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专题15 立体几何综合解答题型系统化归类与解析
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：非常规空间几何体为载体....................................................................................................2
题型二：立体几何探索性问题............................................................................................................3
题型三：立体几何折叠问题................................................................................................................4
题型四：立体几何作图问题................................................................................................................5
题型五：立体几何建系繁琐问题........................................................................................................6
题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题............................................................................7
题型七：利用传统方法找几何关系建系............................................................................................8
题型八：空间中的点不好求................................................................................................................9
重难点突破：新定义问题..................................................................................................................10
02 重难创新练....................................................................................................................................12
1
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题型一：非常规空间几何体为载体
1．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，四边形
是圆台
的轴截面，
是圆台的母线，点C 是
的中点．已知
，点M 是BC 的中点．
(1)若直线
与直线
所成角为
，证明：
平面
；
(2)记直线
与平面ABC 所成角为
，平面
与平面
的夹角为
，若
，求
．
2．（2024·重庆·三模）如图所示的几何体是一个半圆柱和一个三棱锥的组合体.
是半圆柱的母线,
分别是底面直径BC 和
的中点,
是半圆
上一动点,
是半圆
上的
动点,
是圆柱的母线，延长
至
点使得
为
的中点,连接
,
构成三棱锥
.
2
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(1)证明:
;
(2)当三棱锥
的体积最大时,求平面
与平面
的夹角.
题型二：立体几何探索性问题
3．（2024·全国·一模）如图，在三棱锥
中，
平面
为棱
上的动点．
(1)求证：
平面
；
(2)是否存在点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，请求出点
的位置；若不存
在，请说明理由．
3
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4．如图，在三棱锥
中，
，
．
(1)证明：
；
(2)在棱
上是否存在点
（不与端点重合），使得直线
与平面
所成角的正弦值为
，若存在，
求出点
的位置，若不存在，请说明理由．
题型三：立体几何折叠问题
5．（24-25 高三上·云南昆明·期中）已知在长方形
中，
，
，点
是边
的中点，如
图甲所示.将
沿
翻折到
，连接
，
，得到四棱锥
，其中
，如
图乙所示.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
和平面
夹角的余弦值.
4
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6．在如图1 所示的图形中，四边形
为菱形，
和
均为直角三角形，
，现沿
将
和
进行翻折，使
（
在平面
同侧），如图2.
(1)当二面角
为
时，判断
与平面
是否平行；
(2)探究当二面角
为
时，平面
与平面
是否垂直；
(3)在（2）的条件下，求平面
与平面
夹角的余弦值.
题型四：立体几何作图问题
7．（2024·河南信阳·模拟预测）长方体
中，
.
(1)过E、B 作一个截面，使得该截面平分长方体的表面积和体积.写出作图过程及其理由.
(2)记（1）中截面为
，若
与（1）中过
点的长方体的三个表面成二面角分别为
，求
的值.
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8．如图，正四面体
，
(1)找出依次排列的四个相互平行的平面
，
，
，
，使得
，且其中每相邻两个平
面间的距离都相等．请在答卷上作出满足题意的四个平面，并简要说明并证明作图过程；
(2)若满足（1）的平面
，
，
，
中，每相邻两个平面间的距离都为1，求该正四面体
的体
积．
题型五：立体几何建系繁琐问题
9．（2021·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知三棱柱
的底面是正三角形，侧面
是矩形，
，
分别为
，
的中点，
为
上一点，过
和
的平面交
于
，交
于
.
6
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（1）证明：
，且平面
平面
；
（2）设
为
的中心，若
，
平面
，且
，求四棱锥
的体积.
10．（21-22 高三上·山东临沂·开学考试）如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，BC
AB，侧面BB1C1C 是正方形，D，E 分别为BC，B1C1的中点，P 为AD 上一点，过P 和B1C1的平面交
AB 于M，交AC 于N．
（1）证明：AA1∥DE，且平面AA1ED⊥平面MNC1B1；
（2）设Q 为A1E 的中点，若AQ∥平面MNC1B1，且AQ
AB，求平面MNC1B1与平面ABC 所成锐二面角
的余弦值．
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题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题
11．如图，在三棱锥
中，
是等边三角形，
，点P 是AC 的中点，连接
BP，DP
证明：平面
平面BDP；
若
，
，求三棱锥
的体积．
12．如图，在三棱锥
中，ΔABC为等边三角形，
，
面积是ΔABC面积的两
倍，点
在侧棱
上.
