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微专题84 带电粒子在组合场中的运动
1．带电粒子在匀强电场中一般做匀变速直线运动或匀变速曲线运动；在匀强磁场中一般做
匀速圆周运动。2.明确各段运动的性质，画出运动轨迹，特别注意各衔接点的速度方向、大
小，由电场进入磁场时往往粒子速度大小、方向都变化。
1. (多选)(2023·辽宁省丹东市质检)如图所示，在直角坐标系xOy 的第一象限内有一虚线，虚
线与x 轴正方向间夹角θ＝30°。虚线上方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝
0.75×10－3 T。虚线下方到第四象限内有与虚线平行、电场强度E＝20 N/C 的匀强电场。一
比荷＝2×105 C/kg 的带电粒子从y 轴正半轴上的P 点以速度v0＝300 m/s 沿x 轴正方向射入
磁场，粒子进入磁场后，从虚线上的M 点(M 点图中未画出)垂直虚线方向进入电场(不计重
力)，则( )
A．该带电粒子一定带正电
B．OM 之间的距离为2 m
C．粒子第一次穿过虚线后与x 轴间的最小距离约为0.98 m
D．粒子第一次穿过虚线后能击中x 轴
答案 BC
解析 根据题目的描述可知，粒子进入磁场时受到的洛伦兹力竖直向下，根据左手定则可知，
带电粒子带负电，故A 错误；粒子受到的洛伦兹力提供向心力，则qv0B＝，代入数据解得r
＝2 m，根据几何关系可知，O 点为粒子做圆周运动的圆心，因此OM 之间的距离也等于半
径，即为2 m，故B 正确；将粒子进入电场后的速度分解为水平和竖直方向，将粒子的加速
度也分解为水平和竖直方向，则在竖直方向上：y＝，其中，a＝，联立解得y≈0.02 m，因
此粒子第一次穿过虚线后与x 轴间的最小距离约为rsin 30°－y≈0.98 m，无法击中x 轴，故
C 正确，D 错误。
2. (多选)(2023·河南开封市模拟)如图所示，MN 是半径为R 的圆形磁场区域的直径，MN 上
方存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，MN 下方存在方向垂直于纸
面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为2B。在M 点有一单离子质量为m、电荷量为＋
q(q>0)的离子源，离子从N 点射出时的速度大小不同，但方向均与磁场方向垂直且与MN 成
30°角。不计离子重力及离子间的相互作用，则从N 点射出磁场的离子速度可能是( )
1
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A. B. C. D.
答案 AB
解析 根据洛伦兹力提供向心力qvB＝
离子在MN 上方运动的半径为r1＝
离子在MN 下方运动的半径为r2＝
若离子从MN 上方通过N 点有2nr1sin 30°＋2(n－1)r2sin 30°＝2R(n＝1,2,3，… )
解得v＝(n＝1,2,3，… )
即v＝，v＝，v＝，v＝，…
若离子从MN 下方通过N 点有2n(r1＋r2)sin 30°＝2R(n＝1,2,3，…)
解得v＝(n＝1,2,3，…)
即v＝，v＝，v＝，v＝，v＝，…，A、B 正确，C、D 错误。
3. (2024·湖南省阶段练习)如图所示，水平虚线的上方有竖直向上的匀强电场和匀强磁场(方
向未知)，水平虚线下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，水平虚线上、下方的磁感应强度大
小相等。一带负电的粒子由竖直虚线上的P 点以水平向右的速度v0射入，该粒子刚好沿直
线向右运动，现将水平虚线上方的匀强磁场撤走，粒子仍从P 点以速度v0沿原方向射入，
粒子由水平虚线的M 点(图中未画出)离开电场，且粒子在M 点的动能为P 点动能的2 倍，
经过一段时间粒子再次回到P 点。已知OP＝L，忽略粒子的重力。求：
(1)M 点到O 点的距离；
(2)上述过程中，粒子轨迹上的点到P 点的最大距离；
(3)粒子由P 点射入到返回P 点的时间。
答案 (1)2L (2)(3＋2)L (3)(4＋3π)
解析 (1)设粒子在P 点的动能为Ek0，则粒子在M 点的动能为Ek＝2Ek0
则有mv2＝2×mv0
2
解得粒子在M 点的速度为v＝v0
粒子在M 点竖直方向上的速度vy＝＝v0
粒子在电场中做类平抛运动，水平方向上OM＝v0t
竖直方向上vy＝at，L＝at2
2
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联立解得OM＝2L
(2)撤去水平虚线上方的磁场前，粒子在水平虚线上方做匀速直线运动，由平衡条件得qE＝
qBv0
解得v0＝
由题意作出撤去上方磁场后粒子的轨迹，如图所示
粒子在电场中运动时，沿竖直方向有L＝at2，qE＝ma
沿水平方向有2L＝v0t
在水平虚线下方磁场中运动时，有qvB＝m
联立解得r＝2L
粒子进入水平虚线下方磁场时的速度与水平虚线的夹角为θ＝45°，又r＝2L，故轨迹圆的圆
