文档文本内容
专题4.2 任意角和弧度制、三角函数的概念（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1
终边相同的角】...........................................................................................................................................1
【题型2
象限角及其判定】.......................................................................................................................................2
【题型3
弧度制】....................................................................................................................................................... 2
【题型4
扇形的弧长与面积的计算】.......................................................................................................................3
【题型5
任意角的三角函数的定义及应用】...........................................................................................................4
【题型6
三角函数值符号的判定】...........................................................................................................................4
第二部分分层突破
A 组
基础跟踪练
B 组
培优提升练
C 组
真题·实战演练
【题型1
终边相同的角】
1．（25-26 高一上·云南楚雄·期末）与−2025°角的终边相同的最小正角是（
）
A．45°
B．135°
C．225°
D．2025°
2．（25-26 高一上·天津·期末）下列各角中与420°终边相同的角是（
）
A．30°
B．60°
C．120°
D．240°
3．（25-26 高一上·湖南湘潭·期末）与
π
6终边相同的角所构成的集合是（
）
A．��= 2�π + 30° , �∈�
B．��= �⋅360° +
π
6 , �∈�
C．��= �⋅180° + 30° , �∈�
D．��= 2�π +
π
6 , �∈�
4．（25-26 高一上·甘肃兰州·期末）与2026°角终边相同的角是（
）
A．26°
B．116°
C．134°
D．226°
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【题型2
象限角及其判定】
5．（25-26 高一上·陕西咸阳·期末）−2025∘30'是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
6．（25-26 高一下·黑龙江·开学考试）已知角�=−1670∘，则角�为（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
7．（25-26 高一下·全国·课堂例题）若�是第二象限角，则
�
3是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第四象限角
D．第一象限或第二象限或第四象限角
8．（2026 高三·全国·专题练习）设�是第三象限角，且cos
�
2 =−cos
�
2，则
�
2是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【题型3
弧度制】
9．（25-26 高一上·重庆万州·阶段检测）将钟表的分针拨快20 分钟，则时针转过的角的弧度数为（
）
A．
π
18
B．−
π
18
C．
π
3
D．−
π
3
10．（25-26 高一上·福建厦门·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48 齿，小轮有20 齿，已知大轮6
秒转动一周，小轮1 秒转动的角度大小是（
）
A．
5π
36
B．
π
3
C．
4π
5
D．
12π
5
11．（25-26 高二上·江西宜春·期末）时钟的分针在8 点20 分到8 点30 分这段时间里转过的弧度数为（
）
A．
π
6
B．−
π
6
C．
π
3
D．−
π
3
12．（25-26 高三下·海南·阶段检测）现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上
的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春对
应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（
）
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A．−
π
3
B．
π
3
C．
5π
12
D．
π
2
【题型4
扇形的弧长与面积的计算】
13．（25-26 高三上·湖南长沙·期末）扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的
一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇
环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，油布径长
（外环半径与内环半径之差）为24cm，则该扇子的油布面积大约为（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计）
