专题 02 函数与导数下的新定义
【题型归纳目录】
题型一：曲率与曲率半径问题
题型二：曼哈顿距离与折线距离
题型三：双曲正余弦函数问题
题型四：凹凸函数
题型五：二元函数问题
题型六：切线函数新定义
题型七：非典型新定义函数
【方法技巧与总结】
1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查
考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，
重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．
2、设 为平面上两点，则定义 为“折线距离”“直角距离”或
“曼哈顿距离”，记作 ．
结论1：设点 为直线 0外一定点， 为直线 上的动点，则
结论2：设点 为直线 上的动点，点 为直线 上的动点，则
．
【典型例题】
题型一：曲率与曲率半径问题
【典例1-1】（2024·高三·重庆·阶段练习）定义：若 是 的导数， 是 的导数，则曲线
在点 处的曲率 ；已知函数 ，
，曲线 在点 处的曲率为 ；
(1)求实数a的值；
(2)对任意 恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设方程 在区间 内的根为 ，…比较 与 的大小，并证明．
【解析】（1）由已知 ，
所以 ，解得 （ 舍去），
所以 ；
（2）由（1）得 ， ，
则 ，
对任意的 ， ，即 恒成立，
令 ，则 ，不等式恒成立，
当 时， ，原不等式化为 ，
令 ，
则
，
所以 在区间 单调递增，所以 ，
所以 ，
综上所述，实数m的取值范围为 ；
（3） ，证明如下：
由已知方程 可化为 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 在区间 上单调递减，
故，
，
所以存在唯一 ，使得 ，
又 ， ，
则
由 单调递减可得 ，
所以 .
【典例1-2】（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线 ，存在圆 满足如下条件：
①圆 与曲线 有公共点 ，且圆心在曲线 凹的一侧；
②圆 与曲线 在点 处有相同的切线；
③曲线 的导函数在点 处的导数（即曲线 的二阶导数）等于圆 在点 处的二阶导数（已知圆
在点 处的二阶导数等于 ）；
则称圆 为曲线 在 点处的曲率圆，其半径 称为曲率半径．
(1)求抛物线 在原点的曲率圆的方程；
(2)求曲线 的曲率半径的最小值；
(3)若曲线 在 和 处有相同的曲率半径，求证： ．
【解析】（1）
记 ，设抛物线 在原点的曲率圆的方程为 ，其中 为曲率半径．则 ， ，
故 ， ，即 ，
所以抛物线 在原点的曲率圆的方程为 ；
（2）设曲线 在 的曲率半径为 ．则
法一： ，
由 知， ，
所以 ，
故曲线 在点 处的曲率半径 ，
所以 ，则 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 ，曲线 在点 处的曲率半径 ．
法二： ， ，
所以 ，而 ，
所以 ，解方程可得 ，
则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 ，曲线 在点 处的曲率半径 ．
（3）法一：函数 的图象在 处的曲率半径 ，
故 ，
由题意知： 令 ，
则有 ，
所以 ，即 ，故 ．因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
法二：函数 的图象在 处的曲率半径 ，
有
令 ，则有 ，
则 ，故 ，
因为 ，所以 ，
所以有 ，
令 ，则 ，即 ，
故 ，所以 ，即 ；
法三：函数 的图象在 处的曲率半径 ．
故
设 ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故有 ，
所以 ，
要证 ，即证 ，
即证 将 ，下证：当 时，有 ，
设函数 （其中 ），
则 ，
故 单调递增， ，
故 ，所以 ．
法四：函数 的图象在 处的曲率半径 ，
有 ，
设 ．
则有 ，
所以当 时 ，当 时 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增．
故有 ，
所以 ，
要证 ，即证 ，
即证 ．将 ，
下证：当 时，有 ，
设函数 （其中 ），
则 ，
故 单调递增，故 ，
故 ，所以 ．
【变式1-1】（2024·高三·浙江宁波·期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C： 上的曲线段 ，其弧长为 ，当动点从A沿曲线
段 运动到B点时，A点的切线 也随着转动到B点的切线 ，记这两条切线之间的夹角为 （它等于
的倾斜角与 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定
时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 为曲线段 的平均曲率；显然当B越接近A，即
越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义 （若极限存
在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示 在点A处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆 在 处的曲率；
(3)定义 为曲线 的“柯西曲率”．已知在曲线 上存在两点
和 ，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求 的取值范围．
【解析】（1） ．
（2） ， ， ，
故 ， ，故 ．
（3） ， ，故 ，其中 ，
令 ， ，则 ，则 ，其中 （不妨 ）令 ， 在 递减，在 递增，故 ；
令 ，
，令 ，
则 ，当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，
可得 ，即 ，
故有 ，
则 在 递增，
又 ， ，故 ，
故 ．
【变式1-2】（2024·高三·辽宁·期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线
条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 是
的导函数， 是 的导函数，则曲线 在点 处的曲率 ．
(1)求曲线 在 处的曲率 的平方；
(2)求余弦曲线 曲率 的最大值；
【解析】（1）因为 ，则 ， ，
所以 ，故 .
（2）因为 ，则 ， ，
所以 ，
则 ，
令 ，则 ， ，
设 ，则 ，
显然当 时， ， 单调递减，
所以 ，则 最大值为1，
所以 的最大值为1．
题型二：曼哈顿距离与折线距离
【典例2-1】（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ，
，那么称 为A，B两点间的曼哈顿距离．
(1)已知点 ， 分别在直线 ， 上，点 与点 ， 的曼哈顿距离分别为
， ，求 和 的最小值；
(2)已知点N是直线 上的动点，点 与点N的曼哈顿距离 的最小值
记为 ，求 的最大值；
(3)已知点 ，点 （k，m， ，e是自然对数的底），当 时， 的最大值为
，求 的最小值．
【解析】（1） ，
则 ，即 的最小值为 ；，
则 ，即 的最小值为 .
（2）当 时， ，
点 为直线 上一动点，
则当 时 ，
即 ；
当 时， ，
即 ；
所以 ，又当 时， ，
当 时， ，
所以 的最大值为 .
（3）令 ，则 ， ，
，
令 ，则 在区间 内成立，
则 在区间 内单调递增，则 ，
令 ，则 在区间 内成立，
则 在区间 内单调递减，则 ，
所以 ，
所以 ，
当 且 时，取最小值，的最小值
【典例2-2】（2024·高三·广西防城港·阶段练习）若设 为曼哈顿扩张
距离，它由 个绝对值之和组成，其中 为正整数.如：
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若 对一切实数 恒成立，设 ， ，且 ，求 的最大值.
【解析】（1）依题意， ，
当 时， ，解得 ，于是 ，
当 时， ，于是 ，
当 时， ，解得 ，于是 ，
所以 的取值范围是 .
（2） 对一切实数 恒成立，
而 ，当且仅当 ，即 时取等号，
则 ，因此 ，当且仅当 时取等号，根据柯西不等式得 ，
则 ，解得 ，当且仅当 时等号成立，
所以当 时， 取得最大值 .
【变式2-1】（2024·高三·北京·期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫
斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网
中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用
表示，又称“曼哈顿距离”，即 ，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若 ，
，则
(1)①点 ， ，求 的值．②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．
(2)已知点 ，直线 ，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
(3)设三维空间4个点为 ， ，且 ， ， ．设其中所有两点“曼哈顿距
离”的平均值即 ，求 最大值，并列举最值成立时的一组坐标．
【解析】（1）① ；
②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为 ，则 ，即 .
（2）设直线 上任意一点坐标为 ，则 ，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ，
综上所述， 的最小值为2.
（3）
如图， 为正方体，边长为1，则 对应正方体的八个顶点，
当四个点在同一个面上时，
（i）例如： ，此时 ；
（ii）例如： ，此时 ；
当四个点不在同一个平面时，
（iii）例如： ，此时 ；
（iiii）例如： ，此时 ；（iiiii）例如： ，此时 ；
（iiiiii）例如： ，此时 ；
综上所述， 的最大值为2，例如： ， ， ， .
题型三：双曲正余弦函数问题
【典例3-1】（2024·高三·江苏苏州·开学考试）定义：双曲余弦函数 ，双曲正弦函数
．
(1)求函数 的最小值；
(2)若函数 在 上的最小值为 ，求正实数 的值；
(3)求证：对任意实数 ，关于 的方程 总有实根．
【解析】（1）依题意有
，
令 ，则 .
