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考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
【知识梳理】
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合S
＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α 的弧度数公式
|α|＝(弧长用l 表示)
角度与弧度的换算
1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝| α | r
扇形面积公式
S＝lr＝|α
| r 2
3.任意角的三角函数
(1)定义
前提
如图，设α 是一个
任意角，它的终边
与单位圆交于点
P(x，y)
定义
正弦
y 叫做α 的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦
x 叫做α 的余弦函数，记作cos α，即cos α＝
x
正切
叫做α 的正切函数，记作tan α，即tan α＝
(x≠0)
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单
位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的
函数，将它们统称为三角函数
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α 终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin
α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0).
[常用结论与微点提醒]
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，半径为R，圆心角为n°的扇形的
弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝.
3.象限角
4.轴线角
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( )
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( )
(3)角α 的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( )
(4)若α 为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)锐角的取值范围是.
(2)第一象限角不一定是锐角.
2.(必修一P176T7(2))已知α 是第一象限角，那么是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第一或二象限角
D.第一或三象限角
答案 D
解析 易知2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z，
故kπ＜＜＋kπ，k∈Z，
所以是第一或第三象限角.
3.(必修一P180T3 改编)已知角θ 的终边经过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ＝
________.
答案 －
解析 由三角函数的定义可得sin θ＋cos θ＝＋＝－＝－.
4.已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________.
答案 12π
解析 ∵α＝30°＝，l＝αr，∴r＝＝12，
∴扇形面积S＝lr＝×2π×12＝12π.
考点一 象限角及终边相同的角
例1 (1)(多选)下列命题正确的是( )
A.终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}
B.终边落在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
C.第三象限角的集合为
D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
答案 AD
解析 A 项显然正确；
B 中，终边落在y 轴上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}，角度与弧度不能混用，
故错误；
C 中，第三象限角的集合为，故错误；
D 中，所有与45°角终边相同的角可表示为
β＝45°＋k·360°，k∈Z，
令－720°≤45°＋k·360°＜0°(k∈Z)，
解得－≤k＜－(k∈Z)，
从而当k＝－2 时，β＝－675°；
当k＝－1 时，β＝－315°，故正确.
(2)已知角θ 在第二象限，且＝－sin ，则角在( )
A.第一象限或第三象限
B.第二象限或第四象限
C.第三象限
D.第四象限
答案 C
解析 ∵角θ 是第二象限角，
∴θ∈，k∈Z，
∴∈，k∈Z，
∴角在第一或第三象限.
又＝－sin ，∴sin ＜0，
∴角在第三象限.
感悟提升 1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出
与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求
得所需的角.
2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα 或的范围，然后根据k 的可能取值确定kα 或的终边所在的位置.
训练1 (1)集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
答案 C
解析 当k 取偶数时，比如k＝0，此时≤α≤，故角的终边在第一象限或y 轴正
半轴；
当k 取奇数时，比如k＝1，此时≤α≤，
故角的终边在第三象限或y 轴的负半轴.
综上，角的终边在第一象限或第三象限或y 轴上.
(2)终边在直线y＝x 上，且在[－2π，2π)内的角α 的集合为________________.
答案
解析 在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x 轴的夹角为，在[0，2π)内，
终边在直线y＝x 上的角有和π；
在[－2π，0)内满足条件的角有－π 和－π，
故满足条件的角α 构成的集合为.
考点二 弧度制及其应用
例2 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l(α>0).
(1)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α 为多少弧度时，这个扇形的面积最
大？
解 (1)由题意得
解得(舍去)，
故扇形的圆心角为.
(2)由已知，得l＋2R＝20.
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝2.
感悟提升 应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
训练2 (1)(2024·贵港模拟)图①是杭州第19 届亚运会会徽，名为“潮涌”，图②
是会徽的几何图形，设弧AD 的长度是l1，弧BC 的长度是l2，扇环ABCD 的面积
为S1，扇形BOC 的面积为S2.若＝3，则＝( )
A.3
B.4
C.6
D.8
答案 D
解析 因为＝3，所以＝3，
又因为S 扇形AOD＝l1·|OA|，
S 扇形BOC＝l2·|OB|，
所以＝＝9，
所以＝8，即＝8.
(2)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.
莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以A，B，C 为圆心，线段AB 长为
半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π，则其面
积是________.
答案 2π－2
解析 由条件可知，弧长AB＝BC＝AC＝，等边三角形的边长AB＝BC＝AC＝＝
2，则以点A，B，C 为圆心，圆弧AB，BC，AC 所对的扇形面积为××2＝，中间
等边△ABC 的面积S＝×2×＝.
