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2025 年高考押题预测卷
高三数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式
【分析】首先解一元二次不等式求集合M，利用对数函数的性质求集合N，再结合交集概念求答案即可.
【详解】由题意得
，
，
所以
，
故选：D.
2．若
均为单位向量，且满足
，则向量
的夹角为
A．
B．
C．
D．
【解析】设向量
的夹角为
，
，
，
，
则
，
均为单位向量，
，解得
，解得
．
1
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故选：
．
3．若
是实系数方程
的一个根，则方程的另一个根为
A．
B．
C．
D．
【解析】依题意得
，
，
，即方程
，
易得方程的另一个根为
．
故选：
．
4．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对
两边平方整理即可得答案.
【详解】因为
，
两边平方得
，
所以
.
故选：B.
5．设
是数列
的前
项和，且
，
，则
A．
B．
C．
D．
【解析】
，
，
，
是以1 为首项，公差为2 的等差数列，
，
，
，
2
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，
．
故选：
．
6．函数
的定义域为
，且
，
.若对任意实数，
都有
，则
（ ）
A．
B．-1
C．0
D．1
【答案】D
【解析】将用
替换，
用替换，可得
，从而可得
，进而可得
，可求出函数的周期
，再令
，可求出
，由
即可求解.
【详解】将用
替换，
用替换，
由对任意实数，
都有
，
可得
，由
，
所以
，即
，
所以
，所以函数的周期
，
令
，则
，因为
，所以
，
所以
，故选：D
7．已知抛物线
，过点
作直线交
于两点
、
，分别过
、
作
的切线交于点
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【分析】利用导数求出B，C 点的切线方程，联立方程求出P 点的坐标即可.
【详解】
3
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设
，显然，直线l 的斜率是存在的， 设l 的方程为
，
联立
，解得
，
，并且
，
，
…①，
，
即B，C 点切线的斜率分别为
，切线方程分别为
，
，
即
…②，
…③；
联立②③，解得
，即
，由
得：
，
将①代入上式得：
，即
，
，
；
故选：B.
8．如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，
为线段
的中点，
分别为线段
和线段
上任意一点，则
的最小值为（ ）
4
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A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】利用线面垂直的性质定理可得
，又
可得
平面
，所以
.再根据三角形面积相等可得出
的表达式即可确定其最小值。
【详解】根据题意
平面
可知，
，
又
可得
；
由
可知，
，所以可得
平面
，即
；
在
中，
，
，
.又
，即
。所以
，由
得。
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
即
时，此时
分别为线段
和线段
的中点，
取得最小值
；
综上可知，
的最小值为
.故选：C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知数据
的平均数为
，中位数为
，方差为，极差为
，由这数据得到新数据
，其中
，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（ ）
A．平均数是
B．中位数是
C．方差是
D．极差是
【答案】BC
【分析】A 选项，根据平均数定义计算出
的平均数为
；B 选项，根据中位数的定义得到
的中位数为
；C 选项，利用方差的定义得到C 正确；D 选项，利用极差的定义得到
的极差为
.
【详解】A 选项，由题意得
，
则
，
5
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则
的平均数是
，A 错误；
B 选项，
从小到大排列后为
，
取第5 个和第6 个数的平均数作为中位数，即
，
由于
，故
从小到大排列为
，
取第5 个和第6 个数的平均数作为中位数，即
，B 正确；
C 选项，由题意得
，
则
，故方差是
，C 正确；
D 选项，
从小到大排列后为
，
故
，
其中
从小到大排列后为
，
则
，故极差是
，D 错误.
故选：BC
10．已知函数
，其中
，下列命题中正确的是（ ）
A．若
，函数
的图象可由函数
的图象向左平移
个单位长度得到
B．若
，曲线
与曲线
在区间
上的交点个数为6
C．若
在
上有且仅有5 个零点，则
的取值范围是
D．若
在
上有且仅有5 个零点，则
在
单调递增
【答案】ABD
【分析】对于A，由三角函数图象变换规律分析判断，对于B，作出两函数在
上的图象，观察图象
判断，对于C，由
求出
，再结合函数有5 个零点，列不等式组可求出
的取值范围进行判
6
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断，对于D，由
求出
的范围，再结合选项C 中
的取值范围分析判断即可.
