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§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课标要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和
与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C ：cos(α-β)= cos α cos β +sin α sin β ；
(α-β)
(2)公式C ：cos(α+β)= cos α cos β -sin α sin β ；
(α+β)
(3)公式S ：sin(α-β)= sin α cos β -cos α sin β ；
(α-β)
(4)公式S ：sin(α+β)= sin α cos β +cos α sin β ；
(α+β)
tanα-tanβ
(5)公式T ：tan(α-β)= ；
(α-β) 1+tanαtanβ
tanα+tanβ
(6)公式T ：tan(α+β)= .
(α+β) 1-tanαtanβ
2.辅助角公式
b a
asin α+bcosα=√a2+b2 sin( α + φ ) ，其中sin φ= ，cosφ= .
√a2+b2 √a2+b2
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( √ )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( √ )
tanα+tanβ
(3)公式tan(α+β)= 对任意角α，β都成立.( × )
1-tanαtanβ
(4)公式asin x+bcosx=√a2+b2sin(x+φ)中φ的取值与a，b的值无关.( × )
1 π √3 π
2. sin - cos 的值为( )
2 12 2 12
√2 √2
A.0 B.- C.1 D.
2 2
答案 B
1 π √3 π π π π π ( π π) ( π) √2
解析 sin - cos =cos sin -sin cos =sin - =sin - =- .
2 12 2 12 3 12 3 12 12 3 4 2
( π)
3.若2cosα-sin α=0，则tan α- 等于( )
41 1
A.- B. C.-3 D.3
3 3
答案 B
解析 因为2cosα-sin α=0，
则sin α=2cosα，故tan α=2，
π
tanα-tan
( π) 4 2-1 1
因此，tan α- = = = .
4 π 1+2 3
1+tanαtan
4
1 1
4.若tan α= ，tan(α+β)= ，则tan β= .
3 2
1
答案
7
1 1
-
tan(α+β)-tanα 2 3 1
解析 tan β=tan[(α+β)-α]= = = .
1+tan(α+β)tanα 1 1 7
1+ ×
2 3
谨防两个易误点
(1)运用公式时要注意公式成立的条件；
(2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一.
题型一 两角和与差的三角函数公式
(π )
cos +α
4 ( π)
例1 (1)若 =3，则tan α+ 等于( )
(π ) 4
cos -α
4
1 1
A.-3 B.- C. D.3
3 3
答案 C
√2
(cosα-sinα)
2 1-tanα 1
解析 由题意，得 = =3，所以tan α=- ，
√2 1+tanα 2
(cosα+sinα)
21
- +1
( π) tanα+1 2 1
则tan α+ = = = .
4 1-tanα ( 1) 3
1- -
2
(2)(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于( )
m m
A.-3m B.- C. D.3m
3 3
答案 A
解析 由cos(α+β)=m得cosαcosβ-sin αsin β=m.①
sinαsinβ
由tan αtan β=2得 =2，②
cosαcosβ
{cosαcosβ=-m，
由①②得
sinαsinβ=-2m，
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sin αsin β=-3m.
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
( π) ( π)
跟踪训练1 (1)已知sin α+ =sin α- ，则tan α等于( )
3 6
A.√3 B.2+√3 C.√6 D.√6+√3
答案 B
( π) ( π) 1 √3 √3 1
解析 因为sin α+ =sin α- ，所以 sin α+ cosα= sin α- cosα，所以(√3+1)cosα=(√3-1)sin α，
3 6 2 2 2 2
√3+1
所以tan α= =2+√3.
√3-1
(2)(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=√2+1，
则sin(α+β)= .
2√2
答案 -
3
解析 由题意得tan(α+β)
tanα+tanβ 4
= = =-2√2，
1-tanαtanβ 1-(√2+1)
( π)
因为α∈ 2kπ，2kπ+ ，
2
( 3π)
β∈ 2mπ+π，2mπ+ ，k，m∈Z，
2
则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z，又因为tan(α+β)=-2√2<0，
3π
则α+β∈((2m+2k)π+ ，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z，
2
则sin(α+β)<0，
sin(α+β)
则 =-2√2，
cos(α+β)
联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，
2√2
解得sin(α+β)=- .
3
题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式
例2 (1)在△ABC中，tan A+tan B+√3=√3tan Atan B，则C的值为( )
π π π 2π
A. B. C. D.
6 4 3 3
答案 C
解析 由已知可得
tan A+tan B=√3(tan Atan B-1)，
tan A+tanB
∴tan(A+B)= =-√3.
1-tan AtanB
2π
又0<A+B<π，∴A+B= ，
3
π
∴C= .
