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专题15 立体几何综合解答题型系统化归类与解析
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................18
题型一：非常规空间几何体为载体
18
题型二：立体几何探索性问题
26
题型三：立体几何折叠问题
32
题型四：立体几何作图问题
39
题型五：立体几何建系繁琐问题
45
题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题
53
题型七：利用传统方法找几何关系建系
59
题型八：空间中的点不好求
67
重难点突破：新定义问题
75
1
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空间向量是坐标化空间几何问题的有效工具，且经常作为考试的重点内容。立体几何解答题通常采用
论证推理与计算相结合的方式，以特定的空间几何体为基础，逐步设问，难度逐层递进。解决这类题目的
基本步骤是建立坐标系、确定点的坐标、进行坐标运算，最后得出几何结论。空间向量作为求解空间角的
得力助手，常在解答题中出现，其难度属于中等水平。
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
线线角、二面角、线
面角
掌握三类角的概
念，提升空间推
理能力。
2024 年II 卷第17 题，15 分
2023 年II 卷第20 题，12 分
2023 年北京卷第16 题，13 分
2022 年I 卷第19 题，12 分
2021 年II 卷第19 题，12 分
2025 年高考预测中，
空间向量与立体几何仍将
是重点考查内容，且多以
解答题的形式呈现。具体
来说，考试将着重测试以
下知识点：距离问题，包
括点、线、面之间的各种
距离；异面直线夹角、线
面角以及二面角的理解和
计算。在解答题中，第一
小题将主要考查线线、线
面、面面垂直的判定定理
及性质，而第二小题则将
重点放在利用空间向量来
计算线面角或二面角上，
整体难度定位为中等水
平。
距离问题
掌握距离概念，
熟练进行距离计
算与转化。
2024 年天津卷第17 题，15 分
2023 年天津卷第17 题，15 分
体积问题
掌握体积公式，
准确求解几何体
体积。
2023 年乙卷第19 题，12 分
2022 年乙卷第18 题，12 分
2021 年上海卷第17 题，14 分
探索性问题
培养空间思维，
解决探索性几何
问题。
2024 年I 卷第17 题，15 分
2023 年I 卷第18 题，12 分
2021 年甲卷第19 题，12 分
2021 年I 卷第20 题，12 分
2021 年北京卷第17 题，14 分
2
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3
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1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三
角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：
（1）作图：作出空间角的平面角．
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．
（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．
简称：一作、二证、三算．
2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移
到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．
3、求直线与平面所成角的常见方法
（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影
所成的角即为所求．
（2）等积法：公式
，其中
是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其
中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来
求垂线段的长．
（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．
4、作二面角的平面角常有三种方法
（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线
所成的角，就是二面角的平面角．
（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上
的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．
（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角
就是二面角的平面角．
4
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1．（2024 年北京高考数学真题）如图，在四棱锥
中，
，
，
,点
在
上，且
，
．
(1)若
为线段
中点，求证：
平面
．
(2)若
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
【解析】（1）取
的中点为，接
，则
，
而
，故
，故四边形
为平行四边形，
故
，而
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）
因为
，故
，故
，
故四边形
为平行四边形，故
，所以
平面
，
5
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而
平面
，故
，而
，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
则
设平面
的法向量为
，
则由
可得
，取
，
设平面
的法向量为
，
则由
可得
，取
，
故
，
故平面
与平面
夹角的余弦值为
2．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形
ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，
，
，
，
为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
6
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【解析】（1）因为
为
的中点，所以
，
四边形
为平行四边形，所以
，又因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
（2）如图所示，作
交
于
，连接
，
因为四边形
为等腰梯形，
，所以
，
结合（1）
为平行四边形，可得
，又
，
所以
为等边三角形，
为
中点，所以
，
又因为四边形
为等腰梯形，
为
中点，所以
，
四边形
为平行四边形，
，
所以
为等腰三角形，
与
底边上中点
重合，
，
，
因为
，所以
，所以
互相垂直，
以
方向为
轴，
方向为
轴，
方向为
轴，建立
空间直角坐标系，
，
，
，
，设平面
的法向量为⃗m=(x1, y1, z1)，
平面
的法向量为⃗n=(x2, y2, z2)，
则
，即
，令
，得
，即⃗m=(√3,3,1)，
则
，即
，令
，得
，
即
，
，则
，
故二面角
的正弦值为
.
7
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3．（2024 年天津高考数学真题）如图，在四棱柱
中，
平面
，
，
．
分别为
的中点，
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
【解析】（1）取
中点
，连接
，
，
由
是
的中点，故
，且
，
由
是
的中点，故
，且
，
则有
、
，
故四边形
是平行四边形，故
，
又
平面
，
平面
，
8
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故
平面
；
（2）以
为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有
、
、
、
、
、
，
则有
、
、
，
设平面
与平面
的法向量分别为
、
，
则有
，
，
分别取
，则有
、
、
，
，
即
、
，
则
，
故平面
与平面
的夹角余弦值为
；
（3）由
，平面
的法向量为
，
则有
，
即点
到平面
的距离为
.
4．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
，
9
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，
，点E，F 满足
，
，将
沿EF 翻折至
，使得
．
(1)证明：
；
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
【解析】（1）由
，
得
，又
，在
中，
由余弦定理得
,
所以
，则
，即
，
所以
，又
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
故
；
（2）连接
，由
，则
，
在
中，
，得
，
所以
，由（1）知
，又
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，则
两两垂直，建立如图空间直角坐标系
，
则
，
由
是
的中点，得
，
所以
，
10
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设平面
和平面
的一个法向量分别为
，
则
，
，
令
，得
，
所以
，
所以
，
设平面
和平面
所成角为
，则
，
即平面
和平面
所成角的正弦值为
.
