《2026初高衔接》[第十一讲]——幂函数及其衍生函数_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》学生版

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幂函数及其衍生函数
幂函数及其衍生函数
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
初步认识幂函数
识别幂函数，根据指数判断定义域、
单调性、图象特征
直观想象、数学抽象
认识函数的变换与运算
初步认识图象变换规律，和运算特
点．能分析性质
直观想象、逻辑推理
一幂函数
初中我们接触过三类基础函数：反比例函数y = 1
x 、二次函数y = x2、正比例函数y = x．到了高中，这三
类函数能统一归为同一种函数类型，我们把这类形如y = xα 的函数统称为幂函数．
五个必会幂函数
我们可以采用五点作图法，分别绘制下列各个幂函数的图象，同时结合之前所学的函数相关性质，请完成
对应性质的填写与补充完善．
O
x
y
1
1
y=x-1
y=x2
y=x3
y=x1
y=x
1
2
y=x0
大于1
0到1之间
小于0
y = x
y = x2
y = x3
y =
x
y = 1
x
定义域
值
域
奇偶性
单调性
由上述5 个幂函数的图象及其性质，我们可以归纳得出幂函数的图象性质如下：
幂函数y = xα(α = q
p ，p，q ∈Z，p,q 互质) 具有如下性质：
过定点：所有的幂函数在(0, +∞) 都有定义，并且图象都过点
．
单调性：若α > 0，则幂函数的图象过原点，并且在[0, +∞) 上为
．
若α < 0，则幂函数的图象在(0, +∞) 上为
，在第一象限内图象无限接近x 轴与y 轴．
奇偶性：当α 是整数时，α 为奇数，幂函数为
，α 为偶数，幂函数为
．
正弦型三角函数函数的参数与图象
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1 (★★☆☆☆)已知幂函数f(x) = (m2 + m - 5)x-m2+2m+3 在(0，+∞) 上单调递增．
(1) 求函数f(x) 的解析式；
(2) 若f(2x - 1) < f(2 - x)，求实数x 的取值范围；
(3) 若正数a，b，满足4a + 2b = m，求1
a + a
b 的最小值．
1
(★☆☆☆☆)下列函数既是幂函数又是奇函数的是
(
)
A. y = 3 x 　　　
B. y = 1
x2 　　　
C. y = 2x2　　　
D. y = x + 1
x
2
(多选•★☆☆☆☆)已知幂函数f (x) = (m - 2)xm2-2m，则
(
)
A. m = 1
B. f(x) 的定义域为R
C. f(-x) =-f(x)
D. 将函数f(x) 的图象向左平移1 个单位长度得到函数g(x) = (x - 1)3 的图象
2
(★☆☆☆☆)函数y = x
4
3 的图象是
(
)
A.
O
x
y
B.
O
x
y
C.
O
x
y
D.
O
x
y
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3
(★★☆☆☆)已知幂函数f(x) = xα 过点
1
2 ，
2
2


，则不等式f(|x|) ≤2 解集
(
)
A. (0，
2]
B. [0，4]
C. [- 2，
2]
D. [-4，4]
4 (★★★☆☆)幂函数的图象经过点(4，2)，若0 < a < b < 1，则下列各式正确的是
(
)
A. f(a) < f(b) < f 1
b


< f 1
a


B. f 1
a


< f 1
b


< f(b) < f(a)
C. f(a) < f(b) < f 1
a


< f 1
b


D. f 1
a


< f(a) < f 1
b


< f(b)
5
(★★★☆☆)已知幂函数f(x) = (m2- 2m - 2)xm-1 在[0，+∞) 上单调递增．
(1) 求m 的值；
(2) 设g(x) 是定义在R 上的奇函数，当x > 0 时，g(x) = f(x) - 2x + 2，求g(x) 的解析式；
(3) 求关于x 的不等式f(x) < x + a2- a 的解集．
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二反比例型（一次分式）函数
前面我们学习了一次分式的分离常数的方法．对于分式f(x) = cx+d
ax+b 可进行如下裂项：
①在函数的分子上配出分母的形式：f(x) =
c
a ax+b


