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13 机械振动 机械波
[-考点-04-] 机械波与波的图像
1．机械波
(1)机械波的形成条件
①有发生机械振动的波源．
②有传播介质，如空气、水等．
(2)传播特点
①机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不
随波迁移．
②波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同．
③介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率
和周期相同．
④波源经过一个周期T 完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离．
2．波的图像
(1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移．
(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移．
(3)图像(如图)
3．波长、波速、频率及其关系
(1)波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离．
(2)波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定．
(3)频率f：由波源决定，等于波源的振动频率．
(4)波长、波速和频率(周期)的关系：v＝＝λf.
1．波的周期性
(1)质点振动nT(n＝1,2,3，…)时，波形不变．
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1,2,3，…)时，它们的振动步调
总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0,1,2,3，…)时，它们的振动步调总相反．
2．波的传播方向与质点振动方向的互判
1
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“上下
坡”法
沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，
“下坡”时质点向上振动
“同
侧”法
波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头
在图线同侧
“微平
移”法
将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应
同一x 坐标的两波形曲线上的点来判断质点振
动方向
3.波动问题多解
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt 与周期T 的关系不明确．
②空间周期性：波传播距离Δx 与波长λ 的关系不明确．
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定．
②振动方向双向性：质点振动方向不确定．
典例1 (波的形成及传播)(2022·北京卷·6)在如图所示的xOy 坐标系中，一条弹性绳沿x 轴放
置，图中小黑点代表绳上的质点，相邻质点的间距为a.t＝0 时，x＝0 处的质点P0开始沿y
轴做周期为T、振幅为A 的简谐运动．t＝T 时的波形如图所示．下列说法正确的是( )
A．t＝0 时，质点P0沿y 轴负方向运动
B．t＝T 时，质点P4的速度最大
C．t＝T 时，质点P3和P5相位相同
D．该列绳波的波速为
答案 D
解析 由t＝T 时的波形图可知，波刚好传到质点P6，根据“上下坡”法，可知此时质点P6
沿y 轴正方向运动，故波源起振的方向也沿y 轴正方向，则t＝0 时，质点P0沿y 轴正方向
运动，故A 错误；由题图可知，在t＝T 时，质点P4处于正的最大位移处，故速度为零，
故B 错误；由题图可知，在t＝T 时，质点P3沿y 轴负方向运动，质点P5沿y 轴正方向运
动，故两个质点的相位不相同，故C 错误；由题图可知＝2a，解得λ＝8a，故该列绳波的
波速为v＝＝，故D 正确．
典例2 (波的图像)(2021·湖北省1 月选考模拟·5)一列简谐横波沿x 轴正方向传播，其波速为
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10 m/s，t＝0 时刻的波形如图所示．下列说法正确的是( )
A．0～0.6 s 时间内，质点P 运动的路程为18 cm
