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专题12 概率
易错点一：互斥与对立混淆致误（随机事件的概率）
Ⅰ：首先明确什么是随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母
表示．
随机试验的要求：
（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确的，结果不止一种；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一种，但事先不能确定出现哪一种结果．
Ⅱ：随机事件的前提样本空间
我们把随机试验
的每个可能出现的结果称为样本点，全体样本集合称为试验
的样本空间，一般地，
用
表示样本空间，用
表示样本点，如果一个随机试验有
个可能结果
，
，…，
，则称样本空
间
为有限样本空间．
Ⅲ：两类事件：随机事件、确定事件
（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方
便，我们将样本空间
的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当
且仅当
中某个样本点出现时，称为事件
发生．
（2）
作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以
总会发
生，我们称
为必然事件．
（3）在每次试验中都不可能发生，我们称为不可能事件．
（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为随机事件的确定事件．
注意：事件的运算可以用韦恩图可以破解
Ⅳ：互斥事件与对立事件
（1）互斥事件：在一次试验中，事件
和事件
不能同时发生，即
，则称事件
与事件
互斥，可用韦恩图表示如下：
1
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如果
，
，…，
中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件
，．
．，…，
彼此互斥．
（2）对立事件：若事件
和事件
在任何一次实验中有且只有一个发生，即
不发生，
则称事件
和事件
互为对立事件，事件
的对立事件记为
．
（3）互斥事件与对立事件的关系（重点）
①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者
之一必须有一个发生．
②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充
分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．
Ⅴ：概率与频率
（1）频率：在
次重复试验中，事件
发生的次数
称为事件
发生的频数，频数
与总次数
的比
值
，叫做事件
发生的频率．
（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件
发生的频率
总是接近于某个常数，并且在它附近
摆动，这时，就把这个常数叫做事件
的概率，记作
．
（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件
，由于事件
发生的频率
随着试验次数的增加稳
定于概率
，因此可以用频率
来估计概率
．
随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件
的概率用
表示.
解题步骤如下：
第一步：仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
第二步：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件
；
第三步：分别求出基本事件的个数
与所求事件
中所包含的基本事件个数
；
第四步：利用公式
求出事件
的概率．
易错提醒：对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；第
二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；第三，两个事件互斥是在试验的结果不能同时出现来确定
的．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A 的对
2
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立事件记作
．分类讨论思想是解决互斥事件中有一个发生的概率的一个重要的指导思想
例、判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40 张扑克牌（红桃、
黑桃、方块、梅花各10 张，且点数都是从1~10）中，任取一张．
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
（3）“抽出的牌点数为5 的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
变式1．从1，2，3，4，5，6 这六个数中任取三个数，下列两个事件为对立事件的是（ ）
A．“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数”
B．“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”
C．“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”
D．“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”
变式2．设A，B 是两个随机事件，
，
分别为A，B 的对立事件．给出以下命题：①若A，B 为互斥事
件，且
，
，则
；②若
，
，且
，则A，B 相互
独立；③若
，
，且
，则A，B 相互独立；④若
，
，且
，则A，B 相互独立．其中所有真命题的序号为（ ）
A．①
B．②
C．①②③
D．②③④
变式3．（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B
＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系
正确的是（ ）
A．A⊆D
B．B∩D＝
C．A∪C＝D
D．A∪B＝B∪D
1．某中学运动会上有一个项目的比赛规则是：比赛分两个阶段，第一阶段，比赛双方各出5 人，一对一
进行比赛，共进行5 局比赛，每局比赛获胜的一方得1 分，负方得0 分；第二阶段，比赛双方各出4 人，
二对二进行比赛，共进行2 局比赛，每局比赛获胜的一方得2 分，负方得0 分．先得到5 分及以上的一方
3
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裁定为本次比赛的获胜方，比赛结束．若甲、乙两个班进行比赛，在第一阶段比赛中，每局比赛双方获胜
的概率都是
，在第二阶段比赛中，每局比赛甲班获胜的概率都是
，每局比赛的结果互不影响，则甲班
经过7 局比赛获胜的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
为随机试验的样本空间，事件A，B 满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，且
，则
B．若
，且
，则
C．若
，则
D．若
，则
3．甲罐中有5 个红球，2 个白球和3 个黑球，乙罐中有4 个红球，3 个白球和3 个黑球.先从甲罐中随机取
出一球放入乙罐，分别以
，
和
表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，
以
表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．事件
与事件
相互独立
D．
，
，
两两互斥
4．已知
为随机事件，则下列表述中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．甲、乙、丙、丁四名教师分配到
，
，
三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一
人.设事件
：“甲分配到
学校”；事件
：“乙分配到
学校”，则（ ）
A．事件
与
互斥
B．
C．事件
与
相互独立
D．
4
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6．为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80 元，90 元，
100 元的
，
，
三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10 积分可兑换1 元.已知参加活动的甲、乙
两位客户各有1000 积分，且甲兑换
，
，
三种商品的概率分别为
，
，
，乙兑换
，
，
三种
商品的概率分别为
，
，
，且他们兑换何种商品相互独立.
