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考点48 带电粒子在复合场中的运动
1. 3 年真题考点分布
题型
选择题、解答题
高考考点
1. 质谱仪的原理及应用；回旋加速器的工作原理及应用；速度选择器的工作
原因及应用；磁流体发电机的工作原理及应用；电磁流量计的工作原理及应
用；带电粒子在电场和磁场中的偏转问题；带电粒子在组合场中的应用。
新高考
2023
广东卷5 题、山东卷17 题、辽宁卷、海南卷13 题、海南卷2 题、江苏卷16
题、山西卷5 题、湖南卷6 题、全国乙卷18 题、浙江春招卷22 题
2022
天津卷12 题、重庆卷5 题、北京卷20 题、江苏卷13 题、海南卷6 题、浙江
卷15 题、浙江卷22 题、广东卷8 题、湖南卷13 题、山东卷17 题、全国乙
卷17 题、
2021
重庆卷14 题、福建卷2 题、江苏卷15 题、天津卷13 题、北京卷18 题、山
东卷17 题、浙江卷22 题、广东卷14 题、全国甲卷25 题、河北卷14 题、河
北卷5 题、浙江卷22 题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】近3 年新高考卷对于本节内容考查共计33 次，主要考查：
1. 速度选择器的工作原理及应用；
2. 回旋加速器的工作原理及应用；
3. 磁流体发电机的工作原理及应用；
4. 霍尔元件的工作原理及应用；
5. 带电粒子在电场和磁场中的偏转问题；
6. 带电粒子在组合场中的应用；
【备考策略】理解并掌握速度选择器、回旋加速器、磁流体发电机、地磁流量计的工作原理；掌握磁场在
电场和磁场中的偏转的异同点，会解决带电粒子在组合场中应用问题。
【命题预测】本节内容难度较大，一般都以压轴题的形式出现在选择或解答题中，考察方式灵活多变，更
多的会科技类题目产生联系，2024 年考生必须引起重视。
1
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考法
1
质谱仪
1．作用
测量带电粒子质量和分离同位素的仪器．
2．原理(如图所示)
2
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(1)加速电场：qU＝mv2（静止开始加速）
(2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r；（做圆周运动）
由以上两式可得r＝ ，m＝，＝.
【典例1】（2021·浙江·统考高考真题）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是
离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比
荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强
磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为
E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两
端中心位置M 和N 处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L 的正方体，其偏转
系统的底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶
圆上的O 点（即图中坐标原点，x 轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上
的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α 很小时，有
，
。求：
(1)离子通过速度选择器后的速度大小v 和磁分析器选择出来离子的比荷；
(2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。
3
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【答案】(1)
，
；(2)（
，0）；(3)（0，
）；(4)见解析
【详解】(1)通过速度选择器离子的速度
从磁分析器中心孔N 射出离子的运动半径为，
由
得，
(2)经过电场后，离子在x 方向偏转的距离
，
离开电场后，离子在x 方向偏移的距离，
，
，位置坐标为(
，0)
(3)离子进入磁场后做圆周运动半径
，
经过磁场后，离子在y 方向偏转距离
离开磁场后，离子在y 方向偏移距离
则，
，位置坐标为(0，
)
4
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(4)注入晶圆的位置坐标为(
，
),电场引起的速度增量对y 方向的运动不产生影响。
(1)质谱仪的本质是粒子先在电场中加速,再在磁场中偏转,最后利用感光底片记录探究粒子的位置.
(2)质谱仪是计算带电粒子的质量和分析同位素的重要工具.
(3)回旋加速器的工作条件是粒子做圆周运动的周期与金属外壳所加交流电的周期相等,粒子的最大动能由匀
强磁场的磁感应强度和 D 形盒半径决定
(4)质谱仪和回旋加速器都是带电粒子在组合场中的运动.
【变式1】（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图所示为质谱仪的原理图，一束粒子以速度v 沿
直线穿过相互垂直的匀强电场（电场强度为E）和匀强磁场（磁感应强度为
）的重叠区域，然后通过狭
缝
垂直进入另一匀强磁场（磁感应强度为
），最后打在照相底片上的三个不同位置，粒子的重力可忽
略不计，则下列说法正确的是（ ）
A．该束粒子带负电
B．
板带负电
C．粒子的速度v 满足关系式
5
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D．在
的匀强磁场中，运动半径越大的粒子，荷质比
越小
【答案】D
【详解】A．根据粒子在右侧磁场中的运动，利用左手定则，可判断出该束粒子带正电，故A 错误；
B．根据粒子在左侧运动可知，洛伦兹力方向向上，则电场力方向向下，P1板带正电，故B 错误；
C．由粒子做直线运动，根据受力平衡可得，qvB1=qE
解得粒子的速度为
故C 错误；
D．在磁感应强度为B2的磁场中，由洛伦兹力提供向心力得，
，可得
运动半径越大的粒子，荷质比
越小，故D 正确。
故选D。
【变式2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）如图甲所示为质谱仪工作的原理图，已知质量为m、电荷量为
q 的粒子，从容器A 下方的小孔飘入电势差为U 的加速电场，其初速度几乎为0，经电场加速后，由小孔S
沿着与磁场垂直的方向，进入磁感应强度为B 的匀强磁场中。粒子在S 点的速度与磁场边界垂直，最后打
在照相底片上的P 点，且
。忽略粒子的重力，通过测量得到x 与
的关系如图乙所示，已知斜率
为k=0.5，匀强磁场的磁感应强度B 为
，
，则下列说法中正确的是（ ）
A．该粒子带负电
B．该粒子比荷为
C．该粒子在磁场中运动的时间约为
D．若电压U 不变，打到Q 点的粒子比荷大于打到P 点的粒子
【答案】C
【详解】A．粒子进入磁场后向左偏转，根据左手定则可知，该粒子带正电，故A 错误；
B．粒子经过加速电场过程，根据动能定理可得
解得，
6
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粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力可得
，可得
则有
可知
图像的斜率为
可得粒子的比荷为
，故B 错误；
C．该粒子在磁场中运动的时间为
，故C 正确；
D．根据
，若电压
不变，可知打到Q 点的粒子比荷小于打到P 点的粒子比荷，故D 错
误。
故选C。
考法
2 ：
回旋加速器
1．构造：
如图所示，D1、D2是半圆形金属盒，D 形盒处于匀强磁场中，D 形盒的缝隙处接交流电源．
2．原理：
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D 形盒缝隙，粒子被加速一次．
3．最大动能：
由qvmB＝、Ekm＝mvm
2得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B 和盒半径R 决定，与加速电压无关．
4．总时间：
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总
时间t＝T＝·＝.
