理论讲练-数学运算4
（笔记）
主讲教师：王义
授课时间：2025.08.16
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理论讲练-数学运算4（笔记）
【答案汇总】
排列组合问题1-5：CCDCB；6-8：ACD
概率问题1-2：DD
等差数列：B
等比数列1-2：BB
数学运算 理论讲练4
学习任务：
1.课程内容：排列组合与概率问题、数列问题
2.授课时长：2.5 小时
3.对应讲义：第258～262 页
4.重点内容：
（1）理解与排列组合相关的基本概念
（2）掌握捆绑法、插空法和隔板法的适用范围及解题步骤
（3）掌握概率问题的两种典型考法
（4）掌握等差数列、等比数列的核心公式及解题思路
【注意】数学运算四：本节课讲解排列组合、概率问题、数列问题，排列组
合与概率难度相对较高，数列问题相对容易一点，预计2 个小时多一点。
第六节 排列组合与概率问题
2
一、排列组合
1.分类分步
2.排列组合
3.常用方法
（1）捆绑法
（2）插空法
（3）错位重排
（4）隔板法
二、概率问题
1.给情况数求概率
2.给概率求概率
【注意】排列组合与概率问题：
1.排列组合：
（1）分类分步：帮助列式。
（2）排列组合：帮助列式。
（3）常用方法：
①捆绑法。
②插空法。
③错位重排。
④隔板法。
2.概率问题：
（1）给情况数求概率。
（2）给概率求概率。
一、排列组合问题
1.分类分步
分类：相加→要么……要么……
3
分步：相乘→既……又……
①既要选一件上衣，又要选一条裤子
②要么选一条上衣，要么选一条裤子
2.排列与组合
排列：有序
补例：从8 个人中选出4 个人进行4*100 接力赛，共有多少种安排方式？
组合：无序
补例：从8 个人中选出4 个人参加培训，共有多少种选法？
【判定方法】任意两个元素，调换顺序
对结果有影响，排列（A）
对结果无影响，组合（C）
【注意】排列组合：
1.分类和分步：
（1）分类：相加，造句为“要么……要么……”。
例：从一个城市去看某人，动车有4 种选择，飞机有3 种选择，自驾有1 种
选择，问去看某人有多少种选择？
答：要么选择坐动车、要么选择坐飞机、要么选择自驾，动车有4 种选择、
飞机有3 种选择、自驾有1 种选择，造句为“要么……要么……”，分类相加，
共4+3+1=8 种选择。
4
（2）分步：相乘，造句为“既……又……”。
例：明天上班，衣柜中有5 件上衣、4 条裤子，问明天有多少种服装的穿搭
方式？
答：有两种造句方式，①既要选1 件上衣、又要选1 条裤子，②要么选1 件
上衣、要么选1 条裤子。上衣和裤子都要穿，正确造句为既要穿上衣、又要穿裤
子，上衣有5 种选择、裤子有4 种选择，造句为“既……又……”，分步相乘，
有5*4=20 种服装穿搭方式。
2.排列与组合：只选用C，选完之后还要排用A。
（1）排列：有顺序，用A 表示。
补例：从8 个人中选出4 个人进行4*100 接力赛，共有多少种安排方式？
答：从8 个人中选4 个人进行4*100 接力赛，假设选出的4 人分别为甲、
乙、丙、丁；原来是甲、乙、丙、丁分别对应第一棒、第二棒、第三棒、第四棒；
调换甲和乙的位置，现在是乙、甲、丙、丁分别对应第一棒、第二棒、第三棒、
第四棒；调换两人位置，原来和现在是两种不同的安排方式，说明对结果有影响，
用A，为A（8,4）。
（2）组合：没有顺序，用C 表示。
补例：从8 个人中选出4 个人参加培训，共有多少种选法？
答：从8 个人中选4 个人，原来是甲、乙、丙、丁，调换位置，现在是乙、
甲、丙、丁，或者丙、甲、乙、丁，原来和现在是同一种选法，说明对结果没有
影响，用C，为C（8,4）。
（3）判定方法：任意两个元素，调换顺序。
①对问题的结果有影响，排列（A）。
②对问题的结果无影响，组合（C）。
排列数：A（n,m）：从n 开始往下乘m 个数
组合数：C（n,m）=从n 开始往下乘m 个数/从m 开始往下乘m 个数
【注意】排列组合的计算：
1.排列数：A（n,m）=从n 开始往下乘m 个数。
（1）A（8,3）：指从8 个人中选3 个、且这3 个人有顺序，从下标的8 开始
5
往下乘上标的3 个数，A（8,3）=8*7*6。
（2）A（6,4）：指从下标的6 开始往下乘上标的4 个数，A（6,4）=6*5*4*3。
2.组合数（分数的形式）：C（n,m）=从n 开始往下乘m 个数/从m 开始往下
乘m 个数。分母看上标，上标是几，分母就从几乘到1；分子看下标，从下标开
始往下乘，上标是几，就是几个数相乘。
（1）C（8,5）：分母从上标5 开始往下乘到1，分母=5*4*3*2*1；分子从下
