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数列求和
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】利用公式法求和
【题型二】奇偶并项（分组）求和
【题型三】 列项相消求和
【题型四】错位相减法求和
【题型五】数列新定义
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：求和时项数，化简易错
：以选择题和填空题为主，偶尔出现在解答题中，难度中等偏上．通项主要考查等差数列
和等比数列的通项公式，常结合递推关系求解通项。求和重点考查等差数列和等比数列的前
项和公式，
以及错位相减法、裂项相消法等求和方法．
：熟练掌握数列求和的几种常规方法，等差等比数列混合的时候弄清楚等差与等比数列的项
数；数列与新定义结合的时候深刻理解新定义的定义是什么以及考察的知识点
【题型一】利用公式法求和
【例1】已知数列
中，
．
(1)求数列
的前5 项；
(2)若等差数列
满足
，求
的前n 项和
．
【答案】(1)
；
(2)
1
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【分析】（1）先证明数列是等比数列，再写出通项即可计算求解；
（2）先求出
的通项公式，再应用等差数列求和公式求解.
【详解】（1）数列
中，因为
，故
，
故
，所以数列
是等比数列，公比是2，
又因为
，所以
．
所以
；
（2）等差数列
满足
，
设等差数列公差为
，所以
，所以
,
所以
的前n 项和
．
【例2】已知等差数列
和等比数列
都是递增数列，且
，
，
.
(1)求
，
的通项公式：
(2)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）由题中条件求出公差公比，即可求
，
通项公式
（2）
分别利用等差等比数列前
项和公式求和即可.
【详解】（1）设数列
和数列
的公差公比分别为d，q，
，
等比数列
是递增数列，
.
，
，
，
，
所以等差数列
的通项公式为：
，
2
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等比数列
的通项公式为：
.
（2）
为等比数列，
数列
也是等比数列，公比为
数列
的前
项和
.
（1）等差数列
的前n 项和
，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列
的前n 项和
，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）常用公式：
** 错误的表达式 **平方和公式：
；
** 错误的表达式 **立方和公式：
．
（4）如果一个数列通过适当分组可写成
的形式，而数列
，
可利用公式求和或可转化
能够求和的数列，进而分别求和，再将其合并从而得出原数列的和．
【变式1】记
为等差数列
的前
项和，已知
，
，则
的最大值为（ ）
A．16
B．18
C．23
D．25
3
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【答案】D
【分析】设出公差，根据通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式，当
时，
，当
时，
，从而确定当
时，
取得最大值，求出答案.
【详解】设公差为
，则
，
，
解得
，所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
取得最大值，最大值为
.
故选：D
【变式2】已知等比数列
的公比
，
，
．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）列出关于公比的方程，代入计算，即可得到公比，从而得到通项公式；
（2）将数列
的通项公式化简，再由等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为
，且
，即
，即
，
化简可得
，解得
或
，
又
，所以
，则
.
（2）由（1）可知，
，则
，
即数列
是以
为首项，以为公差的等差数列，
则
.
【变式3】已知数列
为等差数列，首项
，公差
．
(1)若
，证明：
是等比数列；
(2)若
，设数列
的前
项和为
，求满足
的
的最小值．
(3)若
，求数列
的前
项和
；
【答案】(1)证明见详解
4
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(2)13
(3)
【分析】（1）由等差数列通项公式可得
，结合等比数列定义分析证明；
（2）由题意可得
，利用裂项相消法求和；
（3）由题意可得
以及数列
的前
项和，根据
的符号去绝对值求和.
【详解】（1）因为数列
为等差数列，首项
，公差
，
所以
.
对于
，且
，
所以
是等比数列.
（2）由（1）可知：
，
可得
，
令
，解得
，
所以满足
的
的最小值为13.
（3）由（1）可知：
，
则
，可知数列
为等差数列，
设数列
的前n 项和为
，则
，
令
，解得
，
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
综上所述：
.
5
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【题型二】奇偶并项（分组）求和
【例1】已知数列
的前
项和为
，且
，
，则
的值为（ ）
A．360
B．480
C．960
D．1280
【答案】D
【分析】根据给定的递推公式可得
，再求出数列
的前40 项中的奇数项的和及偶数项的和
即可.
【详解】当n 为奇数，
，
，
当n 为偶数，
，
，
因此
，
的奇数项是以3 为首项，3 为公差的等差数列；
的偶数项是以
为首项，3 为公差的等差数列，
所以
.