所以莱洛三角形的面积是3×－2＝2π－2.
考点三 三角函数的定义及应用
角度1 三角函数的定义
例3 (1)(2024·湖北新高考协作体考试)已知角α 的顶点与坐标原点O 重合，始边
与x 轴的非负半轴重合.若P 是角α 终边上一点，则sin α＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 依题意，点P，
则|OP|＝＝，
∴sin α＝＝.
(2)(2024·豫北名校联考)已知角α 的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负
半轴重合，终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α 的值为________.
答案 或－
解析 由题意得，点P 与原点间的距离
r＝＝5|m|，
所以sin α＝，cos α＝，
当m>0 时，sin α＝，cos α＝－，
故2sin α＋cos α＝；
当m<0 时，sin α＝－，cos α＝，
故2sin α＋cos α＝－.
角度2 三角函数值符号的判定
例4 (1)(2024·成都石室中学模拟)若α 是第三象限角，则下列各式中成立的是(
)
A.tan α－sin α>0
B.sin α＋cos α>0
C.cos α－tan α>0
D.tan αsin α>0
答案 A
解析 因为α 是第三象限角，
所以sin α<0，cos α<0，tan α>0，
对于A，tan α－sin α>0，故A 正确；
对于B，sin α＋cos α<0，故B 错误；
对于C，cos α－tan α<0，故C 错误；
对于D，tan αsin α<0，故D 错误.
(2)(多选)(2024·衢州质检)若sin xcos x>0，sin x＋cos x>0，则可以是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
答案 AC
解析 因为sin xcos x>0，sin x＋cos x>0，
所以sin x>0，cos x>0，
故x 是第一象限角，
由2kπ<x<2kπ＋，k∈Z，
得kπ<<kπ＋，k∈Z，
当k 为偶数时，是第一象限角，
当x 为奇数时，是第三象限角，故选AC.
感悟提升 1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原
点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，
求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根
据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那
就要进行分类讨论求解.
训练3 (1)已知角α 的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点P(sin α，
tan α)在第四象限，则角α 的终边在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案 B
解析 ∵点P(sin α，tan α)在第四象限，
∴sin α>0，tan α<0，
∴角α 的终边在第二象限.
(2)(多选)(2024·青岛调研)已知角α 的始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线y＝
4x 上，则的值可能是( )
A.
B.
C.－
D.－
答案 BD
解析 由题意，若角α 的终边位于第一象限，
令x＝1，则y＝4，
故cos α＝＝，
sin α＝＝，tan α＝4，
则＝；
若角α 的终边位于第三象限，
令x＝－1，则y＝－4，
故cos α＝－＝－，
sin α＝－＝－，tan α＝4，
则＝－.
【A 级 基础巩固】
1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2kπ＋45°(k∈Z)
B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋(k∈Z)
答案 C
解析 与角的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，
但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D 错误，C 正确.
2.若sin θ·cos θ<0，>0，则角θ 是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
答案 D
解析 由>0，得>0，所以cos θ>0.
又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，
所以θ 为第四象限角.
3.(2024·南通质检)已知点P(1，t)在角θ 的终边上，且sin θ＝－，则cos θ 的值为
( )
A.
B.±
C.±
D.
答案 A
解析 由点P(1，t)在角θ 的终边上，
知sin θ＝－＝，
得t＝－，可得角θ 为第四象限角，
∴cos θ＝＝.
4.在平面直角坐标系中，角α 的终边过点(－1，0)，将α 的终边绕原点按逆时针
方向旋转120°与角β 的终边重合，则cos β＝( )
A.
B.－
C.
D.－
答案 A
解析 由题意知α＝π＋2kπ，k∈Z，
∴β＝＋2kπ，k∈Z，
故cos β＝cos ＝.
5.(2024·广州调研)已知角α 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终
边上有两点A(1，m)，B(m，4)，则cos α＝( )
A.±
B.
C.±
D.
答案 B
解析 记O 为坐标原点，由题意可知O(0，0)，A(1，m)，B(m，4)三点共线，则
m≠0，
所以＝，解得m＝±2，
又A，B 两点位于同一象限，
所以m＝2，则A(1，2)，
所以cos α＝＝＝.
6.(多选)下列说法正确的有( )
A.角与角－π 终边相同
B.终边在直线y＝－x 上的角α 的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C.若角α 的终边在直线y＝－3x 上，则cos α 的取值为
D.67°30′化成弧度是
答案 AD
解析 角与角－π 相差2π，终边相同，故A 正确；
终边在直线y＝－x 上的角α 的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故
B 错误；
若角α 的终边在直线y＝－3x 上，
则cos α 的取值为±，故C 错误；
67°30′化成弧度是，故D 正确.
