专题5.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换（举一反三
复习讲义）
【全国通用】
命题规律
分析
1、同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换
三角函数是高考的重点、热点内容，同角三角函数关系式、诱导公式
与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考数学的必考内容之
一。从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、三角函数的化简
求值等内容，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；
但在有关三角函数、解三角形的解答题中有时也会涉及到三角恒等变换、
合并化简等内容，此时试题难度中等，需要灵活求解。
高考真题
统计
考点
2023 年
2024 年
2025 年
同角三角函
全国乙卷（文数）：
新课标I 卷：第4
全国二卷：第8 题，
数基本关系
式及诱导公
式
第4 题，5 分
全国乙卷（文数）：
第14 题，4 分
全国甲卷（理数）：
第7 题，5 分
题，5 分
新课标Ⅱ卷：第13
题，5 分
全国甲卷（文数）：
第9 题，5 分
全国甲卷（理数）：
第8 题，5 分
5 分
三角恒等变
换
新课标I 卷：第8
题，5 分
新课标Ⅱ卷：第7
题，5 分
全国乙卷（文数）：
第4 题，5 分
新课标I 卷：第4
题，5 分
新课标Ⅱ卷：第13
题，5 分
全国甲卷（文数）：
第9 题，5 分
全国甲卷（理数）：
第8 题，5 分
全国一卷：第11
题，6 分
全国二卷：第8 题，
5 分
2026 年
命题预测
预测在2026 年全国卷高考数学中，本节内容的考情将继续维持稳定态
势。同角三角函数基本关系式、三角恒等变换依旧是考查核心，大概率仍
然以选择题、填空题的形式进行考察，分值稳定在5 分左右。核心考点聚焦
同角三角函数关系式与三角恒等变换的结合考查，难度不大；也可能结合
解三角形模块在选择题、解答题中考查，涉及到同角三角函数基本关系
式、三角恒等变换的化简，此时难度中等，要学会灵活求解。
知识点
1
同角三角函数基本关系式的应用技巧
1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧
(1)利用
可以实现角α 的正弦、余弦的互化，利用
可以实
现角的弦切互化.
(2)形如
等类型可进行弦化切.
2．注意公式的逆用及变形应用：
.
3．应用公式时注意方程思想的应用：
对于
这三个式子，利用
，可以知一求二.
知识点
2
诱导公式的应用的解题策略
1．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2．含2π 整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π 的整数倍的三角函数式中可直接将2π 的整数倍去掉后再进行
运算.如
.
知识点
3
同角关系式和诱导公式的综合应用的解题策略
1．化简、求值
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行
变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2．用诱导公式求值
用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有
与
，
与
，
与
等，常见的互补关系
与
，
与
，
与
等.
知识点
4
三角恒等变换的应用技巧
1．两角和与差的三角函数公式的应用技巧
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如
和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓
展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
3．辅助角公式的运用技巧
对asinx+bcosx 化简时，辅助角的值如何求要清楚.
4．角的变换问题的解题策略：
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个"已知角"的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把
“所求角”变成“已知角”.
(3) 常见的角变换：
，
，
，
，
等.
知识点
5
三角恒等变换几类问题的解题策略
1．给角求值型问题的解题思路
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间
总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得
解.
2．给值求值型问题的解题思路
给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相
应角的三角函数值，代入即可.
3．给值求角型问题的解题思路
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
4．三角恒等变换的综合应用的解题策略
三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为
f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解
决相关问题.
【方法技巧与总结】
1．同角三角函数关系式的常用变形：
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指
的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3．降幂公式：
，
.
4．
，
，
.