标8 开始往下乘，上标是5，则5 个数相乘，分子=8*7*6*5*4；C（8,5）=8*7*6*5*4/
（5*4*3*2*1）。
（2）C（9,3）：分母从上标3 开始往下乘到1，分母=3*2*1；分子从下标9
开始往下乘，上标是3，则3 个数相乘，分子=9*8*7，C（9,3）=9*8*7/（3*2*1）。
3.选1 个时，不用区分A 和C，A（n,1）=C（n,1）=n。例：A（8,1）=C（8,1）
=8，从8 个里面选1 个；C（4,1）=A（4,1）=4。
4.C（n,n）=1，组合数中、上标和下标相同，只有1 种选法。例：C（3,3）
=1，C（4,4）=1，C（6,6）=1。
5.排列数的结论：n 个人排队或照相，有顺序，A（n,n）=从n 往下一直乘到
1=n*（n-1）*……*2*1。例：5 个人排队/照相，A（5,5）=5*4*3*2*1；6 个人排
队/照相，A（6,6）=6*5*4*3*2*1。
6.组合数的结论：
（1）C（n,m）=C（n,n-m）。例：C（7,3）=C（7,4），C（8,2）=C（8,6），C
（9,4）=C（9,5）。都是“C”开头，下标相等、上标之和=下标（3+4=7、2+6=8、
4+5=9），类似于互补。
（2）练习：C（5,3）=C（5,2），C（9,8）=C（9,1）=9。
7.区分：A（3,3）=3*2*1，C（3,3）=1。
【例1】（2021 河南）现有红、黄、绿三种颜色的旗帜各一面，若从中选取
一面、两面或三面从左到右按一定顺序排列表示不同的信号，则可以表示不同的
信号共有（ ）。
A.7 种
B.9 种
C.15 种
D.27 种
6
【解析】1.已知“现有红、黄、绿三种颜色的旗帜各一面”，相当于仓库中
只有3 面旗，一面红色、一面黄色、一面绿色；要求“从中选取一面、两面或三
面”，要么选一面、要么选两面、要么选三面；已知“从左到右按一定顺序排列
表示不同的信号”，说明有顺序，用A。（1）选一面：从三面旗中选一面，为A
（3,1）=3 种；（2）选两面：从三面旗中选两面，要求有顺序，为A（3,2）=3*2=6
种；（3）选三面：从三面旗中选三面，为A（3,3）=3*2*1=6 种。“要么……要
么……”，分类相加，所求=3+6+6=15 种，对应C 项。【选C】
【例2】（2025 公务员）从5 名男性和4 名女性志愿者队伍中抽调6 名志愿
者去田径比赛、篮球比赛和跳水比赛做服务引导工作。田径比赛要求2 名男性志
愿者，篮球比赛要求男、女志愿者各1 名，跳水比赛要求2 名女性志愿者。问有
多少种不同的抽调方式？（ ）
A.300
B.320
C.360
D.400
【解析】2.已知“从5 名男性和4 名女性志愿者队伍中抽调6 名志愿者”，
整体为9 个人；田径（选择2 名男性志愿者）、篮球（选1 名男性志愿者和1 名
女性志愿者）、跳水（选2 名女性志愿者）都要选人，是“既……又……”，分步
相乘。田径：从5 名男性志愿者中选择2 名，只负责选，为C（5,2）=5*4/（2*1）
=10；篮球：从剩余3 名男性志愿者中选择1 名、4 名女性志愿者中选择1 名，
为C（3,1）*C（4,1）=3*4=12；跳水：从剩余3 名女性志愿者中选择2 名，为C
（3,2）=C（3,1）=3。分步相乘，所求=10*12*3=360，对应C 项。【选C】
【例3】（2022 福建）院长要从4 位外科医生和4 位内科医生中选出4 人去
甲医院进行学习交流，要求外科医生和内科医生均至少要选1 人，则共有（ ）
种不同的选法。（其中没有人既是外科医生又是内科医生）
A.56
B.60
C.65
D.68
【解析】3.已知“院长要从4 位外科医生和4 位内科医生中选出4 人去甲医
院进行学习交流”，一共有8 名医生，要选4 名去甲医院进行学习交流；“其中没
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有人既是外科医生又是内科医生”，说明这8 个人之间互相独立，没有交集；要
求“外科医生和内科医生均至少要选1 人”。
方法一：正面。（1）外科1 人、内科3 人：从4 名外科医生中选1 名，为C
（4,1）；从4 名内科医生中选3 名，为C（4,3）；既要外科选1 人、又要内科选
3 人，分步相乘，C（4,1）*C（4,3）=C（4,1）*C（4,1）=4*4=16 种。（2）外科
2 人、内科2 人：从4 名外科医生中选2 名，为C（4,2）；从4 名内科医生中选
2 名，为C（4,2）；既要外科选2 人、又要内科选2 人，分步相乘，C（4,2）*C