7.(2023·西安二模)扇面是中国书画作品的一种重要表现形式(如图1)，图2 为其结
构简化图.设扇面A，B 间的圆弧长为l，A，B 间的弦长为d，圆弧所对的圆心角
为θ，则l，d 和θ 所满足的关系为( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
答案 A
解析 如图，连接AB，取AB 的中点为D，连接OD，
由题意可得AD＝d，∠DOA＝，OD⊥AB，
设OA＝r，在Rt△ADO 中，sin ＝，①
又l＝rθ，②
所以由①②可得＝，即＝.
8.(多选)已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x 可能位于的区间是( )
A.
B.
C.
D.
答案 AD
解析 由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，
可得sin x－cos x<0，即sin x<cos x，
所以－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.
当k＝0 时，x 所在的一个区间是，
当k＝1 时，x 所在的一个区间是.
9.若α＝1 560°，角θ 与α 终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.
答案 120°或－240°
解析 因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与α 终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，
令k＝－1 或k＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°.
10.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________.
答案 3π
解析 ∵120°＝，l＝αr，∴r＝＝＝3，
∴S＝lr＝×2π×3＝3π.
11.(2021·北京卷)若P(cos θ，sin θ)与Q，关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ
值为________.
答案
解析 由题意知，点P，Q 都在单位圆上，且θ＋θ＋＝π＋2kπ，k∈Z，所以θ＝
＋kπ，k∈Z.
12.如图，在Rt△PBO 中，∠PBO＝90°，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP
于点A.若圆弧AB 等分△POB 的面积，且∠AOB＝α，则＝______.
答案
解析 设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2.
在Rt△PBO 中，PB＝rtan α，
所以△POB 的面积为r·rtan α.
由题意得r2tan α＝2×αr2，
所以tan α＝2α，所以＝.
【B 级 能力提升】
13.(多选)(2024·南开中学质检)已知角α 是第二象限角，则下列不等式一定成立的
是( )
A.sin <0
B.tan >0
C.sin >cos
D.>
答案 BD
解析 由题设，2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，
故kπ＋<<kπ＋，k∈Z，
当k＝2n，n∈Z 时，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，则角的终边在第一象限左上部分(不
含边界)；
当k＝2n＋1，n∈Z 时，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，则角的终边在第三象限右下部
分(不含边界)；
所以角的终边在第一象限左上部分或第三象限右下部分(不含边界)；
故sin 符号不确定，且与cos 大小关系不确定，tan >0，>.B，D 正确.
14.(2024·绵阳模拟)月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”
之一，得名“月泉晓彻”，因其形酷似一弯新月而得名.如图所示，某月牙泉模
型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC 的外接圆和以AB 为直
径的圆的一部分.若∠ACB＝，AB 的长约为20，则该月牙泉模型的面积约为(
)
A.300－50π
B.120π＋150
C.100π＋180
D.120π＋180
答案 A
解析 如图，设△ABC 外接圆圆心为O，半径为R，
则2R＝＝＝40，
R＝20＝AB，
因此∠AOB＝，△ABC 所在弓形的面积
S＝×πR2－R2
＝×(20)2－×(20)2
＝200π－300，
从而阴影部分面积
S′＝π×(10)2－S＝300－50π.
15.已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.若扇形的周长是40 cm，当扇形
的圆心角α＝________弧度时，这个扇形的面积最大.
答案 2
解析 由已知，得l＋2R＝40，
所以S＝lR＝(40－2R)R＝20R－R2
＝－(R－10)2＋100.
所以当R＝10(cm)时，S 取得最大值，
此时l＝20(cm)，α＝2.
16.若角α 的终边落在直线y＝x 上，角β 的终边与单位圆交于点，且
sin αcos β<0，则cos αsin β＝________.
答案 ±
解析 由角β 的终边与单位圆交于点，得cos β＝，
又由sin αcos β<0 知，sin α<0，
因为角α 的终边落在直线y＝x 上，
所以角α 只能是第三象限角.
记P 为角α 的终边与单位圆的交点，
设P(x，y)(x<0，y<0)，
又由y＝x 得x＝－，y＝－，
所以cos α＝x＝－.
因为点在单位圆上，
所以＋m2＝1，解得m＝±，
所以sin β＝±，
所以cos αsin β＝±.
