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高三数学押题预测仿真卷 02
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知全集 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，可得 ， ，
可得 ，所以 .故选：C.
2．椭圆 的离心率为 ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．2或
【答案】D
【解析】由于椭圆方程为 ，
当 时，则 ，其离心率为： ，解得 ，
当 时，则 ，其离心率为： ，解得 ，综上， 的值为2或 .故选：D.
3．已知正项等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为 ，故两式相减得： ，
即 ，则 ，
又数列 为正项等差数列，故 ，即 ，故选：B
4．已知直线m，n与平面 ， 、 ，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】B
【解析】对于A，若 ， ，则 可能相交或平行，A错误；
对于B，因为 ，过m作平面γ和平面 交于n，则 ，
而 ，故 ，又 ，故 ，B正确；
对于C，若 ， ，则 ，又 ，则可能有 ，也可能有 ，C错误；
对于D，若 ， ， ，则可能 或 或 相交，D错误；故选：B
5．将甲､乙､丙､丁4个人全部分配到 三个地区工作，每个地区至少有1人，则不同的分配方案为
（ ）
A．36种 B．24种 C．18种 D．16种
【答案】A
【解析】依题意， 三个地区中必有一个地区有2人，
先在甲､乙､丙､丁4个人中选2个人有 种组合，将这两个人捆绑在一起看作一个元素，
与其他2个人一起分配到 三个地区，共有 种.故选：A
6．已知 是圆 外的动点，过点 作圆 的两条切线，设两切点分别为 ， ，当 的
值最小时，点 到圆心 的距离为（ ）A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】设 ，则 ，
则 ，
，
，
故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故当 的值最小时，点 到圆心 的距离为 .故选：A.
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由
或 （舍去）.
所以 .故选：B8．已知 是定义在 上的偶函数，且 也是偶函数，若 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 是定义在 上的偶函数， ，所以 ，则
，
又因为函数 也是偶函数，所以 ，得 ，
因为 为减函数， 为增函数，所以 为减函数，
令 ，得 ，所以 时， ， 在 上单调递减，
根据偶函数的性质可知，函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 ，得 或 ，
所以不等式的解集为 .故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 的图象向左平移 个单位后到函数 的图象
（如图所示），则（ ）
A．
B． 在 上为增函数
C．当 时，函数 在 上恰有两个不同的极值点D． 是函数 的图象的一条对称轴
【答案】BCD
【解析】根据平移性质，可设 ，
由图象可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，又 ，所以 ，即 ，
对于A，则 ，即 ，故A错误；
对于B，当 时， ，
由正弦函数单调性知， 在 上为增函数，故B正确；
对于C， ，当 时， ，
因为 ，所以 ，显然 能取到 ，不能取到
，
所以函数 在 上恰有两个不同的极值点，故C正确；
对于D，因为
，
所以当 时， 取得最大值，
所以 是函数的一条对称轴，故D正确.故选：BCD
10．已知 ， ， 是方程 的三个互不相等的复数根，则（ ）
A． 可能为纯虚数
B． ， ， 的虚部之积为
C．
D． ， ， 的实部之和为2【答案】ABD
【解析】因为 ，其三个不同的复数根为： ， ，
当 时，此时 为纯虚数，故A正确；
因为三个根的虚部分别为1， ， ，三个虚部乘积为 ，故B正确；
根据模长定义， ，故C不正确；
因为三个根的实部分别为0，1，1，三个实部之和为2，故D正确.故选：ABD.
11．已知定义在实数集 R 上的函数 ，其导函数为 ，且满足 ，
，则（ ）
A． B． 的图像关于点 成中心对称
C． D．
【答案】ACD
【解析】对A：令 ，则有 ，即 ，故A正确；
对B：令 ，则有 ，又 ，故 ，
令 ， ，则有 ，故 ，故B错误；
对C：令 ，则有 ，即 ，
则
，故C正确；
对D：令 ，则有 ，即 ，
则 ，即 ，
又 ，故 ，
则 ，故D正确.故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 的展开式中 的系数为 （用数字作答）
【答案】80【解析】 可看作5个 相乘，有2个括号提供 ，还有3个括号都是 ，
则 ，系数为80.
13．在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，点M在该
三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足 ，则三棱锥 的体积最大值为
【答案】
【解析】该三棱锥的外接球O为 的中点，下证：
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以 ，
又 ，即 ，所以 ，
即三棱锥的外接球球心为 的中点，球半径 .
点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足 ，
在△ 中，由正弦定理可得△ 的外接圆的半径为 ，
球心 到平面 的距离为 ，
因为 为 的中点，所以 到平面 的距离为 ，
，
要使三棱锥 的体积最大，只需△ 的面积最大即可.
在△ 中由余弦定理可得： ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
，
所以 ，
当且仅当 时, 三棱锥 的体积取到最大值 .