故选：D
【例2】已知数列
满足
，
记
．
(1)证明：数列
是等差数列．
(2)求
的通项公式．
(3)求
的前20 项和．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用等差数列的定义证明即可；
（2）利用等差数列的通项公式求解即可；
（3）利用分组求和法求解即可.
【详解】（1）
，故
，
故
，所以数列
是公差为
的等差数列.
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（2）
且数列
是公差为
的等差数列，
故
（3）
故
所以
的前20 项和：
.
1、常见类型
（1）通项含有
或
或
或
；
（2）
型；
（3）
型；
（4）
．
2、注意事项：
①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”；
②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇.若通项公式确定，则求奇时候，直接代入偶数项公
式，再加上最后的奇数项通项;若通项公式不确定，则按照求偶的方式求奇即可；
③并项后要注意新数列的项数．
【变式1】已知数列
满足
，且
，该数列前20 项和
．
【答案】1078
【分析】由递推公式得到数列的通项公式，由此计算出数列
的
.
【详解】∴当
为奇数时，
，当
为偶数时，
，
∴数列
的奇数项是等比数列，偶数项是等差数列，
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∴
，
∴
.
故答案为：1078.
【变式2】已知数列
的前
项和
，数列
是正项等比数列，满足
，
.
(1)求
，
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，求
.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）由数列通项公式与求和公式的关系求出
，以及等比数列的通项公式求出
，可得答案；
（2）由分组求和，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得答案.
【详解】（1）因为
，
所以
时
.
当
时，
，
所以
，
，满足
，所以
，
数列
是正项等比数列
，
.
所以公比
，
.
（2）由（1）知
，
，
.
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【变式3】已知等比数列
是递减数列，
的前
项和为
，且
、
、
成等差数列，
，数列
满足
，
，
(1)求
和
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）设等比数列
的公比为
，根据题意可得出关于
、
的方程组，结合数列
为递减数
列可求得
、
的值，即可得出等比数列
的通项公式；推导出
，结合
可求得数列
的通项公式；
（2）分
为奇数、偶数两种情况讨论，化简
的表达式，利用错位相减法、裂项相消法结合分组求和法可
求得
.
【详解】（1）设等比数列
的公比为
，由题意可得
，则
，
因为数列
是等比数列，解得
，所以，
，
因为
，所以，
，
因为
，则
，所以，
，故
.
（2）当
为奇数时，
，令
，
则
，
所以，
，
两个等式作差可得
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，
化简得
；
当
为偶数时，
，
令
，则
，
故
.
【题型三】 列项相消求和
【例1】已知数列
中，
，
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)设
，
为数列
的前n 项和，证明：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）通过等式左右两侧取倒数，结合等差数列的定义可证明结论.
（2）根据（1）可得数列
的通项公式，由此可得结果.
（3）利用裂项相消法可求得
，分析性质可证明结论.
【详解】（1）∵
，∴
，即
，
∴
是以
为首项，2 为公差的等差数列.
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（2）由（1）得，
，
∴
.
（3）由（2）得，
，
∴
，
∵
，∴
，且
随着
的增大而减小，
∴
，当
时，
，
∴
.
【例2】已知
为等差数列，前
项和为
，
是首项为
且公比大于
的等比数列，
，
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)若数列
满足：
，且数列
的前
项和为
，求证：
．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
【分析】（1）设
的公差为
，
的公比为
，则
，根据题意求出
、
的值，结合等差数列、
等比数列的通项公式可求出这两个数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法求出
，结合数列的单调性和最值可证得结论成立.
【详解】（1）设
的公差为
，
的公比为
，则
，
因为
，
，可得
，解得
，
故数列
的通项公式为
，
因为
，
，
即
，解得
故数列
的通项公式为
.
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（2）由题得：
，
所以，
，
因为
，故数列
单调递增，
所以，
，且
，
因此，对任意的
，
.
1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项
相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
2、裂项相消法中常见的裂项技巧
（1）
1
1 1
1
(
)
(
)
n n
k
k n
n
k （2）
2
1
1
1
1
(
)
4
1
2 2
1
2
1
n
n
n
（3）
1
1
1
1
(
1)(
2)
2
(
1)
(
1)(
2)
n n
n
n n
n
n
（4）
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1)
(
(
)
n
n
n
n
n
（5）
2
2
2
2
1
1
1
1
2)
4
2)
(
(
n
n
n
n
n
（6）
1
1 (
)
n
k
n
k
n
k
n
【变式1】记数列
的前
项和为
，已知
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件，利用
与
间的关系，得到
，即可求解；
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（2）由（1）可得
，从而有
，再利用裂项相消法，即可求解.