心在竖直虚线上，则OO′＝2L
则粒子在磁场中运动时与P 的最大距离为d＝(3＋2)L
(3)粒子从P 运动到M 的时间t0＝
根据对称性可知，粒子在电场中运动的总时间为t1＝2t0＝
粒子在水平虚线下方磁场中运动的时间为t2＝T
又T＝＝
联立解得t2＝
故粒子从P 点射入到返回P 点的总时间为t＝t1＋t2＝(4＋3π)。
4．(2023·重庆市模拟)如图所示，在真空中的xOy 平面内，有四个边界垂直于x 轴的条状区
域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，区域Ⅰ、Ⅲ宽度均为d，内有沿－y 方向的匀强电场E；区域Ⅱ、Ⅳ宽
度均为2d，内有垂直于xOy 平面向里的匀强磁场B1和B2。M 是区域Ⅲ右边界与x 轴的交点。
质量为m、电荷量为＋q 的粒子甲以速度v0从O 点沿x 轴正方向射入电场E，经过一段时间
后，沿x 轴正方向与静止在M 点的粒子乙结合在一起，成为粒子丙进入区域Ⅳ，之后直接
从右边界上Q 点(图中未标出)离开区域Ⅳ。粒子乙不带电，质量为2m，结合前后无电荷损
失，结合时间极短，已知E＝，粒子重力不计。
3
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(1)求粒子甲离开区域Ⅰ时速度的大小v1和与x 轴正方向的夹角θ；
(2)求磁感应强度B1的大小；
(3)若匀强磁场B2磁感应强度不同，则粒子丙在磁场B2中运动的时间不同，求粒子丙从M 点
运动到Q 点的最长时间tm。
答案 (1)2v0 60° (2) (3)
解析 (1)设粒子甲在区域Ⅰ电场中的加速度为a1，运动时间为t1，离开区域Ⅰ时速度大小为
v1，与x 轴正方向夹角为θ，v1沿y 轴负方向的大小为vy，则
根据牛顿第二定律，有qE＝ma1
水平方向：d＝v0t1
竖直方向：vy＝a1t1
由速度的合成与分解及几何关系，有vy＝v0tan θ，v1＝
解得v1＝2v0，θ＝60°
(2)粒子甲运动到M 点时速度沿x 轴正方向，由运动的对称性，粒子甲在匀强磁场B1中做匀
速圆周运动的轨迹关于区域Ⅱ垂直于x 轴的中线对称，设轨道半径为r1，则
由对称性和几何关系：d＝r1sin θ
洛伦兹力提供向心力：qv1B1＝
联立解得B1＝
(3)设粒子甲在M 点与粒子乙结合前速度大小为v2，粒子丙在M 点速度大小为v3，则
由题意，知v2＝v0
以x 轴正方向为正方向，根据动量守恒定律，有mv2＝3mv3
粒子丙在磁场B2中以速度v3做匀速圆周运动，且从右边界上Q 点离开，则当匀速圆周运动
的半径r2＝2d 时，粒子丙在磁场B2中运动时间最长，设为t4，则t4＝×＝。
5. (2023·江苏扬州市模拟)如图所示的xOy 平面内，x＜0 的区域内有竖直向上的匀强电场。
4
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在0＜x≤2L 区域内，处于第一象限的匀强磁场，磁感应强度为B1；处于第四象限的匀强磁
场，磁感应强度为B2，大小关系为B2＝2B1，均垂直于纸面向外。一质量为m、带电荷量为
＋q 的粒子，在t＝0 时刻，从P(－2L，－L)点以速度v0沿x 轴正向水平射出，恰好从坐标原
点进入第一象限，最终从x 轴上的Q(2L,0)点射出磁场，不计粒子的重力。求：
(1)匀强电场的电场强度大小E；
(2)磁感应强度B1的最小值；
(3)若B1＝，整个过程粒子运动的时间t。
答案 (1) (2) (3)(2＋5π)
解析 (1)粒子在匀强电场中做类平抛运动，将其分解为沿＋x 方向的匀速直线运动和沿＋y
方向的匀加速直线运动。设粒子经过O 点时的速度大小为v，其沿y 轴分速度大小为vy，速
度v 与x 轴正方向的夹角为θ，其运动轨迹如图所示，则有
a＝，2L＝v0t1，L＝at1
2 ，vy＝at1
tan θ＝，v＝
联立解得E＝，θ＝30°，v＝v0，t1＝；
(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有
qvB1＝m
解得B1＝
可见磁感应强度B1最小时，粒子运动半径最大，由几何关系可知粒子在第一象限磁场中由
O 直接到Q 点，其半径最大，则有rmax＝＝＝2L
解得磁感应强度B1的最小值B1min＝
＝＝；
(3)当B1＝时，由洛伦兹力提供向心力有qvB1＝m
解得粒子在第一象限中运动半径为r1＝＝L，
轨迹的弦长为d1＝2r1sin θ＝r1＝L
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t2＝·＝
设粒子在第四象限中的运动半径为r2，同理可得r2＝＝＝r1
轨迹的弦长为d2＝2r2sin θ＝L
轨迹圆心角为360°－2θ＝360°－60°＝300°
t3＝·＝
粒子由O 到Q 的运动轨迹如图所示，粒子最终从第一象限经过x 轴上的Q 点，粒子先是重
复O→M→N 的运动，设重复次数为n，需满足关系：
n(d1－d2)＋d1＝OQ＝2L
联立解得n＝4
则整个过程粒子运动的时间t＝t1＋n(t2＋t3)＋t2＝＋4(＋)＋＝(2＋5π)。
6