5．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）如图，四棱锥
中，
底面ABCD，
，
．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且二面角
的正弦值为
，求
．
【解析】（1）（1）因为
平面
，而
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，所以
平面
，
而
平面
，所以
.
因为
，所以
， 根据平面知识可知
，
11
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又
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）如图所示，过点D 作
于
，再过点
作
于
，连接
，
因为
平面
，所以平面
平面
，而平面
平面
，
所以
平面
，又
，所以
平面
，
根据二面角的定义可知，
即为二面角
的平面角，
即
，即
．
因为
，设
，则
，由等面积法可得，
，
又
，而
为等腰直角三角形，所以
，
故
，解得
，即
．
6．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O，
，点F 在AC 上，
.
12
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(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面BEF；
(3)求二面角
的正弦值.
【解析】（1）连接
，设
，则
，
，
，
则
，
解得
，则
为
的中点，由
分别为
的中点，
于是
，即
，则四边形
为平行四边形，
，又
平面
平面
，
所以
平面
.
（2）法一：由（1）可知
，则
，得
，
因此
，则
，有
，
又
，
平面
，
13
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则有
平面
，又
平面
，所以平面
平面
.
法二：因为
，过点
作
轴
平面
，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在
中，
，
在
中，
，
设
，所以由
可得：
，
可得：
，所以
，
则
，所以
，
，
设平面
的法向量为⃗n1=(x1, y1, z1)，
则
，得
，
令
，则
，所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，得
，
14
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令
，则
，所以
，
，
所以平面
平面BEF；
（3）法一：过点
作
交
于点
，设
，
由
，得
，且
，
又由（2）知，
，则
为二面角
的平面角，
因为
分别为
的中点，因此
为
的重心，
即有
，又
，即有
，
，解得
，同理得
，
于是
，即有
，则
，
从而
，
，
在
中，
，
于是
，
，
15
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所以二面角
的正弦值为
.
法二：平面
的法向量为
，
平面
的法向量为
，
所以
，
因为
，所以
，
故二面角
的正弦值为
.
7．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）如图，在正四棱柱
中，
．点
分别在棱
,
上，
．
(1)证明：
；
(2)点
在棱
上，当二面角
为
时，求
．
16
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【解析】（1）以
为坐标原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如图，
则
，
，
，
又
不在同一条直线上，
.
（2）设
，
则
，
设平面
的法向量
，
则
，
令
，得
，
，
设平面
的法向量
，
17
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则
，
令
，得
，
，
，
化简可得，
，
解得
或
，
或
，
.
8．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥
中，
，
，
，E 为BC 的中点．
(1)证明：
；
(2)点F 满足
，求二面角
的正弦值．
【解析】（1）连接
，因为E 为BC 中点，
，所以
①，
因为
，
，所以
与
均为等边三角形，
，从而
②，由①②，
，
平面
，
所以，
平面
，而
平面
，所以
．
（2）不妨设
，
，
．
，
，又
，
平面
平面
．
18
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以点
为原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设
，
设平面
与平面
的一个法向量分别为
，
二面角
平面角为
,而
，
因为
，所以
，即有
，
，取
，所以
；
，取
，所以
，
所以，
，从而
．
所以二面角
的正弦值为
．
19
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题型一：非常规空间几何体为载体
【典例1-1】如图，是圆锥的顶点，
是圆锥底面圆心，
，
是底面圆
的两条直径，点
在
上，
．
(1)求证：
；
(2)若
为
的中点，求二面角
的余弦值．
【解析】（1）证明：因为
，
为
的中点，
所以
，
又
，且
，
平面
，
平面
,
所以
平面
．
又
平面
，所以
．
（2）由题意，在
中，
，所以
，所以
，
又
为
的中点，所以
，
.
设
，建立如图所示空间直角坐标系
，则
，
，
，
，所
20
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以
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，取
，则
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，则
．
因此
，
由图可知，二面角
为锐角，所以二面角
的余弦值为
．
【典例1-2】（24-25 高三上·浙江·期中）如图，四边形
为圆台
的轴截面，
，圆台的
母线与底面所成的角为
，母线长为
，
是弧
上的点，
，
为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
【解析】（1）取
中点
，连结
，
21
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∵
，
，
，
，
∴
，
，∴
为平行四边形，
∴
，又
面
，
面
，
所以
面
.
（2）法一：过
作
于点
，易知
圆台底面，
∵
，
，圆台的母线与底面所成的角为
，母线长为
，
∴
，
，又
，∴
，
，
又
，则
，所以
，
又由
，可得
，
，
取
中点
，连结
，
，所以
，
则
为二面角
的平面角，
又易知
，
，
所以
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
法二：如图，以
为坐标原点，和
垂直的直线为
轴，
所在直线为
轴，
轴，建立空间直
角坐标系
，
由法一知，
，
22
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则
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，则
，
，所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，则
，
，所以
，
所以
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
.
若以
，
，
为
，
，
轴建立坐标系，
则
，
所以
，
，
，
同理可求得平面
的法向量为
；
平面
的法向量为
，
则
.
关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系．
23
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【变式1-1】（2022·安徽黄山·二模）如图，侧面
水平放置的正三棱台
，
，且侧棱长为
.
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值.
【解析】（1）延长三条侧棱交于一点O.
因为
，所以
为
的中位线，
因为侧棱长为
，所以
.
所以
，于是
24
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同理可得
因为
是平面
内两条相交直线.
所以
，即
平面
；
（2）由（1）可知
两两垂直，所以可以以
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴建
立空间直角坐标系（如图所示）.
则
.
设平面
的一个法向量为
，
因为
，
所以
，令
，则
，
即平面
的一个法向量为
取平面
的一个法向量为
，
所以
，
由于二面角
为钝角，则其余弦值为
.