(1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；
(2)记
为两人兑换商品后的积分总余额，求
的分布列与期望
7．截至2022 年年底，女足亚洲杯已经成功举办了20 届．中国女子国家足球队在参赛的15 届亚洲杯中共
获得9 次冠军、2 次亚军和3 次季军，其辉煌战绩每每给国人带来拼搏奋进的力量．在某届女足亚洲杯中，
将甲、乙、丙等12 支参赛球队平均分成
，
，
三个小组．
(1)求甲、乙、丙三支球队分到同一小组的概率；
(2)求甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率．
8．某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下，选手依次参加第一，二，三关，闯关成功可获得的奖
金分别为1000 元、2000 元、3000 元.奖金可累加，若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相
应奖金，也可以选择继续闯关，若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束.选
手小刘参加闯关游戏，已知他第一，二，三关闯关成功的概率分别为
，
，
.第一关闯关成功选择继续
闯关的概率为
，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为
，且每关闯关成功与否互不影响.
(1)求小刘第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
(2)设小刘所得奖金为X，求随机变量X 的分布列及数学期望.
9．甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者
下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3 局，则该人获得
最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，
甲、乙比赛甲胜概率为
，乙、丙比赛乙胜概率为
，丙、甲比赛丙胜概率为
，每局比赛相互独立且每
局比赛没有平局.
(1)比赛完3 局时，求甲、乙、丙各旁观1 局的概率；
(2)已知比赛进行5 局后结束，求甲获得最终胜利的概率.
5
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10．某校为丰富教职工业余文化活动，在教师节活动中举办了“三神杯”比赛，现甲乙两组进入到决赛阶
段，决赛采用三局两胜制决出冠军，每一局比赛中甲组获胜的概率为
，且甲组最终获得冠军的
概率为
（每局比赛没有平局）.
(1)求
；
(2)已知冠军奖品为28 个篮球，在甲组第一局获胜后，比赛被迫取消，奖品分配方案是：如果比赛继续进
行下去，按照甲乙两组各自获胜的概率分配篮球，请问按此方案，甲组、乙组分别可获得多少个篮球?
易错点二：混淆基本事件的“等可能性”与“非等可能性”致误（古
典概率）
古典概型
（1）定义
一般地，若试验
具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验E 为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
（2）古典概型的概率公式
一般地，设试验
是古典概型，样本空间
包含
个样本点，事件
包含其中的
个样本点，则定义
事件
的概率
.
（3）概率的基本性质
（1）对于任意事件
都有：
．
（2）必然事件的概率为，即
；不可能事概率为
，即
．
（3）概率的加法公式：若事件
与事件
互斥，则
．
推广：一般地，若事件
，
，…，
彼此互斥，则事件发生（即
，
，…，
中有一个发生）
的概率等于这
个事件分别发生的概率之和，即：
．
（4）对立事件的概率：若事件
与事件
互为对立事件，则
，
，且
．
（5）概率的单调性：若
，则
．
6
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（6）若
，
是一次随机实验中的两个事件，则
．
解题步骤如下：
第一步：仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
第二步：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件
；
第三步：分别求出基本事件的个数
与所求事件
中所包含的基本事件个数
；
第四步：利用公式
求出事件
的概率．
易错提醒：在解决古典概型问题时要分清事件与基本事件，每个基本事件发生的概率都是相等的，而某个
事件可能包含几个基本事件，要注意区分，避免出错.