+d- cb
a
ax+b
②列项：f(x) = c
a +
d- cb
a
ax+b .
③令k = d - cb
a ，则函数f(x) = c
a +
k
ax+b
显然上述函数是反比例函数的平移变换得到的．由此我们将形如f(x) = cx+d
ax+b 这样的函数称为反比例型
(一次分式) 函数.
其图象如右：由图可得f(x) = cx+d
ax+b 的性质：
①f(x) 定义域是-∞,- b
a


、- b
a ,+∞


，值域是-∞, c
a


、
c
a ,+∞


②f(x) 在-∞,- b
a


、- b
a ,+∞


上具备唯一单调性
③f(x) 图象关于- b
a , c
a


呈中心对称
每一次都以分离常数的方法去研究分式函数显得复杂与繁琐，我们可以借助一些二级结论来辅助记忆．
对于一次分式函数f(x) = cx+d
ax+b ，它的草图有如下特点与规律：
①它的两条渐近线：x =- b
a ，y = c
a (第一条是分母为零；第二条是变量系数作比)
②通过取特殊值(如x = 0)来判断图象的摆放位置，要么在一三图区，要么在二四图区
反比例型函数快速绘图方法
2 (多选•★☆☆☆☆)已知函数f(x) =-
x
x+1 ，则函数具有下列性质
(
)
A. 函数f(x) 的图象关于点(-1，-1) 对称
B. 函数f(x) 在(-1，+∞) 上单调递增
C. 函数f(x) 的图象过原点
D. 函数f(x) 的值域为{y|y ≠-1}
y
x
f(x)= cx+d
ax+b
x=- b
a
y= c
a
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(★☆☆☆☆)请作出下列函数的草图，并求解其值域
(1) f(x) = 3x-1
x+1 ．
(2) f(x) =
2x
x+1 , x ∈[0，+∞

7
(★☆☆☆☆)已知函数f(x) =
3
2x-1 (x ∈[2，8])，则
(
)
A. f(x) 是单调递增函数
B. f(x) 是偶函数
C. 函数f(x) 的最小值为f(8)
D. f(2) < f(4) < f(6)
8
(多选• ★★☆☆☆) 已知函数f(x) = x+2
x-6 ，下列选项正确的是
(
)
A. 若f(x) = 2，则x = 14
B. 函数f(x) 在定义域内是减函数
C. 若x ∈[2，8] 时，则f(x) 的值域是[-1，5]
D. 若x ∈N，则函数f(x) 有最小值也有最大值
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(★★☆☆☆)若f(x) =-x2+ 2(a - 1)x 与g(x) = ax-1
x-1 在(1，2) 上都是减函数，则a 范围
(
)
A. (-2，-1) ∪(1，2)
B. (-1，0) ∪(0，2]
C. (1，2]
D. [1，2)
10 (多选•★★★☆☆)函数f(x) = 2x-m
x+1
在区间(n，+∞) 上单调递增，则下列说法正确的是
(
)
A. m <-2
B. m >-2
C. n ≤-1
D. n ≥-1
11 (多选•★★★☆☆)若函数f(x) = |x|-2
x2-4 + 1，定义域为D，下列结论正确的是
(
)
A. f(x) 的图象关于y 轴对称
B. ∃x ∈D，使f(x) = 5
4
C. f(x) 在[0，2) 和(2，+∞) 上单调递减
D. f(x) 的值域为0，3
2