（4,2）=4*3/（2*1）*4*3/（2*1）=6*6=36 种。（3）外科3 人、内科1 人：从4
名外科医生中选3 名，为C（4,3）；从4 名内科医生中选1 名，为C（4,1）；既
要外科选3 人、又要内科选1 人，分步相乘，C（4,3）*C（4,1）=16 种。要么……
要么……，分类相加，所求=16+36+16=68 种，对应D 项。
方法二：反面。总情况数：从8 名医生中选4 名去甲医院学习交流，为C
（8,4）=8*7*6*5/（4*3*2*1）=70 种。要求“外科医生和内科医生均至少要选1
人”，不满足要求的情况为全是外科医生或全是内科医生，从4 名外科医生中选
4 名，为C（4,4）=1 种，从4 名内科医生中选4 名，为C（4,4）=1 种，所求=总
情况数-不满足要求的情况数=70-1-1=68 种，对应D 项。【选D】
【注意】
1.错误方法：要求“外科医生和内科医生均至少要选1 人”，外科选1 名为
C（4,1），内科选1 名为C（4,1），还剩下3 名外科医生和3 名内科医生，一共
剩下6 名，从剩余6 名医生中再随便选2 名为C（6,2），即C（4,1）*C（4,1）
*C（6,2），这样计算是不对的。原因：假设4 位外科医生为甲、乙、丙、丁，4
位内科医生为戊、己、庚、辛；第一种选甲、戊、乙、丙，第二种选乙、戊、甲、
丙，列式中这是两种不同的选法，但实际上这是同一种选法；本身这4 人是不带
顺序的，上述计算给这4 个人带顺序了。
2.总结：排列组合问题，出现“均至少1 人”。
（1）用正面分类，一定能解决问题。
（2）用“总的情况数-不满足要求的情况数”，不一定能解决问题，因为有
的题找不到反面。
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（3）用先满足各1 人、不够的再补充，一定做不出来。
3.常用方法：
（1）捆绑法（要相邻）
（2）插空法（不相邻）
【注意】常用方法：
1.捆绑法（要相邻）。
2.插空法（不相邻）。
3.错位。
4.隔板。
（1）捆绑法
①题型特征：在一起/相邻/相连
例：三个男生和三个女生站成一排照相，要求三个女生必须相邻，有几种情
况？
②方法（捆绑法）
先捆绑，把相邻的捆绑起来看成一个整体
再排列组合，把捆后的“整体”与其他进行排列组合
注意：捆绑过程需考虑内部有无顺序
【注意】捆绑法：
1.题型特征：在一起/相邻/相连/挨着。
2.方法（捆绑法）：
（1）先捆绑：把相邻的捆绑起来看成一个整体。
（2）再排列组合：把捆后的“整体”与其他进行排列组合。
（3）注意：捆绑过程需考虑内部有无顺序。
3.例：三个男生和三个女生站成一排照相，要求三个女生必须相邻，有几种
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情况？
答：要求“三个女生必须相邻”，考虑捆绑法。先捆：先把3 个女生捆在一
起，不是只有图中这1 种站法；可以拿对联的女生在左侧、提花灯的女生在中间、
叉腰的女生在右侧，或者叉腰的女生在左侧、提花灯的女生在中间、拿对联的女
生在右侧；3 个女生挨着站相当于3 个女生排队，为A（3,3）=3*2*1=6。再排：
把捆绑后的3 个女生当成1 个主体、与其他3 个主体（3 个男生）进行排列，相
当于4 个主体进行排列，为A（4,4）。“既……又……”，分步相乘，所求=A（3,3）
*A（4,4）。
【例4】（2024 公务员）某公司开展“迎新春，三分球”投篮比赛，3 个部门
分别派出2、4、4 个选手共计10 人参加。规则要求同一个部门的选手顺序相连，
全部投完再安排另一个部门的人员开始投篮，则这10 人不同的投篮顺序种数的
范围是（ ）。
A.小于1000
B.1000～5000
C.5001～10000
D.10000 以上
【解析】4.规则要求同一个部门的选手顺序相连，用捆绑法。先捆：既要捆
第一个部门的2 人，相当于站队，为A（2,2）；又要捆第二个部门的4 人，为A
（4,4）；又要捆第三个部门的4 人，为A（4,4），“既……又……”，分步相乘，
为A（2,2）*A（4,4）*A（4,4）。再排：相当于3 个主体排序，为A（3,3）。既
要捆、又要排，分步相乘，所求=A（2,2）*A（4,4）*A（4,4）*A（3,3）=2*24*24*6=50
-
*24*6=300
-*24，结果为六七千左右，对应C 项。【选C】
【注意】A（2,2）=2*1=2，A（3,3）=3*2*1=3*A（2,2）=3*2=6，A（4,4）