3
( π)
(2)(2024·南充模拟)已知函数f(x)=3sin x+4cosx.若x=θ时，f(x)取得最大值，则cos θ+ 等于( )
4
7√2 7√2 √2 √2
A. B.- C. D.-
10 10 10 10
答案 C
4 4 3
解析 f(x)=3sin x+4cosx=5sin(x+φ)，其中tan φ= ，sin φ= ，cosφ= ，
3 5 5
π π
∵当x=θ时，f(x)取得最大值，∴θ+φ= +2kπ，k∈Z，即θ= +2kπ-φ，k∈Z，
2 2
( π) (π π)
∴cos θ+ =cos +2kπ-φ+
4 2 4
(3π ) 3π 3π
=cos -φ =cos cosφ+sin sin φ
4 4 4
√2 3 √2 4 √2
=- × + × = .
2 5 2 5 10思维升华 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
(2)tan αtan β，tan α+tan β(或tan α-tan β)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用
和变形使用.
(3)对asin x+bcosx化简时，要清楚如何求辅助角φ的值.
( π )
跟踪训练2 (1)(2024·柳州模拟)已知α∈(0，π)，若√3sin α+cosα=√3sin 2α-cos2α，则sin α- 等
12
于( )
√2 √3
A. B.
2 2
√6+√2 √6-√2
C. D.
4 4
答案 A
解析 因为√3sin α+cosα=√3sin 2α-cos2α，
√3 1 √3 1
所以 sin α+ cosα= sin 2α- cos2α，
2 2 2 2
( π) ( π)
所以sin α+ =sin 2α- ，
6 6
π π π π
所以α+ =2α- +2kπ，k∈Z或α+ +2α- =2kπ+π，k∈Z，
6 6 6 6
π
又α∈(0，π)，所以α= ，
3
( π ) (π π ) π √2
所以sin α- =sin - =sin = .
12 3 12 4 2
(2)已知函数f(x)=sin x-3cosx，不等式f(x)≤a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 .
答案 [√10，+∞)
解析 f(x)=sin x-3cosx=√10sin(x-φ)(其中tan φ=3)，
√10sin(x-φ)∈[-√10，√10]，
所以f(x)∈[-√10，√10]，
故a≥√10.
题型三 角的变换问题
( π) 3 (π π) ( π )
例3 (1)(2024·南宁模拟)已知sin α+ = ，α∈ ， ，则sin α+ 等于( )
3 5 4 2 12
√2 7√2
A.- B.-
10 10√2 7√2
C. D.
10 10
答案 D
(π π)
解析 α∈ ， ，
4 2
π (7π 5π) ( π)
故α+ ∈ ， ，所以cos α+ <0，
3 12 6 3
( π) 3 ( π) 4
又sin α+ = ，故cos α+ =- ，
3 5 3 5
( π ) [( π) π ]
sin α+ =sin α+ -
12 3 4
( π) π ( π) π
=sin α+ cos -cos α+ sin
3 4 3 4
3 √2 ( 4) √2 7√2
= × - - × = .
5 2 5 2 10
1 1
(2)(2024·徐州模拟)已知角α，β满足cosβ= ，cosαcos(α+β)= ，则cos(2α+β)等于( )
3 4
1 1 1 1
A. B. C. D.
3 4 6 8
答案 C
1
解析 由cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sin α= ，
3
1 1 1 1
结合cosαcos(α+β)= ，可得sin(α+β)sin α= - = ，
4 3 4 12
1 1 1
所以cos(2α+β)=cos[α+(α+β)]=cosαcos(α+β)-sin αsin(α+β)= - = .
4 12 6
思维升华 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公
式把“所求角”变成“已知角”.
α+β α-β π π (π ) (π )
(3)常见的角的变换：2α=(α+β)+(α-β)，α= + ， +α= - -α ，α=(α+β)-β=(α-β)+β， +α +
2 2 3 2 6 4
(π ) π
-α = 等.
4 2
( π) 4 (π π)
跟踪训练3 (1)已知sin α+ = ，α∈ ， ，则cosα等于( )
4 5 4 2
√2 3√2 √2 7√2
A. B. C. D.
10 10 2 10答案 A
(π π) π (π 3π)
解析 由α∈ ， ，得α+ ∈ ， ，
4 2 4 2 4
则cos ( α+ π) =- √ 1-sin2( α+ π) =- 3 ，
4 4 5
[( π) π] ( π) π ( π) π 3 √2 4 √2 √2
cosα=cos α+ - =cos α+ cos +sin α+ sin =- × + × = .
