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专题16 圆锥曲线的标准方程与几何性质
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 椭圆
1、椭圆的定义
（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭
圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
（2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c 为常数且a>0，c>0.
①当2a>|F1F2|时，M 点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M 点的轨迹为线段F1F2；
③当2a<|F1F2|时，M 点的轨迹不存在．
2、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
1
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对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c 的关系
c2＝a2－b2
3、椭圆中的几个常用结论
（1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴．
（2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.
（3）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)．
（4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．
若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2，即点P 为短轴端点时，θ 最大；
②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)．
知识点2 双曲线
1、双曲线的定义
（1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双
曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．
（2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c 为常数且a>0，c>0.
①当2a<|F1F2|时，M 点的轨迹是双曲线；
②当2a＝|F1F2|时，M 点的轨迹是两条射线；
③当2a>|F1F2|时，M 点不存在．
2、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a 或x≤－a，y∈R
y≤－a 或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
2
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离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实、虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c 的关
系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3、双曲线中的几个常用结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
（2）若P 是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长
为2a.
（4）设P，A，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A，B 关于原点对称，直线PA，PB 斜率存在且不为
0，则直线PA 与PB 的斜率之积为.
（5）P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则
，其中θ 为∠F1PF2.
（6）等轴双曲线
①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
②性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
（7）共轭双曲线
①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．
②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.
知识点3 抛物线
1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
（1）在平面内；（2）动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等；（3）定点不在定直线上．
2、抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
3
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焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径
(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
3、抛物线中的几何常用结论
（1）设AB 是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F 的弦．
①以弦AB 为直径的圆与准线相切．
②以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．
③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2 p ，通径是过焦点最短的弦．
（2）过x2＝2py 的准线上任意一点D 作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 过点.
重难点01 求椭圆离心率及其范围的方法
1、求椭圆离心率的3 种方法
（1）直接求出a，c 来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c 的值．
（2）构造a，c 的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的
一元二次方程求解．
（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2、求椭圆离心率范围的2 种方法
（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c
等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；
（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c 的不等关系
式，适用于题设条件直接有不等关系．
【典例1】（24-25 高三上·四川巴中·模拟预测）已知
是椭圆
的左，右焦点，
A，B 是椭圆C 上的两点．若
，且
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（24-25 高三上·江西新余·月考）已知离心率为的椭圆
中，
分别为
的左、上顶点，
为其右焦点，
轴且
在
上（
在第一象限），直线
交过
且垂直于
轴
4
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的垂线于
，若
，则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【典例3】（23-24 高三下·河南濮阳·模拟预测）点
是椭圆
上的点，以
为圆心的
圆与
轴相切于椭圆的焦点
，圆
与
轴相交于
两点，若
是锐角三角形，则椭圆离心率的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
重难点02 求双曲线的离心率或其范围的方法
1、求双曲线的离心率或其范围的方法
（1）求a，b，c 的值，由＝＝1＋直接求e.
（2）列出含有a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e 的方程(或不等
式)求解，注意e 的取值范围．
（3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c 的值，进而求出离心率，
能有效简化计算．
（4）通过特殊位置求出离心率．
2、双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：
当k>0 时，k＝＝＝ ＝；当k<0 时，k＝－＝－．
【典例1】（24-25 高三上·江苏·月考）已知双曲线
，点M 在C 上，过点M 作C 两条渐
近线的垂线，垂足分别为A，B，若
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【典例2】（23-24 高三下·湖南衡阳·三模）如图所示，已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点F，
过点F 作直线l 交双曲线C 于
两点，过点F 作直线l 的垂线交双曲线C 于点G，
，且三点
共线（其中O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为 ．
5
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一、椭圆定义应用的类型及方法
1、求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程；
2、焦点三角形问题：利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正
弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a 两边平方是常用技巧；
3、求最值：抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；
利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a 转化或变形，借助三角形性质求最值．
【典例1】（23-24 高三下·广东江门·二模）已知圆
内切于圆
，圆
内切于圆
，则动圆
的圆心的轨迹方程为 .
【典例2】（23-24 高三上·四川内江·月考）已知椭圆
是左，右焦点，
是椭圆上第一象
限的点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】（23-24 高三下·宁夏银川·二模）已知
，P 是椭圆
上的任意一点，则
的最大值为 .
二、求椭圆标准方程的2 种常用方法
1、根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程；
2、待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明
确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，
A≠B)．
【典例1】（23-24 高三下·安徽合肥·模拟预测）已知焦点在
轴上的椭圆的离心率为
，焦距为
，
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则该椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三上·江苏南京·零模）已知过椭圆
的左焦点
的直线与椭
圆交于不同的两点
，
，与
轴交于点
，点
，
是线段
的三等分点，则该椭圆的标准方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
三、椭圆的中点弦问题
1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系
数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点
坐标和斜率的关系，具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1
(a>b>0 )上两点A 、B ，其中
AB 中点为P(x0，y0)，则有
k AB⋅kOP =−b2
a2 ．
证明：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有{
x1
2
a
2 +
y1
2
b
2 =1¿¿¿¿
，
上式减下式得
x1
2−x2
2
a2
+ y1
2−y2
2
b2
=0
，∴
y1
2−y2
2
x1
2−x2
2 =−b2
a2
，
∴
y1−y2
x1−x2
⋅
y1+ y2
x1+x2
=
y1−y2
x1−x2
⋅
2 y0
2 x0
=
y1−y2
x1−x2
⋅
y0
x0
=−b2
a2
，∴
k AB⋅kOP =−b2
a2 ．
特殊的：直线l (存在斜率)过椭圆
y2
a2 + x2
b2=1
(a>b>0 )上两点A 、B ，线段AB 中点为P(x0，y0)，则有
k AB⋅kOP =−a2
b2 ．
【典例1】（23-24 高三上·贵州黔东南·月考）已知椭圆
以及椭圆内一点
，则以
为中点
的弦所在直线的斜率为（ ）
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A．
B．
C．-4
D．4
【典例2】（23-24 高三下·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆
，一组斜率
的平行直线与椭圆相交，
则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
四、双曲线定义的应用
1、判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
2、在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建
立|PF1|与|PF2|的关系．
【注意】在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是
双曲线的一支，则需确定是哪一支．
【典例1】（24-25 高三上·广西·月考）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，
为
右支
上一点，
为坐标原点，
为线段
的中点，
为线段
上一点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（23-24 高三上·广东湛江·月考）已知点
为双曲线
的左支上一点，
分别为
的左，右焦点，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【典例3】（24-25 高三上·江苏南京·开学考试）设双曲线
的左右焦点分别为
，离心率为
为
上一点，且
，若
的面积为
，则
.