12 (★★☆☆☆)已知函数f(x) =
2x
x+1 ．
(1) 用定义证明f(x) 在(1, +∞) 上单调递增；
(2) 对任意x ∈[2，4] 都有f(x) ≤m 成立，求实数m 的取值范围．
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三对勾函数
前面我们学习了正反比例和函数f(x) = ax + b
x ，a > 0,b > 0，这个函数在高中阶段我们将其称之为对勾
函数．需要像学习一次函数和二次函数一样，记熟记它的性质和图象．
对勾函数图象性质
解析式
f(x) = ax + b
x
图
像
a > 0，b > 0
a < 0，b < 0
y
x
b
a
2
ab
y=ax
y
x
-
b
a
2
ab
y=ax
渐近线
y 轴和y = ax
定义域
-∞,0


∪0,+∞


值
域
y ϵ -∞,

-2 ab

∪2 ab,

+∞

单调增区间
-∞,

-
b
a


,
b
a ,


+∞

-
b
a ,

0),(0,
b
a

单调减区间
-
b
a ,

0),(0,
b
a

-∞,

-
b
a


,
b
a ,


+∞

3 (多选•★★★☆☆)已知函数f(x) =
x2
x+1 ，g(x) = f(x)
x
，则下列选项正确的是
(
)
A. 若x >-1，则函数f(x) 的最小值为0
B. 若a > 0，b > 0 且f(a) =
2ab
3b-2 ，则ab ≥16
C. 函数g(x) 的图象关于点(-1，1) 中心对称
D. 若a，b，c 是△ABC 的三边，则g(a) + g(b) > g(c)
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13 (★☆☆☆☆)若f(x) = x + 4
x ，下列结论正确的是
(
)
A. f(x) 的最小值为4
B. f(x) 在(0，2) 上单调递减，(2，+∞) 上递增
C. f(x) 的最大值为4
D. f(x) 在(0，2) 上单调递增，(2，+∞) 上递减
14 (多选•★★☆☆☆)设函数f(x) = x
3 + 1
x ，则
(
)
A. f(x) 有最大值
B. 曲线f(x) 有对称中心
C. f(x) 有最小值
D. 曲线f(x) 有对称轴
15 (多选•★★★☆☆)对于函数f(x) =
x
1+2x2 ，下列判断正确的是
(
)
A. f(-x) + f(x) = 0
B. 当m ∈(0，1) 时，方程f(x) = m 总有实数解
C. 函数f(x) 的值域为-
2
4 ，
2
4




D. 函数f(x) 的单调递增区间为(-∞，0)
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16 (★★★★★)已知函数f(x) = x +
a
x-b (a，b ∈R)．
(1) 求函数y = f(x) 图象的对称中心；
(2) 当a =-1，b = 1 时，用定义证明f(x) 在(1，+∞) 上单调递增；
(3) 当a > 0，b = 0 时，若函数f(x) 在定义域[m，n] 上单调(n > m > 0)，且函数f(x) 的值域为[2m + 1，
2n + 1]，求实数a 的取值范围．
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1 (多选•★☆☆☆☆)当x <-1 时是增函数的有
(
)
A. y = x2
B. y = 2x
C. y =-
2
x+1
D. y = 2
x
2 (★☆☆☆☆)已知幂函数f(x) = (m2- 3)x-m 在(0，+∞) 上为单调减函数，则实数m 的值为
(
)
A.
3
B. ± 2
C. - 2
D. 2
3 (★★☆☆☆)函数f(x) = x2+3x+4
x
，对于任意x ≥1
2 时下列说法正确的是
(
)
A. 函数最小值为7
B. 函数最小值为23
2
C. 函数最大值为7
D. 函数最大值为23
2
4 (★★☆☆☆)若函数f(x) =
1
x-m 在区间(0，1) 上单调，则m 的取值范围是
(
)
A. (-∞，0)
B. (1，+∞)
C. (-∞，0) ∪(1，+∞)
D. (-∞，0] ∪[1，+∞)
5 (★★☆☆☆)已知命题p：“∃x ∈R，x2- ax + 1 = 0”为假命题，命题q：“f(x) = 2x + a
x 在(0，
1] 上为增函数”为真命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A．
(1) 求集合∁RA；
(2) 设集合B = {x|3m + 1 ≤x < 2m + 1}，若x ∈∁RA 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．