（1）若
，证明：平面
平面
；
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（2）若二面角
的大小为
，且
为
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型七：利用传统方法找几何关系建系
13．（2024·山东淄博·二模）已知直角梯形
，
，
，
，
为对角线
与BD的交点．现以
为折痕把
折起，使点
到达点
的位置，点
为
的中点，
如图所示：
(1)证明：
平面PBM；
(2)求三棱锥
体积的最大值；
(3)当三棱锥
的体积最大时，求直线AB与平面
所成角的正弦值．
14．（24-25 高三上·山东潍坊·期末）如图所示，在四棱锥
中，底面
为菱形，
为棱
的中点．
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(1)若直线
与平面
的交点为
，证明：
平面
；
(2)已知
平面
，
，
，且二面角
的大小为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
题型八：空间中的点不好求
15．如图，已知斜四棱柱
的侧面和底面均为全等的菱形，且
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
为
的中点，求二面角
的余弦值.
16．如图，在四棱台
中，
平面
平面
.
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(1)求证：
；
(2)求平面
与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
关于平面
的对称点
到平面
的距离.
重难点突破：新定义问题
17．（24-25 高三上·江西萍乡·期中）定义：多面体
在点
处的离散曲率为
，其中
为多面体
的一个顶点，
（
，
且
）为多面体
的所有与点
相邻的顶点，且平面
、平面
、
、平
面
和平面
为多面体
的所有以
为公共点的面．如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
为正方形，
，
．
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(1)求四棱锥
在顶点
处的离散曲率；
(2)求四棱锥
内切球的表面积；
(3)若
是棱
上的一个动点，求直线
与平面
所成角的取值范围．
18．在空间直角坐标系Oxyz 中，这点
且以
为方向向量的直线方程可表示为
，过点
且以
为法向量的平面方程可表示为
．
(1)已知直线的方程为
，直线
的方程为
．请分别写出直线和直线
的一个方向向量．
(2)若直线
与
都在平面
内，求平面
的方程；
(3)若集合
中所有的点构成了多面体Ω 的各个面，求Ω 的体积和相邻两个面
所在平面的夹角的余弦值．
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1．（24-25 高三上·江苏苏州·期末）如图，已知四棱锥
的底面
是边长为2 的菱形，
，
，
分别为线段
和线段
的中点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
2．（24-25 高三上·辽宁·期末）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为矩形，平面
平面
，点
在棱PB 上，且
平面ACE.
(1)求证：
为PB 的中点；
(2)求平面ACE 与平面ACD 夹角的正弦值.
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3．（24-25 高三上·山东潍坊·期末）如图，在直平行六面体
中，
，且
，
，
分别为
，
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)点
在棱
上，当平面
与平面
所成角的余弦值为
时，求
.
4．（24-25 高三上·广西河池·期末）如图，在多面体
中，
是边长为2 的等边三角形，
平面
，
，
，
，
，设
为
的中点．
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(1)证明：
平面
；
(2)设
为棱
上的动点，求
与平面
所成角的正弦值的最大值．
5．（23-24 高二下·湖南益阳·阶段练习）正三角形
所在的平面与菱形
所在的平面互相垂直，
，
，
是AB的中点.
(1)求证：
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成的角为
？若存在，求出
的值；若不存
在，说明理由.
6．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在平面图形甲中，
，
，
与
分别为以
斜边的等腰直角三角形，现将该图形沿
向上翻折使
边重合（
重合于
），连
.图乙中，
为
中点.
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(1)求证：
平面
；
(2)求证：
平面
；
(3)求平面
与平面
夹角的正弦值.
7．（24-25 高三上·辽宁·期末）在四棱锥
中，底面
为矩形，且
．
(1)证明：平面
底面
．
(2)若
，
，
，
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
8．（24-25 高三上·甘肃酒泉·期末）如图，四棱锥
的底面
是边长为3 的正方形，
，
.
(1)证明：
平面
；
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(2)已知点
在线段
上，且
（
），若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值.
9．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，正方体
的棱长为1，点M，N 分别在线段
，
上，且
，
.
(1)若
，证明：
；
(2)若
，点P，Q 分别在直线
，
上，且
，
，求
的取值范围.
10．（24-25 高三上·江苏无锡·期末）如图，四棱柱
的底面
是边长为2 的正方形，
侧面
底面
是线段
的中点.
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(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值.
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