因为 在R上单调递增，
当 趋近于 时， 趋近于 ，当 趋近于 时， 趋近于 ，
所以 ，所以当 时，即 时，
函数 有最小值 ．
（2）函数 在 上的最小值为 ，
即函数 有最小值 ．
因为
令 ，则 ，因为最小值为 ，所以 ，解得 ，
所以正实数 的值为 ．
（3）证明：令 ，定义域为 ，
则 ，
又 ，所以 是奇函数，
因为 是 上的增函数，
所以 在 上单调递增，且当 趋近于 时， 趋近于1，
所以函数 在 上的值域为 ，
直线 过定点 ，
如图所示：无论 取任何实数，直线 与函数 的图象都有交点，
即对任意实数 ，关于 的方程 总有实根．
【典例3-2】（2024·高三·福建宁德·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链
线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程 ，其中 为参数.当 时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数 .它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论: _____________.（只写出
即可，不要求证明）；
(2) ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，试比较 与 的大小关系，并证明你的结论.
【解析】（1） .
（2）依题意， ，不等式 ，
函数 在 上单调递增， ，令 ，
显然函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
又 ，于是 ， ，
因此 ， ，显然函数 在 上单调递减，
当 时， ，从而 ，
所以实数 的取值范围是 .
（3） ， .
依题意， ，
，
当 时， ， ，即 ，
于是 ，而 ，因此 ，
当 时， ，则 ， ，
即 ，而 ，因此 ，
于是 ， ，所以 .
【变式3-1】（2024·上海宝山·模拟预测）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函
数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦： ，双曲余弦函数： ，（ 是自然对数的底数）.
（1）解方程： ；
（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式： ________，并证明；
（3）无穷数列 ， ， ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不
存在，说明理由.
【解析】（1）由题意得： ，即 ，解得： ；
（2）
左边 ，
右边
，
∴左边等于右边，即 成立
（3）当 时，存在 ，使得 ，
由数学归纳法证明： ，证明如下：
ⅰ）当 时， 成立，
ⅱ）假设 时， ，则 成立.
综上： .
∴ ，有 ，即 .
当 时，由 ，函数 的值域为 ，对于任意大于1的实数
，存在不为0的实数 ，使得 ，类比余弦二倍角公式，猜测 .
证明如下：
.
类比 时的数学归纳法，由 ，易证 ， ，
…， ，…，∴若 ，设 ，则 ，解得： 或 ，即 ，
∴ ，于是 .
综上：存在实数 使得 成立.
【变式3-2】（2024·高三·江苏盐城·期末）悬链线(Catenary)指的是一种曲线，指两端固定的一条(粗细与质
量分布)均匀，柔软(不能伸长)的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的
方程是一个双曲余弦函数，其解析式为 ，与之对应的函数 称为双曲正弦函数，
令 ．
(1)若关于 的方程 在 上有解，求实数 的取值范围；
(2)已知函数 ，若对任意的 ，总存在不同的 ，使得
成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1） ，
所以 在 上单调递增，
又 ，所以 是 上的奇函数，
，即 ，
故 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
令 在 上单调递增， ，
所以 在 上单调递减，
所以 ．（2）任取 ，且 ，
则 ，
所以 在 上单调递增．
又 是偶函数，
所以 时 ．
所以 时， ，当且仅当 时取“ "，
，且 时， ，
当 时， 时， ，
且 在 上连续，
所以 的取值范围为 ，
因为对任意的 ，总存在不同的 ，使得 成立，
所以
所以 ，解得 ，
即 的取值范围为 ．
题型四：凹凸函数
【典例4-1】（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）设连续函数 的定义域为 ，如果对于 内任意
两数 ，都有 ，则称 为 上的凹函数；若 ，
则称 为凸函数.若 是区间 上的凹函数，则对任意的 ，有琴生不等式
恒成立（当且仅当 时等号成立）.
(1)证明： 在 上为凹函数；
(2)设 ，且 ，求 的最小值；(3)设 为大于或等于1的实数，证明： .（提示：可设
）
【解析】（1）设 ，
则
，
所以 在 上为凹函数.
（2）令 ，由（1）知 在 上为凹函数，所以函数 在 上
也为凹函数.
由琴生不等式，得 ，
即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
故 的最小值为 .
（3）设 ，因为 ，所以 ，
要证 ，只需证 ，
由琴生不等式，只需证 在 上为凹函数.
设 ，则 ，
下证 ，即证 ，即证 ，
化简得 ，
即证
又 式显然成立，
所以 成立， 在 上为凹函数，
则 得证.
【典例4-2】（2024·高三·陕西安康·阶段练习）记函数 的导函数为 ， 的导函数为 ，
设 是 的定义域的子集，若在区间 上 ，则称 在 上是“凸函数”.已知函数
.
(1)若 在 上为“凸函数”，求 的取值范围；
(2)若 ，判断 在区间 上的零点个数.
【解析】（1）由 可得其定义域为 ，且 ，
所以 ，
若 在 上为“凸函数”可得 在 恒成立，
当 时，显然符合题意；
当 时，需满足 ，可得 ；
综上可得 的取值范围为 ；
（2）若 ，可得 ，所以 ，
令 ，则 ；
易知 在区间 上恒成立，
因此可得 在 上单调递减；
显然 ， ；根据零点存在定理可得存在 使得 ，
因此可知当 时， ，即 在 上为单调递增；
当 时， ，即 在 上为单调递减；
又 ，显然在 上 不存在零点；
而 ，结合单调性可得在 上 存在一个零点；
综上可知， 在区间 上仅有1个零点.
【变式4-1】（2024·高三·广东东莞·阶段练习）记 ， 为 的导函数.若对 ，
，则称函数 为D上的“凸函数”.已知函数 ， .
(1)若函数 为 上的凸函数，求a的取值范围；
(2)若函数 在 上有极值，求a的取值范围.
【解析】（1）由 ，得 ， ，
由于函数 为 上的凸函数，故 ，
即 ，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
故 ，
故a的取值范围为 ；
（2）由 ，得 ，
函数 在 上有极值，即 在 上有变号零点，
即 在 上有解，
令 ，
令 ，则 ，
即 在 上单调递增，
且当x无限趋近于1时， 无限接近于-1， ，故存在 ，使得 ，
且 时， ， 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，由于 ，
故 ， ，
而 在 时单调递减，故 ，
故 ，即a的取值范围为 .
题型五：二元函数问题
【典例5-1】（2024·高三·湖南·阶段练习）设 是有序实数对构成的非空集， 是实数集，如果对于集合
中的任意一个有序实数对 ，按照某种确定的关系 ，在 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就
称 为从集合 到集合 的一个二元函数，记作 ，其中 称为二元函数 的
定义域.
(1)已知 ，若 ，求
(2)非零向量 ，若对任意的 ，记 ，都有 ，则称
在 上沿 方向单调递增.已知 .请问 在 上沿向量 方向
单调递增吗？为什么？
(3)设二元函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
① ，都有 ，
② ，使得 .
那么，我们称 是二元函数 的最小值.求
的最大值.
【解析】（1）由已知有 ，
则 ；
（2） ，
，又 ，
，
故 在 上沿向量 方向单调递增；
（3）由题意可类似的知道 的最大值的含义，
，其中 ，
（或者直接使用柯西不等式，
，当且仅当 时取等号.）
故 ，当 时取等号，（或当 时取等号），
又 ，根据对勾函数单调性易知当 或2时，函数 取最大值为 .
【典例5-2】（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数 在约束
条件 的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数 ，其中 为拉格
朗日系数．分别对 中的 部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解 ，就是二元函数 在约束条件
的可能极值点． 的值代入到 中即为极值．
补充说明：【例】求函数 关于变量 的导数．即：将变量 当做常数，即：
，下标加上 ，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的 表示
分别对 进行求导．
(1)求函数 关于变量 的导数并求当 处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数 满足 ，求 的最大值．
(3)①若 为实数，且 ，证明： ．
②设 ，求 的最小值．【解析】（1）函数 ，对变量 求导得： ，
当 时， .
（2）令 ，
则 ，解得 或 ，
于是函数 在约束条件 的可能极值点是 ， ，
当 时，函数 的一个极值为函数 ，
当 时，函数 的一个极值为函数 ，
方程 视为关于x的方程： ，则 ，解得 ，
视为关于y的方程： ，则 ，解得 ，
因此函数 对应的图形是封闭的，而 ，
所以 的最大值为 .
