◎教学笔记
第2 课时 数与形（2）
▶教学内容
教科书P105~106 例2,完成教科书P108~109“练习二十二”中第4～8*题。
▶教学目标
1.在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系,寻找规律,发现规律,学会利用图
形来解决一些有关数的问题。
2.让学生经历猜想与验证的过程,体会数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。
▶教学重点
探索数与形之间的联系,寻找规律,并利用图形来解决有关数的问题。
▶教学难点
让学生经历探索规律及验证规律的过程。
▶教学准备
课件。
▶教学过程
一、直接导入,揭示课题
师：同学们,上节课我们探究了图形中隐藏的数的规律,今天我们继续研究有关数与图
形之间的联系。［板书课题：数与形（2）］
【设计意图】直奔主题,简洁明了,有利于学生清楚本节课学习的内容和方向。
二、探索发现,学习新知
1.教师与学生比赛算题。
师：上节课计算竞赛,老师赢了。本节课,我还想跟你们比赛,你们还敢挑战吗？（敢！）
师：你们知道
+
等于多少吗？(
)那
+
+
等于多少呢？
学生尝试计算,教师直接给出答案
。
师：只要按照这个分子是1,分母依次扩大到2 倍的规律写下去,不管有多少个分数相加,
我都能立马算出结果。
师：有的同学不相信是吗？咱们试试就知道。为了验证,我请我们班计算最快的同学跟
我一起算,看看结果是否相同。谁来出题？
学生出题,师生竞赛。
【学情预设】学生会按照以上算式中的规律,出以下题：
在学生出题后,教师都能立刻算出结果,并且是正确的,学生感到很惊奇。
师：知道我为什么算得那么快吗？因为我有一件神秘的法宝,你们想知道吗？
【设计意图】一方面,教师通过与学生比赛计算速度,且每次教师胜利,使学生产生好奇
心,再通过幽默的语言,吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣和求知欲；另一方面,为接下
来学习例题做好铺垫。
2.借助正方形探究计算方法。
教师边说边用课件出示一个正方形。
【教学提示】
也会有聪明的学
生能迅速发现规律，
很快得出结果。这个
时候教师就要转换角
色，问问学生为什么
算这么快。
◎教学笔记
师：让我们来把这个正方形变一变,聪明的同学们一定能看明白是怎么回事了。
（1）进行演示讲解。
①演示
+
。
师：用一个正方形表示“1”,先取它的一半就是正方形的（涂红）,再取剩下部分的一
半就是正方形的
（涂黄）。
师：想一想,正方形中表示
+
的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么关系
呢？（涂色部分等于“1”减去空白部分）空白部分占正方形的几分之几？（
）那么涂色部
分还可以怎么算呢？（1-
）也就是说
+
=1-
。
②继续演示
+
+
。
师：谁知道除了通分,还可以怎么算？
根据学生回答,板书：
+
+
=1-
。
③演示
+
+
+
。
【教学提示】
课件演示时，开
始慢一点，等学生理
解后可以加速。
◎教学笔记
师：那么计算
+
+
+
就可以得到什么？
+
+
+
=1-
（2）初步发现规律。
师：看到这儿,你发现什么规律了吗？
【学情预设】学生发现,从
开始,后面分数的分母依次是前一个分数分母的2 倍,把这
些分数加起来,和等于1 减去最后一个分数。
(3)总结规律。
师小结：按照这样的规律往下加,不管加到几分之一,只要用1 减去这个几分之一就可以
得到答案了。
师：这个法宝怎么样？谁来说说它好在哪里？你学会了吗？
(4)尝试练习。
课件出示习题。
【设计意图】将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算,转繁为简,化难为易,引导
学生探索数与图形的联系,让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。
3.知识提升,探索发现。
(1)感受极限思想。
课件出示教科书P105 例2。
师：刚才我们已经从
一直加到了
,如果我继续加,加到
,得数等于多少？
(
)再接着加,一直加到
,得数等于多少？(
)随着不断继续加,你
发现得数越来越大,无数个这样的数相加,和会是多少呢？这时候你心中有没有一个大胆的
猜想？
【学情预设】猜想：这样一直加下去,得数会不会就等于1 了？
师：想象一下,如果我们在刚才加的过程中在正方形上不断涂色,那空白部分的面积会
发生怎样的变化？涂色部分的面积呢？
【学情预设】空白部分的面积会越来越小,涂色部分的面积会越来越大。
师：一直往下加,和的得数越来越接近什么数？最终得数是1 吗？你有什么方法来验证？