14．已知点 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，点 在 的右支上，连接 作
且与 轴交于点 ，若 则 的渐近线方程为 ．【答案】
【解析】不妨设点 在第一象限，设 ， ，
由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 （ 舍去），所以 ，
又因为点 在 上，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 的渐近线方程为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数 ．
（1）求 的图像在点 处的切线方程；
（2）求 在 上的值域．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）因为 ，所以 ，所以 ， ，
故所求切线方程为 ，即 ．
（2）由（1）知 ， ．
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ．又 ， ，
因为 ，所以 ，即 在 上的值域为 ．
16．（15分）
2023年是全面贯彻落实党的二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，经济
增长呈现稳中有进的可喜现象.某省为做好刺梨产业的高质量发展，项目组统计了全省近5年刺梨产业综合
产值如下：
年份代码 ，综合产值 （单位：亿元）
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码 1 2 3 4 5
综合产值
1.5 2 3.5 8 15
（1）请通过样本相关系数，推断 与 之间的相关程度；
（若 ，则线性相关性程度很强；若 ，则线性相关性程度一般，若 ，则线性
相关性程度很弱.）
（2）求出 关于 的经验回归方程，并预测2024年该省刺梨产业的综合产值.
参考公式：样本相关系数 ，经验回归方程 中斜率和截距的最小二乘法
估计公式分别为 .
参考数据： .
【答案】（1）线性相关性程度很强，理由见解析；（2） ，2024年该省刺梨产业的综合产值
为 亿元.
【解析】（1） ， ，
故，
故线性相关性程度很强；
（2）由（1）可得 ，
故 ，
所以 关于 的经验回归方程为 ，
当 时，
17．（15分）
如图所示，半圆柱的轴截面为平面 ， 是圆柱底面的直径， 为底面圆心， 为一条母线，
为 的中点，且 .
（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由 是直径可知 ，则 是等腰直角三角形，故 ，
由圆柱的特征可知 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，则 ，
因为 ，则 ，
所以 ， ，
，所以 ，因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，故 .
（2）由题意及（1）易知 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，所以 ， ， ，
由（1）知 平面 ，故平面 的一个法向量是 ，
设 是平面 的一个法向量，
则有 ，取 ，可得
设平面 与平面 夹角为 ，
所以 ，
则平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18．（17分）
已知平面上一动点 到定点 的距离比到定直线 的距离小 ，记动点 的轨迹为曲线
.
（1）求 的方程；
（2）点 为 上的两个动点，若 恰好为平行四边形 的其中三个顶点，且该平行
四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形 的面积为 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）解法一：设 ，易知 ，根据题意可得 ，化简得 ，所以 的方程为 .
解法二：因为点 到定点 的距离比到定直线 的距离小 ，
所以点 到定点 的距离与到定直线 的距离相等，
由抛物线的定义可知，点 的轨迹是以定点 为焦点，定直线 为准线的抛物线，
所以 的方程为 .
（2）证明：设 ，直线 的斜率为 ，线段 的中点为 ，
因为平行四边形MANB对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，
所以线段 的中点 在直线 上，
设 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 .
设直线 的方程为 ，即 ，
联立 整理得 ，
所以 ，解得 ， ，
则
.
又点 到直线 的距离为 ，
所以 ，记 ，
因为 ，所以 ，所以 .
令 ，则 ，
令 ，可得 ，
当 时， 在区间 , 内单调递增，
当 时， 在区间 上单调递减，
所以当 ，即 时， 取得最大值，
即 ，所以 .
19．（17分）
设集合 ，其中 ．若对任意的向量
，存在向量 ，使得 ，则称A是“T集”．
（1）设 ，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由；
（2）已知A是“T集”．
（i）若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；
（ii）若 （c为常数），求有穷数列 的通项公式．
【答案】（1） 是“ 集”; 不是“ 集”，理由见解析；（2）（i） ；（ii）
【解析】（1） 是“ 集”; 不是“ 集”.
理由：当 或 时，只要 横纵坐标相等即可，则满足 ，
当 ，则 ；当 ，则 ；
当 ，则 ；当 ，则 ；
综上 是“ 集”.
对于向量 ，若存在 ，使得 .
则 ，故 中必有一个为 ，此时另一个为 或 ，显然不符合，则 不是“集”.
（2）(i)因为 中的元素由小到大排列成等差数列，则该等差数列的首项为 ，
公差为2，故 .
则向量 的坐标中必含 ，设另一坐标为 ，
则 或 .
所以 或 ，
故 或 ，
所以 或 ，所以 或 ，
所以 或 即 .
此时 ，不满足 ;
或 ，满足 ;
所以 只可能为 .
经检验 是“ 集”，所以 .
(ii)设 .
由 ，得 ，由条件可变形为 .
设集合
设集合则 是“ 集”当且仅当 关于原点对称.
因为 是 中唯一负数， 共 个数，
所以 也只有 个数.
由于 ，所以 ，已有 个数.
对以下三角数阵：注意到 ，所以 .
又 为常数)，故有穷数列 为等比数列，