【详解】（1）因为
，所以
，
当
时，
，
两式相减得
，①
则
，②
②
①得
，
所以
.
因为
，
又
，所以当
时，
；
当
时，
，则
，
所以
，满足
，
所以
，故数列
为等差数列.
（2）由（1）可知数列
是首项为，公差为
的等差数列，
所以
，
，
则
，
所以
.
【题型四】错位相减法求和
【例1】已知等比数列
的前
项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，令
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由
与
的关系代入计算，即可得到结果；
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（2）根据题意，由错位相减法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由
，得
，
两式相减，得：
，
，
即
，
，
，
.
（2）
①
②
①
②，得：
1、解题步骤
2、注意解题“3 关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达
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式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1 和q≠1 两种情况求解．
3、等差乘等比数列求和，令cn=(An +B)⋅qn
，可以用错位相减法．
T n=( A+B)q+(2 A+B)q2+(3 A+B)q3+...+(An+B)qn
①
qT n=( A+B)q2+(2 A+B)q3+(3 A+B)q4+...+(An+B)qn+1
②
得：
．
整理得：T n=( An
q−1+ B
q−1−
A
(q−1)2 )qn+1−( B
q−1−
A
(q−1)2 )q．
【变式1】已知数列
满足
．
(1)求证：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）通过等比数列的概念证明等比数列，并求通项公式；
（2）运用分组求和法与错位相减法求和．
【详解】（1）证明：因为
，所以
，
所以
．
因为
，所以
，
所以数列
是以1 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，即
．
15
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（2）解：因为
，
所以
．
其中
．
令
，
，
两式相减，得
．
所以
，
所以
．
【变式2】已知等差数列
的前
项和为
，公差
，且
，
，
，
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
是首项为1，公比为3 的等比数列，
①求数列
的前
项和
；
②若不等式
对一切
恒成立，求实数
的最大值．
【答案】【小题1】
； 【小题2】①
；②
．
【分析】（1）根据等差数列通项公式与前n 项和公式，结合等比中项进行求解；
（2）①先计算
的通项公式，再用错位相减法求解
；
②代入
，得到
对一切
恒成立，构造函数
，再求
的最小值，即可
求得结果.
【详解】（1）依题意得
，解得
，
，即
．
（2）①
，
，
，
16
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，
所以
．
．
②由（1）易求得
，所以不等式
对一切
恒成立，
即转化为
对一切
恒成立，
令
，则
，
又
，
当
时，
；
时，
，
所以
，且
，则
．
所以实数
的最大值为
．
【题型五】数列新定义
【例1】已知函数
．数列
的首项
．以后各项按如下方式取定：记曲线
在
处的切线为
，若
，则记
与
轴交点的横坐标是
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用导数来求出切线，再求出与
轴交点横坐标，从而可得到数列
的递推关系，然后再
利用证明的等比数列后一项
，通过递推代入得到与前一项的关系
，再加以说
明非0，即可得证等比数列；
（2）利用第一问即可求得
，从而利用错位相减法来求数列
的前
项和即可.
【详解】（1）由
，得
，
17
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曲线
在
处的切线方程为
，
根据题意令
可得，
，
由
，
因为
，所以
，且由
得，
所以数列
是以1 为首项，2 为公比的等比数列．
（2）由上式得
，
，
则
，①
两边乘以2 可得：
，②.
由①－②得，
，
所以
．
【例2】若数列
满足
，则称
为“对奇数列”．已知
为“对奇数列”，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据对奇数列的定义可得
，化简可证明
是以
为首项，3 为公比的
等比数列，进而可得通项公式.
【详解】
为“对奇数列”，则
，即
，又
，
故
是以
为首项，3 为公比的等比数列，
故
，则
.
故选：C
【变式1】若数列
的各项均为正数，且
，都有
，则称数列
具有“
性质”，则下列说法正确的是（ ）
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A．若
，则数列
具有“
性质”
B．若
，则数列
具有“
性质”
C．具有“
性质”的数列
的前
项和为
D．具有“
性质”的数列
的前
项和为
【答案】C
【分析】对于C 选项，根据数学归纳法求出
，求出
和立方和即可判断C 选项，举出反例即可判断A、
B 和D 选项.