（3）①由 ， ，设 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，
所以 .
②当 时，
，当且仅当 时取等号，所以 时， 取得最小值4.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知变量x，y，z，当x，y在某范围D内任取一组确定的值时，若变
量z按照一定的规律f，总有唯一确定的x，y与之对应，则称变量z为变量x，y的二元函数，记作
．已知二元函数 ．
(1)若 ，求 的最小值．
(2)对任意实数x，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）依题意得 ．
∵ ，∴ ，
当且仅当 ，即 时 取得最小值为9．
（2） ．
∵ 恒成立，∴ ，
当 时， 恒成立．
当 时， 等价于 ，解得 ．
综上，实数a的取值范围是 ．
题型六：切线函数新定义
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，设函数 的导函数为 ，若
函数 和 的图象在 处的两条切线 和 平行，则称 为函数 和 的“关联切点”．
(1)证明：对于任意的正实数a，函数 和 的“关联切点”有且只有一个；
(2)若两条切线 和 之间的距离为1，证明： （其中e为自然对数的底数）．
【解析】（1） ， ，
则 ， ．设 为函数 和 的一个“关联切点”，
则 ，即 ①，
则有 ， ， ．
令 ， ，
因为 ，所以 在 上单调递增．
当 时， ， ，
所以 在 上有且仅有一个零点；
当 时， ， ，
所以 在 上有且仅有一个零点．
所以当a为正实数时， 在 上有且仅有一个零点．
即方程 有且仅有一个正根．
所以对于任意的正实数a，函数 和 的“关联切点”有且只有一个．
（2）易知 ，
又 ，即 ，
切线 ，即 ．
由题意知 ，化简得 ．
令 ， ，
因为 恒成立，所以 在 上单调递增，
且 ， ，所以 ．
由①式知 ，所以 ．由 的单调性可得 在 上单调递减，
所以 ，
再由函数 在 单调递增，
即可得 ，得证.
【典例6-2】（2024·河南新乡·二模）定义：若函数 图象上恰好存在相异的两点 ， 满足曲线
在 和 处的切线重合，则称 ， 为曲线 的“双重切点”，直线 为曲线 的
“双重切线”．
(1)直线 是否为曲线 的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数 求曲线 的“双重切线”的方程；
(3)已知函数 ，直线 为曲线 的“双重切线”，记直线 的斜率所有可能的取值为 ，
，…， ，若 （ ），证明： ．
【解析】（1）
的定义域为 ，求导得 ，直线 的斜率为2，
令 ，解得 ，不妨设切点 ，
则点 处的切线方程为 ，即 ，
点 处的切线方程为 ，即 ，
所以直线 是曲线 的“双重切线”.
（2）函数 ，求导得 ，
显然函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递减，
设切点 ，则存在 ，使得 ，
则在点 处的切线方程为 ，在点 处的切线方程为 ，因此 ，消去 可得 ，
令 ，求导得 ，
则函数 在 上单调递增，又 ，函数 的零点为 ，因此 ，
所以曲线 的“双重切线”的方程为 .
（3）设 对应的切点为 ， 对应的切点为 ，
由 ，得 ， ，
由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑 ， ，其中 ，
由 及余弦函数在 上递增知， ，
则 ，
，
因此 ，又 ， ，
则 ，同理 ，
令 ，求导得 ，
则 在 上单调递增，显然 ，且 ，
函数 在 上的值域为 ，即函数 在 上存在零点，则有 ，
由 ，同理可得 ，而 ，因此 ，
于是 ，即有 ，
所以 ，即 .
【变式6-1】（2024·高三·上海浦东新·阶段练习）设函数 的定义域为开区间 ，若存在 ，使得 在 处的切线 与 的图像只有唯一的公共点，则称 为“ 函数”，切线
为一条“ 切线”．
(1)判断 是否是函数 的一条“ 切线”，并说明理由；
(2)设 ，求证： 存在无穷多条“ 切线”；
(3)设 ，求证：对任意实数 和正数 都是“ 函数”
【解析】（1）记 ，则 ，设切点为 ，
由切线方程为 知 ，则 ，解得 ．
所以切点为 ，下面证明直线 与 的图象只有唯一的公共点，
将 与函数 联立，得 ．
记 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
故函数 只有一个零点 ，故 是一条“ 切线”；
（2）因为 ，所以 ，
则点 处的切线 方程为 ，
将点 处的切线 的方程与 联立得 ，
记 ，
则直线 为“ 切线” 函数 有且仅有一个零点 （此时，一个 对应一条“ 切线”），显然
是 的零点，
故只要 没其它零点，此时 ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故此时 为 唯一的极小值点（也是最小值点），而 ，
故 无其他零点，故直线 为“ 切线”，因为 的任意性，
故函数 存在无穷多条“ 切线”，
（3）因为 ，则 ，设点 在函数 的图象上，
则点 的切线为 ，与 联立得：
，
由题意得直线 为“ 切线”，故方程 在 上有且仅有一解 ，
则 或 ，
若 ，则 是方程 的唯一解（此时有无数条“ 切线”，切点横坐标为 上的任意值）．
若 ，则 （此时只有一条“ 切线”，切点的横坐标为 ）
或 （此时有无数条“ 切线”，切点横坐标为 上的任意值），
综上， ，即证．
【变式6-2】（2024·高三·上海·期中）设 是坐标平面 上的一点，曲线 是函数 的图像．若过
点 恰能作曲线 的 条切线，则称 是函数 的“ 度点”．
(1)判断点 是否为函数 的1度点，请说明理由；
(2)若点 是 的“ 度点”，求自然数 的值；
(3)求函数 的全体2度点构成的集合．
【解析】（1）设 ，由 得 在 处的切线斜率为 ，则曲线 在点 处的切线方
程为 .
点 代入切线方程， ，即 ，因为 ，所以 ，即 .
则该切线过点 当且仅当 .
故点 是函数 的一个1度点.
（2）设 ，则 ，故曲线 在点 处的切线方程为 .该切线过点 ，当且仅当 ，即 ①.
设 ，其中 .
则当 时， ，故 在区间 上严格递增.
而 ，因此当 时， ，故①恒不成立，即点 是 的一
个0度点，也即 .
（3）对任意 ，由 得曲线 在点 处的切线斜率为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
设点 为函数 的一个2度点，等价于“关于 的方程 恰有两个不同的
实数解”.
设 ，等价于“函数 两个不同的零点”.
若 ，则 在R上严格递增，只有一个实数解，不符合要求；
若 时，因为 ，解得 有两个零点 .
当 时，由 或 时， 得 严格递增；
而当 时 ，得 严格递减.
故 在 时，取得极大值 ，在 时取得极小值 .
故当 有两个不同的零点时，当且仅当 或 .
若 ，同理可得 有两个不同的零点时，当且仅当 或 .
综上所述： 的全体2度点构成的集合为 或 .
题型七：非典型新定义函数
【典例7-1】（2024·高三·广东佛山·阶段练习）若对实数 ，函数 、 满足 ，且
，则称 为“平滑函数”， 为该函数的“平滑点”已知
， ．
(1)若1是平滑函数 的“平滑点”，
（ⅰ）求实数a，b的值；（ⅱ）若过点 可作三条不同的直线与函数 的图象相切，求实数t的取值范围；
(2)判断是否存在 ，使得对任意 ，函数 存在正的“平滑点”，并说明理由．
【解析】（1）（ⅰ）由 ， ，
得 ， ，
因为1是平滑函数 的“平滑点”，则 ，解得 ．
（ⅱ）由题意， ，
过点 作 的切线，设切点 ，则切线方程： ，
故题意等价于方程： 有3个不同根，
设 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 或 ，
所以函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减，
又因为 ， ， ，
且当 时， ，如图所示
所以 ．
（2）题意等价于：是否 ，使得对 ， 有解，消去a，得 ， ，由 ，可得 ，
故题意等价于是否 ，使得 时， 成立，
又∵当 时， ，
故题意等价于当 时， 是否有解，
设 ， ，则 ，
当 时， ，当 时， ,
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
∴ 有解，即存在满足题意的a．
【典例7-2】（2024·高三·上海·期中）已知定义域为 的函数 ．当 时，若
是严格增函数，则称 是一个“ 函数”．
(1)判断函数 是否为 函数；
(2)是否存在实数 ，使得函数 是 函数？若存在，求实数 的取值范围；否则，证
明你的结论；
(3)已知 ，其中 ，证明：若 是 上的严格增函数，则对任意 ， 都是
函数．
【解析】（1）当 时， 不是严格增函数，
故 不是 函数；
（2）令 ，
当 时，由 ，得 ，
令 ， ，
则 在 上恒成立，故 在 上单调递增，所以 ，
故此时 ，得 ，从而 严格增.