=4*3*2*1=4*A（3,3）=4*6=24，A（5,5）=5*4*3*2*1=5*A（4,4）=5*24=120，A
（6,6）=6*A（5,5）=6*120=720。
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（2）插空法
①题型特征：不在一起/不相邻/不相连
例：四个男生和两个女生站成一排照相，要求女生互不相邻，有几种情况？
②方法（插空法）：
先排列组合：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位；
再插空：将不相邻的元素插入到空位中。
【注意】插空法：
1.题型特征：不在一起/不相邻/不相连。
2.方法（插空法）：
（1）先排列组合：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位。
（2）再插空：将不相邻的元素插入到空位中。
3.例：四个男生和两个女生站成一排照相，要求女生互不相邻，有几种情况？
答：要求女生互不相邻，用插空法。（1）先排：男生没有要求，先排没有要
求（可以相邻）的4 个男生，4 个男生排队为A（4,4）。（2）再插空：4 个男生形
成5 个空位，每个女生从中选1 个空位站上去可以满足不相邻，从5 个空位中选
2 个，有顺序，为A（5,2）。既要排4 个男生、又要把2 个女生从5 个空位中选
2 个，所求=A（4,4）*A（5,2）。
【例5】（2023 广东）某村组织“村晚”活动，晚会节目包括开场舞、小品、
相声、歌伴舞、民乐弹唱、大合唱共六个，若节目出场顺序有如下要求：小品和
相声不能连续出场，开场舞第一个出演，大合唱最后一个出演，则此次晚会节目
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出场顺序共有（ ）种安排方式。
A.10
B.12
C.24
D.48
【解析】5.要求“小品和相声不能连续出场”，即小品和相声不能相邻，用
插空法。总共6 个节目，已知开场舞第一个、大合唱最后一个，二者的位置是固
定的、不用管，只需要安排中间的4 个节目（小品、相声、歌伴舞、民乐弹唱）。
先排：先排可以相邻的歌伴舞和民乐弹唱，有顺序，为A（2,2）。再插空：歌伴
舞和民乐弹唱这2 个节目形成3 个空，从3 个空中选2 个空插入小品和相声，有
顺序，为A（3,2）。
“既……又……”，分步相乘，所求=A（2,2）*A（3,2）=2*3*2=12，
对应B 项。【选B】
（3）错位重排
①题型特征：重新排序后，每个主体都不在原来的位置上
例：三位厨师各做一道菜，每位厨师需品尝一道菜且不能品尝自己做的菜，
一共有多少种排法？
②方法
【注意】错位重排：
1.题型特征：重新排序后，每个主体都不在原来的位置上。
2.例：三位厨师各做一道菜，每位厨师需品尝一道菜且不能品尝自己做的菜，
一共有多少种排法？
答：假设三位厨师为甲、乙、丙，各做一道菜，分别为鱼、鸡、鹅，甲不能
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吃鱼，假设甲吃鸡，如果乙吃鱼，则丙只能吃自己的鹅；因此要甲吃鸡，乙吃鹅，
丙吃鱼；或者甲吃鹅，乙吃鱼，丙吃鸡，一共2 种排法。
3.结论（背下来）：D1=0（不会考）、D2=1（不会考）、D3=2（考查较多）、D4=9
（考查较多）、D5=44（考查较多）。
4.递推规律：
（元素数-1）*前两项和，D6=（6-1）*（D5+D4）=5*（44+9）=5*53=265，
不会考查D6。
【例6】（2024 广东）4 个抽屉里各有1 本不同的笔记本，现在将所有笔记
本取出，重新放入，要求每个抽屉里放1 本且不能放回原来的抽屉，则分配方式
有（ ）种。
A.9
B.12
C.14
D.16
【解析】6.要求每个抽屉里放1 本且不能放回原来的抽屉，所求=D4=9，对应
A 项。【选A】
【拓展1】（2021 山西）一个小镇共有4 名理发师，理发师无法给自己理发
所以必须找别的理发师理发，这4 名理发师可以有多少种不同的相互理发组合形
式？（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
【解析】拓展1.4 名理发师无法给自己理发所以必须找别的理发师理发；所
求=D4=9，对应D 项。【选D】
13
【拓展2】（2018 河北）四位同学的手机完全相同，他们将四部手机混放在
一起再取回，只有一人拿到自己的手机，而其他三人均没有拿到自己的手机。这
样的拿法共有多少种？
A.6
B.8
C.10
D.12
【解析】拓展2.四位同学的手机完全相同；已知“只有一人拿到自己的手