4 4 4 4 4 4 5 2 5 2 10
(π ) ( π) 1 √3
(2)(2024·杭州模拟)已知α∈ ，π ，β∈ 0， ，若sin(α+β)= ，cosβ= ，则sin α等于( )
2 2 3 3
√6 √3 5√3 1
A. B. C. D.
3 9 9 3
答案 C
(π ) ( π) 1 √3 (π )
解析 因为α∈ ，π ，β∈ 0， ，sin(α+β)= >0，cosβ= ，所以α+β∈ ，π ，
2 2 3 3 2
√6
则sin β=√1-cos2β= ，
3
2√2
cos(α+β)=-√1-sin2 (α+β)=- ，
3
所以sin α=sin[(α+β)-β]
=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sin β
1 √3 ( 2√2) √6 5√3
= × - - × = .
3 3 3 3 9
课时精练
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2024·晋城模拟)若sin 18°=m，则sin 63°等于( )
√2 1 √3
A.
(√1-m2
-m) B. m+
√1-m2
2 2 2
√2 √3 1
C. (m+√1-m2) D. m+ √1-m2
2 2 2
答案 C
解析 因为sin 18°=m，所以cos18°=√1-m2，√2 √2
所以sin 63°=sin(18°+45°)= (sin 18°+cos18°)= (m+√1-m2).
2 2
8 ( π)
2.已知cosα+√3sin α= ，则cos α- 等于( )
5 3
3 4 3 4
A. B. C.- D.-
5 5 5 5
答案 B
8
解析 由cosα+√3sin α= ，
5
( π) 8
得2cos α- = ，
3 5
( π) 4
故cos α- = .
3 5
1 1
3.已知sin α+sin β= ，cosα+cosβ= ，则cos(α-β)的值等于( )
2 3
7 17 59 59
A.- B.- C.- D.
12 18 72 72
答案 C
1 1
解析 sin α+sin β= sin2α+sin2β+2sin αsin β= ，①
2 4
1 ⇒ 1
cosα+cosβ= cos2α+cos2β+2cosαcosβ= ，②
3 9
⇒
13 1 (13 ) 59
①+②得，2+2(sin αsin β+cosαcosβ)= cos(α-β)= × -2 =- .
36 2 36 72
⇒
|ab| 1 |sinαsinβ| 3√3 π
4.定义运算 =ad-bc，若cosα= ， = ，0<β<α< ，则β等于( )
cd 7 cosαcosβ 14 2
π π π π
A. B. C. D.
12 6 4 3
答案 D
解析 由题意得，
3√3
sin αcosβ-cosαsin β=sin(α-β)= .
14
π π
∵0<β<α< ，∴0<α-β< ，
2 2
13
∴cos(α-β)= .
14
1 4√3
又∵cosα= ，∴sin α= ，
7 7sin β=sin[α-(α-β)]
=sin αcos(α-β)-cosαsin(α-β)
4√3 13 1 3√3 √3
= × - × = ，
7 14 7 14 2
π
∴β= .
3
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.下列等式成立的有( )
A.tan 15°=√3-1
B.sin 75°cos15°+cos75°sin 15°=1
√3
C.cos50°cos160°-cos40°sin 160°=-
2
D.√3sin 15°+cos15°=1
答案 BC
√3
1-
tan45°-tan30° 3
解析 对于A，tan 15°=tan(45°-30°)= = =2-√3，故A错误；
1+tan45°·tan30° √3
1+
3
对于B，sin 75°cos15°+cos75°sin 15°=sin(75°+15°)=sin 90°=1，故B正确；
√3
对于C，cos50°cos160°-cos40°sin 160°=cos50°cos160°-sin 50°sin 160°=cos(50°+160°)=cos210°=-cos30°=-
2
，故C正确；
对于D，√3sin 15°+cos15°=2sin(15°+30°)=2sin 45°=√2，故D错误.
6.下列结论正确的是( )
A.sin(α-β)sin(β-γ)-cos(α-β)cos(γ-β)=-cos(α-γ)
( π)
B.√15sin x+√5cosx=√5sin x+
6
x x
C.f(x)=sin +cos 的最大值为2
2 2
D.tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1
答案 AD
解析 对于A，左边=-[cos(α-β)cos(β-γ)-sin(α-β)sin(β-γ)]=-cos[(α-β)+(β-γ)]=-cos(α-γ)，故A正确；
(√3 1 )
对于B，√15sin x+√5cosx=2√5 sinx+ cosx
2 2( π)
=2√5sin x+ ，故B错误；
6
x x (x π)
对于C，f(x)=sin +cos =√2sin + ，所以f(x)的最大值为√2，故C错误；
2 2 2 4
对于D，tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=tan(12°+33°)(1-tan 12°tan 33°)+tan 12°tan 33°=1，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2024·西安模拟)已知sin x-2cosx=√5sin(x+φ)，则sin2φ-2cos2φ= .