当 时， ，后者严格增，
当且仅当 ，即 ，
又因为当 时， ，
从而 上， 严格增，
故 为所求.
（3） ，
令 ， ，
若“ 严格增”等同于 （或 ），
当 时， 恒成立，故符合要求，
当 时， ，解得： ，
当 时， ，等号成立当且仅当 ，
故 在 与 上分别严格增，且当 时， ；
当 时， .故此时 也是R上的严格增函数.
综上： ，
下设 .则对任意 ， .
令 ，则 .
当 时， ，等号成立当且仅当 .
因 ，故同上可知， 为 上的严格增函数，且 .
因而，当 时 ，从而 为 函数.
【变式7-1】（2024·高三·上海普陀·阶段练习）给出下列两个定义：I.对于函数 ，定义域为 ，且其在 上是可导的，若其导函数定义域也为 ，则称该函数是“同
定义函数”.
II.对于一个“同定义函数” ，若有以下性质：
① ；② ，其中 为两个新的函数， 是
的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数 称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数 称之
为“双向导函数”，将 称之为“自导函数”.
(1)判断函数 和 是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写
出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题 是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题
.判断命题 是 的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数 .
①若 的“自导函数”是 ，试求 的取值范围；
②若 ，且定义 ，若对任意 ，不等式 恒成立，求
的取值范围.
【解析】（1）对于函数 ，则 ，
这两个函数的定义域都是 ，
所以函数 为“同定义域函数”，此时， ，
由函数的定义，对于 ， 无法同时成立，
所以 为“单向导函数”，其“自导函数”为 ，
对于函数 ，则 ，
因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.
（2）若 成立， ，则 ，
设 ，则 ，所以 为“单向导函数”，
又设 ，则 ，所以 为“双向导函数”，
但 不是常值函数，所以 不是 的必要条件；若 成立，则 ，所以 ，所以 ，
所以 不成立，所以 是 的既不充分也不必要条件.
（3）①由题意， ，且 ，
所以 ，所以 ；
②由题意 ，所以 且 ，
令 ，
可得 ，且 ，
因为 为单调递增函数，且 ，
所以存在 使得 ，
且当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
（i）当 时，即 ，
所以 ，
此时 ， 在 上单调递增，可得 ；
（ii）当 时， ，此时 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
又由 ，所以 ；
（iii）当 且 时， ，
所以函数 在 上存在两个极值点，
若 ，即 时，极大值点为 ；
若 ，即 时，极大值点为 ，
则 为函数的极大值或 ，
由当 时， ，令 ，则 ，
设 ，
则 ，
所以 ，即 单调递增，所以 ，
所以 单调递增，所以 ，
综上可得， ，所以实数 的取值范围为 .
【变式7-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性．
(2)给定 且 ，对于两个大于1的正实数 ， ，若存在实数m满足： ，
，使得不等式 恒成立，则称函数 为区间D上的“优化
分解函数”．若 ，函数 为区间 上的“优化分解函数”，求实数m的取值范围．
【解析】（1）依题意，函数 的定义域为 ，
，①
令 ，解得 或 ．当 时， ，
∴当 或 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减．②
当 时， 恒成立，
∴ 在 上单调递减．
当 时， ，
∴当 或 时， ；当 时， ．故函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减．
综上，当 时， 在 和 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 和 上单调递减，在 上单
调递增．
（2）当 时， ，
∴ 在 上恒成立，
∴ 在区间 上单调递增，∴当 时， ．③
当 时，有 ，
，
得 ，同理 ．
∴由 的单调性知 ， ，
从而有 ，符合题意．④
当 时， ，
，
由 的单调性知 ，
∴ ，与题意不符．
当 时，同理可得 ， ，
故由 的单调性知 ，
得 ，与题意不符．
综上，实数m的取值范围为 ．
【过关测试】
1．（2024·高三·江西·阶段练习）记函数 在 上的导函数为 ，若 （其中
）恒成立，则称 在 上具有性质 ．
(1)判断函数 （ 且 ）在区间 上是否具有性质 ？并说明理由；
(2)设 均为实常数，若奇函数 在 处取得极值，是否存在实数 ，使得 在区间 上具有性质 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)设 且 ，对于任意的 ，不等式 成立，求 的最大值．
【解析】（1）令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以当 时，函数 在区间 上具有性质 ；
当 时，函数 在区间 上不具有性质 ．
（2）因为 ，所以 ，
因为 在 处取得极值，且 为奇函数，
所以 在 处也取得极值，则 ，解得 ，
所以 ，可得 ，
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，满足 在 处取得极值，
所以 ，
当 时， 恒成立，
所以，存在实数 ，使得 在区间 上具有性质 ，且 的取值范围是 ．
（3）因为 ，所以 ，即 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， 在区间 上单调递增，
又因为 ，
所以存在 ，使 ，
因为当 时， 在区间 上单调递减，当 时， 在区间 上单调递增，
所以当 时， 的最小值为 ，
由 ，有 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 恒成立，所以 ，
因为 且 ，所以 的最大值为 ．
2．（2024·高三·河南郑州·阶段练习）若函数 的定义域、值域都是有限集合 ， ，
则定义 为集合A上的有限完整函数.已知 是定义在有限集合 上的有限完整函
数.
(1)求 的最大值；
(2)当 时，均有 ，求满足条件的 的个数；
(3)对于集合M上的有限完整函数 ，定义“闭环函数”如下： ，对 ，且 ，
.若 ， ， ，则称 为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭
环函数 既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示 的函数关系）.
【解析】（1）
由题意得
，
当且仅当 时取等号，
即 的最大值为140；
（2）由题意知 ，
从集合M中任取5个数，记为 ，共有 中取法，然后剩余的两个数全排列，故共有 个 满足条件；
（3）证明：以下面表格作为 的函数关系：
x 1 2 3 4 5 6 7
2 3 1 5 6 7 4
，
故 为3阶闭环函数；
又 ，
故 也为4阶闭环函数，
故原命题得证.
3．（2024·黑龙江吉林·二模）设定义在 函数 满足下列条件：
①对于 ，总有 ，且 ， ；
②对于 ，若 ，则 .
(1)求 ；
(2)证明： ；
(3)证明：当 时， .
【解析】（1）因为对于 ， ，所以 ；
因为对于 ，若 ，则 ，
取 ，则 ，故 ；
综上， .
（2）对于 ，且 时，
有 ， ，
根据条件②，得 ，
因为根据条件①，得 ，则 ，
所以 ，
即 ，
所以.
（3）由（2）知 ，
设 ，且 ，则 ，
因为
，所以 ，
所以 在 上为不减函数，
对于任意 ，则必存在正整数 ，使得 ，
所以 ，
由（2）知 ，
由（1）知 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 时， ，
因为 时， ，且 ，
所以 ，即 .
4．（2024·辽宁大连·一模）已知函数 的定义域为区间 值域为区间 ，若
则称 是 的缩域函数.
(1)若 是区间 的缩域函数，求a的取值范围；
(2)设 为正数，且 若 是区间 的缩域函数，证明：
（i）当 时， 在 单调递减;
（ii）
【解析】（1）若 是区间 的缩域函数，则 ， ；
即 ，解得 ；可得 ，则 ；
令 ，则 ；
当 时， ，则 单调递减；
当 时， ，则 单调递增.
所以 ，解得 ，
下面证明 ，即 ，也即 ；
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此可得 ，所以 ，
综上a的取值范围为
（2）（i）当 时,若 是区间 的缩域函数，则 ，
即 ，进一步 ，
当 时， ，即 ， ；
由（1）可知，当 时， ，则 单调递减；
所以 在区间 上单调递减，
（ii）若 是区间 的缩域函数，则 ；
故有 ，即 ；
设函数 ，则 ；
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减；
因为 为正数且 则 ，又 ，所以 在 上单调递减，所以 ；
记 ，设 ，且 ，由 的单调性可知 ，故 ；
记 ，
则 ，
当 时， ， 单调递增；
故 ，即 ；
因为 在 上单调递减，故 ，即 ；
由 ，故 ，
所以 ，又因为 ，
故 .