A．1024cm2
B．768cm2
C．640cm2
D．512cm2
14．（2026·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是
△���的外接圆的圆弧，另一个是以AB 为直径的圆的一部分圆弧，已知∠���=
2π
3 ，��= ��= 1，则该
月牙形即阴影部分面积为（
）
A．
3
4 +
π
24
B．
3
4 −
π
24
C．
1
4 +
π
24
D．
3 3
4 −
π
8
15．（2026·广东江门·模拟预测）已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是
__________.
16．（2026·山西·三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主
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动轮有20 齿，被动轮有48 齿，主动轮的转速为240r/min（转/分），被动轮的半径为24 cm，则被动轮周
上一点每1 s 转过的弧长是__________cm．
【题型5
任意角的三角函数的定义及应用】
17．（25-26 高三上·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系���中，角�的始边为�轴的非负半轴，终边为射线��，
已知点�
3
5 ,
4
5 ，则tan�的值为（
）
A．
4
3
B．
3
4
C．
3
5
D．
4
5
18．（25-26 高三上·北京朝阳·期中）已知角�的终边经过点
1
2 , −
1
2 ，则cos�=（
）
A．
1
2
B．−
1
2
C．
2
2
D．−
2
2
19．
（25-26 高三上·贵州铜仁·期末）已知角�的顶点与原点重合，始边与�轴的非负半轴重合，终边经过点1, −
2 ，则
cos2�+sin�cos�
cos2�
=（
）
A．−2
B．−1
C．
1
4
D．
1
3
20．（2026 高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系���中，角�与角�均以x 轴的非负半轴为始边，它们的
终边关于直线�=−�对称．若sin�=
3
5，则cos�=（
）
A．
3
5
B．−
3
5
C．
4
5
D．−
4
5
【题型6
三角函数值符号的判定】
21．（25-26 高三上·黑龙江·阶段检测）已知cos�> 0,tan�< 0，则�为（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
22．（25-26 高三下·四川德阳·阶段检测）若π < �<
3π
2 ，则点�cos�, tan�位于第（
）象限．
A．一
B．二
C．三
D．四
23．（25-26 高三上·天津西青·期中）若�为第四象限角，则下列结论正确的是（
）
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A．sin2�> 0
B．sin2�< 0
C．cos2�> 0
D．cos2�< 0
24．（25-26 高一下·北京·阶段检测）已知角�终边上有一点�(2sin3, −2cos3)，则�为（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
一、单选题
1．（25-26 高三上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（
）
A．第二象限角比第一象限角大
B．60°角与600°角是终边相同的角
C．sin
12π
5 与tan
6π
5 都是正数
D．将表的分针拨慢10 分钟，则分针转过的角的弧度数为
π
6
2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知�为第一象限角，且�的终边经过点�sin�, 6cos�，则tan�=（
）
A．
6
2
B．6
C．2 6
D．6
3．（2026·贵州安顺·二模）已知角�的终边经过点�−3,4 ，则cos
π
2 + �=（
）
A．−
3
5
B．−
4
5
C．
3
5
D．
4
5
4．（25-26 高一上·甘肃白银·期末）春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24 节气．它
将黄道（地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆）分为24 等份，每等份为一个节气，2022
年10 月8 日为寒露，经过霜降､立冬､小雪及大雪后，便是冬至，则从寒露到冬至，地球公转的弧度数约为
（
）
A．
π
4
B．
π
3
C．
5π
12
D．
π
2
5．（2026·山东·一模）已知角�的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角�的终边过点�6, �，�∈�，
若cos
π
2 + �=
4
5，则tan�的值是（
）
A．
3
4
B．−
3
4
C．
4
3
D．−
4
3
6．（2026·广东·模拟预测）已知扇形的圆心角�=
π
3，半径�= 100．若仅将�减小30∘，则扇形的面积减小
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了（
）
A．
125π
9
B．
301π
7
C．
7π
81
D．
2500π
3
7．（25-26 高三·全国·一轮复习）扇子是引风用品，夏令必备之物：我国传统扇文化源远流长，是中华文化
的一个组成部分．历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工
艺品．扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇，如图1 是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或
线绢做扇面而制成的．完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2 中∠���= �，�、�分别在��、��上，
��= ��= �，��
Ⴃ的长为�，则该折扇的扇面����的面积为（
）
A．
��−�
2
B．
��−��
2
C．
�2�−�
2
D．
�2�−��
2
二、填空题
8．（2026·甘肃平凉·一模）已知角�的终边经过点�−8, −6 ，则�的正弦值为__________．
9．（25-26 高一下·北京·期中）已知角�的终边与单位圆交于点P �, −
4
5 ，则cos�⋅tan�=___________.
10．（25-26 高一下·河北张家口·开学考试）周长为4cm 的扇形取得面积最大值时的半径为__________cm.