【典例2】（2023·广东·统考高考真题）某小型医用回旋加速器，最大回旋半径为
，磁感应强度大小
为
，质子加速后获得的最大动能为
．根据给出的数据，可计算质子经该回旋加速器加速后
的最大速率约为（忽略相对论效应，
）（ ）
A．
B．
C．
D．
7
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【答案】C
【详解】洛伦兹力提供向心力有
质子加速后获得的最大动能为
解得最大速率约为
故选C。
【变式1】（2023·全国·校联考模拟预测）回旋加速器的工作原理如图1 所示，
和
是两个相同的中空
半圆金属盒，金属盒的半径为
，它们之间接如图2 所示的交变电源，图中
已知，两个
形盒处于
与盒面垂直的匀强磁场中。将一质子从
金属盒的圆心处由静止释放，质子
经过加速后最终从D 形
盒的边缘射出。已知质子的质量为
，电荷量为
，不计电场中的加速时间，且不考虑相对论效应。下列
说法正确的是（ ）
A．回旋加速器中所加磁场的磁感应强度
B．质子从
形盒的边缘射出时的速度为
C．在其他条件不变的情况下，仅增大
，可以增大质子从边缘射出的速度
D．在所接交变电源不变的情况下，若用该装置加速
（氚核），需要增大所加磁场的磁感应强度
【答案】D
【详解】A．带电粒子在磁场中运动的周期与所加交变电源的周期
相同，所以满足
可得，
，选项A 错误；
B．粒子从
形盒边缘射出时有
，射出速度可表示为
，选项B 错误；
8
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C．粒子从D 形盒射出时，
，可得
，仅增大加速电压
，质子射出速度大小不变，
选项C 错误；
D．当加速氚核时，其在磁场中运动的周期为
，其周期应该与
相同，又知道
可知
，需要增大所加磁场的磁感应强度，选项D 正确。
故选D。
【变式2】（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）2022 年12 月28 日我国中核集团全面
完成了230MeV 超导回旋加速器自主研制的任务，标志着我国已全面掌握小型化超导回旋加速器的核心技
术，进入国际先进行列。如图所示，图甲为该回旋加速器的照片，图乙为回旋加速器工作原理示意图，置
于真空中的D 形金属盒半径为R，磁感应强度为B 的匀强磁场与盒面垂直，交流加速电压为U。圆心A 处
粒子源产生初速度为零，质量为m，电荷量为q 的质子，质子在加速器中被加速。忽略质子穿过两金属盒
间狭缝的时间，忽略相对论效应和重力的影响，下列说法正确的是（ ）
A．保持B、R、U 及交流电频率均不变，该装置也可用于加速氘核和氚核
B．若增大加速电压U，质子从D 型盒出口射出的动能增大
C．质子从D 型盒出口射出时，加速次数
D．质子第n 次加速后和第
次加速后的运动半径之比为
【答案】CD
【详解】A．此加速器加速粒子时的周期与粒子在磁场中的运动周期相同为
氘核和氚核的比荷与质子的比荷不同，即氘核和氚核与质子在磁场中运动的周期不同，所以，保持B、R、
U 及交流电频率均不变，该装置不能用于加速氘核和氚核，故A 错误；
B．设质子从D 型盒出口射出的速度为vm，则有
，
则质子从D 型盒出口射出的动能
，与加速电压无关，故B 错误；
C．设质子从D 型盒出口射出时加速了n 次，则由动能定理
，得
，故C 正
9
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确；
D．由动能定理
，
得第n 次加速后和第
次加速后的速度分别为
，
再由质子在磁场中做圆周运动洛伦兹力提供向心力
，
同理可得，质子第n 次加速后和第
次加速后的运动半径分别为
，
所以
，故D 正确。
故选CD。
考法
3 速度选择器、磁流体发电机和电磁流量计
1 、
速度选择器
(1)平行板中电场强度E 和磁感应强度B 互相垂直．
(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qvB＝qE，即v＝.
(3)速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量．
(4)速度选择器具有单向性．
【典例3】（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考三模）如图所示，速度选择器的两平行导体板之间有方
向互相垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一电荷量为+q 的粒子以速度v 从S 点进入速
度选择器后，恰能沿图中虚线通过。不计粒子重力，下列说法可能正确的是（ ）
A．电荷量为-q 的粒子以速度v 从S 点进入后将向下偏转
B．电荷量为+2q 的粒子以速度v 从S 点进入后将做类平抛运动
C．电荷量为+q 的粒子以大于v 的速度从S 点进入后动能将逐渐减小
D．电荷量为-q 的粒子以大于v 的速度从S 点进入后动能将逐渐增大
【答案】C
10
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【详解】A．电荷量为＋q 的粒子以速度v 进入后受力平衡，即有
由左手定则可知，洛伦兹力竖直向上，电场力竖直向下，即电场强度的方向竖直向下，且有
当电荷量为-q 的粒子以速度v 从S 点进入后，由左手定则可知，粒子所受的洛伦兹力竖直向下，电场力竖
直向上，且有
，则粒子受力平衡，将沿着图中虚线通过，故A 错误；，
B．电荷量为＋2q 的粒子以速度v 从S 点进入后，向下的电场力为
，向上的洛伦兹力为
由于
，所以粒子受力平衡，将沿着图中虚线通过，故B 错误；
C．电荷量为＋q 的粒子以大于v 的速度从S 点进入后，向下的电场力为
向上的洛伦兹力为
，由于
，所以
，即粒子刚从S 点进入后所受合力竖直向上，粒子
的运动轨迹将向上弯曲，此过程中电场力对粒子做负功，粒子的动能将逐渐减小，故C 正确；
D．电荷量为-q 的粒子以大于v 的速度从S 点进入后，向上的电场力为
向下的洛伦兹力为
由于
，所以
，即粒子刚从S 点进入后所受合力竖直向下，粒子的运动轨迹将向下弯曲，此过
程中电场力对粒子做负功，粒子的动能将逐渐减小，故D 错误。
故选C。
【变式1】（多选）（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图所示，在竖直放置的平行板电容
器极板间有电场强度大小为
、方向竖直向下的匀强电场和磁感应强度为
、方向水平向里的匀强磁场。
左右两挡板中间分别开有小孔
、
，在其右侧有一边长为
的正三角形区域磁场，磁感应强度为
，磁
场边界
中点
与小孔
、
正对。现有大量的带电荷量均为
而质量和速率均可能不同的粒子从小孔
水平射入电容器，其中速率为
的粒子刚好能沿直线通过小孔
、
。粒子的重力及各粒子间的相互作
用均可忽略不计，下列说法中正确的是（ ）
A．
一定等于
B．在电容器极板中向上偏转的粒子的速度一定满足
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C．速率为
的粒子中，满足质量
的粒子都能从
边射出
D．速率为
的粒子中，能打在
边的所有粒子在磁场
中运动的时间一定都相同
【答案】AB
【详解】A．当带正电粒子向右进入复合场时，受到竖直向下的电场力和向上的洛伦兹力，速率为
的粒
子做匀速直线运动，即
解得
，故A 正确；
B．粒子向上偏转时，受到的向上的洛伦兹力大于向下的电场力，即
则
，故B 正确；
C．设质量为
的粒子的轨迹刚好与
边相切，如图所示
由几何关系得，
，而
解得
，所以质量小于
的粒子都会从
边射出，而
故C 错误；
D．质量、速率不同的粒子在磁场中运动的周期可能不同，所以能打在
边的所有粒子均运动半个周期，
在磁场
中运动的时间可能不同，故D 错误。
故选AB。
【变式2】（2023·广东广州·执信中学校考三模）如图所示，两竖直虚线MN 和
间的距离
，
P、Q 点在直线
上。一质量为m、电荷量为q 的粒子（不计重力）以某一速度从A 点垂直于MN 射入：
若两竖直虚线间的区域内只存在场强大小为E、沿竖直方向的匀强电场，则该粒子将从P 点离开场区，射
出方向与AC 的夹角叫做电偏转角，记为
；若两竖直虚线间的区域内只存在磁感应强度大小为B、方向
垂直于纸面的匀强磁场，则该粒子将从Q 点离开场区，射出方向与AC 的夹角叫做磁偏转角，记为
。
（1）若两竖直虚线间的区域内同时存在上述电场和磁场，且该粒子沿直线运动从C 点离开场区，粒子从
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A 点入射的速度是多大？
（2）在（1）问的速度下，只在电场中的电偏转角
的正切值与只在磁场中的磁偏转角
的正弦的比值。
【答案】（1）
；（2）1
【详解】（1）由于若两竖直虚线间的区域内同时存在上述电场和磁场，且该粒子沿直线运动从C 点离开
场区，可知此时粒子做匀速直线运动，则有
，解得
（2）做出粒子运动轨迹如图所示
粒子在电场中做类平抛运动，则有
，
，
，解得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹关系有
轨迹洛伦兹力提供向心力有
解得
，则有
角度
2 ：
磁流体发电机
13
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(1)原理：等离子气体喷入磁场，正负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在A、B 板上，产生电势差，
它可以把离子的动能通过磁场转化为电能．
(2)电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中的B 是发电机的正极．
(3)电源电动势U：设A、B 平行金属板的面积为S，两极板间的距离为l，磁场磁感应强度为B，等离子气
体的电阻率为ρ，喷入气体的速度为v，板外电阻为R.当正、负离子所受静电力和洛伦兹力平衡时，两极板
间达到的最大电势差为U(即电源电动势)，则q＝qvB，即U＝Blv.