5．（2024·高三·上海·阶段练习）对于函数 与 定义域 上的任意实数x，若存在常数k，b，使得
和 都成立，则称直线 为函数 与 的“分界线”.
(1)若函数 ， ， ，求函数 和 的“分界线”；
(2)已知函数 满足对任意的 ， 恒成立.
①求实数 的值；
②设函数 ，试探究函数 与 是否存在“分界线”?若存在，请加以证明，并求出 ，
的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）
令 ，
取 ，则 ，
进而有 ，即 且 ，
解得 ，
故函数 和 的“分界线”为 .
（2）①因为对任意的 ， 恒成立，
所以 对 恒成立，令 ，∴ ，
当 时， 恒成立，从而 在 上单调递减，
又 ，所当 时， 与题意矛盾，舍去；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解图 ，
从而 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ .
由题意可知 ，即 ，也即 ，
令 ， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，从而 .
又 ，所以 ，此时 .
②设 ，
则 .
∴当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
∴ 是函数 的极小值点，也是最小值点，
∴ .
∴函数 与 的图象在 处有公共点 .
设 与 存在“分界线”且方程为： .
令函数 .
（i）由 ，即 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
此时 成立，
∴ ，故 .
（ⅱ）下面再证明： 恒成立.
设 ，则 .
∴当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减.
∴ 时， 取最大值 ，则 恒成立.
综上（ⅰ）和（ⅱ）知 且 ，
故函数 与 存在分界线为 ，
此时 ， .
6．（2024·高三·上海·阶段练习）对于函数 ，若 的图象上存在关于原点对称的点，则称 为
定义域上的“ 函数”．
(1)试判断 ， 是否为“ 函数”，简要说明理由；
(2)若 是定义在区间 上的“ 函数”求实数 的取值范围；
【解析】（1）根据题意， ，可得 ，故 是“ 函
数”；
（2）因为 为“ 函数”，所以存在 ，使 ，
即 ，
整理得 在 有解．
因为 ，所以 ，可得 ，
结合 在 上恒成立，可得 ，综上所述， ，即实数 的取值范围是 .
7．（2024·福建·模拟预测）对于函数 ，若实数 满足 ，则称 为 的不动点.已知 ，
且 的不动点的集合为 .以 和 分别表示集合 中的最小元素和最大元
素.
(1)若 ，求 的元素个数及 ；
(2)当 恰有一个元素时， 的取值集合记为 .
（i）求 ；
（ii）若 ，数列 满足 ， ，集合 ， .求证： ，
.
【解析】（1）当 时， ，其定义域为 .
由 得 .
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 单调递增；在 单调递减，
注意到 ，所以 在 恰有一个零点 ，且 ，
又 ，所以 ，所以 在 恰有一个零点 ，
即 在 恰有一个不动点 ，在 恰有一个不动点 ，
所以 ，所以 的元素个数为 ，
又因为 ，所以 .
（2）（i）当 时，由（1）知， 有两个元素，不符合题意；
当 时， ，其定义域为 ，
由 得 .设 ， ，则 ，
设 ，则 ，
①当 时， ，所以 在 单调递增，
又 ，所以 在 恰有一个零点 ，
即 在 恰有一个不动点 ，符合题意；
②当 ，故 恰有两个零点 .
又因为 ，所以 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
所以 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增；
注意到 ，所以 在 恰有一个零点 ，
且 ，
又 时， ，所以 在 恰有一个零点 ，
从而 至少有两个不动点，不符合题意；
所以 的取值范围为 ，即集合 .
（ii）由（i）知， ，所以 ，
此时， ， ，由（i）知， 在 单调递增，
所以，当 时， ，所以 ，即 ，
故若 ，则 ，因此，若存在正整数 使得 ，则 ，从而 ，
重复这一过程有限次后可得 ，与 矛盾，从而， ，
下面我们先证明当 时， ，
设 ， ，
所以 ，所以 在 单调递减，所以 ，
即当 时， ，
从而当 时， ，
从而 ，即 ，
故 ，即 ，
由于 ， ，所以 ， ，
故 ，
故 时， ，
所以 ，故 .
解法二：（i）当 时， ，故 是 的一个不动点；
当 时，由 ，得 （*），
要使得 恰有一个元素，即方程 有唯一解，因此方程（*）无实数解，
即直线 与曲线 无公共点.
令 ，则 ，令 ，
则 ，
所以 在 单调递减，又因为 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，当 时，
所以 在 单调递增，在 单调递减，令 ，则 ， ，
则
，
又因为当 时， ，当 时， ，
所以曲线 的大致图象如图所示：
由图可知， ，所以 的取值范围为 ，即集合 .
（ii）由（i）知， ，所以 ，
此时， ，
令 ，则 ，
令 ，当 时， ，所以 在 单调递增，
所以当 时， ，所以 ，
所以 在 单调递增，所以 ，
故若 ，则 ，因此，若存在正整数 使得 ，则 ，从而 ，
重复这一过程有限次后可得 ，与 矛盾，从而， .
下面先证明当 时， .
令 ，则 ，
所以 在 单调递增，所以当 时， ，所以当 时， .所以
，
由于 ，所以 ，
故 ，即 ，
故 ，
故 时， .
所以 ，故 .
（ii）解法三：同解法一可得， .
下面我们先证明当 时， .
设 ，则当 时， ，所以 在 单调递减，所以
，即 ，
从而当 时， ，
于是 ，
从而 ，即 ，
故 ，即 ，
由于 ，所以 ，
故 ，
故 时， .所以 .
故 .
8．（2024·安徽安庆·二模）取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设 ，
不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作 ，函数 称为取整函数．另外也称 是x的整数部分，
称 为x的小数部分．
(1)直接写出 和 的值；
(2)设a， ，证明： ，且 ，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个
数；
(3)对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为 ，其中 为质数， 为整数，且对任
意的 ， ，i， ，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为 ．
证明：在 的标准分解式中，质因数 （ ， ， ）的指数
．
【解析】（1）由 ，故 ，故 ，
；
（2）因为 ，等式两边同时乘b，得 ，
因为a，b都为整数，所以 也为整数，
又 ，所以 ，所以 ，即得证，
假设b， ，…， 都小于等于a， ，因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以b的倍数中不大于a的正整数的个数为 个；
（3） ，将2，3，…，n每一个数都分解为质因数的乘积．对于质因数 ，利用（2）中结论， 的倍数中不大于n的正整数的个数为 ，记为 ，
将这些数都提取 出来，此时p的倍数中还有可以提取出 的数，
注意到 的倍数中不大于n的正整数的个数为 ，记为 ，将这些数提取 出来；
同理， 的倍数中不大于n的正整数的个数为 ，记为 ，
依此这样进行下去，
则质因数 的指数 ，即得证．
9．（2024·高三·重庆·阶段练习）对于函数 ，若存在 ，使得 ，则称 为函数
的一阶不动点； 若存在 ，使得 ，则称 为函数 的二阶不动点； 依此类推，
可以定义函数 的 阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点.
(1)已知 ，求 的不动点；
(2)已知函数 在定义域内单调递增，求证： “ 为函数 的不动点”是“ 为函数 的稳定
点”的充分必要条件；
(3)已知 ，讨论函数 的稳定点个数.