B．t＝0.6 s 时刻，质点P 相对平衡位置的位移是6 cm
C．t＝1.2 s 时刻，质点Q 加速度最大
D．t＝1.4 s 时刻，质点M 沿y 轴负方向运动
答案 A
解析 由波形图可知A＝6 cm，λ＝8 m，因为v＝10 m/s，所以T＝＝0.8 s,0～0.6 s 时间
内，质点P 运动的路程s＝3A＝18 cm，A 正确；t＝0.6 s 时，即经过T，质点P 恰好回到平
衡位置，相对平衡位置的位移为0，B 错误；t＝1.2 s＝T 时，质点Q 处于平衡位置，加速
度为0，C 错误；t＝1.4 s＝1T 时，质点M 处于波谷和平衡位置之间，正沿y 轴正方向运
动，D 错误．
典例3 (振动图像与波的图像的综合应用)如图所示，图甲是t＝5 s 时刻一简谐横波沿x 轴正
方向传播的波形图，图乙为这列波上某质点的振动图像，则( )
A．该列波的波速为4 m/s
B．图乙可能是质点b 的振动图像
C．质点c 的振动方程为y＝6sin(＋π) cm
D．t＝10 s 时，a 点的振动方向向上
答案 C
解析 由题图甲可得λ＝8 m，由题图乙可得T＝4 s，所以该简谐横波的波速为v＝＝2
m/s，故A 错误；由题图甲可知，t＝5 s 时，质点b 位于平衡位置且向上振动，由题图乙可
知，5 s 时该质点处于波峰位置，故B 错误；由题图甲可知，质点c 的振动方程为y＝6sin(t
＋π) cm，故C 正确；t＝5 s 时质点a 处于波峰位置，经过5 s＝(1＋)T，质点a 运动到平衡
位置且向下振动，故D 错误．
典例4 (波传播的周期性与多解性问题)(2023·湖北省黄冈中学模拟)一列沿x 轴传播的简谐
横波，在t＝0.2 s 时刻的波形如图中实线所示，在t1＝0.4 s 时刻的波形如图虚线所示．从t
到t1时间内，x＝2 m 处的质点P 运动的路程为s，且0.2 m＜s＜0.4 m．求：
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(1)波的传播的方向和传播速度的大小；
(2)质点P 第二次出现波谷的时刻．
答案 (1)沿x 轴负方向 10 m/s (2)0.525 s
解析 (1)由题图可知，波长λ＝3 m，振幅A＝0.1 m，由t＝0.2 s 时刻到t1＝0.4 s 时刻的时
间内，0.2 m<s<0.4 m 知2A<s<4A，故T<Δt<T，设Δt 时间内波传播的距离为Δx，则
λ<Δx<λ，即 m<Δx<3 m，根据图像可知：若波沿x 轴正方向传播，则Δx1＝nλ＋1 m(n＝
0,1,2,3，…)，n 无解
若波沿x 轴负方向传播，则Δx2＝nλ＋2 m(n＝0,1,2,3，…)，n＝0 符合
由上述可知，这列波一定沿x 轴负方向传播且Δx2＝2 m，又Δt＝t1－t＝0.2 s，Δx2＝v·Δt，
得v＝10 m/s.
(2)根据虚线图像可知，从t＝0.2 s 时刻起到质点P 第二次出现波谷，波向负方向传播了
Δx′＝1.25 m，由 Δx′＝v·Δt′，解得Δt′＝0.125 s，故P 质点第二次出现波谷的时刻为
0.525 s.
1.A、B 为同一波源发出的两列波，某时刻在不同介质、相同距离上的波形如图所示，则两
列波的波速大小之比vA∶vB是( )
A．1∶3
B．1∶2
C．2∶1
D．3∶1
答案 C
解析 由题图读出两列波的波长之比λA∶λB＝2∶1，同一波源发出的两列波频率f 相同，则
由波速公式v＝λf 得到，两列波的波速大小之比vA∶vB＝λA∶λB＝2∶1，故选项C 正确．
2.(2022·辽宁卷·3)一列简谐横波沿x 轴正方向传播，某时刻的波形如图所示，关于质点P 的
说法正确的是( )
A．该时刻速度沿y 轴正方向
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B．该时刻加速度沿y 轴正方向
C．此后周期内通过的路程为A
D．此后周期内沿x 轴正方向迁移为λ
答案 A
解析 波沿x 轴正方向传播，由“同侧法”可知，该时刻质点P 的速度沿y 轴正方向，加
速度沿y 轴负方向，选项A 正确，B 错误；在该时刻质点P 不在特殊位置，则在周期内的
路程不一定等于A，选项C 错误；质点只能在平衡位置附近振动，而不随波迁移，选项D
错误．
3.(2023·江苏南京市雨花台中学月考)如图所示x 轴上，波源在原点O 处，Oa＝3 m，Ob＝4
m，Oc＝6 m．t＝0 时，波源从平衡位置开始竖直向上振动，形成分别沿x 轴向正方向和负
方向传播的简谐横波，t＝6 s 时，质点a 第一次到达最高点，同时质点c 刚好开始振动．下
列说法正确的是( )
A．该波的周期为12 s
B．该波的波速为0.5 m/s
