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专题20 任意角、弧度制和任意角的三角函数
考点一
象限角及终边相同的角
考点二
扇形的弧长公式和面积公式
考点三
扇形中的最值问题
考点四
三角函数值符号的判断
考点五
由终边或终边上的点求三角函数值
考点六
由三角函数值求终边上的点或参数
一、角的有关概念
1．定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
2．角的分类
按旋转方向不同分类
正角：按_____方向旋转形成的角
负角：按_____方向旋转形成的角
零角：射线没有旋转
按终边位置不同分类
_____角：角的终边在第几象限，
这个角就是第几象限角
轴线角：角的终边落在_____上
（3 ）终边相同的角：所有与角
终边相同的角，连同角
在内，可构成一个集合
或_____
二、弧度制
1．弧度制的定义
把长度等于_____的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．
2．弧度制下的有关公式
角
的弧度数公式
弧度与角度的换算
弧长公式
1
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扇形的面积公式
三、任意角的三角函数
1．定义
设
是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与
轴非负半轴重合，点
是角
的终边上任意一
点，
到原点的距离
，那么角
的正弦、余弦、正切分别是
．
注意：正切函数
的定义域是
，正弦函数和余弦函数的定义域都是
.
2．三角函数值在各象限内的符号
三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
3．特殊角的三角函数值
0
_____
0
_____
1
_____
0
0
1
_____
0
_____
1
_____
1
不存在
0
不存在
0
考点一
象限角及终边相同的角
例1．（2023 秋·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）已知
为第三象限角，则
为第（ ）象限
2
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角.
A．二或四
B．三或四
C．一或二
D．二或三
例2．（2023 春·北京海淀·高三北大附中校考期中）将
的终边逆时针旋转
，与
的终边重合，则与
终边相同的角的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2023 春·上海闵行·高三上海市文来中学校考期中）下列说法正确是（ ）
A．角60 和角600 是终边相同的角
B．第三象限角的集合为
C．终边在
轴上角的集合为
D．第二象限角大于第一象限角
例4．（2023 春·北京·高三北师大二附中校考期中）设
是第二象限角，则
的终边在（ ）
A．第一、二、三象限
B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限
D．第一、二、四象限
例5．（2023 春·湖南衡阳·高三校考阶段练习）下列与角
的终边一定相同的角是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二
扇形的弧长公式和面积公式
例6．（2023 春·上海·高三上海市七宝中学校考期中）已知2 弧度的圆心角所对的弧长为4 厘米，则此圆心
3
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角所夹的扇形面积为_____
.
例7．（2023 春·江西南昌·高一校考阶段练习）如图，圆
的半径为5，弦
的长为 5.
(1)求圆心角
的大小；
(2)求扇形
的弧长及阴影部分的面积.
例8．（2023 春·浙江·高三校联考期中）已知扇形的面积为
，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的
弧长为____________cm．
例9．（2023 秋·江苏盐城·高三盐城市第一中学校联考期末）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，
传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形
截去同心扇形
所得图形，已知
，
，
，则该扇环形砖雕的面积为（ ）
.
A．
B．
C．
D．
例10．（2023 春·宁夏银川·高三银川一中校考期中）如图，已知圆锥的母线长为2，底面半径为
，一只
4
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蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面爬行一周返回A 点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．4
考点三
扇形中的最值问题
例11．（2023 秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，
圆心角大小为（ ）
A．
B．
C．
D．2
例12．（2023 秋·广东广州·高三广州市真光中学校考期末）已知扇形的面积为4
，则该扇形的周长的
最小值为______
.
例13．（2023 春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S 的最
大值为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25
例14．（2023 春·河北承德·高三校联考期中）已知某扇形材料的面积为
，圆心角为
，则用此材料切
割出的面积最大的圆的周长为______.