【解析】（1）设 ，则 恒成立，
故函数 在R上单调递增，
又 ，故函数 在R上有唯一零点，
即 有唯一不动点1；
（2）证明：充分性：设 为函数 的不动点，则 ，
则 ，即 为函数 的稳定点，充分性成立；
必要性：设 为函数 的稳定点，即 ，
假设 ，而 在定义域内单调递增，
若 ，则 ，与 矛盾；
若 ，则 ，与 矛盾；
故必有 ，即 ，即 ，故 为函数 的不动点，
综上， “ 为函数 的不动点”是“ 为函数 的稳定点”的充分必要条件；
（3）当 时，函数 在 上单调递增，
由（2）知 的稳定点与 的不动点等价，故只需研究 的不动点即可；
令 ，
则 ，则 在 上单调递减，
①当 时， 恒成立，即 在 上单调递增，
当x无限接近于0时， 趋向于负无穷小，且 ，
故存在唯一的 ，使得 ，即 有唯一解，
所以此时 有唯一不动点；
②当 时，即 时， ，
当x趋向无穷大时， 趋近于0，此时 ，
存在唯一 ，使得 ，
此时 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
当x趋近于0时， 趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时， 趋向于负无穷大，
设 ，则 在 上单调递增，且 ，
又 在 时单调递增，
故（i）当 时，即 ，
此时 ，方程 有一个解，即 有唯一不动点；
（ii）当 shi ，即 ，此时 ，方程 无解，即 无不动点；
（iii）当 时，即 ，
此时 ，方程 有两个解，即 有两个不动点；
综上，当 时或 时， 有唯一稳定点；
当 时， 无稳定点；
当 ， 有两个稳定点；
10．（2024·高三·全国·竞赛）设有两个集合 ，如果对任意 ，存在唯一的 ，满足 ，
那么称 是一个 的函数.设 是 的函数， 是 的函数，那么 是 的
函数，称为 和 的复合，记为 .如果两个 的函数 对任意 ，都有 ，则称
.
(1)对 ，分别求一个 ，使得 对全体 恒成立；
(2)设集合 和 的函数 以及 的函数 .
（i）对 ，构造 的函数 以及 的函数 ，满足 ；
（ii）对 ，构造 的函数 以及 的函数 ，满足
，并且说明如果存在其它的集合 满足存在 的函数 以及 的函数 ，满足
，则存在唯一的 的函数 满足 .
【解析】（1）因为 ，而 ，
对全体 恒成立；
故 对所有 成立.
（2）（i）考虑 以及 两个函数，
对任意 ，因为 ，
所以 .
（ii）我们可以继续使用（i）的构造，
任意取 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，因此存在 满足条件；
如果 符合题意，即 ，
则 ，
由 定义得到 ；
所以存在唯一的 的函数 满足题意.
11．（2024·上海浦东新·二模）设 是坐标平面 上的一点，曲线 是函数 的图象．若过点 恰
能作曲线 的 条切线 ，则称 是函数 的“ 度点”．
(1)判断点 与点 是否为函数 的1度点，不需要说明理由；
(2)已知 ， ．证明：点 是 的0度点；
(3)求函数 的全体2度点构成的集合．
【解析】（1）设 ，则曲线 在点 处的切线方程为 ．
则该切线过点 当且仅当 ，即 ． 故原点 是函数 的一个1度点，
该切线过点 ，故 ，
令 ，则 ，令 得 ，令 得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 处取得极小值，也时最小值，且 ，
故 无解，点 不是函数 的一个1度点
（2）设 ， ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ．
则该切线过点 当且仅当 （*）．
设 ，则当 时， ，故 在区间 上严格增．
因此当 时， ，（*）恒不成立，即点 是 的一个0度点．
（3） ，
对任意 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
故点 为函数 的一个2度点当且仅当关于 的方程 恰有两个不同的实
数解．设 ． 则点 为函数 的一个2度点当且仅当 两个不同的零点．
若 ，则 在 上严格增，只有一个实数解，不合要求．
若 ，因为 ，
由 或 时 得 严格增；而当 时 ，得 严格减．
故 在 时取得极大值 ，在 时取得极小值 ．
又因为 ， ，
所以当 时，由零点存在定理， 在 、 、 上各有一个零点，不合
要求；
当 时， 仅 上有一个零点，不合要求；
当 时， 仅 上有一个零点，也不合要求．
故 两个不同的零点当且仅当 或 ．
若 ，同理可得 两个不同的零点当且仅当 或 ．
综上， 的全体2度点构成的集合为 或 ．
12．（2024·高三·上海静安·期末）如果函数 满足以下两个条件，我们就称 为 型函数．
①对任意的 ，总有 ；
② 当 时，总有 成立．
(1)记 ，求证： 为 型函数；
(2)设 ，记 ，若 是 型函数，求 的取值范围；
(3)是否存在 型函数 满足：对于任意的 ，都存在 ，使得等式 成立？请
说明理由．
【解析】（1）当 时， ，
当 ， ， 时，
， ，
则 ，
， ，， 为 型函数.
（2）当 时，由 得 ，
当 ， ， 时，
， ，
由 ，得 ，
即 ，即 ，
即 ，
令 ，
则对称轴 ，
所以 在 上的最小值为 ，只要 ，则 ，
因为 ，
所以 ．
（3）存在，举例1： ．
理由如下：当 时， 符合 ；
当 ， ， 时，
， ，
， ，
故 ，
，即 ，
即 是 型函数，且对任意的 ，存在 ，使得等式 成立；
举例2： ；
理由如下：当 时， ，符合 ，
当 ， ， 时，
， ，
，
，即 ，即 是 型函数，
且对任意的 ，都存在 ，使得等式 成立.
由此可知存在 型函数 满足：对于任意的 ，都存在 ，使得等式 成立.
13．（2024·高三·全国·专题练习）对于函数 ， ，以及函数 ， ．若对任意的
，总有 ，那么称 可被 “替代”（通常 ）．
(1)试给出一个可以“替代”函数 的函数 ；
(2)试判断 是否可被直线 ， “替代”．
【解析】（1） ，根据定义 ，
可解得 ，
因而 就是满足不等式的一个函数；
（2） ，
令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
， 易知 在 单调递减，在 单调递增，
当 时， ，
当 时， ，
，，即
可以被直线 ， “替代”.
14．（2024·高三·上海静安·阶段练习）记 、 分别为函数 ， 的导函数.若存在 满
足 且 ，则称 为函数 与 的一个“S点”.
(1)证明:函数 与 不存在“S点”;
(2)若函数 与 存在“S点”，求实数 的值
(3)已知函数 ， 对任意 ，判断是否存在 ，使得函数 与 在区间
内存在“S点”，并说明理由.
【解析】（1）因为 ， ，则 ， ，
假设存在函数 与 存在“S点”
即存在 满足 ，方程组无解，
所以函数 与 不存在“S点”.
（2）因为 与 ，则 与 ，
设“S点”为 ， 满足 ，解得 ，
所以 .
（3）因为 ， ，
所以 ， ，
由 ， ，显然 ，
假设 ，得 ，解得 ，
由 ，得 ，得 ，令 ，
设 ，
则 ， ，得 ，又 的图象在 上不间断，则 在 上有
零点，
则 在 上有零点，则存在 ，使 与 在区间 内存在“S”点.
15．（2024·高三·上海虹口·期末）已知 与 都是定义在 上的函数，若对任意 ，
，当 时，都有 ，则称 是 的一个“控制函
数”．
(1)判断
是否为函数y=x2(x>0)的一个控制函数，并说明理由；
(2)设 的导数为 ， ，求证：关于 的方程 在区间 上有实
数解；
(3)设 ，函数 是否存在控制函数？若存在，请求出 的所有控制函数；若不存
在，请说明理由．
【解析】（1）对任意 ，则 ，且 ，
故
是函数y=x2(x>0)的一个控制函数；
（2）因为 ，则 ，
则 ，
， ，
设 ，
在 上 ，在 上 ，
则 在 单调递减，在 上单调递增，
最大值 ，
， ， ， ， ，
， ，则 ，
，即 ，
同理， ，
，即
综上： ，
，在区间 上的值域为 ，
则 在区间 上有实数解.
（3）①先证引理:对任意 ，关于 的方程 在区间 上恒有实数解.这等价于
，由（2）知结论成立.
②(证控制函数的唯一性)假设 存在“控制函数” ，由上述引理知，
对任意 ，当 时，
都存在 使得 .(*)
下证： .
若存在 使得 ，考虑到 是值域为 的严格增函数，
故存在 使得 .由(*)知存在 使得 ，
于是有 ，由 的单调性知 ，矛盾.
故对任意 都有
同理可证，对任意 都有 ，从而 .
③(证控制函数的存在性)最后验证， 是 的一个“控制函数”.
对任意 ，当 时，都存在 使得 ，而由 的单调性知 ，即 .
综上，函数 存在唯一的控制函数 .
16．（2024·上海长宁·一模）若函数 与 满足：对任意 ，都有
，则称函数 是函数 的“约束函数”.已知函数 是
函数 的“约束函数”.