例、设袋中有4 只白球和2 只黑球，现从袋中无放回地摸出2 只球．
（1）求这2 只球都是白球的概率；
（2）求这2 只球中1 只是白球1 只是黑球的概率．
变式1：袋中共有6 个除了颜色外完全相同的球，其中有1 个红球，2 个白球和3 个黑球，从袋中任取两球，
两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2：一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5 个小球，其中白色球3 个，黑色球2 个．若从中任取1 个球，
每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球3 次，恰好取到两次白球”的概率为_____________；若从中任
取2 个球，记所取球中白球可能被取到的个数为
，则随机变量
的期望为_____________．
变式3：已知不透明的袋中装有三个黑球（记为
，
和
）、两个红球（记为
和
），从中不放回
地依次随机抽取两球．
(1)用集合的形式写出试验的样本空间；
(2)求抽到的两个球都是黑球的概率．
1．某学校举办作文比赛，共5 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参
赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7
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2．书籍是人类进步的阶梯，数学名著更是如此，《九章算术》《孙子算经》《周髀算经》《海岛算经》
是我国古代数学领域影响深远的四部著作，而《几何原本》《阿基米德全集》《圆锥曲线论》被称为“古
希腊三大数学书”，代表了文艺复兴之前欧洲数学的最高成就，这些著作对后世的数学发展有着深远而广
泛的影响．现从这七本名著中任选三本，则至少两本是中国数学名著的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．“二十四节气”是我国上古农耕文明的产物，农耕生产与大自然的节律息息相关，它是上古先民顺应
农时，通过观察天体运行，认知一岁（年）中时候（时令）、气候、物候等变化规律所形成的知识体系．
“二十四节气”对今天的农业生产仍有着重要的指导意义．传统四季划分是以立春、立夏、立秋、立冬作
为起始．现从“二十四节气”中随机抽取两个节气，则这两个节气恰在同一季的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．某大学为了了解学生课外图书阅读量的情况，从大二学生中抽取50 名，统计他们今年上半年阅读的书
籍数量，发现读书不低于6 本的人数占
，不低于8 本的人数占
.现从读书不低于6 本的学生中随机
地选取2 名进行座谈，则这2 名学生1 名读书低于8 本且不低于6 本，1 名读书不低于8 本的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．某对新婚夫妇响应国家号召，计划生育3 个孩子，若每胎只有一个孩子，且每胎生男生女的概率相同，
记事件A 为“3 个孩子中有男有女”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．某中学团委为庆祝“五四”青年节，举行了以“弘‘五四’精神，扬青春风采”为主题的文艺汇演，
初中部推荐了2 位主持人，高中部推荐了4 位主持人，现从这6 位主持人中随机选2 位主持文艺汇演，则
选中的2 位主持人恰好是初中部和高中部各1 人的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，设事件
“
”，事件
“
”，事件
“
为奇数”，则（ ）
A．
B．
8
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C．
与
相互独立
D．
与
相互独立
8．某公司为了推广旗下的某款
，在2024 年春节来临之前，推出了集“福卡”得奖励的活动，其中
“福卡”有5 种，分别是“福到”“财到”“喜到”“缘到”“运到”．规则如下：①通过登录这款
或推荐新用户下载并使用这款
可获得若干抽奖次数；②每次抽奖可获得一张“福卡”；③5 种“福
卡”是系统随机分配的；④用户集齐5 种“福卡”后，便可获得
提供的奖励；⑤集齐5 种“福卡”后，
用户不再抽奖，活动结束；⑥用完所有抽奖机会，活动结束．现在甲参加了集“福卡”得奖励的活动．
(1)已知甲已经集了其中的2 种“福卡”，还有3 次抽奖机会，求甲获得奖励的概率；
(2)已知甲已经集了其中的3 种“福卡”，还有4 次抽奖机会，记活动结束时，甲使用的抽奖次数为
，求
的分布列和数学期望．
9．某地区运动会上，有甲、乙、丙三位田径运动员进入了男子100m 决赛，某同学决定运用高中所学的知
识对该次决赛的情况进行预测，为此，他收集了这三位运动员近几年的大赛100m 成绩（单位：秒），若
比赛成绩小于10 秒则称为“破十”.
甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；
乙：10.59，10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；
丙：10.03，9.98，10.10，10.01.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三位运动员的比赛成绩相互独立.
(1)分别估计甲、乙、丙三位运动员“破十”的概率；
(2)设这三位运动员在这次决赛上“破十”的人数为
，估计X 的数学期望
.
10．某地区运动会上，有甲、乙两位田径运动员进入了男子
决赛，某同学决定运用高中所学的知识
对该次决赛的情况进行预测，为此，他收集了这两位运动员近几年的大赛
成绩（单位：秒），若比
赛成绩小于10 秒则称为“破十”.
甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；
乙：10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；
(1)求甲成绩的中位数与平均数（平均数的结果保留3 位小数）；
(2)从乙的5 次成绩中任选3 次，求恰有2 次成绩“破十”的概率.