【详解】对于A，当
时，
，
将
的图象向左平移
个单位长度，得
，
即得到y = f (x)的图象，所以A 正确，
对于B，当
时，
，周期
，
在
上是3 个周期，
先作出
在
上的图象，然后向右平移两次，每次平移一个周期可得
在
上的图象，
再在同一坐标系中作出
在
的图象，
由图可知曲线y = f (x)与曲线
在区间
上的交点个数为6，所以B 正确，
对于C，当
时，
，
若
在
上有且仅有5 个零点，则
，
解得
，所以C 错误，
对于D，当
时，
，
由选项C 可知
，则
，
所以
，
所以
，
所以
在
单调递增，所以D 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：此题考查正弦函数的图象与性质，考查三角函数图象变换规律，考查函数的零点，
7
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解题的关键是正确运用正弦函数的图象与性质，考查数形结合的思想，属于较难题.
11．已知
分别是双曲线
的左、右焦点，经过点
且倾斜角为钝角的直线与
的两条渐
近线分别交于
两点，点
为
上第二象限内一点，则（ ）
A．若双曲线
与
有相同的渐近线，且
的焦距为8，则
的方程为
B．若
，则
的最小值是
C．若
内切圆的半径为1，则点
的坐标为
D．若线段
的中垂线过点
，则直线的斜率为
【答案】BCD
【分析】根据共渐近线设双曲线方程，结合双曲线得性质即可得双曲线方程，从而判断A；根据双曲线的
定义转换可得
的最小值，从而判断B；设内切圆圆心为，直线
与圆的切点分别
为
，根据双曲线的定义结合与三角形内切圆的几何性质，即可得点
的坐标，从而判断C；根据线
段垂直平分线结合点差法确定直线与垂线斜率关系，并检验直线是否符合即可确定直线斜率，从而判断D.
【详解】对于A，依题意设双曲线
（
且
），即
，
又
的焦距为8，所以
，
，所以
的方程为
或
，故A 错误；
对于B，因为
，所以
，
，当且仅当
三点共线时等号成立，故B 正确；
对于C，设内切圆圆心为，直线
与圆的切点分别为
．
8
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则
，
，
，所以
，
，解得
，
，
连接
，则内切圆半径
，
，
，
，
所以
轴，点
在第二象限，坐标为(−2,3)，故C 正确；
对于D，设
的中点为
，两渐近线可写成
，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则
，且
，作差可得
，
整理得
，即
（*），
在
中，
，则
，
故
，即
，
将此式代入（*）得，
，解得
，由直线的倾斜角为钝角知
，则
，故D
正确．
故选：BCD．
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．已知随机变量
服从
，若
，则
.
【答案】
/
【知识点】指定区间的概率
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【分析】根据正态分布性质求概率.
【详解】因为
,及正态分布的对称性可得
.
故答案为：
.
13．在数列
中，
，若对任意的
恒成立，则实数的最小值
.
【答案】
【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题和数列的
单调性的应用求出结果．
【详解】由
整理得
，即
，又
，
故数列
是以4 为首项，4 为公比的等比数列，可得
,
不等式
，可化为
，
令
，当
时，
；
当
时，
，
，
故当
时，
单调递减，故
，
综上，
，
所以
，故最小值为
．
故答案为：
14．若函数
有两个不同的零点，则实数
的取值范围是 ．
【解析】函数
，令
，
则
，显然函数
在
上单调递增，而
，
由
，得
，于是
，即
，令
，
依题意，函数
有两个不同零点，即方程
有两个不等的正根，
亦即直线
与函数
的图象有两个公共点，
10
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，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
因此
，且
（1）
，当
时，
恒成立，
从而当
时，直线
与函数
的图象有两个公共点，
所以实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，
为
的面积，且
．
（1）求
的值；
（2）求
的取值范围．
【解析】（1）
，
，
，
，
，
又
，
，
（舍，
．
（2）
，
，
11
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，
为锐角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
，令
，
单调递减，
单调递增，
当
，
，当
，
16．（15 分）已知函数
，
，
．
（1）求曲线
过点
的切线方程；
（2）若存在
，使得对任意
，都有
成立，求实数
的取值范围．
【解析】（1）设：切点坐标为
，
，对函数求导得：
，
所以切线斜率为：
．又因为切线过点
，
所以
．解得
，
所以切线方程为：
．
（2）令
，
由题设得：存在
，使得对任意
，
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都有
成立，等价于
，
对函数
求导得：
，
所以函数
在区间
，
上单调递增，在区间
，
上单调递减，