25
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1．如图，弧
是半径为a 的半圆，
为直径，点E 为弧
的中点，点B 和点C 为线段
的三等分
点，平面
外点F 满足
，
：
(1)证明：
；
(2)已知点Q，R 为线段
上的点，使得
，求当
最短时，平面
和平面
所成二面角的正弦值．
【解析】（1）连接
，因为弧
是半径为a 的半圆，
为直径，点E 为弧
的中点，所以
，
在
中，
，
在
中，
，且点C 是底边
的中点，
所以
，
，
所以在
中，有
，
所以
，
又因为
，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
面
，所以
，
又因为
，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，而
平面
，所以
.
26
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（2）在平面
内，过点C 作
交弧
于G，
以点C 为原点，分别以
，
，
为x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则
，
设
，因为
即
，
所以
，
则
，
，
，
所以当
时，
取得最小值，此时
，
设
，则
，
由
得
，则
，
则
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
，
所以
，令
则
，
27
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所以
，又由（1）知，平面
的一个法向量为
，
所以
，
设平面
与平面
所成二面角的大小为
，则
，
则
，
所以平面
与平面
所成二面角的正弦值为
.
题型二：立体几何探索性问题
【典例2-1】如图，正三棱柱
中，
，点
为
的中点.
(1)证明：平面
平面
(2)在棱
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）在正三棱柱
中，因为点
为
的中点，
则
，
又
平面
，
平面
，
28
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则有
，
而
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
，
（2）在平面
内过点
作
交
于点
，
因为平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，则点
即为所要找的点，
如下图所示，因为
，
，
所以
与
相似，
因此
，
即有
，于是
，
，所以
.
【典例2-2】（24-25 高三上·上海·期中）如图，
为圆锥的顶点，
为圆锥底面的圆心，
为底面直径，
为底面圆
的内接正三角形，点
为母线
的中点，
为
上一点，且
平面
，
．
29
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(1)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(2)在线段
上是否存在一点
，使得二面角
为直二面角？若存在，确定点
的位置；若不存
在，请说明理由．
【解析】（1）由题意可知，
平面
平面
，则
，
为
中点，
又
，
，
，则
．
过
作DB平行线， 如图以此平行线所在直线为
轴，
，
为原点建立空间直角坐标
系，
则
，
所以
，
设平面
法向量为
，则
，
30
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则
，
取
，则直线
与平面
所成角
的正弦值为
；
（2）不存在
，
，
所以
，
设平面
法向量为
，
则
， 则
，令
，则
，
取
，平面
法向量为
．
因为二面角
为直二面角，
，解得
，
又因为
，不符题意．
所以在线段
上不存在一点
，使得二面角
为直二面角.
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面
角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），
设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．
【变式2-1】如图，在四棱锥
中，底面
是直角梯形，侧棱
底面
，
，
，
，
，
是棱
的中点．
31
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(1)求证：
面
；
(2)求异面直线
与
所成角的余弦值；
(3)在线段
上是否存在一点
，使得直线
和平面
所成角为
？若存在，求出
的值；若不存
在，说明理由．
【解析】（1）以
为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则
，
,
,
，且
平面
平面
（2）由（1）得，
，
异面直线
与
所成角的余弦值为
．
32
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（3）由（1）得，
,
．
设平面
的法向量⃗n=(x , y , z)，
由
得，
，
令
，则
，
设
，
．
整理得，
，解得
或
存在点
或
．
1．如图1，在
中，
，
分别为
，
的中点，
，
.将
沿
折起
到
的位置，使得
，如图2.
(1)求证：平面
平面
；
33
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(2)线段
上是否存在点
，使得直线
和
所成角的余弦值为
？若存在，求出
的值；若不
存在，说明理由.
【解析】（1）设
是
的中点，
是
的中点，如下图，连接
，则
，
则
，
，
由于
，所以
，
由于
平面
，所以
平面
，
由于
平面
，所以平面
平面
；
（2）由（1）以及已知条件可知
两两相互垂直，
则以
为坐标原点，
正方向为
轴正方向，
可建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
34
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假设在线段
上存在点
，使得直线
和
所成角的余弦值为
，
设
，则
，
，
，
整理可得：
，解得：
，
存在满足题意的点
，此时
.
题型三：立体几何折叠问题
【典例3-1】如图，在矩形
中，点
分别在线段
上，
.沿直线
将
翻折成
，使平面
平面
.
(1)证明：
；
(2)求二面角
的余弦值；
(3)点
，
分别在线段
、
上，若沿直线
将四边形
向上翻折，使
与
重合，求线段
的长.
【解析】（1）
35
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取
中点
，连接
.
∵
，∴
，由折叠得
.
∵
平面
，∴
平面
.
∵
平面
，∴
.
（2）∵平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
，∴
平
面
.
∵
，
∴
.
以
为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
设平面
的法向量为
，则
，取
.
由题意得，平面
的法向量为
，
∴
，
由图可得二面角
的平面角为锐角，∴二面角
的余弦值为
.
36
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（3）连接
.
设
，则
.
∵翻折后
与
重合，∴
，
由（2）得，
，
，
∴
，解得
，即
.
【典例3-2】如图1，菱形
的边长为4，
，
是
的中点，将
沿着
翻折，使点
到点
处，连接
，得到如图2 所示的四棱锥
.
(1)证明：
；
(2)当
时，求平面
与平面
的夹角的正弦值.
【解析】（1）在菱形
中，由
，得△
是等边三角形，由
是
的中点，得
，
在四棱锥
中，由
，
,
平面
，
得
平面
，而
平面
，
所以
.
（2）菱形
的边长为
是
的中点，
，
，
由（1）知
平面
，
以
为坐标原点，以
为
轴正方向，
为
轴负方向建立空间直角坐标系（如图）
37
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则
，设
，
，
由
，
，得
，解得
，即
，
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，得
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，得
，
设平面
与平面
的夹角为
，则
，
所以平面
与平面
的夹角的正弦值
.