9
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易错点三：条件概率应用错误（条件概率）
Ⅰ：条件概率
一般地，设
，
为两个事件，且
，称
为在事件
发生的条件下，事件
发生的条件概率．
注意：（1）条件概率
中“ ”后面就是条件；（2）若
，表示条件
不可能发生，此
时用条件概率公式计算
就没有意义了，所以条件概率计算必须在
的情况下进行．
性质
（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在
和1 之间，即
．
（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为
．
（3）如果
与
互斥，则
．
注意：（1）如果知道事件
发生会影响事件
发生的概率，那么
；
（2）已知
发生，在此条件下
发生，相当于
发生，要求
，相当于把
看作新的基本事
件空间计算
发生的概率，即
．
Ⅱ：相互独立与条件概率的关系
相互独立事件的概念及性质
（1）相互独立事件的概念
对于两个事件
，
，如果
，则意味着事件
的发生不影响事件
发生的概率．设
，根据条件概率的计算公式，
，从而
．
10
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由此我们可得：设
，
为两个事件，若
，则称事件
与事件
相互独立．
（2）概率的乘法公式
由条件概率的定义，对于任意两个事件
与
，若
，则
．我们称上式为
概率的乘法公式．
（3）相互独立事件的性质
如果事件
，
互相独立，那么
与
，
与
，
与
也都相互独立．
事件的独立性
（1）事件
与
相互独立的充要条件是
．
（2）当
时，
与
独立的充要条件是
．
（3）如果
，
与
独立，则
成立．
Ⅲ：全概率公式
全概率公式
（1）
；
（2）定理若样本空间
中的事件
，
，…，
满足：
①任意两个事件均互斥，即
，
，
；
②
；
③
，
．
则对
中的任意事件
，都有
，且
．
贝叶斯公式
（1）一般地，当
且
时，有
（2）定理
若样本空间
中的事件
满足：
①任意两个事件均互斥，即
，
，
；
②
；
③
，
．
则对
中的任意概率非零的事件
，都有
，
11
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且
易错提醒：条件概率：设A，B 是条件S 下的两个随机事件，
，则称在事件A 发生的条件下事件
B 发生的概率为条件概率，记作
，
，其中
表示事件A 与事件B 同时发生
构造的事件．
要注意概率
与
的区别：
（1）在
中，事件A，B 发生有时间上的差异，B 先A 后；在
中，事件A，B 同时发生．
（2）样本空间不同，在
中，事件B 成为样本空间；在
中，样本空间仍为
，因而有
．
例、假定生男生女是等可能的，某家庭有3 个孩子，其中有1 名女孩，求其至少有1 个男孩的概率．
变式1：某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是
0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A．0.8
B．0.75
C．0.6
D．0.45
变式2：设某种灯管使用了500h 还能继续使用的概率是0.94，使用到700h 后还能继续使用的概率是0.87，
问已经使用了500h 的灯管还能继续使用到700h 的概率是多少？
变式3：有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1 粒，求这粒
种子能成长为幼苗的概率．
1．连续抛掷一枚质地均匀的骰子3 次，观察向上的点数．在第1 次出现奇数的条件下，3 次出现的点数之
积为偶数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12
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2．湖南第二届旅游发展大会于2023 年9 月15 日至17 日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，
亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基
地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A 为“甲和乙至少有
一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B 为“甲和乙选择研学线路不同”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5 个项目中分别各自随机选择其中一
项，记事件
：甲和乙选择的活动各不同，事件
：甲和乙恰好一人选择①，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．2023 年3 月13 日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两
会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E 共5 名成员组成，现
从这5 名成员中随机抽选3 名参加学校决赛，则在学生A 被抽到的条件下，学生B 也被抽到的概率为（
）．
A．
B．
C．
D．
5．设
，
是一个随机试验中的两个事件，且
，
，
，则下列结论中正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
为随机试验的样本空间，事件A，B 满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，且
，则
B．若
，且
，则
C．若
，则
13
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D．若
，则
7．多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来
营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮
流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现
有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4 个红球和2 个白球，从中任取4 个小球，若取出的红球比白球
多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙
的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.
(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；
(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.
8．从今年起，我国将于每年5 月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首届全国城市生活垃
圾分类宣传周时间为2023 年5 月22 日至28 日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，
某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C
三个项目，三个测试项目相互不受影响.
(1)若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从
三个项目中选一项测试，且他测试
三
个项目“通过”的概率分别为
.已知他第一项测试“通过”，求他第一项测试选择的项目是
的概率；
(2)现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有
通过不获奖.已知居民乙选择
的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为
，第三项通过的概率
为
.若他获得一等奖的概率为
，求他获得二等奖的概率
的最小值.
9．抽屉中装有5 双规格相同的筷子，其中3 双是一次性筷子，2 双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从
抽屉中随机取出1 双（2 只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直
接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
(1)在第2 次取出的是非一次性筷子的条件下，第1 次取出的是一次性筷子的概率；
(2)取了3 次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望.
10．从甲、乙、丙、丁、戊5 人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，
每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
(1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量
，求
的分布列和数学期望；
(2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1 次由甲将球传出，记
次传球后球在甲手中的概
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率为
.
①直接写出
，
，
的值；
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