【详解】当
时，
，所以
，
因为
，解得
，当
时，
则
，因为
，
所以
，当
时，
，
所以
，猜想
，假设当
时
成立，
此时
，
现证明
，
当
时，左边为，右边为，
成立，当
时，左边为，右边为，
也成立，进一步假设当
时成立，
即
，则当
时，
左边变为
，
展开整理可得
，
与右边一致，故等式对任意
成立，
所以
时满足条件，当
时，
由递推关系
代入
和
得
，
即
，因为
，
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所以
，所以
，
前
项和为
，且立方和为
，
满足
，所以C 正确；
取
，计算
时，
，立方和为
，故A 错误；
，当
时，
，
立方和为
，故B 错误；
选项D 前
项和为
，
当
时和为
，与
矛盾，故D 错误.
故选：C.
【变式2】对于数列
，若存在常数
满足
，则称
为“上界数列”，
为
的“上界”，
并把最小的
值叫做“上界临界值”，记为
．记数列
的前
项和为
，已知
，
．
(1)判断
是否为“上界数列”，并说明理由；
(2)若
，
为数列
的前
项和，求数列
的“上界临界值”
；
(3)若
，数列
的“上界临界值”为
，证明：
．
【答案】(1)不是“上界数列”，理由见解析；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用
的关系先求通项，再根据新定义确定即可；
（2）利用裂项相消法求和得
，再利用数列的单调性结合新定义计算即可；
（3）利用放缩法将
，结合等比数列求和公式得
，根据新定义证明即可.
【详解】（1）当
时，
，作差得
，
因为
，所以
，
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又当
时，
，所以
，
即
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
，
由于数列是无限递增的，显然不存在常数
满足
，
所以
不是“上界数列”；
（2）由上可知
，
所以
，
因为
，所以
单调递增，且
，
所以
，
所以数列
的“上界临界值”
；
（3）易知
，
所以
，
显然
单调递增，且
，n 越大，该数值越接近0，故
，
由于上述不等式取不得等号，所以数列
的“上界临界值”
.
【点睛】思路点睛：准确理解新定义的概念，利用等比数列的求和公式、错位相减法或裂项相消法，证明
数列不等式常用到放缩法，注意精度即可.
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易错点：等差等比项数混淆
解题技巧：熟练掌握等差等比项数统计方法
例1．在数1 和100 之间插入n 个实数，使得这
个数构成递增的等比数列，将这
个数的乘积记作
，再令
.则数列
的通项公式为 .
【答案】
，
【分析】记这
个数构成递增的等比数列为
，则由
，
，可得到
，将
化简后代入即可得出答案.
【详解】记由
个数构成递增的等比数列为
，
则
，
，则
，即
所以
，
即
故答案为：
，
.
变式1．已知
是等差数列，
．
(1)求
的通项公式和
．
(2)设
是等比数列，且对任意的
，当
时，则
，
（Ⅰ）当
时，求证：
；
（Ⅱ）求
的通项公式及前
项和．
【答案】(1)
，
；
(2)(
)
Ⅰ证明见解析；(
)
Ⅱ
，前
项和为
.
【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得
，据此可求得数列的通项公式，然
后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前
项和公式计算可得
.
(2)(
)
Ⅰ利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当
时，
，
取
，当
时，
，取
，即可证得题中的不等式；
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(
)
Ⅱ结合(
)
Ⅰ中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前
项
和公式即可计算其前
项和.
【详解】（1）由题意可得
，解得
，
则数列
的通项公式为
，
求和得
.
（2）(
)
Ⅰ由题意可知，当
时，
，
取
，则
，即
，
当
时，
，
取
，此时
，
据此可得
，
综上可得：
.
(
)
Ⅱ由(
)
Ⅰ可知：
，
则数列
的公比
满足
，
当
时，
，所以
，
所以
，即
，
当
时，
，所以
，
所以数列的通项公式为
，
其前
项和为：
.
【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前
项和的
核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它
对学生探索新知识很有裨益.
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变式2．已知数列
是等差数列，其前
和为
，
，数列
满足
(1)求数列
，
的通项公式;
(2)若对数列
，
， 在
与
之间插入
个2（
），组成一个新数列
，求数列
的
前2023 项的和
.
【答案】(1)
，
(2)4090
【分析】（1）首先建立等差数列的基本量的方程组，求数列
的通项公式，再利用数列
的和求数
列
的通项公式；
（2）根据通项公式，确定前2023 项有多少个2 以及含有数列
的多少项，再求和.
【详解】（1）设等差数列的首项为
，公差为
，
由题意
，
，所以
①
当
时，
②，
①-②可得，
，
当
时，
适合
，
所以
（2）因为
，所以在数列
中，从项
开始到项
为止，
共有项数为
，
当
时，
；
当
时，
，
所以数列
前2023 项是项
之后还有2023-1034=989 项为2，
所求和为
.
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