1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．
2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质．
【变式3-1】在平面四边形
中，
，
，
，将
沿
翻折
至
，得到如图所示的三棱锥
．
(1)证明：
；
(2)当三棱锥
的体积为12 时，求二面角
的余弦值．
38
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【解析】（1）如图①，取
的中点
，连接
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
．
又
，
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
；
（2）过点
作
平面
，垂足为
，连接
，
因为
，
，
所以
，
，
因为三棱锥
的体积为12，
所以
，
解得
，
因为
，所以
，
则
，
．
解法一：如图①，以
为原点，以
所在直线分别为
轴，
轴，
过点
作平面
的垂线为
轴，建立空间直角坐标系
，
①
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
39
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设平面
的法向量为
，
则
即
令
，则
，
，
则平面
的一个法向量为
，
设平面
的法向量为
，
则
即
令
，则
，
，
则平面
的一个法向量为
，
则
，
由图知二面角
为钝二面角，
故二面角
的余弦值为
．
解法二：如图②，易知
，
则过
分别作
的垂线，垂足为
，
则
即为二面角
的平面角，且
，
因为
平面
，且
平面
，
所以
，结合（1）中
，
又
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
所以
，
在
中，
，
在
中，由余弦定理得
，
40
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则
，
由等面积法得
，
解得
，
则
，
则在
中，由余弦定理得
，
故二面角
的余弦值为
．
②
1．如图，在平行四边形
中，
为
的中点，沿
将
翻折至
位置得到四棱锥
为
上一动点.
(1)若
为
的中点，证明：在翻折过程中均有
平面
；
41
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(2)若
，①证明：平面
平面
；
②记四棱锥
的体积为
，三棱锥
的体积为
，若
，求点
到平面
的距离.
【解析】（1）取PA 中点G，连FG，EG，
因为
分别为
的中点，则
∥
，且
，
由题意可知：
∥
，且
，
则
∥
，且
，可知四边形CFGE 为平行四边形，
则
∥
，且
平面
，
平面
，
所以
∥平面
.
（2）①在四边形
中，连接
，
由题意可知：
是以边长为2 的等边三角形，则
，
且
，则
，
可知
，即
，且
，
若
，且
，则
，可知
，
且
，
平面
，可得
平面
，
又因为
平面
，所以平面
平面
；
②取
中点
，
中点
，连
，
则
，
∥
，可得
，
42
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因为
为等边三角形，则
，
且平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为平行四边形
的高即为等边
的高
，
设点
到平面
的距离为
，
若
，则
，解得
，
即
，可知
为
中点，
以
为原点，OA，OH，
别为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
可得
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，可得
，
所以点
到平面
的距离
.
43
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题型四：立体几何作图问题
【典例4-1】如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，底面ABCD 为梯形，
，
，
，
．
(1)在侧面PBC 中能否作出一条线段，使其与AD 平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，
请说明理由；
(2)若四棱锥
的体积是
，求直线BP 与平面PCD 所成角的大小．
【解析】（1）不能．
在梯形ABCD 中，
，
，
，则AD 不平行于BC，
直线AD 与BC 必相交于一点，而
平面
，则直线AD与平面
有公共点
又
平面
，因此直线
与平面
相交，
所以在侧面PBC 中不能作AD 的平行线.
（2）过点B 作
于H，连接PH，
由
平面ABCD，
平面ABCD，得
，而
平面PCD，
则
平面PCD，即PH 是BP 在平面PCD 内的射影，
是直线BP 与平面PCD 所成角，
在
中，
，
，则
是等边三角形，
，
，
又
，则
，即
，
44
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在
中，
，
，又四棱锥
的体积是
，
即
，解得
，
在
中，
，因此
，
所以直线BP 与平面PCD 所成角大小是
.
【典例4-2】（23-24 高三上·河北承德·期中）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
分别是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若平面
经过点
，且与棱
交于点
．请作图画出
在棱
上的位置，并求出
的值．
【解析】（1）连接
，则
为
的中点，
因为
为
的中点，所以
．
又
平面
平面
，
所以
平面
．
（2）如图，过
作直线与
平行，
则
，故
共面．
延长
与交于点
，连接
，
与
的交点即为点
．
因为底面
是正方形，
是
的中点，
所以
，且
，
因为
是
的中点，所以
，
45
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则
，所以
．
（1）利用公理和定理作截面图
（2）利用直线与平面平行的性质定理作平行线
（3）利用平面与平面垂直作平面的垂线
【变式4-1】如图，已知底面为平行四边形的四棱锥
中，平面
与直线
和直线
平行，
点
为
的中点，点
在
上，且
.
(1)求证：四边形
是平行四边形；
(2)求作过
作四棱锥
的截面，使
与截面平行（写出作图过程，不要求证明）.截面的定义：
用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.
【解析】（1）∵
平面
，
平面
，平面
平面
，∴
∵
平面
，
平面
，平面
平面
，∴
∴
，
∵
平面
，
平面
，平面
平面
，∴
46
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∵
平面
，
平面
，平面
平面
，∴
∴
，
∴四边形
是平行四边形.
（2）
如图，延长
，与
交于点
，过点
作直线
,则直线
为平面
和平面
的交线，延长
，交
于点，连接
，与
交于点
，连接
.∵点
为
的中点，点
为
的中点,∴
是
的一条中位线∴
，又∵
平面
,
平面
,∴
截面
.
故平面
即为所求截面.
1．在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
，三棱锥
47
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的体积为
，平面
与平面
的交线为.