(4)电源内阻：r＝ρ.
(5)回路电流：I＝.
角度
3 ：
电磁流量计
(1)流量(Q)的定义：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积．
(2)公式：Q＝Sv；S 为导管的截面积，v 是导电液体的流速．
(3)导电液体的流速(v)的计算如图所示，一圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体
向右流动．导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b 间出现电势差，当自
由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，a、b 间的电势差(U)达到最大，由q＝qvB，可得v＝.
(4)流量的表达式：Q＝Sv＝·＝.
(5)电势高低的判断：根据左手定则可得φa>φb.
【典例4】（2023·广东佛山·统考模拟预测）法拉第曾提出一种利用河流发电的设想，并进行了实验研究。
实验装置示意图如图所示，两块面积均为的矩形平行金属板正对地浸在河水中，金属板间距为
。水流
速度处处相同大小为，方向水平向左，金属板面与水流方向平行。地磁场磁感应强度竖直向下的分量为
，水的电阻率为
，水面上方有一阻值为
的电阻通过绝缘导线和开关
连接到两金属板上。忽略边缘
效应，则下列说法正确的是（ ）
A．电阻
上的电流方向从里向外
B．河水流速减小，两金属板间的电压增大
C．该发电装置的电动势大小为
D．流过电阻
的电流大小为
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【答案】C
【详解】A．根据题意，由左手定则可知，河水中的正离子向外面金属板偏转，外金属板为正极，负离子向里面金属板偏转，
里金属板为负极，则电阻
上的电流方向从外向里，故A 错误；
C．设稳定时产生的感应电动势为
，两板间有一带电荷量为
的离子匀速运动受力平衡，根据平衡条件可得
解得
，故C 正确；
B．设极板间等效电阻为
，由闭合回路欧姆定律可得，两金属板间电压为
，可知，河水流速减小，
两金属板间的电压减小，故B 错误；
D．根据题意，由电阻定律可得，极板间等效电阻为
由闭合回路欧姆定律可得，流过电阻
的电流大小为
，故D 错误。
故选C。
【变式1】（2023·河北·校联考三模）如图为磁流体发电机的示意图，间距为d 的平行金属板A、B 之间的
磁场可看成匀强磁场，磁感应强度大小为B，板A、B 和电阻R 连接，将一束等离子体以速度v 沿垂直于磁
场的方向喷入磁场，已知金属板A、B 的正对面积为S，A、B 及其板间的等离子体的等效电阻率为
，下
列说法正确的是（ ）
A．金属板A 为正极
B．电阻R 两端的电压为
C．电阻R 两端的电压为
D．流过电阻R 的电流大小为
【答案】B
【详解】A．根据左手定则可得，正离子向金属板B，金属板B 为正极，金属板A 为负极。故A 错误；
D．根据稳定时，等离子体满足
该发电机的电动势为
流过电阻
的电流大小为
，故D 错误；
15
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BC．电阻
两端电压为
，故B 正确；C 错误。
故选B。
【变式2】（2023·浙江金华·统考三模）磁流体发电机发电通道是一个长、高、宽分别为a、h、b 的长方体
空腔。上下两个侧面是电阻不计的电极，电极与固定在水平桌面上间距为L 电阻不计的平行金属导轨相连。
发电通道内的匀强磁场方向垂直与a、h 组成的平面，磁感应强度大小为B。电阻率为ρ 的等离子体以速率
v 水平向右通过发电通道。导轨间匀强磁场与导轨平面成θ 角右斜向上，磁感应强度大小也为B，质量为
m，电阻为R 的金属棒垂直于导轨放置，与导轨道动摩擦因数为μ。棒的中点用条水平垂直于棒的细线通过
光滑定滑轮与重物相连。当S 闭合后，金属棒恰好处于静止状态，则重物的质量可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】等离子体中的正电荷受向上的洛伦兹力偏向上极板，可知上极板为正极，电流流过导体棒，受安
培力斜向左上方，若导体棒恰不向左运动，则摩擦力向右，对导体棒受力平衡
其中
，
，
，解得
同理若导体棒恰不向右运动，则摩擦力向左对导体棒受力平衡
其中
，
，
，解得
故选C。
考法
4 “磁偏转”和“电偏转”的比较
16
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角度
1 ：
先电偏转再磁偏转
【典例5】（2023·山东·统考高考真题）如图所示，在
，
的区域中，存在沿y 轴正方向、
场强大小为E 的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q 的
带正电粒子从OP 中点A 进入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进入电场，求磁场的磁
感应强度B 的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A 点沿y 轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P 点
第二次进入电场，在电场的作用下从Q 点离开。
（i）求改变后电场强度
的大小和粒子的初速度
；
（ii）通过计算判断粒子能否从P 点第三次进入电场。
【答案】（1）
；（2）（i）
，
；（ii）不会
17
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【详解】（1）由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进入电场，轨迹如图
根据几何关系可知
联立可得
（2）（i）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图
在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知
解得
所以有
，
洛伦兹力提供向心力
18
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带电粒子从A 点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有
再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x 方向有
沿y 方向上有
其中根据牛顿第二定律有
联立以上各式解得
（ii）粒子从P 到Q 根据动能定理有
可得从Q 射出时的速度为
此时粒子在磁场中的半径
根据其几何关系可知对应的圆心坐标为
，
而圆心与P 的距离为
故不会再从P 点进入电场。
19
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【变式】（2023·江苏扬州·扬州市新华中学校考一模）如图所示，第一象限内存在垂直于纸面向里的匀强
磁场；第四象限内存在沿
轴的匀强电场，场强大小为
。
时刻，粒子从P 点以速度v0平行
轴射入电场，第1 次通过x 轴从Q 点进入磁场。已知P 点坐标为（0，
），粒子质量为m、电荷量为
+q，重力不计。
（1）求粒子经过Q 点的速度v；
（2）欲使粒子不从y 轴射出磁场，求磁感应强度的最小值Bm；
（3）若磁感应强度
，求粒子第5 次通过x 轴的位置x 和时间t。
【答案】（1）
，与
轴正方向的夹角为
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）解析：粒子从P 到Q 做类平抛运动，轨迹如图所示，根据动能定理
解得
根据几何关系
，解得
（2）Q 点到O 点的距离，
粒子进入磁场做匀速圆周运动，轨道半径为R，根据牛顿第二定律，
欲使粒子不从y 轴射出磁场，临近状态如图所示
20
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根据几何关系，
，解得
，解得
（3）粒子进入磁场做匀速圆周运动，轨迹为
圆周，轨道半径
返回电场后做类斜抛运动，运动轨迹如图所示
第5 次通过x 轴时，
粒子在电场中的运动时间，
粒子在磁场中的运动时间，
，解得，
角度
2 ：
先磁偏转再电偏转
【典例6】（2021·山东·高考真题）某离子实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x 轴
垂直交于坐标原点O，其内充满垂直于
平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
；Ⅱ区宽度为L，
左边界与x 轴垂直交于
点，右边界与x 轴垂直交于