C．t＝6 s 时质点b 正在向下运动
D．若波源停止振动，则a、b、c 三质点将同时停止振动
答案 A
解析 t＝6 s 时，c 刚好开始振动，则传播速度为v＝＝ m/s＝1 m/s，t＝6 s 时，质点a 第
一次到达最高点，则有t＝＋，解得T＝12 s，故A 正确，B 错误；波传播到b 的时间t′＝
＝4 s，则4 s 时b 开始振动，6 s 时b 振动T，b 质点在向上运动，故C 错误；若波源停止振
动，a、b、c 三质点会继续振动一段时间，故D 错误．
4.(多选)如图所示为一列沿x 轴正方向传播的简谐横波在某个时刻的波形图，由图像可知(
)
A．质点b 此时位移为零
B．质点b 此时向－y 方向运动
C．质点d 的振幅是2 cm
D．质点a 再经过通过的路程是4 cm，偏离平衡位置的位移大小是4 cm
答案 AC
解析 由题图波形图知，质点b 在平衡位置，所以此时其位移为零，选项A 正确；因波沿
x 轴正方向传播，波源在左侧，由“带动法”可知质点b 此时向＋y 方向运动，选项B 错误；
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简谐波在传播过程中，介质中各质点的振幅相同，所以质点d 的振幅是2 cm，选项C 正确；
再经过的时间，质点a 将运动到负的最大位移处，通过的路程是4 cm，偏离平衡位置的位
移大小是2 cm，选项D 错误．
5.(多选)(2022·山东卷·9)一列简谐横波沿x 轴传播，平衡位置位于坐标原点O 的质点振动图
像如右图所示．当t＝7 s 时，简谐波的波动图像可能正确的是( )
答案 AC
解析 由O 点的振动图像可知，周期为T＝12 s，振幅A＝20 cm，设原点处的质点的振动
方程为y＝Asin(t＋φ)，将(0,10 cm)代入，有10 cm＝20sin φ cm，解得φ＝.在t＝7 s 时刻
y7＝20sin(×7＋) cm＝－10 cm≈－17.3 cm 因7 s＝T＋T,由题可知在t＝7 s 时刻质点在y 轴
负半轴向下振动，根据“同侧法”可判断若波向右传播，则波形为C 所示；若波向左传播，
则波形如A 所示，故选A、C.
6.(多选)如图所示为一列简谐波在某一时刻的波形图，此时刻质点F 的振动方向如图所示．
则( )
A．该波向右传播
B．质点B 和D 的运动方向相同
C．质点C 比质点B 先回到平衡位置
D．此时质点F 和H 的加速度相同
答案 CD
解析 由“同侧法”可知，质点F 的运动方向向下，则波向左传播，同理，质点D 的运动
方向也向下，而质点A、B、H 的运动方向向上，质点F、H 相对各自平衡位置的位移相同，
则两质点的加速度相同，因质点C 直接从最大位移处回到平衡位置，即tC＝，而质点B 要
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先运动到最大位移处，再回到平衡位置，故tB＞＝tC，故C、D 正确．
7.(多选)如图所示，一列简谐横波沿x 轴正方向传播，从波传到x＝5 m 的M 点时开始计时，
已知P 点相继出现两个波峰的时间间隔为0.4 s，下面说法中正确的是( )
A．这列波的波长是4 m
B．这列波的传播速度是10 m/s
C．质点Q(x＝9 m)经过0.5 s 才第一次到达波峰
D．M 点以后各质点开始振动的方向都是向下的
答案 ABD
解析 从波的图像可以看出该波的波长为λ＝4 m，选项A 正确；由题意可知该波的周期为
T＝0.4 s，则该波的传播速度为v＝＝ m/s＝10 m/s，选项B 正确；波峰传到Q 所用的时间
为t＝＝ s＝0.7 s，选项C 错误；由波的图像可以看出，M 点开始振动的方向向下，说明M
点以后各质点开始振动的方向都是向下的，选项D 正确．
8.如图甲所示为一列简谐横波在t＝0 时的波的图像，图乙所示为该波中平衡位置位于x＝4
m 处的质点P 的振动图像．下列说法正确的是( )
A．此波的波速为2 m/s
B．此波沿x 轴正方向传播
C．t＝0.5 s 时质点P 的速度最大
D．t＝1.0 s 时质点P 的加速度最大
答案 C
解析 由题图可知，周期T＝1.0 s，波长λ＝4 m，则波速v＝＝ m/s＝4 m/s，选项A 错误；
平衡位置位于x＝4 m 处的质点P 在t＝0 时刻向下振动，根据“上下坡法”知，波沿x 轴负
方向传播，选项B 错误；t＝0.5 s 时，质点P 运动到平衡位置且向上振动，速度最大，选项
C 正确；t＝1.0 s 时质点P 运动到平衡位置且向下振动，加速度为零，选项D 错误．
9.如图，实线是一列简谐横波在t1＝0 时刻的波形，虚线是这列波在t2＝0.5 s 时刻的波形．
