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一道高中力学题的十种解法
1 题目
如图1 所示，物体与水平面之间的摩擦因数为，物体的质量为m ，为了使物体在水
平面上匀速直线运动，则拉力的最小值是多少？
2 解析
2.1 方法一： 积化和差，方现物理的数学本质
设拉力为F ，拉力与水平面的夹角为，对物体进行受力分析后，得
cos
sin
mg
F
上式中的分子为一个定值，只要能求出分母的极值就可以得到拉力的最小值。
2
2
2
1
cos
sin
1
(
cos
sin )
1
1
设
2
2
1
sin
,
cos
1
1
，则上式可以写成
2
2
2
2
1
cos
sin
1
(
cos
sin )
1
sin(
)
1
1
即当
/ 2
时，拉力有最小值
min
2
1
mg
F
2.2 方法二：矢量三角形，尽现平面几何的魅力
如图2 所示，可以将地面的支持力与摩擦力合成为一个力，它与竖直方向的夹角为，
则tan
。三物体受到的三个力的矢量可以组成一个闭合的矢量三角形，再根据点到直
线垂线段最短，可以得
min
2
sin
1
mg
F
mg
2.3 方法三：差别式法，体现代数的无穷能力
设cos
sin
a
，则化简消去cos得
2
2
2
(1
)sin
2
sin
1
0
a
a
因为sin有解，所以上面的等式中的
0
，可以求得
F
图1 题目
N
F
图2 矢量三角形法
F
'
F
f
mg
2
2
2
(2
)
4(1
)(
1)
0
a
a
，整理后得
2
1
a
，故
min
2
1
mg
F
2.4 方法四：柯茜不等式，具有深入浅出的能力
根据柯茜不等式，
2
2
2
2
2
(
)
(
)(
)
ac
bd
a
b
c
d
，当且仅当a
c
b
d
时，取等号
则有
2
2
2
1 cos
sin
(1
)(sin
cos
)
所以
min
2
1
mg
F
2.5 方法五：向量点乘，也可以化腐朽为神奇
在图3 所示，设
(cos ,sin ),
(1, )
OA
OB
，则
2
cos
1
cos
OA OB
OA OB
上式中的为两个向量的夹角，
当且仅当它们夹角为零时，向量积有最大值，即
min
2
1
mg
F
2.6 方法六：函数求导，让复杂的问题简单化
将cos
sin
对角度求导并使其为零，则
当tan
时，原式有最大值
2
1
，所以拉力的最小值为
min
2
1
mg
F
。
2.7 方法七：勾股定理，也可以另辟蹊径
如图4 所示，构造下面的直角梯形ABED ，取
,
1,
ACD
AC
BC
，则
cos
sin
AG
所以当
,
G B 两点重合时，AG 有最大值
2
1
所以拉力的最小值为
min
2
1
mg
F
。
2.8 方法八：构造对偶式，柳暗花明又一村
令
cos
sin
a
，其对偶式为
sin
cos
b
将这两个式子的平方相加得:
2
2
2
1
a
b
图3 向量法
x
y
o
(cos ,sin )
OA
(1, )
OB
A
B
E
D
G
1
C
图4 构造图形法
则
2
2
2
1
a
b
，当
0
b
时，
2
a 有最大值，此时tan
，原式有最大值
2
1
，
所以拉力的最小值为
min
2
1
mg
F
。
2.9 方法九：线性规划，也可以妙笔生花
如图4 所示，令圆和直线分析为，
2
2
1,
cos
sin
x
y
z
x
y
，则
当直线z
x
y
平移到与圆相切时最大，根据点到直线距离求出
2
1
1
z
d
即
2
1
z
所以拉力的最小值为
min
2
1
mg
F
。
2.10 方法十：极坐标方程，完美再现解析几何的威力
令cos
sin
，为极径（
0
），则
2
cos
sin
，则可以整理成
2
2
x
y
x
y
，进一步可以化成
2
2
2
2
1
1
(
)
(
)
2
2
4
x
y
R
当
2
有最大值时，
cos
sin
最大， 即cos
sin
有最大值。
2
2
2
x
y
即圆上点到原点的距离。
当
2
2
4R
时最大，即
2
max
1
所以拉力的最小值为
min
2
1
mg
F
。
3 结语
通过以上十种方法的分析不难发现，物理题目中极值问题在处理时方法基本都是数学中
的常见的知识，平面几何，解析几何，向量法，差别式法，不等式法都是用武之地，就是线
性规划也能有精彩的分析。这样的分析方法不仅体现了物理学科数学本质，也充分证明了数
学思想的多样性和灵活性。
图5 线性规划法
x
y
x
y
图6 极坐标法