【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】
【例1】（2025·甘肃武威·模拟预测）若sin
2α
1−cosα = 2
3
，则tanα =（ ）
A．2❑√2
B．−2❑√2
C．±2❑√2
D．± ❑√2
【变式1-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知tanθ =6，则2cosθ−sinθ
cosθ+sinθ
=（ ）
A．7
4
B．−7
4
C．4
7
D．−4
7
【变式1-2】（2025·河南信阳·模拟预测）若tanα =2，α ∈(0,π )，则2sinα +cosα =（ ）
A．❑√5
B．−❑√5
C．4
5
❑√5
D．−4
5
❑√5
【变式1-3】（2025·河北·模拟预测）已知α ∈(0,π)，sinα +cosα = 2❑√2
5
，则sinα −cosα =（ ）
A．
❑√42
5
B．−
❑√42
5
C．
❑√21
5
D．−
❑√21
5
【题型2 诱导公式的应用
化简、求值】
——
【例2】（2025·广东·模拟预测）设π <α < 3
2 π，且sin(2α + π
4)=cosα，则α =（ ）
A．7 π
6
B．5 π
4
C．17 π
6
D．17 π
12
【变式2-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）若sin α =
❑√3
3
，则cos(
π
2 +α)=（ ）
A．
❑√6
3
B．−
❑√6
3
C．
❑√3
3
D．−
❑√3
3
【变式2-2】（2025·四川绵阳·一模）已知cos(α −5π
4 )= 2❑√2
3
，则sin(
π
4 +α)=（ ）
A．1
3
B．−2❑√2
3
C．2❑√2
3
D．± 1
3
【变式2-3】（2025·甘肃·模拟预测）已知角α满足sin(α −10
∘)= 1
5
，则cos(α +260
∘)=（ ）
A．−2❑√6
5
B．2❑√6
5
C．−1
5
D．1
5
【题型3 同角三角函数关系式与诱导公式的综合应用】
【例3】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知α为第二象限角，且tan (α −π)=k，则sin α =（ ）
A．
−k
❑√k
2+1
B．
k
❑√k
2+1
C．
−1
❑√k
2+1
D．
1
❑√k
2+1
【变式3-1】（2025·吉林长春·模拟预测）已知tanα =−3，则
sinα −sin
3α
sin(
π
2 +α)
=（ ）
A．3
5
B．−3
5
C．3
10
D．−3
10
【变式3-2】（2025·浙江温州·一模）若θ∈(0,π
2 )，tan(
π
2 −θ)= 1
2，则sinθ−cosθ =（ ）
A．−
❑√5
5
B．
❑√5
5
C．−2❑√5
5
D．2❑√5
5
【变式3-3】（2025·广东茂名·模拟预测）已知sin(
π
3
−x)= 1
3
，且0< x<π
2
，求
sin(
π
6
+ x)−cos(
2π
3
+ x)的值为（ ）
A．4 ❑√2
3
B．2❑√2
3
C．0
D．−2❑√2
3
【题型4 三角恒等变换的化简问题】
【例4】（2025·广东佛山·一模）已知0<α <π，cos α
2 =
❑√5
5 ，则tan(α −π
4)=（ ）
A．7
2
B．2
7
C．1
7
D．7
【变式4-1】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）sin15
∘cos45
∘−cos165
∘sin 45
∘=（ ）
A．−1
2
B．−
❑√3
2
C．1
2
D．
❑√3
2
【变式4-2】（2025·广东深圳·模拟预测）已知tan(α −π
4 )=2，则tan 2α =（ ）
A．−3
4
B．3
4
C．−4
3
D．4
3
【变式4-3】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知cos(α −π
6 )−1
2 =sinα，则cos(2α +π
3 )=（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．3
4
D．−3
4
【题型5 同角三角函数关系式与三角恒等变换的综合应用】
【例5】（2025·四川资阳·一模）已知cosθ =−3
5
，θ∈(0,π)，则tan(θ+π
4 )=（ ）
A．−7
B．−1
7
C．1
7
D．7
【变式5-1】（2025·海南·一模）已知α ∈(0,π
2 ),sin α = 3 ❑√10
10
，则tan 2α =（ ）
A．−2
B．−1
2
C．−4
3
D．−3
4
【变式5-2】（25-26 高三上·山东临沂·期中）若sin (α −β)= 1
2
，tan α
tan β =11，则sin (α + β)=（ ）
A．−12
25
B．12
25
C．3
5
D．−1
2
【变式5-3】（2025·湖南永州·模拟预测）已知
α ∈(0,π
4 ), β ∈(0,π
2 ),sin(2α + β)= 3
5 ,
1
tanα −tanα =
1
tan β ，则sin(2α −β)=（ ）
A．−1
5
B．1
5
C．2
5
D．−2
5
【题型6 与解三角形有关的化简问题】
【例6】（2025·河南·模拟预测）在△ABC中，内角A、B满足tan A tan B =3，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【变式6-1】（2025·云南·模拟预测）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，则“sin A =cosB
”是“acos A =bcosB”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式6-2】（2025·四川成都·一模）已知在△ABC中，sin A +cos A = ❑√2，sin B+cos2C =0.
(1)求A，B；
(2)若BC =2，求△ABC的面积.
【变式6-3】（2025·河北沧州·模拟预测）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
a
cos A +
b
cosB =
a+b
sin A +sin B
.