机，而其他三人均没有拿到自己的手机”，说明1 个人拿对了、另外3 人错位了；
从4 人中选1 人拿对了，为C（4,1）；剩下3 个人错位，为D3，所求=C（4,1）
*D3=4*2=8，对应B 项。【选B】
（4）隔板法
①题型特征：n 个相同的物品分给m 个人，要求每人至少1 个
例：6 个完全相同的金币分给3 个人，要求每人至少1 个，有多少种分配方
式？
②方法：所求=C（n-1,m-1）
【注意】隔板法：
1.题型特征：n 个相同的物品分给m 个人，要求每人至少1 个。
2.例：6 个完全相同的金币分给3 个人，要求每人至少1 个，有多少种分配
方式？
答：如图所示，分给三个人相当于分为三堆，在这些金币中放2 块板即可分
成3 堆，这2 块板有多少种放的方式、就有多少种分配方式；左右两边不能放
板，不然无法分成3 堆，只有中间的5 个位置可以放板，分成3 堆→需要2 块
板，从5 个位置中选2 个位置放板，板是一样的不用排顺序→用“C”，所求=C
（5,2）=5*4/（2*1）=10。
3.方法：所求=C（n-1,m-1）=C（东西的数量-1,人的数量-1），上下标都需
要“-1”、且下标大。n 个相同的物品有n-1 个位置可以放板，分给m 个人需要
放m-1 块板。
14
【例7】（2024 河北）张阿姨将一个蛋糕平均分成7 块，分给4 个小朋友，
要求每个小朋友至少分得1 块小蛋糕，一共有（ ）种分配方法。
A.14
B.18
C.20
D.22
【解析】7.相同的东西分给4 个人，要求每人至少一个，用隔板法。7 块蛋
糕有7-1=6 个位置可以放板，分给4 个小朋友需要放4-1=3 块板，所求=C（6,3）
=6*5*4/（3*2*1）=20，对应C 项。【选C】
（4）隔板法
变形：至少k 个，先把（k-1）个分下去，变成至少1 个
10 个完全相同的金币分给3 个人，要求每人至少2 个
【注意】隔板法：
1.变形：至少k 个，每人先分（k-1）个，变成至少1 个。
2.例：
（1）10 个完全相同的金币分给3 个人，要求每人至少2 个。
答：直接用隔板法无法保证每个人至少2 个。第一步：先给每个人分2-1=1
个，只有1 种分法；共分下去3 个、剩下10-3=7 个，剩余的7 个分给3 个人，
此时每人至少分1 个，利用结论，7 个金币有6 个位置可以放板，分给3 个人需
要放2 块板，为C（6,2）；所求=1*C（6,2）=6*5/（2*1）=15。
（2）10 个完全相同的金币分给3 个人，要求每人至少3 个。
答：先给每个人分2 个，分下去3*2=6 个，剩下10-6=4 个；剩余的4 个再
每人至少1 个，利用结论，4 个金币有3 个位置可以放板，分给3 个人需要放2
块板，为C（3,2）。
【例8】（2024 联考）某单位将11 本《党员学习手册》分发给甲、乙、丙共
3 个党支部。已知甲支部至少分得3 本，乙支部至少分得2 本，丙支部至少分得
4 本，问一共有多少种不同的分配方式？（ ）
A.3
B.4
15
C.5
D.6
【解析】8.结合题干，11 本《党员学习手册》是一样的，分发给甲、乙、丙
共3 个党支部（不同的人），每党支部至少3 本，要想用隔板法需要先转化为至
少1 本。甲先分2 本、乙先分1 本、丙先分3 本，只有1 种分法，还剩11-2-1-
3=5 本，此时每个党支部还需至少1 本；剩余5 本（中间有4 个位置可以放板）、
分给3 个人（放2 块板），所求=C（4,2）=4*3/2=6，对应D 项。【选D】
【注意】甲先分2 本、乙先分1 本、丙先分3 本，只有1 种分法，既要先每
人分一些，又要分剩下的5 本，中间用乘法连接，所求=1*C（4,2）。
二、概率问题
1.给情况求概率
2.给概率求概率
1.给情况求概率
基本公式：概率=满足条件的情况数/总情况数
例：5 个男生、3 个女生，任选两个人参加培训，都是女生的概率？
【注意】给情况求概率：题干中给出具体的情况数，求概率。
1.基本公式：概率=满足条件的情况数/总情况数。总的情况数一般为：男女
不分性别、小球不分颜色、书籍不分种类、医生不分科室。
2.例：5 个男生、3 个女生，任选两个人参加培训，都是女生的概率？
答：题干中给出具体的情况数，求概率，属于给情况求概率。总情况数：要
求“5 个男生、3 个女生，任选两个人参加培训”，即从8 个人中选2 人，只负责
选即可，为C（8,2）；满足条件的情况数：要求选出来的2 人都是女生，从3 个
女生中选2 个，为C（3,2）；综上，所求=满足条件的情况数/总情况数=C（3,2）
/C（8,2）。
