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第40 练 实验九：用单摆测量重力加速度
分值：50 分
1.(9 分)(1)(2 分)在用单摆测定当地重力加速度的实验中，下列器材和操作最合理的是 。
(2)(3 分)某同学课后想利用身边的器材再做一遍“单摆测量重力加速度”的实验。家里没有合适的摆球，于是
他找到了一块外形不规则的小金属块代替小球进行实验。
①如图甲所示，实验过程中他先将金属块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O 点。
②利用刻度尺测出OM 间细线的长度l 作为摆长，利用手机的秒表功能测出金属块做简谐运动的周期T。
③在测出几组不同摆长l 对应的周期T 的数值后，他作出的T2-l 图像如图乙所示。
④根据作出的图像可得重力加速度的测量值为 m/s2(π 取3.14，计算结果保留三位有效数字)。
(3)(4 分)相比于实验室作出的T2-l 图像，该同学在家做实验的T2-l 图有明显的截距。出现这种情况主要原因是
，该操作导致重力加速度的测量值 (选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
2.(6 分)一同学利用图甲所示装置来测定当地的重力加速度。已知光滑圆弧凹槽ABC 的半径为R，弧长为l(R
远大于l)，B 为圆弧轨道最低点，A、C 关于B 点所在的竖直线对称。小钢球的半径为r(r 远小于l)，当小钢球
经过圆弧轨道最低点B 时，光传感器发出的光所在直线，恰好能过小钢球的球心。现将小钢球从A 点由静止
释放，沿凹槽ABC 自由往复运动，光传感器接收端接收到一段时间内的光信号强度变化情况如图乙所示(只
有ΔT 已知)。
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(1)(3 分)该同学在分析光信号强度变化情况时，发现Δt 与ΔT 相比，非常小，可以忽略不计。由此可得出，小
钢球往复运动的周期为 。
(2)(3 分)小钢球在圆弧轨道上的运动与单摆运动相似，根据“用单摆测量重力加速度”实验原理，可得当地的
重力加速度的表达式为g＝ 。
3.(11 分)(2023·重庆卷·11)某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、
刻度尺、50 分度的游标卡尺、摄像装置等。
(1)(2 分)用游标卡尺测量摆球直径d。当测量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺
示数如图甲所示，则摆球的直径d 为 mm。
(2)(3 分)用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1 mm 时，记录并分析单摆的振动视频，得
到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g 为 m/s2(保留3 位有效数字)。
(3)(6 分)改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l 和l＋d
2 作
为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg 随摆线长度l 的变化曲线如图丙所示。由图可
知，该实验中，随着摆线长度l 的增加，Δg 的变化特点是 ，原因是
。
2
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4.(12 分)(2024·山东烟台市、菏泽市期末联考)某同学用如图甲所示的实验装置做“用单摆测重力加速度”的
实验。细线的一端固定在一力传感器触点上，力传感器与电脑屏幕相连，能直观显示细线的拉力大小随时间
的变化情况，在摆球的平衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器，记录小球经过光电门的次数及时间。
(1)(2 分)用游标卡尺测量摆球直径d，结果如图乙所示，则摆球直径d＝ cm；
(2)(4 分)将摆球从平衡位置拉开一个合适的角度，由静止释放摆球，摆球在竖直平面内稳定摆动后，启动数字
计时器，摆球某次通过光电门时从1 开始计数计时，当摆球第n 次(n 为大于3 的奇数)通过光电门时停止计时，
记录的时间为t，此单摆的周期T＝ (用t、n 表示)。此过程中计算机屏幕上得到如图丙所示的F－t
图像，可知图像中两相邻峰值之间的时间间隔为 。
(3)(6 分)若在某次实验时该同学未测量摆球直径d，在测得多组细线长度l 和对应的周期T 后，画出l－T2图像。
在图线上选取M、N 两个点，找到两点相应的横、纵坐标。如图丁所示，利用该两点的坐标可得重力加速度
表达式g＝ ，理论上图线在纵轴截距的绝对值等于 。
5.(12 分)(2023·湖南卷·11)某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图(a)所示，轻质弹簧上端