(1)证明：cos( A −B)=sinC +sin A sin B；
(2)若cos A =3cos(A −π
2 ),b= ❑√10，求△ABC的面积.
【题型7 三角恒等变换的综合应用】
【例7】（2025·河北·模拟预测）设函数f (x)=sinωx cosωx + ❑√3cos
2ωx −
❑√3
2
在区间(0,π
2 )恰有三个
极值点、两个零点，则正实数ω的取值范围是（ ）
A．[
5
3 , 13
6 )
B．[
5
3 , 19
6 )
C．(
13
6 , 8
3)
D．(
13
6 , 19
6 )
【变式7-1】（2025·福建·模拟预测）已知函数f (x)=2❑√3sin xcos x +2cos
2 x，则下列选项不正确的是
（ ）
A．函数f (x)的最小正周期为π
B．函数f (x)关于点(−π
12 ,1)中心对称
C．函数y = f (x)的图象向左平移π
6
个单位，得到的函数图象关于y轴对称
D．函数g(x)= f (x)−ax在(
π
12 , 2π
3 )上不单调，则a的取值范围为(−4，2)
【变式7-2】（2025·四川泸州·一模）已知函数f (x)=asin2 x +2cos
2 x的图象经过点(−π
6 ,0).
(1)求a；
(2)求函数f (x)的单调递减区间.
【变式7-3】（2025·安徽·二模）已知函数f (x)=2sin xcos x +2❑√3cos
2 x−❑√3.
(1)求函数f (x)的对称轴方程；
(2)若f(
x0
2 )= 6
5
，x0∈(−π,0)，求f(x0+π
6 )
的值．
点
同角三角函数基本关系式
诱导公式
考
一
及
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知cosα
cosα −sinα = ❑√3，则tan(α +π
4 )=（ ）
A．2❑√3+1
B．2❑√3−1
C．
❑√3
2
D．1−❑√3
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：sin
2α +sin
2 β =1，乙：sin α +cos β =0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二、填空题
3．（2023·全国乙卷·高考真题）若θ∈(0,π
2 ),tanθ = 1
2，则sinθ−cosθ =
．
4．（2023·上海·高考真题）在△ABC中，已知a= 4，b=5，c =6，则sin A =
．
三、解答题
5．（2023·全国乙卷·高考真题）在△ABC中，已知∠BAC =120°，AB =2，AC =1.
(1)求sin∠ABC；
(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD =90°，求△ADC的面积.
点
三角恒等变换
考
二
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知0<α <π，cos α
2 =
❑√5
5 ，则sin(α −π
4)=（ ）
A．
❑√2
10
B．
❑√2
5
C．3 ❑√2
10
D．7 ❑√2
10
2．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知cos(α + β)=m,tan α tan β =2，则cos(α −β)=（ ）
A．−3m
B．−m
3
C．m
3
D．3m
3．（2023·全国乙卷·高考真题）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，若acosB−bcos A =c
，且C = π
5
，则∠B =（ ）
A．π
10
B．π
5
C．3 π
10
D．2π
5
4．（2023·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知α为锐角，cosα = 1+ ❑√5
4
，则sin α
2 =（ ）．
A．3−❑√5
8
B．−1+ ❑√5
8
C．3−❑√5
4
D．−1+ ❑√5
4
5．（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知sin (α −β)= 1
3 ,cosα sin β = 1
6
，则cos(2α +2 β)=（ ）
A．7
9
B．1
9
C．−1
9
D．−7
9
二、多选题
6．（2025·全国一卷·高考真题）已知△ABC的面积为1
4
，若
cos2 A +cos2B+2sinC =2,cos A cos BsinC = 1
4
，则（ ）
A．sinC =sin
2 A +sin
2B
B．AB = ❑√2
C．sin A +sin B =
❑√6
2
D．A C
2+ BC
2=3
三、填空题
7．（2025·上海·高考真题）已知tan α =1，则cos(α +π
4 )= ．
8．（2024·全国甲卷·高考真题）函数f (x)=sin x−❑√3cos x在[0,π)上的最大值是
．
9．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α + tan β = 4，
tan α tan β = ❑√2+1，则sin(α + β)=
.
四、解答题
10．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）记△ABC的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知
sinC = ❑√2cos B，a
2+b
2−c
2= ❑√2ab
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3+ ❑√3，求c．
11．（2023·全国甲卷·高考真题）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知b
2+c
2−a
2
cos A
=2．
(1)求bc；
(2)若acosB−bcos A
acosB+bcos A −b
c =1，求△ABC面积．