(1)求四棱锥
的体积，并在答卷上画出交线（注意保留作图痕迹）；
(2)若
，
，且平面
平面
，在上是否存在点
，使平面
与平面
所成角的余弦值为
？若存在，求
的长度；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）
，
，
∵
，∴
，
∴
，
延长
，
，设
的延长线和
的延长线交点为
，连接
，
则平面
和平面
的交线为直线
.
（2）取
的中点
，连接
，
∵
，
是
的中点，∴
，
∵平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
，
∴
平面
，
，
，解得
.
以点
为坐标原点，以直线
，
分别为
，
轴，
以过点
作平面
的垂线为
轴，建立空间直角坐标系
，如图所示.
48
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则
，
，
，
，
∴
，
，
，
设
，则
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
令
，得
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
令
，可得
，
平面
与平面
夹角的余弦值为
∴
，
整理得
，解得：
或
，
即在直线上存在点
，平面
与平面
的夹角的余弦值为
，
49
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此时
或
，
则
或
.
题型五：立体几何建系繁琐问题
【典例5-1】如图，已知三棱柱
的底面是正三角形，侧面
是矩形，
分别为
的中点，
为
上一点，过
和
的平面交
于
，交
于
．
（1）证明：平面
；
（2）设
为
的中心，若
平面
，且
，求直线
与平面
所成角的正弦
值．
【解析】（1）因为侧面
是矩形，
分别为
的中点，所以
，
，从而
，
又
是正三角形，
是
中点，所以
，
因为
，
平面
，所以
平面
，
平面
，
平面
，平面
平面
，所以
，而
，
所以
，所以
平面
，
平面
，
50
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所以平面
；
（2）
，连接
，
平面
，平面
平面
，
平面
，所以
，又由三棱柱
的性质得
，所以
是平行四边形，所以
，
是
的中心，则
，所以
，
所以
，
设
，则
，
，
由三棱柱性质知四边形
是等腰梯形，如图，
，作
于
，则
，又
，
所以
，
．
由（1）知
是平面
的一个法向量，而
是
与
的夹角，
所以直线
与平面
所成角的正弦值等于
．
【典例5-2】《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世
纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学
形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥
中，
平面
.
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（1）从三棱锥
中选择合适的两条棱填空：________
________，则三棱锥
为“鳖臑”；
（2）如图，已知
，垂足为
，
，垂足为
，
.
（i）证明：平面
平面
；
（ii）设平面
与平面
交线为，若
，
，求二面角
的大小.
【解析】（1）因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体，又
平面
，所以
，
，
；即
，
为直角三角形；
若
，由
，
平面
，可得：
平面
；
所以
，即
，
为直角三角形；满足四个面都是直角三角形；
同理，可得
或
或
，都能满足四个面都是直角三角形；
故可填：
或
或
或
；
（2）（i）证明：
∵
平面
，
平面
，
∴
，
又
，
，
平面
，
∴
平面
，
又
平面
，
∴
，
又
，
，
平面
，
∴
平面
，
又
平面
，
∴
，
又
，
，
平面
，
∴
平面
，
又
平面
，
52
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∴平面
平面
.
（ii）由题意知，在平面
中，直线
与直线
相交.
如图所示，设
，连结
，则
即为.
∵
平面
，
平面
，
∴
，
∵
平面
，
平面
，
∴
，
又
，
平面
，
∴
平面
，
又
平面
，
∴
，
.
∴
即为二面角
的一个平面角.
在
中，
，
，
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴二面角
的大小为
.
53
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利用传统方法解决
【变式5-1】如图，在三棱柱
中，底面是边长为
的正三角形，侧棱长为a，
，平行于
和
的平面分别与
交于
四点．
(1)证明：四边形
是矩形；
(2)求三棱锥
的体积（用含a 的式子表示）；
(3)当实数a 变化时，求直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围．
【解析】（1）因为
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
，同理
，则
.
由三棱柱
可知，平面
平面
，
又平面
平面
，且平面
平面
，
所以
，所以四边形
是平行四边形.
由
，
平面
，
平面
，
所以
平面
， 又
平面
，
，
又
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，
又平面
平面
，且平面
平面
，
54
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所以
.
过
作
平面
，垂足为
，在平面
内过
作
，垂足为
，
作
，垂足为
，连接
，
所以
平面
，
，同理
，
，
.
因为
平面
，
平面
，
，
所以
平面
，
平面
，
则
，同理
.
在
与
中，
为公共边，且
，
故
与
全等，故
，
在
与
中，
，又
为公共边，
则
与
全等，则
，
所以
即为
的角平分线，
又
为等边三角形，故
，又
，
因为
平面
，
平面
，
，
所以
平面
，
平面
，
所以
，又
，
，
所以有
，故四边形
为矩形.
（2）由
为等边三角形，且边长为
，则
，
在
中，
；在
中，
；
55
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在
中，
；
所以
，
即
，则
，
则三棱锥的高
，
.
（3）由（1）知
，
，则
，
所以在
中，
，
过
作
平面
，垂足为
，
则三棱柱的高也即
，由（2）知
，
故
即为直线
与平面
所成角，
则
，
由
，则
.
故直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围为
.
56
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1．四面体
，
．
(1)求
的面积；
(2)求
与平面
所成角的正弦值；
(3)求四面体
的外接球半径．
【解析】（1）因为
，
所以由余弦定理可得
，
，
，
所以
，
，
，
所以
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以
，
所以
；
（2）过
作
平面
于
，过
作
于
，过
作
于
，
57
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连接
，
因为
平面
，所以
，因为
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
，同理可得
，
又因为
，
，所以
，所以
，
所以
，所以
是
的平分线，
因为
，所以
，进而在
中，可得
，
所以
，
因为
，所以三角形
是直角三角形，
设点
到平面
的距离为
，因为
，
所以
，所以
，
所以OC 与平面ABC 所成角的正弦值为
；
（3）三角形
是直角三角形，则设三角形
斜边
的中点为
，连接
，
过
作
平面
，因为四面体
的外心在直线
上，设球心为
，
在
中，因为
，所以
，
由余弦定理可得
，
所以
，设
，
58
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所以
，
，
因为
，所以
，整理得
，
解得
，所以外接球的半径为
.