点，其内充满沿y 轴负方向的匀强电场。测试板垂
直x 轴置于Ⅱ区右边界，其中心C 与
点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m 的正离子，加速
后沿x 轴正方向过O 点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与
x 轴正方向的夹角为
。忽略离子间的相互作用，不计重力。
（1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；
（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；
（3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B（数值未知）方向相反
且平行y 轴的匀强磁场，如图乙所示。为使离子的运动轨迹与测试板相切于C 点，需沿x 轴移动测试板，
求移动后C 到
的距离S。
21
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设离子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得
①
根据几何关系得
②
联立①②式得，
（2）离子在Ⅱ区内只受电场力，x 方向做匀速直线运动，y 方向做匀变速直线运动，设从进入电场到击中
测试板中心C 的时间为t，y 方向的位移为
，加速度大小为a，由牛顿第二定律得
由运动的合成与分解得
，
，
联立得
（3）Ⅱ区内填充磁场后，离子在垂直y 轴的方向做线速度大小为vcosθ 的匀速圆周运动，如图所示。设左
侧部分的圆心角为
，圆周运动半径为
，运动轨迹长度为
，由几何关系得
，
由于在y 轴方向的运动不变，离子的运动轨迹与测试板相切于C 点，则离子在Ⅱ区内的运动时间不变，故
有
C 到
的距离
联立得
22
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【变式】（2023·河北唐山·开滦第一中学校考模拟预测）如图所示，xOy 坐标系的第一象限，一等腰三角形
OAC，底角为53°，底边长为14L，内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在OC 边界的左
侧有与y 轴平行的匀强电场，D 是底边OA 的中点。质量为m，电荷量为q 的带正电的粒子以一定的初速度，
从OA 边上的D 点沿y 轴正方向垂直射入磁场，恰好从OC 边上某点沿着与x 轴平行的方向射入匀强电场
（不计粒子的重力），求：
（1）粒子的速度大小；
（2）粒子离开磁场后，经过x 轴上N 点（图中没有标出），已知NO=5L，求匀强电场的电场强度；
（3）求粒子从D 点到达N 点所经历的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在磁场中匀速圆周运动的轨迹如图所示，粒子做圆周运动的圆心为G，根据几何关系有
GD=FG=R，
则
，解得，R=4L
根据洛伦兹力提供向心力有
，解得
（2）粒子在电场中的；类平抛运动轨迹如图所示，
23
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粒子在垂直电场线方向做匀速直线运动，位移为：x=GN=8L
沿电场线方向做匀加速直线运动，位移为：y=FG=4L
根据x=vt，
，
解得
（3）设粒子在磁场中运动的时间为t₁，在电场中运动的时间为t₂，
带电粒子在磁场中运动的周期为
联立得
，x=GN=8L=vt₂
解得：
，所以时间
考法
5 带电粒子在组合场中的应用
1. 磁场、重力场并存
（1）若重力和洛伦兹力平衡,则带电体做速直线运动.
（2）若重力和洛伦兹力不平衡,则带电体将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功.故机械能守恒.
如速度选择器、磁流体发
2. 电场磁场并存(不计重力)
（1）若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动，
（2）若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体做复杂的曲线运动，可用动能定理求解.
3.电场、磁场、重力场并存
（1）若三力平衡,则带电体做匀速直线运动；
（2）若重力与电场力平衡,v⊥B,则带电体做匀速圆周运动；
（3）若合力不为0，则带电体可能做复杂的曲线运动，可用能量守恒定律定理求解.
24
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【典例7】（2023·江苏·统考高考真题）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy 平面内存在
竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e 的电子从
O 点沿x 轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动
轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
（1）求电场强度的大小E；
（2）若电子入射速度为
，求运动到速度为
时位置的纵坐标y1；
（3）若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标
位置的电子数N 占总电子数
N0的百分比。
【答案】（1）v0B；（2）
；（3）90%
【详解】（1）由题知，入射速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动则有Ee = ev0B，解得，E = v0B
（2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且
由于电子入射速度为
，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有
，解得
（3）若电子以v 入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有
由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有F 合 = evmB－eE
在最低点有，F 合 = eE－evB
联立有
，
要让电子达纵坐标
位置，即，y ≥ y2
解得
则若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，能到达纵坐标
位置的电子数N 占总电子数N0的
90%。
25
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【变式1】（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考三模）整个空间中存在匀强电场，虚线右方区域同时存在
着宽度为L、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面向里。在P 点将质量为m、电荷量为+q 的
小球以初速度
竖直向上抛出，小球运动中经过A 点和C 点，在A 点速度大小为
、方向水平向右。
P、C 两点在同一水平线上，小球从C 点进入虚线右侧区域。不计空气阻力，已知
，重力加速度
为g，
，
。求：
（1）从P 到C 的过程中小球动能的最小值；
（2）电场强度E 的方向与重力方向的夹角
；
（3）小球从P 到C 过程中，当电势能最高时，小球的速度；
（4）已知小球离开磁场区域时，速度方向水平向右，求小球从P 点出发到离开磁场区域的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，方向与水平向右成
指向右上方；（4）
【详解】（1）设小球合力方向与竖直方向夹角为
，则速度变化量的方向与合力方向相同，有
得
对小球，从
到
的过程中，将小球运动分解为垂直于合力方向速率为
的匀速直线运动和沿合力反方向
的匀减速直线运动，当沿合力反方向速度减为零时，小球动能最小。有
，
解得
（2）在小球重力、电场力和合力组成的力学三角形中
26
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（或者为：
）
代入数据解得
，得
（3）建立以沿电场方向为
轴，垂直于电场方向为
轴的直角坐标系
，，
，
，
用时
沿电场反方向速度减为零，此时小球电势能最高
，
，解得，
方向
与水平向右成
指向右上方
（4）对小球，从P 点到离开磁场区域，由竖直方向动量定理
，
，解得