五、待定系数法求双曲线方程的五种类型
1、与双曲线－＝1 有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；
2、若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x 或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)；
3、与双曲线－＝1 共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)；
4、过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0)；
5、与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)．
【典例1】（23-24 高三下·山东济南·三模）已知双曲线
过点
，且与双曲线
有相
8
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同的渐近线，则双曲线
的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（24-25 高三上·广东揭阳·月考）已知双曲线
的两条渐近线均和圆
相切，且圆
的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
六、双曲线的中点弦问题
与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可
以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．
【典例1】（23-24 高二上·江苏南通·月考）已知直线l 与双曲线
交于A、B 两点，且弦AB的中
点为
，则直线l 的方程为 ．
【典例2】（23-24 高三上·湖北武汉·期末）已知A，B 为双曲线
上不同两点，下列点中可为线段
的中点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
七、抛物线定义的应用
1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F 的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋．
【典例1】（24-25 高三上·北京海淀·开学考试）抛物线
上与焦点距离等于3 的点的横坐标是
．
【典例2】（23-24 高三下·福建福州·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，点
在
上，且点
到直线
的距离为
，则
.
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【典例3】（24-25 高三上·甘肃白银·月考）已知动点
在抛物线
上，
，则该动点
到
点
的距离与到
轴的距离之和的最小值为 .
八、抛物线的标准方程的求法
1、定义法
根据抛物线的定义，确定p 的值(系数p 是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．
标准方程有四种形式，要注意选择．
2、待定系数法
（1）根据抛物线焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p 的方
程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；
（2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨
论，对于焦点在x 轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解．
另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m 有两个解，则抛物线的标准方
程有两个．同理，焦点在y 轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．
【典例1】（24-25 高三上·江西南昌·月考）已知抛物线
的焦点
关于其准线的对称点为
，则抛物
线
的标准方程为 .
【典例2】（24-25 高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结
构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P 到江面的距离为
100m，且
，则顶端
到桥面的距离为（ ）
A．50m
B．
C．55m
D．
九、抛物线几何性质的应用技巧
1、涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口
方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
2、与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦
长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p 与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是
正确解题的关键．
【典例1】（23-24 高三上·江苏·开学考试）已知线段AB 是抛物线
的一条弦，且AB 中点M 在
上，则点A 横坐标（ ）
10
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A．有最大值，无最小值
B．无最大值，有最小值
C．无最大值，无最小值
D．有最大值，有最小值
【典例2】（23-24 高三下·广西来宾·模拟预测）（多选）已知抛物线
，过
的焦点
作
直线
，若
与交于
两点，
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
或
D．线段
中点的横坐标为
易错点1 忽视圆锥曲线定义中的限制条件
点拨：在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于
．这种规定是为了避免出现两种特殊情
况——轨迹为一条线段或无轨迹。在双曲线的定义中，不仅对常数加了限制条件，同时要求距离差加了绝
对值，其实如果不加绝对值其轨迹只表示双曲线的一支，对此考生经常出错．
【典例1】设定点
，
，动点
满足条件
，则动点
的轨迹是
（ ）
A．椭圆
B．线段
C．不存在
D．椭圆或线段或不存在
【典例2】（23-24 高三下·海南·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系
中，已知点
是一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则点
的轨迹为椭圆
B．若
，则点
的轨迹为双曲线
C．若
，则点
的轨迹为一条直线
D．若
，则点
的轨迹为圆
易错点2 求圆锥曲线准方程时忽视“定位”分析
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点拨：确定椭圆或双曲线的标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆或双曲线
与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，若情况不
明，应对参数进行讨论，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解．
【典例1】若双曲线的渐近线方程是
，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【典例2】（24-25 高三上·山东新泰·开学考试）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点
，且与椭圆
有相同的焦点．
(2)经过两点
，
．
易错点3 求与抛物线有关的最值问题是忽视定点位置
点拨：求与抛物线有关的最值问题常见题型及方法：
①具备定义背景，可用定义转化为几何问题来处理；
②不具备定义背景，可由条件建立目标函数，然后利用求函数最值的方法来处理。
在这两类题型中，定点的位置尤为重要，处理不当就会出错．
【典例1】（24-25 高三上·广东·月考）记抛物线
的焦点为
，点
在
上，B (2,1)，则
|AF|+|AB|的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【典例2】（23-24 高三下·陕西西安·一模）设
为抛物线C：
上的动点，
关于
的对称点为
，记
到直线
、
的距离分别
、
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
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