题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题
【典例6-1】（2018·广西桂林·二模）如图，四棱锥
中，底面
为边长是2 的正方形，
，
分别是
，
的中点，
，
，且二面角
的大小为
.
(1) 求证：
；
(2) 求二面角
的余弦值.
【解析】（1）证明：作
于点
连接
，
59
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∵
，
，
，
∴
，∴
，
即
，
，又
，
∴
平面
，又
平面
，
∴
.
（2）∵二面角
的大小为
，
∴平面
平面
，平面
平面
，
，∴
平面
.
以点
为原点，
,
,
所在直线为
轴，建立如图所示空间直角坐标系
，
∵
,
∴
.
∴
，即
.
∴
，
，
，
.
∴
,
，
设平面
的法向量
，
60
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由，得
令
，得
.
易知
为平面
的一个法向量.
设二面角
为
，
为锐角，则
.
【典例6-2】如图,在三棱锥
中,
是等边三角形,
,点
是
的中点,连接
．
（1）证明:平面
平面
;
（2）若
,且二面角
为
,求直线
与平面
所成角的正弦值．
【解析】解:（1）证明:因为
是等边三角形,
,
所以
,可得
．
因为点
是
的中点,则
,
,
因为
,
平面PBD,
平面
,
所以
平面
,因为
平面
,
所以平面
平面
．
（2）如图,作
,垂足为
连接
．
61
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因为
,
所以
为二面角A-BD-C 的平面角．
由已知二面角
为
,知
．
在等腰三角形
中,由余弦定理可得
．
因为
是等边三角形,则
,所以
．
在
中,有
,得
,
因为
,所以
．
又
,所以
．
则
,
．
以
为坐标原点,以向量
的方向分别为
轴,
轴的正方向,
以过点
垂直于平面
的直线为
轴,建立空间直角坐标系
,
则
,
,向量
,
平面
的一个法向量为
,
设直线
与平面
所成的角为
,
则
,
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
构造垂直的全等关系
【变式6-1】如图，在四面体
中，已知
，
，
62
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(1)求证：
；
(2)若平面
平面
，且
，求二面角
的余弦值.
【解析】（1）∵
，
，
.∴
，
∴
，取
的中点
，连接
，
，则
，
.
又∵
，
平面
，
平面
，∴
平面
，又
平面
，∴
.
（2）过
作
于点
，则
平面
，
又∵平面
平面
，平面
平面
，
∴
平面
. 过
作
于点
，连接
.
∵
平面
，
平面
，∴
又
，
平面
，∴
平面
，
平面
∴
，根据二面角的定义，∴
为二面角
的平面角.
连接
，∵
，由于
，∴
.
∵
，
，∴
，
.
63
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∵
，
，∴
，根据等面积法：
.
∴
，显然
是锐角，根据同角三角函数的关系
易得：
，故二面角
的余弦值为
.
1．如图，四棱锥
中，四边形
是边长为2 的菱形，
，
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）当直线
与平面
所成的角为30°时，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【解析】（1）过点
作
，垂足为
，连结
，
.
在
中，由
，
得，
.
在
中，由余弦定理得
，
即
，又
，所以
，即
.
又
，所以
平面
.
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）由（1）知，
为直线
与底面
所成角，则
，所以
.
64
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以
为原点，建立空间直角坐标系
如图所示，则
，
，
，
，所以
，
，
由于
，所以
.
设平面
的法向量为
，则
，即
，解得
，
令
得
.
显然平面
的一个法向量为
，
所以
，
即平面
与平面
所成二面角的余弦值为
.
题型七：利用传统方法找几何关系建系
【典例7-1】（24-25 高三上·河北衡水·期中）如图，四棱锥
的底面
为正方形，E，F 分别
为
，
的中点，且平面
平面
.
65
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(1)证明：
；
(2)若
，当四棱锥
的体积最大时，求平面
与平面
的夹角的余弦值.
【解析】（1）
连接
交
于点
，连接
交
于点
，过点
作
于点
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，
所以
，
因为
分别为
的中点，
所以
，
，
因为四边形
为正方形，
所以
，
为
中点，
因为
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，
所以
，
因为
为
中点，
所以
.
66
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（2）设
，以
为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，如图，
则
，
，
，
，
由（1）可知，点
在
平面内，设
，
由
，
得
，即
，
所以当
时，四棱锥
的体积最大，此时
，
则
，
，
，
,
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
所以
，
则
，
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
【典例7-2】四棱锥
中，底面
为等腰梯形，
，侧面
为正三角形；
67
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(1)当
时，线段
上是否存在一点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，
求出
的值；若不存在，请说明理由．
(2)当
与平面
所成角最大时，求三棱锥
的外接球的体积．
【解析】（1）因为底面
为等腰梯形，
，
所以
，
，
，所以
.
所以
，
又
，
平面
，且
，所以
平面
.
又
平面
，所以平面
平面
.
取
中点
，因为
是等边三角形，所以
，
平面
平面
，
所以
平面
.
再取
中点
，连接
，则
，所以
.
所以可以
为原点，建立如图空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
，
，
.
68
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.
设
，可得
所以
，取平面
的法向量
.
因为
与平面
所成角的正弦值为
，
所以
，解得
或
（舍去）.
所以：线段
上存在一点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
，此时
.
（2）当平面
平面
时,
与平面
所成角为
.