所以函数
在
处取得最大值，最大值为
，
对函数
求导得：
，
①当
时，令在
处取得最大值
得，
，
所以函数
在区间
上单调递增，在
单调递减，
所以函数
在
处取得最大值，最大值为
（1）
，
所以
，符合题意．
②
时，令
，即
，解得：
，
当
，即
时，函数
在
上单调递增，此时函数无最大值，不符合题意；
③当
，即
时，函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，此时函数无最大值，不符合题意；
④当
，即
时，函数
在
上单调递增．
在
上单调递减．此时函数无最大值，不符合题意；
⑤当
，即
时．函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，此时函数在
处取得最大值，最大值为
（1）
，
所以
，即
．
综上所述，实数
的取值范围是：
．
17．（15 分）已知椭圆E：
的离心率为
，上、下顶点分别为A，B，右顶点为C，
且
的面积为6．
(1)求E 的方程；
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(2)若点P 为E 上异于顶点的一点，直线是AP 与BC 交于点M，直线CP 交y 轴于点N，试判断直线MN 是
否过定点?若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线MN 过定点
．
【分析】（1）根据已知条件建立方程组，解出即可;
（2）设出直线AP 的方程为
，与直线
,椭圆联立，分别表示出M，P，N 的坐标，进而表示出
直线
，求得定点.
【详解】（1）由题意知
解得
，
，
，
所以E 的方程为
．
（2）显然直线AP 的斜率存在，设直线AP 的斜率为k，则直线AP 的方程为
，
又直线BC 的方程为
，由
，解得
，
，
即
．
由
得
，解得
或
，
当
时，
，即
，
所以直线CP 的斜率
，
所以直线CP 的方程为
，令
，得
，即
．
所以直线MN 的斜率
，
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所以直线MN 的方程为
，
即
，所以直线MN 过定点
．
18．（17 分）如图，四棱锥P-ABCD 中，
平面
.
(1)若
，求证：平面
平面PCD；
(2)若AD=DC，PB 中点为
，试问在棱CD 上是否存在点
，使
，若存在，指出点
位置，若不
存在说明理由；
(3)若
与平面PBC 成角大小
，求DC 边长.
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用勾股定理以及线面垂直及面面垂直的判定定理证明可得结论；
（2）利用空间向量的位置关系证明，建立空间直角坐标系即可得出结论；
（3）根据线面角的向量求法得出表达式，解方程即可得出DC 边长.
【详解】（1）因为
平面
平面ABCD，
所以
，
又
，所以
又
平面PAD
所以
平面PAD，
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又
平面PCD，
所以平面
平面PCD.
（2）因为
平面
，所以AP，AB，AC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系
设
，则
，
则
设
，
，
假设存在
满足
，因为
等价于
，
解得
，所以不存在
（3）因为
，所以
，
，
设
，其中
，又
，
，
设平面PBC 法向量
，依题意
，即
令
则
，所以
，
因为PD 与平面PBC 成角大小
，所以
或
，
即
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又
，此方程组无解
综上可得
.
19．（17 分）已知随机变量
的取值为不大于
的非负整数值，它的分布列为：
0
1
2
n
其中
（
）满足：
，且
．定义由
生成的函数
，令
．
（I）若由
生成的函数
，求
的值；
（II）求证：随机变量
的数学期望
，
的方差
；
（
）
（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量
表示两次掷出的点数之和，此时由
生成的函数记为
，求
的值．
【答案】(1)
;(2)详见解析;(3)441.
【知识点】方差的性质、离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、利用随机变量分布
列的性质解题、写出简单离散型随机变量分布列
【详解】试题分析：本题为新定义信息题，根据
知：
，而
，则
；根据数学期望公式写出
，由于
，求出
的表达式，根据方差公式写出
并推到证明；第三步写出的取值
2，3，4.，……12，求出相应的概率，写出函数
并求出
的值.
试题解析：（I）
．
（II）由于
，
，
所以
． 由
的方差定义可知
17
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由于
，所以有
，这样
，所以有
．
（III）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量
的生成的函数为：
．
投掷骰子两次次对应的生成函数为:
．
所以
．
方法2：
的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．
则
的分布列为
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
．
则
．
18