【例1】（2023 联考）某单位派甲、乙等11 名职工到基层开展执勤工作，一
段时间后随机挑选3 人检查工作情况，问甲、乙二人中至多有一人被抽查的概率
16
是多少？（ ）
A.3/55
B.24/55
C.28/55
D.52/55
【解析】1.已知“某单位派甲、乙等11 名职工”，即总人数11 个，其中包
含甲、乙和其他9 人（没有名字）；给出情况数、求概率，属于给情况数求概率。
总情况数：从11 人中选3 人，只负责选没有顺序→用“C”，为C（11,3）=11*10*9/
（3*2*1）=11*5*3=55*3=165。满足要求情况数：要求“甲、乙二人中至多有一
人被抽查”，需要分类讨论：
（1）甲乙中选1 人：甲乙2 选1，为C（2,1），一共要选3 个，剩余2 人需
要从其他9 人中选，为C（9,2），既要甲乙中选1 人，又要从9 人中选2 人，分
步相乘，情况数=C（2,1）*C（9,2）=2*（9*8）/（2*1）=72。
（2）甲乙中1 人都不选：从其余9 人中选3 人，为C（9,3）=（9*8*7）/
（3*2*1）=12*7=84。分类相加，满足要求情况数=72+84=156。
综上，P=（72+84）/165=156/165=52/55，对应D 项。
方法二：反面求解，原理为P 正+P 反=100%。正面是“甲、乙二人中至多有一
人被抽查”，反面是“甲、乙二人都被抽查”，先从甲、乙2 人中选2 人，为C
（2,2），再从其他9 人中选1 人，为C（9,1），反面情况数=C（2,2）*C（9,1）
=9。综上，P 反=9/165=3/55，则P 正=1-3/55=52/55，对应D 项。
方法三：猜题方法。观察选项，A 项+D 项=1，则其中一个是P 正、一个是P
反。如果事件容易发生就选概率大的，如果不容易发生就选概率小的。问“甲、
乙二人中至多有一人被抽查的概率”，正面容易发生（一共11 人、选3 人，则
选不到甲和乙很正常，事件容易发生），选概率大的，选择D 项。
方法四：猜题方法。观察选项，发现A 项+D 项=1，且B 项+C 项=D 项，说明
D 项是正面概率，A 项是反面概率，正面分成两类，B、C 项是正面两个分类的概
率，说明D 项是正确答案。【选D】
【拓展1】（2023 河北）已知O 为正方形ABCD 对角线AC 和BD 的交点，在
O、A、B、C、D 五个点中任取3 个，取到的3 个点共线的概率是多少？
A.五分之一
B.五分之二
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C.二分之一
D.五分之四
【解析】拓展1.观察选项，A 项+D 项=1，则在A、D 项中猜。已知一共5 个
点，问任取3 个点共线的概率；如图所示，必须是对角线上的3 点才能共线，共
线不好实现，猜概率小的，猜A 项。【选A】
【拓展2】（2024 公务员）一盒中有10 支晶体管，其中有2 支次品，8 支正
品。现从中连取两次，每次取1 支，取后不放回，则至少取到1 支次品的概率是：
A.28/45
B.17/45
C.16/45
D.1/45
【解析】拓展2.方法一：观察选项，A 项+B 项=1，在A、B 项中猜；一盒中
有10 支晶体管，已知有2 支次品、8 支正品，抽取2 次能取出2 支，问“至少
取到1 支次品的概率”，事件不好发生，选小的，猜B 项。
方法二：观察选项，C 项+D 项=B 项，说明正面分为两类，要求“至少取到1
支次品”，分为两类，要么取出1 支次品、要么取出2 支次品，C、D 项分别对应
两个分类的概率，猜B 项。【选B】
2.给概率求概率
方法：
分类加和：概率=各类概率的和（要么……要么……）
分步相乘：概率=各步概率的乘积（既……又……）
【注意】给概率求概率：题干给出概率，求的也是概率，没有具体情况数。
方法→造句理解。
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1.分类加和：概率=各类概率的和（要么……要么……）。
2.分步相乘：概率=各步概率的乘积（既……又……）。
【例2】（2022 四川）某单位举行职工乒乓球比赛，决赛采用三局两胜制。
甲获得第一局比赛胜利的概率是60%，获得第二局比赛胜利的概率是90%，获得
第三局比赛胜利的概率是80%。那么甲获得乒乓球比赛冠军的概率是（ ）。
A.54.5%
B.76.6%
C.82.8%
D.87.6%
【解析】2.“决赛采用三局两胜制”，共比赛三场，只需要赢两场即可获胜，
如果前两场胜则第三场不用比。题干给的都是概率，求的也是概率，为给概率求
概率，方法→造句理解。要求甲获胜，需要分类讨论：