当平面
与平面
不垂直时，过
做
平面
，连接
，
则
为
与平面
所成角，因为
，
，
，
，所以
.
故当平面
平面
时，
与平面
所成角最大.
此时，设棱锥
的外接球球心为
，
,
所以
，解得
.
所以三棱锥
的外接球的体积为：
.
利用传统方法证明关系，然后通过几何关系建坐标系．
【变式7-1】如图，
为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，
为底面直径，
为底面圆
的内接正
69
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三角形，且
的边长为
，点
在母线
上，且
.
(1)求证：直线
平面
；
(2)若点
为线段
上的动点，当直线
与平面
所成角的正弦值最大时，求此时点
到平面
的距离.
【解析】（1）设
，连接
，
为底面圆
的内接正三角形，
，
为
中点，
，
又
.
，且
.
平面
平面
，
，
平面
平面
，
平面
.
70
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（2）
为
中点，
又
，
为
中点，
，
，
，则
，
以
为坐标原点，
方向为
轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
设
.
设平面
的法向量⃗n=(x , y , z)，
则
令
，解得
，
设直线
与平面
所成夹角为
，
，
令
，则
，
，
当
，即
时，
，
71
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，
此时
，
点
到平面
的距离
.
1．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架
、
的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，
活动弹子
、
分别在正方形对角线
和
上移动，且
和
的长度保持相等，记
.
(1)证明：
平面
；
(2)当
为何值时，
的长最小并求出最小值；
(3)当
的长最小时，求平面
与平面
夹角的余弦值.
【解析】（1）证明：因为四边形
为正方形，则
，
72
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因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以，
平面
，
又因为四边形
为正方形，以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立如下
图所示的空间直角坐标系，
则A (1,0,0)、
、
、
，
因为
，所以
，
.
则
，易知平面
的一个法向量为
.
因为
，所以
.
又
平面
，所以
平面
.
（2）
，其中
.
，
当
时，
最小，最小值为
.
（3）由（2）可知，当
、
分别为
、
的为中点时，
最短，
此时
、
，
73
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设平面
的法向量为⃗m=(x1, y1, z1)，
，
，
则
，取
，可得
，
设平面
的法向量为⃗n=(x2, y2, z2)，
，
，
则
，取
，可得
，
所以，
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
.
题型八：空间中的点不好求
【典例8-1】如图，在斜三棱柱
中，
是边长为2 的等边三角形，侧面
为菱形，
.
(1)求证：
；
(2)若
为侧棱
上（包含端点）一动点，求直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围.
74
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【解析】（1）如图所示，
取
的中点为
为菱形，且
，
所以
为等边三角形，
，
又
为等边三角形，则
，
所以
平面
，
又
平面
平面
，
所以
.
（2）如图所示，
在
中，
，由余弦定理可得
，所以
，
由（1）得
平面
，因为
平面
，所以平面
平面
，
所以在平面
内作
，则
平面
，
以
所在直线为
轴､
轴､
轴建立空间直角坐标系如图所示：
75
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则
，
设
是平面
的一个法向量，
，
，则
，即
，
取
得
，
设
，
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
令
，则
在
单调递增，
所以
，
故直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围为
.
【典例8-2】如图，在平行六面体
中，底面
是矩形，
，
，点E，F 分别为
，
，的中点，且
.
76
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(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的长度.
【解析】（1）设
，则
，
则
，
所以
，
因为
为
的中点，
所以
，
，
则
，所以
，
又
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，
所以平面
平面
；
（2）由
，可得
，则
，
如图，以点
为坐标原点建立空间直角坐标系，
设
，
77
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则
，
则
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，则
，所以
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
解得
，
所以
的长度为
.
方程组思想
【变式8-1】如图，在四棱锥
中，
，
，
与
均
为正三角形.
78
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(1)证明：
平面
.
(2)证明：
平面
.
(3)设平面
平面
，平面
平面
，若直线与
确定的平面为平面
，线段
的中点为
，求点
到平面
的距离.
【解析】（1）因为
，
所以
，
，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）取
的中点
，连接
，则四边形
为正方形.
过
作
平面
，垂足为
.
连接
，
，
，
.
由
和
均为正三角形，得
，
所以
，即点
为正方形
对角线的交点，
则
.
因为
平面
，且
平面
，
所以
，
又
，且
平面
,
平面
,
所以
平面
，
因为
平面
，
所以
.
因为
是
的中点，
是
的中点，
所以
，
因此
.
因为
，
79
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所以
，
又
，
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（3）设
，连接
，则直线为直线
，
因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，且平面
平面
，
所以
.
由（1）知，
，
，
两两垂直，以
为坐标原点，
的方向为
轴的正方向建立如图所示的空间
直角坐标系，
则
，
，
，P(0,0,1)，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
所以
，
取
，得
.
又
，
所以点
到平面
的距离
.
80
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1．如图五面体
中，四边形
是菱形，
是以角
为顶角的等腰直角三角形，点
为棱
的中点，点
为棱
的中点
(1)求证：
平面
(2)若点
在平面
的射影恰好是棱
的中点，点
是线段
上的一点且满足
，求平面
与平面
所成角的余弦值．
【解析】（1）
证明：取
的中点
，连接
，如图所示，
是
的中点，点
为棱
的中点，
，
而
平面
，
平面
，
平面
,
菱形
，
，
，
又
分别是
的中点，
四边形
是平行四边形
，而
平面
，
平面
，
81
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平面
，
又
，
平面
,
平面
平面
，而
平面
，
平面
.
（2）
因为点
在平面
的射影恰好是棱
的中点，所以取
的中点
，
连接
，则
平面
，因为
是以角
为顶角的等腰直角三角形，所以
.
故以
点为坐标原点，
分别为
轴建立空间直角坐标系
，如图所示.