【变式2】（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）如图所示，长方体
空间中存在
竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E。ab、ad 的长度分别为
L 和L，从ad 的中点e 水平向右射入一
个质量为m、电荷量为+q 的粒子，初速度大小为
，粒子恰好从
的中点g 射出。若在空间中再施加一
个竖直向下的匀强磁场，同时改变粒子的入射速度大小，粒子恰好从
点射出。求：
(1)粒子从e 到
点运动的时间；
(2)第二次粒子的入射速度大小
；
(3)粒子到达
点的速度大小。
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【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】(1)施加磁场前后粒子在竖直方向上的运动是相同的，所以两次所经历的时间也是相同的。由第一
次运动水平方向上，
，解得
(2)施加磁场后粒子一边在竖直方向上匀加速，一边在水平面内做匀速圆周运动。c'点在abcd 上的投影为。
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系可得
，解得，
轨迹所对的圆心角
，由
，且
，解得
(3)粒子到达c'点时的水平速度
竖直分速度
，
解得
【基础过关】
1．（多选）（2023·云南昆明·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，为了测量某金属中自由电子的“数
密度”（单位体积内的自由电子数量），用该材料制成一段长方体，端面边长分别为
和
；将其置于匀
强磁场中，磁场方向垂直于前表面向里，材料内部磁感应强度大小为
。当通以从左到右的恒定电流
时，
测得上、下表面之间的电压大小为
。已知电子电荷量大小为，则（ ）
28
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A．自由电子数密度为
B．自由电子数密度为
C．上表面电势比下表面电势高
D．上表面电势比下表面电势低
【答案】BD
【详解】电流稳定时，电子所受电场力和洛伦兹力平衡，有
解得
电流的微观表达式
联立可得
电流方向自左向右，电子自右向左运动，根据左手定则，可知电子向上表面聚集，下表面正电荷较多，电
场方向自下向上，故上表面电势低，故选BD。
2．（多选）（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）海水中含有大量的正负离子，并在某些区域具有固定的流
动方向，有人据此设计并研制出“海流发电机”，可用作无污染的电源，对海洋航标灯持续供电。“海流
发电机”的工作原理如图所示，用绝缘防腐材料制成一个横截面为矩形的管道，在管道上、下两个表面装
有防腐导电板M、N，板长为a、宽为b（未标出），两板间距为d，将管道沿着海水流动方向固定于海水
中，将航标灯L 与两导电板M 和N 连接，加上垂直于管道前后面向后的匀强磁场，磁感应强度大小为B，
海水流动方向向右，海水流动速率为v，已知海水的电阻率为
，航标灯电阻不变且为R．则下列说法正
确的是（ ）
A．“海流发电机”对航标灯L 供电的电流方向是
B．“海流发电机”产生感应电动势的大小是
C．通过航标灯L 电流的大小是
D．“海流发电机”发电的总功率为
29
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【答案】AC
【详解】A．由左手定则可知，海水中正、负离子受洛伦兹力的方向分别指向M 板和N 板，则M 板带正电，
N 板带负电，发电机对航标灯提供电流方向是
，胡A 正确；
B．在M、N 两板间形成稳定的电场后，其中的正、负离子受电场力和洛伦兹力作用而平衡，在两板间形成
稳定电压，则有
解得“海流发电机”产生感应电动势的大小为
，故B 错误；
C．海水的电阻为
由闭合电路欧姆定律可得，通过航标灯的电流为，
，故C 正确；
D．“海流发电机”发电的总功率为
，故D 错误。
故选AC。
3．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图所示为质谱仪的原理图，一束粒子以速度v 沿直线穿
过相互垂直的匀强电场（电场强度为E）和匀强磁场（磁感应强度为
）的重叠区域，然后通过狭缝
垂
直进入另一匀强磁场（磁感应强度为
），最后打在照相底片上的三个不同位置，粒子的重力可忽略不计，
则下列说法正确的是（ ）
A．该束粒子带负电
B．
板带负电
C．粒子的速度v 满足关系式
D．在
的匀强磁场中，运动半径越大的粒子，荷质比
越小
【答案】D
【详解】A．根据粒子在右侧磁场中的运动，利用左手定则，可判断出该束粒子带正电，故A 错误；
B．根据粒子在左侧运动可知，洛伦兹力方向向上，则电场力方向向下，P1板带正电，故B 错误；
C．由粒子做直线运动，根据受力平衡可得，qvB1=qE
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解得粒子的速度为
，故C 错误；
D．在磁感应强度为B2的磁场中，由洛伦兹力提供向心力得
，可得
，运动半
径越大的粒子，荷质比
越小，故D 正确。
故选D。
4．（2023·全国·模拟预测）如图所示，两实线所围成的环形区域内有一径向电场，场强方向沿半径向外，
电场强度大小可表示为
，a 为常量。电荷量相同、质量不同的两粒子在半径r 不同的圆轨道运动。
不考虑粒子间的相互作用及重力，则（ ）
A．两个粒子电性相反
B．质量大的粒子动量较小
C．若将两个粒子交换轨道，两个粒子仍能做匀速圆周运动
D．若去掉原来的电场，加上垂直纸面的匀强磁场，两个粒子一定同时做离心运动或向心运动
【答案】C
【详解】A．两个粒子做圆周运动，则所受电场力指向圆心，可知两粒子均带负电，故A 错误；
B．根据牛顿第二定律，有
动量为p=mv，其中
，联立可得
，两粒子电量相等，则质量大的粒子动量较大，故B 错误；
C．根据牛顿第二定律，有
，可得
与轨道半径无关，则若将两个粒子交换轨道，两个粒子仍能做匀速圆周运动，故C 正确；
D．由表达式
，可知，两粒子动能相同，根据
可知两粒子动量不同；若加上垂直纸面的匀强磁场，若能做匀速圆周运动，则满足
，化简得
两粒子电量相等，则qB 相等，若
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粒子做向心运动；当
，时粒子做离心运动，但是与
的关系不能确定，即两个粒子不一定能同时做
离心运动或向心运动，故D 错误。
故选C。
5．（2023·福建南平·统考模拟预测）回旋加速器工作原理如图所示，置于真空中的两个半圆形金属盒半径
为R，两盒间留有一狭缝接有频率为f 的高频交流电，加速电压为U，磁感应强度为B 的匀强磁场与盒面垂
直。若A 处粒子源产生的氘核
在狭缝中被加速，不考虑相对论效应和重力的影响，不计粒子在电场中
的加速时间。则（ ）
A．氘核离开回旋加速器时的最大速率随加速电压U 增大而增大
B．氘核被加速后的最大速度可能超过
C．氘核第n 次和第
次经过两金属盒间狭缝后的轨道半径之比为
D．不改变磁感应强度B 和交流电频率f，该回旋加速器也能加速
粒子
【答案】D
【详解】A．根据
，可得
可知氘核离开回旋加速器时的最大速率与加速电压U 无关，故A 错误；
B．氘核被加速后的最大速度时的半径为R，则
故氘核被加速后的最大速度不可能超过
，故B 错误；
C．氘核第n 次和第
次经过两金属盒间狭缝后的分别有
，
解得
，
又
，则
则氘核第n 次和第
次经过两金属盒间狭缝后的轨道半径之比为
，故C 错误；
D．回旋加速器的周期为
，由于氘核
和
粒子
的比荷相等，所以不改变磁感应强度B
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和交流电频率f，该回旋加速器也能加速
粒子，故D 正确。
故选D。
6．（2023·重庆·统考二模）如图所示，一带电粒子以速度
从
点沿两极板中线
射入平行板电容器，
若电容器极板间只有图示磁感应强度为
的匀强磁场时，该粒子从上极板右端点
射出，若电容器极板间
只有图示电场强度为
的匀强电场时，该粒子从下极板右端点
射出，若电容器极板间同时有图示磁感应
强度为
的匀强磁场和电场强度为
的匀强电场时，该粒子将（不计粒子重力）（ ）
A．从
间射出
B．从
间射出
C．从
点射出
D．无法直接射出
【答案】B
【详解】只有磁场时，粒子从
点射出，粒子圆周运动轨迹如答图1 所示
设电容器板长为
，间距为
，由几何关系有
，得半径
由洛伦兹力提供向心力，得
只有电场时，粒子从
点射出，粒子做类平抛运动，有
，
，其中
，得电场力
由
，可知，电场力大于洛伦兹力，由分析知，若电容器极板间同时有图示磁感应强度为