11．（2026·上海黄浦·一模）已知角�的顶点与坐标原点重合，始边与�轴的正半轴重合，终边与以坐标原点
为圆心、1 为半径的圆交于点�，若点�的横坐标与纵坐标之和为
1
2，则tan�+ cot�的值为__________．
12．（25-26 高三上·河南濮阳·阶段检测）如图，��= ��= 24cm，∠���= 135∘，�为��的中点，则扇
面（图中扇环）部分的面积是___________cm2．
一、单选题
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1．
（25-26 高一下·辽宁·期中）受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知△���
的所有边长均为�，把△���的各边分别向两个方向延伸长度为�的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆
弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为�+ �，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为�，由这样的六条圆弧
组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为13π −8 3，周长为6π，则�−�=（
）
A．2
B．
5
2
C．
8
3
D．3
2．（2026·北京·模拟预测）如图，半径为1 的圆�与直线�相切于点�，点�，�同时从�点出发，点�沿着直
线�向右、点�沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当点�运动到点�时，点�，�同时停止运动．连接
��，��，��与圆�交于点�，记扇形���的面积为�1，��
Ⴃ与线段��，��围成的面积记为�2，点�，�运动
过程中，下列关系中正确的是（
）
A．�1 + �2 ≤π
B．�2 <
3π
4
C．�1 = �2
D．�1 < �2
二、填空题
3．（25-26 高一下·贵州遵义·阶段检测）如图1，这是杭州第19 届亚运会会徽，名为“潮涌”．如图2，这是
“潮涌”的平面图，若��= 2��，则图形����的面积与扇形���的面积的比值是__________．
4．（25-26 高一上·湖南邵阳·阶段检测）如图，“水滴”是由线段��, ��和圆的优弧��所围成的封闭图形，其
中��, ��恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点�到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面
积为__________.
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三、解答题
5．（25-26 高一上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，角�、�的顶点与原点�重合，始边与�轴
的非负半轴重合，终边��、��分别与单位圆交于�、�两点，
π
4 < �<
π
2，
π
2 < �< π，∠���=
π
2.
(1)若�的横坐标为
3
5，求
sin π−�
cos
π
2+�的值；
(2)若sin�+ sin�=
5
4，求tan�的值.
6．（25-26 高一下·湖南怀化·期末）为了美化城市，某部门计划在一处绿化带做一个“福地怀化”字样的园圃，
如图所示，该园圃的形状是扇形���挖去半径为其一半的扇形���后得到的扇环����，园圃的外围周长为
50m，其中圆心角�小于π，��的长不超过10m．设��= �（单位：m），园圃的面积为�（单位：m2）．
(1)写出�关于x 的函数表达式，并求出该函数的定义域；
(2)当x 为多少时，园圃的面积�最大，求出y 的最大值及此时��
Ⴃ与��
Ⴃ的长．
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7．（25-26 高一下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，已知角�的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负
半轴重合，终边经过点�3, �，且sin�=
�
5.
(1)求实数�及相应cos�的值；
(2)当�> 0 时，化简
sin �+π +cos �+5π
2
sin
π
2−�−cos �+3π 并求值.
8．（25-26 高一下·贵州遵义·阶段检测）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形���截去同心扇形���所得部分.
已知扇环周长为300cm，大扇形半径��= �cm，小扇形半径��= 10cm, ∠���= �rad，则
(1)求�关于x 的函数关系式；
(2)若雕刻费用关于x 的解析式为��= 10�+ 400，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值.
一、单选题
1．（2025·天津·高考真题）设�∈�，则“�= 0”是“sin2�= 0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
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2．（2025·北京·高考真题）已知�, �∈[0,2π]，且sin(�+ �) = sin(�−�)，cos(�+ �) ≠cos(�−�).写出满
足条件的一组�, �的值�=________，�=_________．
3．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系���中，角�与角�均以��为始边，它们的终边关于原点对称.
若�∈
π
6 ,
π
3 ，则cos�的最大值为________．
4．（2023·北京·高考真题）已知命题�:若�, �为第一象限角，且�> �，则tan�> tan�．能说明p 为假命题
的一组�, �的值为�=__________，�= _________．
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