根据
，可得
，不妨设
，
则
，
，所以
，
，
,
平面
的法向量为
，
设平面
的法向量为
，
，
,
82
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设平面
与平面
所成角
，则
则
，
所以平面
与平面
所成角的余弦值为
.
重难点突破：新定义问题
【典例9-1】离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P
处的离散曲率为
，其中
为多
面体M 的所有与P 相邻的顶点，且平面
…平面和平面
为多面体M 的所有以P 为顶点
的面．现给出如图所示的三棱锥
．
(1)求三棱锥
在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若PA⊥平面ABC，
，三棱锥
在顶点C 处的离散曲率为
．点Q 在
棱PB 上，直线CQ 与平面ABC 所成角的余弦值为
，求BQ 的长度
【解析】（1）根据离散曲率的定义得
，
，
83
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又因为
所以
．
（2）∵
平面
平面
，
∴
，
又∵
，
平面
，
∴
平面
∵
平面
，∴
，
∵
，即
∴
，∴
，
过点
作
交
于
，连结
，
因为
平面
，所以
平面
，
所以
为直线
与平面
所成的角，
依题意可得，
，
，
84
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，
设
，则
，
在
中，
，
又
，所以
，
则
，
所以
，
解得：
或
（舍）
故
.
【典例9-2】空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”．类比空间直角坐标
系，
分别为“空间斜坐标系”中三条数轴（
轴、
轴、
轴）正方向的单位向量，若向量
，则
与有序实数组
相对应，称向量
的斜坐标为
，记作
．如图，
在平行六面体
中，
，
，
，
．以
为基底建立“空间斜坐标系”．
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(1)若点
在平面
内，且
平面
，求
的斜坐标；
(2)若
的斜坐标为
，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
【解析】（1）由题可知
，
，则
（提示：斜坐标的本质是将空间中
的向量用基底表示后的系数），
由题可知
，
，
．
平面
，
即
则
，
，
则
的斜坐标为
．
（2）由题可得
，
，
设平面
的法向量为
（提示：设斜坐标系下的法向量，通过求解法向量方程与赋值求
得法向量），
由
得
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即
取
，可得
，
，
即
．
则
．
由（1）可知
平面
，
且
，
则
，
，
则
，
即平面
与平面
的夹角的余弦值为
．
以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决
问题．图形怎么阅读?一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读
出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究
图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动
态地去阅读图形．
【变式9-1】三余弦定理：设A 为平面
内一点，过点A 的斜线
在平面
上的正投影为直线
．
为平面
内的一条直线，记斜线
与直线
的夹角（即直线
与平面
所成角）为
，直线
与直
线
的夹角为
，直线
与直线
的夹角为
，则
．三余弦定理描述了线面角是斜
线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理．
(1)证明三余弦定理；
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(2)如图，已知三棱柱
，
为正三角形，
，求直线
与底面
所
成角的正弦值；
(3)已知平行六面体
，记
为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱
长总和，求证：
．
【解析】（1）如图，不妨设
在平面
的射影为
，则
，过点
作
交直线
于点
，
连接
，
即为斜线
与平面
所成角
，
即为斜线
在平面
的射影直线
与平面
内的直线
所成角
，
即为斜线
与平面
内的直线
所成角
，
，
，
，
又
，
，
，
平面
，
平面
，
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平面
，
，
根据几何关系可得
，
，
．
（2）取
中点为
，连接
，
，
，
，易知
，
，
．
又
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
平面
，
直线
在平面
上的射影必在交线
上，
直线
与底面
所成角为
，
，
，
由三余弦定理得
，得
，
，
即直线
与底面
所成角的正弦值为
．
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（3）证明：设
，
，
，
，
，
，直线
与底面
所
成角为
，直线
在底面
投影与AB 夹角为
，
在底面
投影与AC 夹角
．
由平行六面体的对称性，不妨令
，
，
由三余弦定理
，
则
.
由题意得
，
，
，
，
由
，可得：
则
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，
当且仅当
且
时等号成立．
1．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球
的半径为
.
、
、
为球面上三
点，劣弧
的弧长记为
，设
，表示以
为圆心，且过
、
的圆，同理，圆
，
的劣弧
、
的弧长分别记为
、，曲面
（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角
，
，
分别为
、
、
，则球面三角形的面积为
.
(1)若平面
、平面
、平面
两两垂直，求球面三角形
的面积；
(2)若平面三角形
为直角三角形，
，设
，
，
.则：
①求证：
②延长
与球
交于点
.若直线
，
与平面
所成的角分别为
，
，
，
，
为
中点，
为
中点，设平面
与平面
的夹角为
，求
的最小值，及此时平面
截
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球
的面积.
【解析】（1）若平面OAB，OAC，OBC 两两垂直，有
，
所以球面三角形ABC 面积为
.
（2）①由余弦定理有：
，且
，
消掉
，可得
；
②由AD 是球的直径，则
，
且
，
，
平面BCD，
所以
平面BCD，且
平面BCD，则
，
且
，
平面ABC，可得
平面ABC，
由直线DA，DC 与平面ABC 所成的角分别为
，所以
，
不妨先令
，则
，
由
，
，
，
以C 为坐标原点，以CB，CA 所在直线为x，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标
系，
设
，则
，
可得
，
，
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则
，
设平面OBC 法向量
，则
，
取
，则
，可得
，
设平面EST 法向量
，则
，
取
，则
，可得
，
要使sinθ 取最小值时，则
取最大值，
因为
，
令
，则
，
可得
，
当且仅当
取等．
则
取最大值
，
为最小值，
此时点
，可得
，
，
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设平面AEC 中的法向量
，则
，
取
，则
，可得
，
可得球心O 到平面AEC 距离为
，
设平面AEC 截球O 圆的半径为r，则
，
所以截面圆面积为
.
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