（1）甲第一局和第二局胜、第三局不用比：甲既要第一局获胜，又要第二
局获胜，“既……又……”的关系，用乘法连接，60%*90%=0.6*0.9=0.54=54%。
（2）甲第一局输、第二局和第三局胜：甲第一局输的概率为40%，既要让甲
第一局输，又要让甲第二局、第三局胜，“既……又……”关系，用乘法连接，
40%*90%*80%=0.4*0.9*0.8=0.36*0.8=0.288=28.8%。
（3）甲第一局和第三局胜、第二局输：既要让甲第一局胜，又要让甲第二
局输，还要让甲第三局胜，“ 既… … 又… … ” 关系，用乘法连接，
60%*10%*80%=60%*1/10*80%=6%*80%=4.8%。
综上，分类相加，所求=54%+28.8%+4.8%，用尾数法→小数点后面为尾6（排
除A、C 项），54%+28.8%=80
+%，则结果＞80%，对应D 项。【选D】
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【注意】给概率求概率联考基本不怎么考，考的基本都是给情况求概率。
【注意】排列组合与概率：
1.基础概念：
（1）分类用加法（要么……要么……）；分类用乘法（既……又……）。
（2）有序用排列A（不可互换）；无序用组合C（可以互换）。
2.经典题型：
（1）必须相邻：捆绑法，先捆后排。
（2）不能相邻：插空法，先排再插。
（3）错位重排（固定结论）：D3=2，D4=9，D5=44。
（4）同素分堆：隔板法。相同的东西分给不同的人，要求每人至少1 个/k
个。
3.概率问题：
（1）给情况求概率：满足要求的情况数/所有的情况数。
（2）给概率求概率（造句理解）：分类用加法，分步用乘法。
第七节 数列问题
【注意】数量关系：包含两个维度。
1.数字推理：如给出1、3、5、7，问下一项，这类问题联考不考。
2.数学运算（应用题）：联考会考，考查5 题。现在学习的是数学运算中的
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数列问题（等差数列、等比数列）。
一、等差数列
二、等比数列
【注意】数列问题
1.等差数列（重点讲）。
2.等比数列：没有太大计算量，可以直接推出来。
一、等差数列
通项公式：an=a1+（n-1）*d
求和公式：Sn=（a1+an）*n/2
n 为奇数：Sn=中间项*n
例：等差数列，a1=1、d=3
①求a7
②求S7
【注意】等差数列：在一个数列中，相邻两项的差值固定不变。比如1、4、
7、10、13、16，相邻两项作差得3（则公差d=3）；第一项a1=1、第二项a2=4、
第三项a3=7、第四项a4=10、第五项a5=13、第六项a6=16，S5=前五项加和
=a1+a2+a3+a4+a5=1+4+7+10+13=35、S6=前六项加和=a1+a2+……+a6。
1.通项公式：an=a1+（n-1）*d。等差数列就是在第一项的基础上不停地加公
差，如a1=1、a2=4、a3=7、a4=10，发现a2=a1+d、a3=a1+2d、a4=a1+3d、a5=a1+4d、
a9=a1+8d。
2.求和公式：
（1）Sn=（a1+an）*n/2=（首项+尾项）*项数/2。
（2）n 为奇数：Sn=中间项*n。
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3.例：等差数列，a1=1、d=3。
（1）求a7：a7=a1+6*d=1+6*3=19。
（2）求S7：S7=（a1+a7）*7/2=（1+19）*7/2=70。当n 为奇数：假设这7 项
为1、4、7、10、13、16、19，以第四项“10”为对称轴，13 分出3 给7、二者
均为10，16 分出6 给4、二者均为10，19 分出9 给1、二者均为10，则Sn=中
间项*n→S7=a4*7=10*7=70。当一共35 项时，S35=a 中间项*n=a（35+1）/2*n=a18*35；当一
共49 项时，S49=a25*49。
【例】（2022 公务员）商场6 月6 日开始销售某种电器，从6 月7 日起，每
天这种电器的销量都比前一天多1 台。已知6 月16 日卖了22 台这种电器，问其
6 月共卖了多少台这种电器？（ ）
A.555
B.600
C.645
D.690
【解析】例.已知“每天这种电器的销量都比前一天多1 台”，说明6 月每天
销售的电器数量构成公差d=1 的等差数列；问其6 月共卖了多少台这种电器。6
月份每天卖的台数加和等于答案，相当于等差数列求和。6 月一共30 天，商场6