【学情预设】学生提出用圆和线段来帮助验证,若没有学生提出,教师自己提出。
(2)利用线段图直观感受相加之和等于“1”。
师：教科书上有两幅图,我们一起来看看。（出示课件）
【教学提示】
学生尝试练习
课件呈现的算式，口
答就行。适时追问怎
么算的，促使学生运
用规律来计算。
◎教学笔记
师：你能看懂这两幅图的意思吗？请你想一想,然后告诉大家你的想法。
【学情预设】学生会推导出：这些分数不断加下去,总和就是1。
师：他们的想法对吗？
【学情预设】学生利用直观图,并结合算式,看出了
+
+
+
+
+
+…的值越来
越接近1。其实,当次数趋于无限时,这些分数的和就是1。
教师根据学生的回答进行板书。
【设计意图】利用数与形的结合,让学生直观体会极限的数学思想,并让学生经历猜想得
数等于“1”,到数形结合证明得数等于“1”的过程,激发学生的学习兴趣,培养学生探索新
知的精神。
4.迁移提升。
（1）交流感受。
师：对于这种借用图形来帮助我们解决问题的方法,你有什么感受？
【学情预设】“数”与“形”有着紧密的联系,在一定条件下可以相互转化。当用数形
结合的方法解决问题时,会发现许多难题的解决变得很简单。
（2）举一反三。
师：其实在以前的学习中,我们也常用到数形结合的数学方法帮助我们解题,你能想到
哪些例子吗？
【学情预设】学生可能有困难,教师举例：一年级加法,分数的认识,复杂的路程问题,线
段图等。（出示课件）
师：这些都是数形结合的方法。
【设计意图】让学生体会“数形结合”是数学学习中常用的方法。
三、巩固练习,综合应用
1.课件展示教科书P108“练习二十二”第4 题。
（1）学生小组合作,研讨解答。
【学情预设】本题渗透着比例思想,对于学生来说,有一定的难度,教师要适当提示。
（2）展示交流。
【教学提示】
“无限”的概念
非常抽象，学生不易
理解。演示时，引导学
生边观察，边想象。
【教学提示】
先让学生说说
以前用到的数形结合，
再课件呈现。如果学
生一下子说不出来，
给学生时间讨论一下。
【教学提示】
此题更多的是
数学思考，首先要让
学生自主发现问题中
的关键点，再让学生
交流，在交流过程中
感悟比例思想。
◎教学笔记
师：这道题跟我们以前学习的行程问题相同吗？需要知道速度和时间吗？
引导学生发现狗的速度是人的速度的2 倍,用比例的知识解答。
2.课件展示教科书P108 习二十二”第5 题。
（1）学生仔细读图,尝试解答。
（2）展示交流。
师：这几个图中哪个是描述妈妈的行程的？你是怎么知道的？
【学情预设】学生可能根据整幅图进行判断,也可能只根据其中的一段进行判断。
3.课件展示教科书P109 习二十二”第6 题。
（1）全班读题,学生独立思考,说出解题思路。
（2）根据学生情况，连线（课件动态演示）。
（3）结合连线图得出：小刚一共下了2 盘,分别和小林、小强下的。
【设计意图】让学生进一步体会数形结合的直观性和变难为易的特点。
4.课件展示教科书P109 习二十二”第7 题。
生独立在教科书上接着写，集体订正。
5.课件展示教科书P111“练习二十二”第8*题。
学生看图思考，师生交流。
师：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2吗？说说你是怎么知道的。
【学情预设】学生会说这个大正方形的面积有两种不同的算法,两种算法的结果是相等
的。
四、课堂小结
师：这节课你们有什么收获？
师小结：在解决数学问题时,常用数与形结合的方式来思考,这样既利用了形的直观,又
利用了数的细微。因此,数与形有着十分密切的联系。我们在今后解决数学问题时,要合理地
把数与形结合起来考虑。
▶板书设计
数与形（2）
+
+
+
+
+
+…=1
▶教学反思
本节课学生对于
+
+
+
+
+
+…这个算式的结果等于1 不好理解,学生一
直争论“它只是越来越接近1,结果离1 还是有那么一点点距离。”于是教师通过课件演示,
出示一个圆和一条线段,根据分数的意义表示出这些分数,使学生直观地看到最终的结果是
“1”,另外还有反推的方法。但这个结果是教师强加给学生的,还有些学生不是很理解。由此
也可以看出,小学生对于“极限”思想还是难以接受,还需要进一步渗透。
▶作业设计
见“状元成才路”系列丛书《创优作业100 分》对应课时作业。
如图,在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a>b),把剩下的部分拼成一
个梯形。分别计算出这两个图形阴影部分的面积,说一说a2-b2与(a +b)（a -b)大小关系。
参考答案
左图影部分面积为a2-b2 , 右图面积为
(b+b+a+a)×(a-b)÷2=(a+b)×(a-b)。因为右图是
由阴影部分拼成的,所以a2-b2=(a+b)(a-b)。