(1)若 ，判断函数 的奇偶性，并说明理由：
(2)若 ，求实数 的取值范围；
(3)若 为严格减函数， ，且函数 的图像是连续曲线，求证： 是 上
的严格增函数.
【解析】（1）因为 ，故对任意的 都有 ．
又因为函数 是函数 的“约束函数”，
则对任意 ，都有 ，
取 ，可得 恒成立，
即 对任意的 成立，故 是偶函数；
（2）因为 是 上的严格增函数，则 是 上的严格增函数，
设 ，则 ，
进而 ，
可得 ， ，
所以 ， ，
设 ， ，
则 与 均为 上的严格增函数，
因为 ， 恒成立，
对于 恒成立，
因为 ， ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，解得得 ，
当 时， 恒成立，
所以实数 的取值范围为 .
（3）设 ，因为 是严格减函数，所以 ，即 ，而 ，所以 ，
所以对任意 ，都有 ，
①首先证明：当 时， ，
假设存在 ，且 ，
设 ，则 ， ，
所以存在 ，使得 ，
得 ，与结论对任意 ， 矛盾，
所以不存在 ，使得 ，
同理可得：也不存在 ，使得 ，
所以当 时， .
②再证明：当 时， ，
假设存在 ，使得 ，则 ，
设 ，则 ， ，
所以存在 ，使得 ，
得 ，与结论对任意 ， 矛盾，
所以假设不成立，即对任意 ，都有
所以 是 上的严格增函数.
17．（2024·高三·上海·期中）设 是定义域为 的函数,如果对任意的 ,
均成立,则称 是“平缓函数”.
(1)若 ,试判断 是否为“平缓函数”并说明理由;
(2)已知 的导函数 存在,判断下列命题的真假:若 是“平缓函数”,则 ,并说明
理由.
(3)若函数 是“平缓函数”,且 是以 为周期的周期函数,证明:对任意的 ,
均有 .
【解析】（1）令 ,因为 ,则 , ,不满足对任意的
, 均成立,故 不是“平缓函数”.
（2）命题为真命题.因为 ,
不妨令 ,
因为 是“平缓函数”,
则 ,
所以 ,
故命题为真命题.
（3）因为 是以 为周期的周期函数,不妨设 ,
当 时,因为函数 是“平缓函数”,
则 ;
当 时,不妨设 ,则 ,
因为 是以 为周期的周期函数,
则 ,
因为函数 是“平缓函数”,
所以
,
所以对任意的 ,均有 ,
因为 是以 为周期的周期函数,
所以对任意的 ,均有 .
18．（2024·高三·浙江·期中）对函数 ，若 ，使得 成立，则称 为 关于参数
的不动点.设函数 .
(1)当 时，求函数 关于参数 的不动点；
(2)若 ，函数 恒有关于参数 的两个不动点，求 的取值范围；
(3)当 时，函数 在 上存在两个关于参数 的不动点，试求参数 的取值范围.【解析】（1）当 时，
令 ，可得 ，即
解得 或 ，
所以 的不动点为 或 ，
（2）由题意可知，对 ，关于 的方程 ，
即 恒有两个不等实根，从而 恒成立
即关于 的不等式 恒成立，从而 恒成立
解得
（3）方法一：由题意可得方程关于 的方程 ，
即 在 上恒有两个不等实根，
令 ，根据二次函数性质，须满足
，解得
方法二： ，即 在 上恒有两个不等实根，
令 ，则直线 与函数 在 上有两个不同的交点，
由于 在 上单调递减，在 上单调递增
且 ， ，结合 的图象可知
19．（2024·高三·上海徐汇·期中）若函数 与 满足：对任意的 ，总存在唯一的
，使 成立，则称 是 在区间 上的“ 阶伴随函数”；当
时，则称 为区间 上的“ 阶自伴函数”，(1)判断 是否为区间 上的“2阶自伴函数”？并说明理由；
(2)若函数 为区间 上的“1阶自伴函数”，求 的值；
(3)若 是 在区间 上的“2阶伴随函数”，求实数 的取值范围．
【解析】（1） 时， ，
此时不存在 ，使得 ，
故根据“2阶自伴函数”的定义可知，
不是区间 上的“2阶自伴函数”.
（2）由函数为区间 上的“1阶自伴函数”，
所以 ，且对任意 ，
总存在唯一的 ，使得 成立，即 成立，
则 ，所以 ，
所以 ，解得 ；
（3）由函数 在 上的值域为 ，
因为 是 在区间 上的“2阶伴随函数”，则对任意的 ，
总存在唯一的 时，使得 成立，
所以 ，即 在区间上 的值域必定包含区间 ，且 的
值域在 对应的自变量是唯一的.
又因为函数 开口向上，对称轴为 ，
①当 时， 在 上单调递增，所以 ，
解得 ；
②当 时， 在 上单调递减，所以 ，解得 ；
③当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，解得 ；
④当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，解得 ；
综上，a的取值范围是 .
20．（2024·高三·安徽淮南·阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数
的方法.给定两个正整数 ， ，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，
且满足： ， ， ， .已知 在 处
的 阶帕德近似为 .注：
(1)求实数 ， 的值；
(2)求证： .
【解析】（1）因为 ，所以 ， ，
，则 ， ，
由题意知， ， ，所以 ，解得 ， .
（2）由（1）知，即证 ，
令 ，则 且 ，即证 时 ，
记 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递增，
当 时 ，即 ，即 成立，当 时 ，即 ，即 成立，
综上可得 时 ，
所以 成立，即 成立.
21．（2024·天津·一模）意大利画家达 芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么
项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函
数 的图象，定义双曲正弦函数 ，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和
双曲余弦函数有如下性质①平方关系： ，②倍元关系： .
(1)求曲线 在 处的切线斜率；
(2)若对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围：
(3)（i）证明：当 时， ；
（ii）证明： .
【解析】（1） ，则
所以 ，可得 在 处的切线斜率为
（2）令 ，
则 ，
下面证明：对任意 恒成立,
先证明：对任意 .证明如下：设 ，则 ，
当 时， ，函数单调递减，当 时， ，
函数单调递增，故 ，故 ，
继续证明：对任意 .
证明如下：令 ，则 ，
因此 在 上单调递增；所以 ，故
当 时，对 ，都有 ，函数 在 上单调递增，则 ，解得 ；
当 时，对 ，
都有 ，对 ，都有 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则对 ，都有 成立，不符合题意，舍去.
综上所述，实数 的取值范围是 .
（3）（i） ，令 ，则 所以 在
上单调递增，所以
所以当 时， 成立；
（ii）下面证明：当 时， 成立，
令 ，则
由前问解答过程，对任意 成立，所以
所以 在 上单调递增，所以
所以当 时， 成立
令 且 ，可得 ，
即 ，
由题意 ，令 且 ，可得 ，因为
所以 ，
由①当 时， ，所以令 且 ，可得
所以 ，
由前面解答过程得，对任意 成立，令 且 ，可得 ，
所以 ，
又 且 ，所以 ，
所以 所以可得
，
即可得 .
22．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．
通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数 的图象，类比三角函数的三种性质：①平
方关系：① ，②和角公式： ，③导数：
定义双曲正弦函数 ．
(1)直接写出 ， 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)若当 时， 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求 的最小值．
【解析】（1）平方关系： ；
和角公式： ；
导数： ．
理由如下：平方关系，；
，
和角公式：
故 ；
导数： ， ；
（2）构造函数 ， ，由（1）可知 ，
i．当 时，由 可知，
故 ，故 单调递增，
此时 ，故对任意 ， 恒成立，满足题意；
ii．当 时，令 ， ，
则 ，可知 单调递增，
由 与 可知，存在唯一 ，使得 ，
故当 时， ，则 在 内单调递减，
故对任意 ， ，即 ，矛盾；
综上所述，实数a的取值范围为 ．
（3） ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时，由（2）可知， ，则 ，
令 ，则 ，故 在 内单调递增，
则 ，故 在 内单调递增，
则 ，故 在 内单调递增，则 ，故 在 内单调递增，
因为 ，
即 为偶函数，故 在 内单调递减，
则 ，故当且仅当 时， 取得最小值0.