月6 日开始销售某种电器→前5 天没卖，则卖了25 天，且这25 天构成等差数
列，求这25 项的和。
放方法一：用倍数特性。Sn=a 中间项*项数→S25=a13*25，则答案为25 的倍数，
仅B 项满足。
方法二：常规方法。6 月6 日对应a1、6 月7 日对应a2、6 月8 日对应a3、……、
6 月16 日对应a11（原因：项数=日期-5=11），已知6 月16 日卖了22 台这种电器
→a11=22，则6 月17 日对应a12=23 台、6 月18 日对应a13=24 台，第30 号为a25，
所求=S25=a13*25=24*25=12*2*25=12*50=600 台，对应B 项。【选B】
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二、等比数列
1.通项公式：an=a1*q
n-1
2.求和公式：Sn=a1*（1-q
n）/（1-q）（q≠1）
【注意】等比数列：通过枚举都可以做，没有必须套公式才可以做的题。相
邻两项作商的比值是固定值。例：a1=1、a2=2、a3=4、a4=8、a5=16，发现相邻两项
作商的值均为2→公比（q）为2；同时，a2=a1*q、a3=a1*q*q=a1*q²、a4=a1*q*q*q=a1*q
³、a5=a1*q
4、a7=a1*q
6。
1.通项公式：an=a1*q
n-1。等比数列目前考查到的题纯理解就可以做，不一定
能用到公式。
2.求和公式（从来没有考过）：Sn=a1*（1-q
n）/（1-q），q≠1。
【例1】（2024 广东）在荔枝成熟的季节，某果园雇人采摘荔枝。已知从第
二天起，每天的采摘量比前一天少50 千克；从第十天起，每天的采摘量都是前
一天的一半。如果第十三天的采摘量为10 千克，则果园第一天采摘了（ ）千
克荔枝。
A.540
B.560
C.580
D.600
【解析】1.根据题意前面几天为等差数列，后面几天为等比数列。已知“从
第十天起，每天的采摘量都是前一天的一半。如果第十三天的采摘量为10 千克”，
则第十二天的采摘量为20 千克、第十一天的采摘量为40 千克、第十天的采摘量
为80 千克、第九天的采摘量为160 千克；“已知从第二天起，每天的采摘量比前
一天少50 千克”，说明第一天到第九天构成等差数列，第一天对应a1、第九天对
应a9，a9=a1+8d，“每天的采摘量比前一天少50 千克”→d=-50，则a9=a1+8*d→
160=a1+8*（-50）→160=a1-400，解得a1=560，对应B 项。【选B】
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【例2】（2024 联考）某生态园投资成本300 万元，每年运营成本30 万元。
第一年该生态园销售收入90 万元，此后每年销售收入提高50%。问第几年开始
实现盈利？（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】2.做生意要想盈利需要总收入大于总成本。第一年：成本
=300+30=330 万元，单独收入=90 万元；第二年（累计→从开业到第二年结束）：
累计成本=300+30+30=360 万元，单独收入=90*（1+50%）=135 万元、累计收入
=90+135=225 万元，没有实现盈利，排除A 项；第三年：累计成本
=300+30+30+30=390 万元，单独收入=135*（1+50%）≈200 万元、累计收入
=90+135+200=425 万元＞390 万元，说明第三年开始实现盈利，对应B 项。
【选B】
【注意】课后安排：
1.课后推题要做。
2.理论讲完之后可以进行专项刷题（按题型刷），建议优先刷和差倍比（每
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年都考，可用倍数、方程、赋值法解题）、工程（联考出现难度不高，可以做）、
经济（联考出现难度不高，可以做）、几何问题（联考喜欢考，解题需要灵活处
理），还有精力可以刷行程、排列、概率题。可以在题库点击对应的考点进行刷
题，建议按照自己的时间安排刷题量，如每种题型刷10 道题，每个题型弄清楚。
3.后续学习资料、笔记、经典题目老师会发上小红书/抖音，可以关注老师
小红书/抖音（粉笔王义）。
4.第二阶段为导图梳理，导图梳理课上之前可以把各考点先单独刷一下题，
然后老师会把知识点进行串联。
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遇见不一样的自己
Be your better self