的匀强磁场和电场强度为
的匀强电场时，粒子将从
间射出。
故选B。
7．（2023·广东·模拟预测）如图所示，在立方体
区域内有垂直于abcd 平面向上的匀强磁场，现
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有一负离子不计重力以速度v 垂直于adhe 平面向右飞入该区域，为使粒子能在该区域内沿直线运动，
需在该区域内加一匀强电场，则匀强电场的方向为
A．垂直abfe 平面向里
B．垂直adhe 平面向左
C．垂直abfe 平面向外
D．垂直adhe 平面向右
【答案】A
【分析】带电粒子恰好在电场与磁场中做直线运动，当受到电场力与磁场力时，则两力必平衡．这样确保
速度不变，才会使洛伦兹力不变，否则不可能做直线运动．当只受到电场力时，磁场方向须与运动方向相
平行，此时虽在磁场中但没有洛伦兹力存在．
【详解】当匀强磁场方向竖直向上，不计重力的负离子，则洛伦兹力垂直纸面向里，由于直线运动，所以
电场力与洛伦兹力大小相等，则离子受到的电场力垂直纸面向外，而匀强电场方向垂直于纸面向里，使离
子做匀速直线运动，故A 正确，BCD 错误．
【点睛】当两个电场力与磁场力均存在时，必须是平衡力，因为洛伦兹力是与速度有关的力．当粒子的运
动方向与磁场方向平行时，没有洛伦兹力存在，所以只要考虑电场力就可以．
8．（2023·湖南·模拟预测）如图所示，空间存在足够大且相互垂直的匀强电磁场，电场强度为E、方向竖
直向上：磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，由某点P 静止释放质量为m、带电量为+q 的粒子（重力忽
略不计），其运动轨迹如图所示，对于带电粒子下落的最大高度H，下落给出的四个表达式，你认为正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】物体由静止释放，对带电粒子进行运动分解，向右分速度
向右做匀速直线运动，及向左的分速度
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做匀速圆周运动，因此带电粒子向右做摆线运动，则粒子下落最大高度
，故ACD 错
误，B 正确。
故选B。
9．（2023·广东韶关·统考一模）在芯片制造过程中，离子注入是芯片制造重要的工序。图a 是我国自主研
发的离子注入机，图b 是简化的注入过程原理图。静止于A 处的离子，经电压为
的电场加速后，沿图中
半径为
的圆弧虚线通过磁分析器，然后从
点垂直
进入矩形CDQS 有界匀强电场中，最后恰好打在
点，已知磁分析器截面是四分之一圆环，内部为匀强磁场，方向垂直纸面向里；矩形区域内匀强电场水
平向左，
，
。整个装置处于真空中，离子的质量为
、电荷量为
，离子重力不计。求：
（1）离子进入匀强电场区域
点时的速度大小及磁分析器通道内磁感应强度大小
；
（2）矩形区域内匀强电场场强大小
。
【答案】（1）
；
；（2）
，
【详解】（1）离子经过加速电场，由动能定理可知，
，解得
在磁分析器中，洛伦兹力提供向心力有，
，得
（2）离子在匀强电场中运动时，水平方向做匀加速运动，则
由运动学公式可知
竖直方向做匀速运动
，解得
10．（2023·河北秦皇岛·校考模拟预测）如图所示,在平面直角坐标系xOy 中的
区域内有垂直坐标平面
向外的匀强磁场，在第I 象限
区域内存在沿y 轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q 的带
正电粒子从
点以平行于x 轴的初速度
射入电场，经过一段时间粒子从
点离开电场进入
磁场，经磁场偏转后，从
点射出磁场，不计粒子重力，求:
（1）电场强度大小；
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（2）磁感应强度大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，水平方向有
竖直方向，根据牛顿第二定律有
，又有
联立解得
（2）粒子在电场中，竖直方向有
则粒子在M 点的速度为
方向与水平方向的夹角为
，进入磁场之后，在洛伦兹力作用下做圆周运动，有
根据几何关系可得
，联立解得
【能力提升】
1．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）如图所示，某竖直平面内存在着相互正交的匀强电场和匀强
磁场，电场方向水平向左，磁场方向水平向外．一质量为
、电荷量为
的微粒以速度与水平方向成
角从
点射入该区域，微粒恰好沿速度方向做直线运动，下列说法中正确的是（ ）
A．微粒从
到
的运动可能是匀减速直线运动
B．该微粒一定带正电荷
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C．该磁场的磁感应强度大小为
D．该电场的场强为
【答案】C
【详解】AB．若微粒带正电
，它受竖直向下的重力
、向左的电场力
和右斜向下的洛伦兹力
，
知微粒不能做直线运动．据此可知微粒一定带负电
，它受竖直向下的重力
、向右的电场力
和左斜
向上的洛伦兹力
，又知微粒恰好沿着直线运动，可知微粒一定做匀速直线运动，故AB 错误；
CD．由平衡条件有关系
得磁场的磁感应强度
电场的场强
；故C 正确，D 错误。
故选C。
2．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）如图所示，在
的区域存在方向沿
轴正方向的匀强电场，场强大小
为
，在
的区域存在方向垂直于
平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
。一个带负电的粒子
（重力不计）从
轴上的A 点以大小为
的初速度沿
轴正方向射出，粒子在电场和磁场中运动后回到A
点。则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设粒子类平抛的分运动匀速运动的位移为y，离开电场时瞬时速度与y 轴的夹角
，则有
粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系可得
，
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联立可得
故选B。
3．（2023·浙江金华·模拟预测）范德格拉夫静电加速器由两部分组成，一部分是产生高电压的装置，叫作
范德格拉夫起电机，加速罩（金属球壳）是半径a=0.5m 的一个铝球，由宽度D=10cm、运动速度
的一条橡胶带对它充电，从而使金属壳与大地之间形成500kV 的高电压。另一部分是加速管和偏
转电磁铁，再加上待加速的质子源就构成了一台质子静电加速器，如图中所示。抽成真空的加速管由20 个
金属环及电阻组成（图中仅画出电阻中的6 个），金属环之间由玻璃隔开，各环与500MΩ 的电阻串联。从
质子源引出的质子进入加速管加速，然后通过由电磁铁产生的一个半径b=10cm 的圆形匀强磁场区域引出
打击靶核。已知质子束的等效电流为25μA，质子的比荷
。下列说法不正确的是（ ）
A．若不考虑传送带和质子源的影响，加速罩内的电场强度E=0
B．若不考虑传送带和质子源的影响，加速罩内的电势
=500kV
C．要维持加速罩上500kV 的稳定电压，喷射到充电带表面上的面电荷密度
为37.5μC/m2
D．质子束进入电磁铁，并做角度
的偏转，磁感应强度B 的大小为0.29T
【答案】D
【详解】AB．导体球静电平衡E=0
由题意得，
，故AB 正确，不符合题意；
C．罩通过电阻和质子束放电。通过电阻放电电流
需要供给罩的总电流
这个电流被喷到橡胶带，而
，则
，故C 正确，不符合题意；
D．加速度过程，由动能定理得，
在磁场中有，
粒子在磁场中轨迹如下
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由几何关系得，
，联立解得
，故D 错误，符合题意。
故选D。
4．（多选）（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）如图所示，下端封闭、上端开口、高h＝5m
内壁光滑的细玻璃管竖直放置，管底有质量m＝10g，电荷量的绝对值|q|＝0.2C 的小球，整个装置以v＝
5m/s 的速度沿垂直于磁场方向进入磁感应强度B＝0.2T，方向垂直纸面向内的匀强磁场，由于外力的作用，
玻璃管在磁场中的速度保持不变，最终小球从上端管口飞出。g 取10m/s2。下列说法中正确的是（ ）
A．整个过程中洛伦兹力对小球做正功
B．小球在离开管前做匀变速曲线运动
C．小球在玻璃管中的运动时间大于1s
D．小球机械能的增加量为1J
【答案】BD
【详解】小球的质量m＝10g＝0.01kg。
A．小球在玻璃管中刚开始所受洛伦兹力方向竖直向上，F 洛＞mg，小球获得竖直向上的加速度，向上加速