悬挂在铁架台上，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁，其正下方放置智能手机，手机中的磁传感器
可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像，实验步骤如下：
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(1)测出钩码和小磁铁的总质量m；
(2)在弹簧下端挂上该钩码和小磁铁，使弹簧振子在竖直方向做简谐运动，打开手机的磁传感器软件，此时磁
传感器记录的磁感应强度变化周期等于弹簧振子振动周期；
(3)(3 分)某次采集到的磁感应强度B 的大小随时间t 变化的图像如图(b)所示，从图中可以算出弹簧振子振动周
期T＝ (用“t0”表示)；
(4)改变钩码质量，重复上述步骤；
(5)(3 分)实验测得数据如下表所示，分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是 (填“线
性的”或“非线性的”)；
m/kg
10T/s
T/s
T2/s2
0.015
2.43
0.243
0.059
0.025
3.14
0.314
0.099
0.035
3.72
0.372
0.138
0.045
4.22
0.422
0.178
0.055
4.66
0.466
0.217
(6)(3 分)设弹簧的劲度系数为k，根据实验结果并结合物理量的单位关系，弹簧振子振动周期的表达式可能是
(填正确答案标号)；
A.2π√
m
k
B.2π√
k
m
C.2π√mk
D.2πk√m
(7)(3 分)除偶然误差外，写出一条本实验中可能产生误差的原因：_____________________________。
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答案精析
1. (1)D (2)9.86 (3)摆长应取悬挂点到金属块的重心之间的距离 不变
解析 (1)根据单摆理想模型可知，为减小空气阻力的影响，摆球应采用密度较大，体积较小的铁球，为使单
摆摆动时摆长不变化，摆线应用不易形变的细丝线，悬点应该用铁夹来固定。故选D。
(2)设M 点到小金属块重心的距离为r，根据周期公式T=2π√
L+r
g
可得T2=4 π
2
g (L+r)
故该图像的斜率为k=4 π
2
g =
4.0
99.0−(−1.0)×102 s2/m=4 s2/m
解得由此得出重力加速度的测量值为g≈9.86 m/s2
(3)由(2)分析可知，出现截距是由于刻度尺测出OM 间细线的长度l 作为摆长，应该取悬挂点到金属块的重心
之间的距离。
此操作并不会影响图线的斜率，所以对重力加速度的测量值没有影响。
2.(1)2ΔT (2) π
2( R−r )
( ΔT )
2
3.(1)19.20 (2)9.86 (3)逐渐减小 随着摆线长度l 的增加，则l+d
2 越接近于l，此时计算得到的Δg 越小
4.(1)1.240 (2) 2t
n−1
t
n−1
(3)4π2 l2−l1
T 2
2−T 1
2
d
2 (或摆球半径)
解析 (1)摆球直径为d＝12 mm+8×0.05 mm＝12.40 mm＝1.240 cm
(2)小球每个周期经过光电门2 次，摆球通过光电门时从1 开始计数，同时开始计时，当摆球第n 次(为大于3
的奇数)通过光电门时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期为
T＝
t
n−1
2
＝2t
n−1
F－t 图像的峰值对应小球经过最低点，每个周期小球两次经过该位置，可知F－t 图像中两相邻峰值之间的时
间间隔为
t
n−1；
(3)根据单摆周期公式
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T＝2π
√
l+ d
2
g
可得l＝g
4 π
2T2－d
2
可知，l－T2图像的斜率k＝g
4 π
2
由题图丁可知k＝l2−l1
T 2
2−T 1
2
可得重力加速度表达式为
g＝4π2 l2−l1
T 2
2−T 1
2
根据前面式子可知理论上图线在纵轴截距的绝对值等于摆球半径d
2 。
5. (3) t0
10
(5)线性的 (6)A
(7)见解析
解析 (3)由题图(b)可知弹簧振子振动周期T＝t0
10；
(5)分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的比值接近常量3.95，则弹簧振子振动周期的平方与质量
的关系是线性的；
(6)因2π√
m
k
的单位为√
kg
N /m ＝√
kg·m
kg·m/ s
2
＝s
因为s(秒)为周期的单位，则其他各项单位都不是周期的单位，故选A；
(7)除偶然误差外，钩码振动过程中受空气阻力的影响可能会使本实验产生误差。
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