2
答案
5
解析 sin x-2cosx=√5sin(x+φ)=√5sin xcosφ+√5cosxsin φ，
√5 2√5
所以cosφ= ，sin φ=- ，
5 5
( 2√5) 2 (√5) 2 2
则sin2φ-2cos2φ= - -2× = .
5 5 5
8.已知tan(α+β)，tan(α-β)是方程x2+5x+6=0的两个根，则tan 2α= .
答案 1
解析 由题意可得tan(α+β)+tan(α-β)=-5，
且tan(α+β)tan(α-β)=6，
则tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]
tan(α+β)+tan(α-β) -5
= = =1.
1-tan(α+β)tan(α-β) 1-6
四、解答题(共28分)
1 1
9.(13分)已知sin(α-β)= ，sin(α+β)= .
2 3
(1)证明：tan α+5tan β=0；(6分)
tan(α-β)-tanα+tanβ
(2)计算 的值.(7分)
tan 2αtan(α-β)
1
(1)证明 方法一 由sin(α-β)= ，
2
1
sin(α+β)= ，
3
得2sin(α-β)=3sin(α+β)，
即2sin αcosβ-2cosαsin β=3sin αcosβ+3cosαsin β，
整理得sin αcosβ=-5cosαsin β，
也即tan α=-5tan β，tan α+5tan β=0得证.1 1
方法二 由sin(α-β)= ，sin(α+β)= ，
2 3
1
即sin αcosβ-cosαsin β= ，
2
1
sin αcosβ+cosαsin β= ，
3
5 1
得sin αcosβ= ，cosαsin β=- ，
12 12
从而可得tan α=-5tan β，tan α+5tan β=0得证.
tanα-tanβ
(2)解 由于tan(α-β)= tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)，
1+tanαtanβ
tan(α-β)-tanα+tanβ ⇒
所以
tan 2αtan(α-β)
tan(α-β)-tan(α-β)(1+tanαtanβ)
=
tan 2αtan(α-β)
-tan(α-β)tanαtanβ
=
tan 2αtan(α-β)
tanβ 1
=- = .
tanα 5
(π ) 3 (5π ) 12 (π 3π) ( π)
10.(15分)已知cos -α = ，sin +β =- ，α∈ ， ，β∈ 0， .求：
4 5 4 13 4 4 4
(1)sin α的值；(7分)
(2)cos(α+β)的值.(8分)
(π 3π) π ( π )
解 (1)因为α∈ ， ，所以 -α∈ - ，0 ，
4 4 4 2
(π ) 3 (π ) 4
又因为cos -α = ，所以sin -α =- .
4 5 4 5
[π (π )]
所以sin α=sin - -α
4 4
π (π ) π (π )
=sin cos -α -cos sin -α
4 4 4 4
√2 3 √2 ( 4) 7√2
= × - × - = .
2 5 2 5 10
(5π ) 12
(2)因为sin +β =- ，
4 13
(π ) 12
所以sin +β = ，
4 13( π) π (π π)
又β∈ 0， ，则 +β∈ ， ，
4 4 4 2
(π ) 5
所以cos +β = .
4 13
[(π ) (π )]
则cos(α+β)=cos +β - -α
4 4
(π ) (π ) (π ) (π )
=cos +β cos -α +sin +β sin -α
4 4 4 4
5 3 12 ( 4) 33
= × + × - =- ，
13 5 13 5 65
33
故cos(α+β)=- .
65
每小题5分，共10分
cos10°(1+√3tan10°)-2sin50°
11.求值 = .
sin5°
答案 -2√2
cos10°(1+√3tan10°)-2sin50°
解析
sin5°
(cos10°+√3sin10°)-2sin50°
=
sin5°
2sin(10°+30°)-2sin50°
=
sin5°
2sin40°-2sin50°
=
sin5°
2sin40°-2cos40°
=
sin5°
2√2sin(40°-45°)
=
sin5°
-2√2sin5°
= =-2√2.
sin5°
12.已知3cos(2α+β)+5cosβ=0，则tan(α+β)tan α= .
答案 -4
解析 由已知得
3cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0，
因此3cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sin α+5cos(α+β)cosα+5sin(α+β)sin α=0，整理得8cos(α+β)cosα+2sin(α+β)sin α=0，
因此sin(α+β)sin α=-4cos(α+β)cosα，
sin(α+β) sinα
于是 · =-4，
cos(α+β) cosα
即tan(α+β)tan α=-4.