运动，具有向上的速度之后，物体合速度指向右上方，洛伦兹力与物体合速度始终垂直，始终不做功，故
A 错误；
B．由于玻璃管在磁场中水平方向匀速运动，小球在水平方向上与玻璃管保持相对静止，故小球在水平方
向匀速运动，那么洛伦兹力在竖直方向上的分力始终等于qvB 保持不变，小球在竖直方向上合力为
F 合＝qvB﹣mg
恒定不变，所以小球在竖直方向做匀加速直线运动，可知小球在离开管前做匀变速曲线运动，故B 正确；
C．小球的实际运动速度可分解为水平方向的速度v 和竖直方向的速度vy。与两个分速度对应的洛伦兹力
的分力分别是水平方向的
和竖直方向的F，其中竖直方向的洛伦兹力F＝qvB 不变，在竖直方向上，由
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牛顿第二定律得，qvB﹣mg＝ma
解得，a＝10m/s2
由匀变速运动的位移公式得，，
，解得t＝1s，故C 错误；
D．小球飞出管口时，竖直速度为vy＝at＝10×1m/s＝10m/s，飞出管口的合速度为v 合＝
动能增量
代入数据解得，
0.5J
重力势能的增量，ΔEp＝mgh＝0.01×10×5J＝0.5J，
机械能的增量，ΔE＝
+
＝0.5J+0.5J＝1J，故D 正确。
故选BD。
5．（多选）（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）如图所示，光滑水平桌面上有一轻质光滑绝缘管道，空
间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，绝缘管道在水平外力F（图中未画出）的作用下以速
度u 向右匀速运动。管道内有一带正电小球，初始位于管道M 端且相对管道速度为0，一段时间后，小球
运动到管道N 端，小球质量为m，电量为q，管道长度为l，小球直径略小于管道内径，则小球从M 端运动
到N 端过程有（ ）
A．时间为
B．小球所受洛伦兹力做功为0
C．外力F 的平均功率为
D．外力F 的冲量为
【答案】BCD
【详解】A．小球在水平外力F 的作用下以速度u 向右匀速运动，故小球受到的洛伦兹力在沿管道方向的
分力保持不变，根据牛顿第二定律得，
由初速度为零的位移公式，
解得，
，故A 错误；
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B．小球所受洛伦兹力不做功，故B 正确；
C．小球所受洛伦兹力不做功，故在沿管道方向分力做正功的大小等于垂直于管道向左的分力做负功的大
小，外力始终与洛伦兹力的垂直管道的分力平衡，则有，
外力F 的平均功率为，
，故C 正确；
D．外力始终与洛伦兹力的垂直管道的分力平衡，外力F 的冲量大小等于
故D 正确。
故选BCD。
6．（多选）（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）如图所示，一根固定的绝缘竖直长杆位于范围
足够大且相互正交的匀强电场和匀强磁场中，匀强电场的电场强度大小
、方向竖直向上，匀强磁
场的磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向里。一质量为
、电荷量为
的带正电小圆环套在杆上，圆环
与杆间的动摩擦因数为
。现使圆环以初速度
沿杆向下运动，经过时间
，圆环回到出发点。若圆环回
到出发点之前已经开始做匀速直线运动，不计空气阻力，重力加速度为
，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆环下降过程中的加速度逐渐减小
B．圆环的最大加速度
C．圆环在
时间内损失的机械能为
D．圆环下降过程和上升过程中，系统因摩擦产生的内能相等
【答案】AC
【详解】A.圆环向下运动时竖直方向受到重力、向上的电场力和向上的摩擦力。设圆环向下运动的加速度
大小为
，则
因此圆环速度的减小，会导致其所受洛伦兹力减小，则摩擦力会减小，因此圆环做加速度减小的减速运动，
故A 正确；
B.当圆环向上运动时，圆环的加速度大小
随着圆环速度的增大，圆环开始做加速度减小的加速运动，之后做匀速直线运动，圆环向下运动时的加速
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度大于向上运动时的加速度，而向下运动时圆环受到的摩擦力越大，则加速度越大，因此圆环刚开始运动
时，加速度最大，有
，可得，
，故B 错误；
C.圆环先后两次经过出发点过程中，重力势能变化量为零，可知圆环机械能的损失，即为动能的损失，根
据动能定理，有
而圆环最后做匀速运动的速度
因此圆环在
时间内损失的机械能为
，故C 正确；
D.圆环上升和下降的过程中，摩擦力大小的平均值不同，而圆环运动的路程相同，所以两过程中，系统因
摩擦产生的内能不相等，故D 项错误。
故选AC。
7．（多选）（2023·河南开封·统考三模）如图所示，MN 是半径为R 的圆形磁场区域的直径，MN 上方存
在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，MN 下方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度大小为2B。在M 点有一质量为m、电荷量为+q（q＞0）的离子源，离子从N 点射出时的速度
大小不同，但方向均与磁场方向垂直且与MN 成30°角。不计离子重力及离子间的相互作用，则从N 点射
出磁场的离子速度可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】根据洛伦兹力提供向心力
离子在MN 上方运动的半径为
离子在MN 下方运动的半径为
若离子从MN 上方通过N 点有
解得
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即
，
，
，
，……
若离子从MN 下方通过N 点有
解得
即
，
，
，
，
，……
AB 正确，CD 错误。
故选AB。
8．（多选）（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，光滑绝缘水平面的右侧存在着匀强电场和匀强磁场组成
的复合场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B；一电荷量为q、质量为m
的金属小球a 在水平面上从静止开始经电压U 加速后，与静止着的另一完全相同的不带电金属小球b 发生
弹性碰撞，此后小球b 水平向右进入复合场中，在竖直面内做匀速圆周运动。电荷量的损失不计，碰撞后
不考虑a、b 之间的相互作用，重力加速度大小为g。下列判断正确的是（ ）
A．小球a 可能带正电
B．小球a、b 碰撞后的b 速度
C．小球b 做匀速圆周运动的半径为
D．小球b 从圆的最低点到最高点，机械能增加量为
【答案】CD
【详解】A．球a、b 碰撞后，b 球在竖直面内做匀速圆周运动，则重力和电场力平衡，所以电场力竖直向
上，b 球带负电，则小球a 带负电，故A 错误；
B．小球a 加速过程，由动能定理得
碰撞过程由动量守恒定律及机械能守恒可知a、b 小球速度互换，解得
，故B 错误；
C．小球a、b 碰撞后b 在竖直面内做匀速圆周运动，b 的带电量为
，由牛顿第二定律得
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解得，
，故C 正确；
D．洛伦兹力不做功，电场力做功为
所以机械能增加量，
，故D 正确。
故选CD。
9．（2023·吉林·统考模拟预测）如图所示，在竖直平面的直角坐标系xOy 中，第一象限有沿y 轴正方向的
匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场，第二象限有沿x 轴正方向的匀强电场，两匀强电场的电场强度大
小均相等。一质量为m，电荷量为+q 的带电小球，从x 轴上的P
点以某一初速度v0沿y 轴正方向射
入第二象限，依次经过Q
点和M
点，图中M 点末标出。经过Q 点的速度与y 轴正方向成45°，
重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）小球从P 点射出的初速度v0；
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据题意可知，粒子从P 到Q 的过程中，水平方向上有
竖直方向上有
由几何关系有
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联立可得
（2）根据题意，由（1）分析可知，粒子到达Q 点的速度为
由于
则粒子在第一象限做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据粒子在磁场中的运动轨迹，由几何关系可
知QM 为直径，则有
