解得
，故
在
上单调递增，在
上单调
递减，且
时，
，
时，
，
，故
的图象如图所示，
当
时，
有两个零点
且
．则
或
，故
在
上单
调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
的极大值点为
，极小值点为
．
故
有两个极值点时，实数
的取值范围为
．
（2）由于
若设
，则上式即为
由（1）可得
，两式相除得
，即
，
4
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由
得
所以
，令
，
则
在
恒成立，由于
，
令
，则
，
，
显然
在
递增，
又有
，所以存在
使得
，
且易得
在
递减，
递增，又有
，
所以存在
使得
，且易得
在
递减，
递增，
又
，则
时，
时，
，所以易得
在
上
递减，在
上递增，则
，
所以
的取值范围为
．
5．（2023 秋·湖南永州·高三校联考开学考试）已知函数
，
且
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若关于
的不等式
恒成立，其中是自然对数的底数，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题，当
时，
，
，
，
，所以切线方程为
，
化简得
，即曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）
，即
，即
在
上恒成立，
5
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令
，则
.
对于
，
，故其必有两个零点，且两个零点的积为
，
则两个零点一正一负，设其正零点为
，则
，即
，
且在
上时
则
，此时
单调递减，
在
上，
，此时
单调递增，
因此当
时，
取最小值，
故
，即
.
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，又
，故
，
显然函数
在
上是关于
的单调递增函数，则
，
所以实数
的取值范围为
6．（2023 秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数
（e 为自然对数的底数）.
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求证：实数
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由
，定义域为
，
则
.
所以
在
处的切线l 的斜率为
，
又
，则l 的方程为
.
6
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（2）
恒成
立，
令
，则
，
令
，
，则
所以
在
上单调递增，又
，且
，
则
在
上存在零点
且
，即
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
.
，则
又
，所以
，
则
在
上单调递增，因此
所以
.
7．（2023 秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，函数
在
上恒成立，求整数a 的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)4
【详解】（1）根据题意可得
，
若
，
在
上恒成立，此时函数
在
上单调递增；
若
，此时
，
当
时，满足
，此时函数
在
，
上单调递增；
当
时，满足
，此时函数
在
单调递减；
若
，此时
，
当
时，满足
，此时函数
在
，
上单调递增，
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当
时，满足
，此时函数
在
单调递减；
综上可知，
时，
在
上单调递增；
时，
在
和
上单调递增，在
单调递减；
时，
在
和
上单调递增，在
单调递减；
（2）由
可得
，解得
；
所以
，则
，
易知
时，
，
若函数
在
上恒成立，等价成
在
上恒成立；
令
，则
；
令
，则
在
上恒成立，
即函数
在
上单调递增，
易知
，由于
，所以
，
而
，且
，所以
；
因此
在
有且仅有一个零点
，满足
，且
；
所以当
时，
，当
时，
；
因此函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
所以
的最小值为
，显然
，
因此
，又
是整数，
所以
的最大值为4.
8．（2023 秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知函数
，
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若关于
的不等式
在
上恒成立，求
的最小值.
【答案】(1)
8
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(2)
【详解】（1）由题当
时，
，
，
，
，
所以切线方程为
，化简得
，
即曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）由
可得
，
令
，
，
则
，
当
时，
，
设
，易知
在
上单调递增，
又
，
，
则存在
，使得
，即
，
取对数得
，
当
时，
，
，
单调递增，
当
时，
，
，
单调递减，
，
在
上单调递增，则
，
又
对任意
恒成立，
，
所以
，即
的最小值为-3.
9．（2023 春·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知函数
.
(1)若
，求
的极值；
(2)若对任意
，
恒成立，求整数m 的最小值.
【答案】(1)极大值为
，无极小值
(2)1
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【详解】（1）当
时，
，
.
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时.
，则
在
上单调递减.
所以
在
时取得极大值且极大值为
，无极小值；
（2）因为对任意
，
恒成立，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
设
，则
.
设
，
显然
在
上单调递减，
因为
，
，
所以
，使得
，即
，
当
时，
，
；当
时，
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
因为
，所以
，
故整数m 的最小值为1.
10．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）设函数
，
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间是
，单调递减区间是
.
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(2)
【详解】（1）
时，函数
的定义域为
，
因为
，所以，当
时，
，当
时，
，
所以
的单调递增区间是
，单调递减区间是
.
（2）函数
的定义域为
，
等价于
，
设
，则
，
设
，则
恒成立，
所以
在
上单调递增，
即
在
上单调递增，当
，当
，
所以
，使得
，即
，所以
，
当
时，
，所以
单调递减，
当
时，
，所以
单调递增，
所以
，
设
，则
，而
恒成立，
所以
为增函数，
由
，所以
.
因为
均为减函数，所以
在
上为减函数，
所以，当
时，
，所以实数
的取值范围为
11
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