例15．（2023 春·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知扇形的圆心角为
，所在圆的半径为r．
5
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(1)若
，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长为24，当
为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．
考点四
三角函数值符号的判断
例16．（2023 春·北京海淀·高三北大附中校考期中）若
且
，则
的终边所在象限为
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
例17．（2023 秋·陕西西安·高三长安一中校考期末）“
且
”是“
为第三象限角”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例18．（2023 春·上海·高三上海市敬业中学校考期中）已知θ 为第二象限角，若
，则在
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
例19．（2023 春·山东济宁·高三济宁一中校考期中）若
，则角
的终边在（ ）
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
例20．（2021·高三课时练习）若
，
，则
的终边在（ ）
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、三象限或在x 轴的非负半轴上
D．第二、四象限或在x 轴上
考点五
由终边或终边上的点求三角函数值
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例21．（2023 春·辽宁葫芦岛·高三校考阶段练习）已知角
的终边经过点
，则
________
例22．（2023 春·上海·高三上海市敬业中学校考期中）已知
为角α 终边上一点，则
=______．
例23．（2023 秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）函数
的图象
恒过点P，若角
的终边经过点P，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例24．（2021·高三课时练习）已知角
的终边与一次函数
的函数图象重合，则
的值为__．
例25．（2023 春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考期中）平面直角坐标系
中，角
的始边与
轴
的非负半轴重合，终边与单位圆交于第一象限的点
，则
________.
考点六
由三角函数值求终边上的点或参数
例26．（2023·河北石家庄·统考一模）（多选）在平面直角坐标系中，角
的顶点与坐标原点重合，始边
与
轴的非负半轴重合，终边经过点
，且
，则
的值可以是（ ）
A．
B．
1
C．0
D．
2
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例27．（2023 春·广东佛山·高一校考阶段练习）如图，已知单位圆
与
轴正半轴交于点
，点
在单
位圆上，其中点
在第一象限，且
，记
．
(1)若
，求点
的坐标；
(2)若点
的坐标为
，求
的值．
例28．（2023 春·上海黄浦·高三格致中学校考期中）若点
是角
终边上的一点，且
，
则
的值是______.
例29．（2023 春·河南南阳·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系
中，角
，其顶点为坐标原点
，始边与
轴的非负半轴重合，终边过点
，则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
例30．（2023 春·北京·高三北京师大附中校考期中）已知角α 的终边上一点
，且
，则
m 等于（ ）
A．
B．3
C．-3
D．
8
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一、单选题
1．（2021·高三课时练习）如图所示，直线l 的倾斜角为
，且与单位圆交于P，Q 两点，则点P 的横坐
标是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知角
终边过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 春·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期中）已知
是第二象限角，则点
在
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．（2023 春·高一课时练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．1 弧度角的大小与圆的半径无关
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B．大圆中1 弧度角比小圆中1 弧度角大
C．圆心角为1 弧度的扇形的弧长都相等
D．用弧度来表示的角都是正角
5．（2023 春·北京·高三北京八中校考期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及
到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB 和弦AB 所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半
径为2，圆心角为
，则此弧田的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022 秋·陕西汉中·高三西乡县第一中学校考阶段练习）给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
④若
，则
与
的终边相同；
⑤若
，则
是第二或第三象限的角.
其中正确命题的序号是（ ）.
A．②④⑤
B．③⑤
C．③
D．①③⑤
7．（2023 春·辽宁·高三校联考期中）下列与
终边相同角的集合中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知扇形半径为3，圆心角为120°，则此扇形围成的圆锥体积是（
10
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）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2023 春·四川绵阳·高三校考阶段练习）已知角
的终边在第一象限，那么角
的终边可能在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．（2021·高三课时练习）(多选)下列各三角函数值符号为负的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023 春·山东·高一校联考阶段练习）已知点
在角
的终边上，且
，则
的值可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．0
12．（2023 春·云南红河·高三校考阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．
是第三象限角
B．若圆心角为
的扇形的弧长为
，则该扇形的面积为
C．若角
的终边上有一点
，则
D．若角
为锐角，则角
为钝角
三、填空题
13．（2021·高三课时练习）已知角
的终边与一次函数
的函数图象重合，则
11
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的值为__．
14．（2023 春·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考期中）已知角
，则
的值为______．
15．（2023 春·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考期中）已知
，若
与
的终边相同，且
，则
______
16．（2023 春·山东潍坊·高三校考阶段练习）将钟表拨快10 分钟，则分针转过的角为__________弧度.
四、解答题
17．（2021 春·高一课时练习）已知
，且
有意义.
(1)试判断角
所在的象限；
(2)若角
的终边与单位圆相交于点
，求
的值及
的值.
18．已知顶点在原点，以
非负半轴为始边的角
终边经过点
．
(1)求
；
(2)求
的值．
12
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