由牛顿第二定律有
联立可得
10．（2023·江西·校联考模拟预测）如图，水平虚线MN 上方一半径为R 的半圆区域内有垂直于纸面向里
的匀强磁场，半圆磁场的圆心O 在MN 上，虚线下方有平行纸面向上的范围足够大的匀强电场。一个质量
为m、电荷量为q 的带正电的粒子从O 点以大小为
的初速度平行纸面射入磁场，速度方向与ON 的夹角
，粒子在磁场中运动的圆轨迹刚好与磁场边界相切，粒子进入电场后又从P 点进入磁场，
，不计粒子的重力，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）匀强电场的电场强度大小；
（3）粒子在电场和磁场中运动的总时间。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意可知，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示
由几何关系可得，粒子在磁场中做圆周运动的半径
根据牛顿第二定律
解得
（2）根据题意，设粒子射出磁场的位置为Q，由几何关系有
粒子从P 点进入磁场，粒子在电场中做类斜上抛运动，根据对称性可知
又有
解得
（3）粒子从P 点进入磁场后，根据对称性可知，粒子的运动轨迹仍刚好与磁场边界相切，并从O 点射出
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磁场，则粒子在磁场中运动的时间
粒子在电场中运动的时间
因此粒子在电场、磁场中运动的总时间
【真题感知】
1．（2023·广东·统考高考真题）某小型医用回旋加速器，最大回旋半径为
，磁感应强度大小为
，
质子加速后获得的最大动能为
．根据给出的数据，可计算质子经该回旋加速器加速后的最大速率
约为（忽略相对论效应，
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】洛伦兹力提供向心力有
质子加速后获得的最大动能为
解得最大速率约为
故选C。
2．（2023·海南·统考高考真题）如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小
球运动和受力说法正确的是（ ）
A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B．小球运动过程中的速度不变
C．小球运动过程的加速度保持不变
D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功
【答案】A
【详解】A．根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A 正确；
BC．小球受洛伦兹力和重力的作用，则小球运动过程中速度、加速度大小，方向都在变，BC 错误；
D．洛仑兹力永不做功，D 错误。
故选A。
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3．（2023·全国·统考高考真题）如图，一磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy 平面）
向里，磁场右边界与x 轴垂直。一带电粒子由O 点沿x 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，粒
子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x 轴的接收屏上的P 点；SP = l，S 与屏的距离为
，与x 轴的距离
为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入射后则会沿x
轴到达接收屏。该粒子的比荷为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题知，一带电粒子由O 点沿x 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，
则根据几何关系可知粒子出离磁场时速度方向与竖直方向夹角为30°，则
解得粒子做圆周运动的半径r = 2a
则粒子做圆周运动有
则有
如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入射后则会沿x 轴到达
接收屏，则有Eq = qvB
联立有
故选A。
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4．（多选）（2023·海南·统考高考真题）如图所示，质量为
，带电量为
的点电荷，从原点以初速度
射入第一象限内的电磁场区域，在
（
为已知）区域内有竖直向上的匀强电场，
在
区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度（
值有多种可能），可让粒子从
射入磁场
后偏转打到接收器
上，则（ ）
A．粒子从
中点射入磁场，电场强度满足
B．粒子从
中点射入磁场时速度为
C．粒子在磁场中做圆周运动的圆心到
的距离为
D．粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是
【答案】AD
【详解】A．若粒子打到PN 中点，则
解得
选项A 正确；
B．粒子从PN 中点射出时，则
速度
选项B 错误；
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C．粒子从电场中射出时的速度方向与竖直方向夹角为θ，则
粒子从电场中射出时的速度，
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，则
则粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到MN 的距离为
，解得，，
，选项C 错误；
D．当粒子在磁场中运动有最大运动半径时，进入磁场的速度最大，则此时粒子从N 点进入磁场，此时竖直
最大速度
，
出离电场的最大速度
则由
，可得最大半径
，选项D 正确；
故选AD。
5．（2023·辽宁·统考高考真题）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的
倍。
金属板外有一圆心为O 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。
质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P 点飞出电场，
并沿PO 方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为
，不计粒子重力。
（1）求金属板间电势差U；
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ；
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画
出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的侧形磁场区域的圆心M。
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【答案】（1）
；（2）
或
；（3）
【详解】（1）设板间距离为
，则板长为
，带电粒子在板间做类平抛运动，两板间的电场强度为
根据牛顿第二定律得，电场力提供加速度
，解得
设粒子在平板间的运动时间为
，根据类平抛运动的运动规律得
，
联立解得
（2）设粒子出电场时与水平方向夹角为
，则有
，故
则出电场时粒子的速度为
粒子出电场后沿直线匀速直线运动，接着进入磁场，根据牛顿第二定律，洛伦兹力提供匀速圆周运动所需
的向心力得
解得，
已知圆形磁场区域半径为
，故
粒子沿
方向射入磁场即沿半径方向射入磁场，故粒子将沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时与射入
磁场时运动方向的夹角为
，则粒子在磁场中运动圆弧轨迹对应的圆心角也为
，由几何关系可得
故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为
或
；
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（3）带电粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为
，根据几何关系可知，带电粒子在该
磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场圆的直径时粒子在磁场中运动的时间最长。
则相对应的运动轨迹和弦以及圆心M 的位置如图所示：
52
