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限时预测03（A 组+B 组+C 组）
（建议用时：60 分钟 满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
已知正项数列
的前n 项和为
，且
，
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前n 项和
．
16．（15 分）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若直线
与曲线
相切，求
的值．
17.（15 分）
在三棱锥
中，
和
均为等边三角形，
，点
为线段
的中点．
（1）证明：平面
平面
；
（2）若直线
与
所成角的余弦值为
时，求二面角
的余弦值．
18.（17 分）
某高中使用AI 学情诊断系统对学生数学薄弱知识点进行检测．根据前期学业数据，将学生分为基础扎实
与基础一般两类：基础扎实的学生，每道题答对的概率为
；基础一般的学生，每道题答对的概率为
．
现从这两类学生中各随机抽取1 人，每人连续独立完成3 道同类型试题，规定：至少答对2 道题，则判定
为“该知识点达标”．
（1）分别求基础扎实学生与基础一般学生单独检测一次达标的概率；
（2）求这两名学生中恰有1 人达标的概率；
（3）若从该校基础一般的学生中随机抽取3 人，记达标人数为X，求X 的数学期望
．
19．（17 分） 已知抛物线
：
的焦点为
，
为坐标原点.过
作直线与
交于点
，
．当
垂直于
轴时，
．点
．按照如下方法依次构造点
：过点
作斜率为
的直线与
交于另一点
，令
为
关于
轴的对称点，记
的坐标为
.
（1）求数列
的通项公式.
（2）求
的面积.
（3）将
绕
轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值.
（建议用时：60 分钟 满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
在
中，内角
所对的边分别为
，
，
为
的角平分线，且
．
（1）若
，求
大小；
（2）设
为
中点，连接
，
面积取得最小值时，求线段
的长度.
16.（15 分）
已知函数
，
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
在
上有两个零点，求实数
的取值范围；
（3）若函数
有两个极值点
，
，证明：
．
17.（15 分）
如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）已知平行于
的平面将三棱锥
截为两部分，求截面面积的最大值；
（3）若二面角
的大小为
，求
的余弦值．
18.（17 分）
已知椭圆
的焦距为2，且离心率为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）已知
，直线过点
（直线不与
轴重合），交椭圆于
，
两点．直线
交椭圆
于另一点
，直线
交椭圆于另一点
，连接
交
轴于
．
（ⅰ）求
的值；
（ⅱ）求点
到直线距离的取值范围．
19．（17 分）
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一就是十进制；
满十六进一，就是十六进制等.一般地，若
是一个大于的整数，那么以
为基数的
进制数可以表示为
一串数字符号连写在一起的形式
，其中
，
，
，
，且
，
，如
，所以
在三进制下可写为
.
（1）将五进制数
转化成三进制数.
（2）对于任意两个不同的
位二进制数
，
，
，记
.
①若
，求随机变量
的分布列与数学期望；
②证明：
.
（建议用时：60 分钟 满分：77 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
已知等差数列
满足
．数列
的各项均为正数，
，且
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前
项和
．
16．（15 分）
如图，四棱锥
中，
底面
，
，
平面
，
，
．
（1）证明：
；
（2）若点
到平面
的距离为1，求平面
与平面
夹角的余弦值．
17.（15 分）
东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80 公顷，六分为山，
四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕
塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、
和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖
山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是
，游客
之间选择意愿相互独立．
（1）从游客中随机选取3 人，记3 人中选择东门入园的人数为X，求X 的分布列、均值和方差；
（2）东湖山公园管理处计划在2026 年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值
为0，从东门进入一名游客，增加人气值2 点，其它门进入一名游客，增加人气值1 点，记当日人气值显
示屏上曾经出现数值n 的概率为
（不考虑人流量有限的限制）．
①求
，
；
②求
．
18．（17 分）
如图，已知椭圆
，点
在椭圆上且
，
，
分别经过
的左、右焦点
，
，且
，
．
（1）若
，求点
坐标；
（2）证明：
是定值，并求出
的值；
（3）求四边形
面积最大值．
19．（17 分） 已知函数
．
（1）当
时，求
在点
处的切线方程；
（2）当
时，证明：对任意
，都有
；
（3）证明：
，
.