23．（2024·高三·山东临沂·期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，
曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 是 的导函
数， 是 的导函数，则曲线 在点 处的曲率 ．
(1)求曲线 在 处的曲率 的平方；
(2)求余弦曲线 曲率 的最大值；
(3)若 ，判断 在区间 上零点的个数，并写出证明过理．
【解析】（1）
， ， ，
所以 ，
.
（2） ， ， ，
所以 ，
，令 ，则 ， ，
设 ，则 ，
显然当 时， ， 递减，所以 ． 最大值为1，
所以 的最大值为1．
（3） 在区间 上有且仅有2个零点．
证明： ，所以 ，
①当 时，因为 ， ，则 ， ，
， 在 单调递增．
又 ， ． 在 上有一个零点，
②设 ，则
当 时， ， 单调递增， ，
又 ，
恒成立，
在 上无零点．
③当 时， ， ，
∴ 在 上单调递减，
又 ， ．
在 上必存在一个零点．
综上， 在区间 上有且仅有2个零点．
24．（2024·全国·二模）曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，若记 ，则函数 在点 处的曲率为 .
(1)求证：抛物线 （ ）在 处弯曲程度最大；
(2)已知函数 ， ， ，若 ， 曲率为0时 的
最小值分别为 ， ，求证： .
【解析】（1）由题意， ， ，则 ，
又 ，故当 最小时 最大，
此时 ，即抛物线 （ ）在 处弯曲程度最大.
（2）由题意， ， ， ，
.
若 ， 曲率为0，则 ，即 ，分别化简可得 ， .
令 ，则令 有 .
当 时， ， 单调递增，且 ；当 时， ， 单调递
减，且 .
又 ，故 有两解，设为 ， ，又 ，故
.
由 可设 ， ，故 ， ，化简可得 ，
则 .要证： ，
即证 .
令 ，则 ，
故 在 上单调递增，故 ，即得证.
25．（2024·高三·山西太原·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线
条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 是
的导函数， 是 的导函数，则曲线 在点 处的曲率 ．
(1)求曲线 在点 处的曲率 的值；
(2)求正弦曲线 曲率 的最大值．
【解析】（1）由 得 ， ，
故 ，
所以曲线 在点 处的曲率 ；
（2）由题意得 ，
故 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 在 上单调递减，
则 ，即 的最大值为1，
由题意知曲线 在点 处的曲率 ，即 ，故 的最大值为1.
26．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式： 其中
为自然对数的底数， .以上公式称为泰勒公式.设
，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明： ；
(2)设 ，证明： ；
(3)设 ，若 是 的极小值点，求实数 的取值范围.
【解析】（1）设 ，则 .
当 时， ：当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
因此， ，即 .
（2）由泰勒公式知 ，①
于是 ，②
由①②得
所以
即 .
（3） ，则，设 ，
由基本不等式知， ，当且仅当 时等号成立.
所以当 时， ，所以 在 上单调递增.
又因为 是奇函数，且 ，
所以当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
因此， 是 的极小值点.
下面证明：当 时， 不是 的极小值点.
当 时， ，
又因为 是 上的偶函数，且 在 上单调递增,
所以当 时， .
因此， 在 上单调递减.
又因为 是奇函数，且 ，
所以当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
因此， 是 的极大值点，不是 的极小值点.
综上，实数 的取值范围是 .
27．（2024·高三·四川达州·阶段练习）英国数学家泰勒发现了如下公式： 其
中 ， 为自然对数的底数， .以上公式称为泰勒公式.设 ，
，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明： ；
(2)设 ，证明： ；
【解析】（1）设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因此 ，即 .
（2）由泰勒公式知 ，①
于是 ，②
由① ②得 ，
由① ②得 ，
所以
，
即 .
28．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：
若函数 ， 的导函数分别为 ， ，且 ，则
.
②设 ，k是大于1的正整数，若函数 满足：对任意 ，均有 成立，且
，则称函数 为区间 上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断 是否为区间 上的2阶无穷递降函数；
(2)计算： ；
(3)证明： ， .
【解析】（1）设 ，
由于 ，
所以 不成立，故 不是区间 上的2阶无穷递降函数.
（2）设 ，则 ，
设 ，
则 ，
所以 ，得 .
（3）令 ，则原不等式等价于 ，
即证 ，
记 ，则 ，
所以 ，
即有对任意 ，均有 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，证毕!
29．（2024·上海奉贤·一模）若函数 满足：对任意的实数 ， ，有
恒成立，则称函数 为 “ 增函数” ．
(1)求证：函数 不是“ 增函数”；
(2)若函数 是“ 增函数”，求实数 的取值范围；(3)设 ，若曲线 在 处的切线方程为 ，求 的值，并证明函数
是“ 增函数”．
【解析】（1）
取 ，则 ，因为 ，
故函数 不是“ 增函数”；
（2）因为函数 是“ 增函数”，故任意的 ， ，
有 恒成立，
即 恒成立 ，
所以 恒成立，
又 ， ，故 ，则 ，
则 ，即 ；
（3）记 ，
根据题意，得 ，
可得方程的一个解 ，
令 ，
则 ，令 ，
则 ， 故 在 上是严格增函数，
又因为 ，故 在 恒成立，故 ，
故 在 上是严格增函数，所以 是唯一解，
又 ，此时在 处的切线方程即为 ，
故 成立；
设 ，其中 ，
，由 在 上是严格增函数以及 ，
得 ，
即 ，所以 在 上是严格增函数，
因为 ，则 ,故 ，即得证.
30．（2024·高三·北京海淀·阶段练习）已知函数
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若对任意的实数 ，函数 与直线 总相切，则称函数 为“恒切函数”．当
时，若函数 是“恒切函数”，求证： ．
【解析】（1）函数 ,
,
当 时， ，
，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 有极小值 ，无极大值.
（2） ，
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， , ，
,且 为增函数，
时， ， 在 单调递增；
时， ， 在 单调递减；
综上得：当 时， 在 单调递减；
当 时， 在 单调递增,在 单调递减；
（3）当 时，函数 是“恒切函数”，
且 ,设函数 与直线 切点 ,则 ,
故 ，即 ， ，
，
，所以 是方程 的根，
设 ， ,
,
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
且 ,
， ，
是方程 的根，
所以 或 ,
或
故 .
31．（2024·河南南阳·模拟预测）对于三次函数 ，定义：设 是函数
的导函数 的导数，若 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐
点”.现已知 .请解答下列问题：
(1)求函数 的“拐点”A的坐标；
(2)求证： 的图像关于“拐点”A对称，并求 的值.
【解析】（1）∵ ， ，∴令 ，
得 .有 ，∴“拐点”A为 .
（2）证明：设 ， 是 图像上任意一点，则 .
， 是关于“拐点” 的对称点为 .
把点 坐标代入 得左边 ，
右边 ，∴左边＝右边.
∴点 在 的图像上.
∴ 关于“拐点”A对称.
由对称性可得
.
32．（2024·高三·全国·专题练习）对于三次函数 ，给出定义：设 是函数
的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，
且“拐点”就是对称中心．若 ，请你根据这一发现.
（1）求函数 的对称中心；
（2）计算 .
【解析】（1） ，
令 ，即 ，
解得 ，
，
由题中给出的结论，可知函数 的对称中心为 .
（2）由（1）知函数 的对称中心为 ，
所以 ，
即 ，
故 ，所以 .
33．（2024·湖南邵阳·三模）给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，
若方程 有实数解 ，则称点 为函数 拐点.已知 .
（1）求证：函数 的拐点 在直线 上；
（2） 时，讨论 的极值点的个数.
【解析】（1） ，
，
，
， ．
而 ．
点 ， 在直线 上．
（2）令 ，得 ，
作出函数 ， 与函数 的草图如下所示：
由图可知，
当 或 时， 无极值点；
当 时， 有一个极值点；
当 或 时， 有两个极值点．
34．（2024·高三·全国·阶段练习）对于三次函数 ，给出定义：设 是函
数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，
且“拐点”就是对称中心.设函数 .
（1）当 时，求 的值；（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）函数 ，
当 时，
因为 ，
∴ ，
令 ，解得 ，
则对称中心的纵坐标为 ，故对称中心为 ，
所以 ，
所以 ， ，…
则 .
（2）∵ ， ，
即 ，
又 ，
∴ 在 上恒成立.
令 .
∴ .
∵ ，
令 ，得 或 （舍去）.
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增.
∴ .
∴ ，
即 的取值范围为 .