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(1)写出这列波的波速表达式；
(2)若波速大小为74 m/s，波的传播方向如何？
答案 见解析
解析 (1)由题图可知λ＝8 m．当波向右传播时，在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离为s1＝nλ
＋λ＝(8n＋3) m(n＝0,1,2，…)
波速为v1＝＝ m/s＝(16n＋6) m/s(n＝0,1,2，…)．
当波向左传播时，在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离为
s2＝nλ＋λ＝(8n＋5) m(n＝0,1,2，…)
波速为v2＝＝ m/s＝(16n＋10)m/s(n＝0,1，2，…)．
(2)若波速大小为74 m/s，在Δt＝t2－t1时间内波传播的距离为s′＝v′·Δt＝74×0.5 m＝37
m，
因为37 m＝4λ＋λ，所以波向左传播．
10．一列简谐横波在t＝ s 时的波形图如图甲所示，P、Q 是介质中的两个质点，图乙是质
点Q 的振动图像．关于该简谐波下列说法中正确的是( )
A．波速为9 cm/s
B．沿x 轴正方向传播
C．质点Q 的平衡位置坐标x＝9 cm
D．在t＝ s 时质点P 移动到O 点
答案 C
解析 由题图甲可以看出，该波的波长为λ＝36 cm，由题图乙可以看出周期为T＝2 s，波
速为v＝＝18 cm/s，A 错误；当t＝ s 时，Q 点向上运动，结合题图甲根据“上下坡”法可
得波沿x 轴负方向传播，B 错误；由题图甲可知，x＝0 处，y＝－＝Asin(－30°)，则xP＝λ＝
3 cm，由题图乙可知，t＝0 时，质点Q 处于平衡位置，经过Δt＝ s，其振动状态向x 轴负
方向传播到P 点处，则xQ－xP＝vΔt＝18× cm＝6 cm，xQ＝9 cm，C 正确；波沿x 轴负方向
传播，而质点P 只会上下振动，D 错误．
11.(多选)如图所示，一列振幅为10 cm 的简谐横波，其传播方向上有两个质点P 和Q，两
者的平衡位置相距3 m．某时刻两质点均在平衡位置且二者之间只有一个波谷，再经过0.3
s，Q 第一次到达波峰．则下列说法正确的是( )
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A．波长可能为2 m
B．周期可能为0.24 s
C．波速可能为15 m/s
D．0.3 s 内质点P 的位移大小为10 cm
答案 ACD
解析 某时刻P、Q 两质点均在平衡位置且二者之间只有一个波谷，故存在以下四种情况
当P、Q 之间的波的形式如图(c)所示时，则有λ＝3 m，则有λ＝2 m，A 正确；由图可知，
质点Q 第一次到达波峰经历的时间可能为T1＝0.3 s 或T2＝0.3 s，解得周期可能为1.2 s 或
0.4 s，B 错误；图(a)、(b)、(c)、(d)的波长分别为λa＝λb＝3 m，λc＝2 m，λd＝6 m，当周期
为1.2 s 时，波速为va＝vb＝2.5 m/s，vc＝ m/s，vd＝5 m/s，当周期为0.4 s 时，波速为va′
＝vb′＝7.5 m/s，vc′＝5 m/s，vd′＝15 m/s，C 正确；经过0.3 s，当质点Q 到达波峰时，
图(a)、(b)中质点P 到达波峰，图(c)质点P 到达波谷，图(d)质点P 到达波谷，故0.3 s 内质
点P 的位移大小为10 cm，D 正确．
12.在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4 m 的A、B 两点，如图甲、乙分别是A、B
两质点的振动图像．已知该波波长大于2 m，求这列波可能的波速．
答案 见解析
解析 由振动图像得质点振动周期T＝0.4 s，
若波由A 向B 传播，B 点比A 点晚振动的时间Δt＝nT＋T(n＝0,1,2,3，…)，
所以A、B 间的距离为Δs＝vΔt＝Δt＝nλ＋λ(n＝0,1,2,3，…)，
则波长为λ＝＝ m(n＝0,1,2,3，…)，
因为λ>2 m，所以n＝0,1
当n＝0 时，λ1＝ m，v1＝＝ m/s，
当n＝1 时，λ2＝ m，v2＝＝ m/s.
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若波由B 向A 传播，A 点比B 点晚振动的时间Δt′＝nT＋T(n＝0,1,2,3，…)，
所以A、B 间的距离为
Δs′＝nλ＋λ(n＝0,1,2,3，…)，
则波长为λ′＝＝ m(n＝0,1,2,3，…)
因为λ>2 m，所以n＝0,1
当n＝0 时，λ1′＝16 m，v1′＝40 m/s，
10
