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专题 02 等式与不等式（考点练+模拟练）
一、填空题
1．（2024·上海·高考真题）已知 则不等式 的解集为 ．
2．（23-24高三下·上海·开学考试）不等式 的解集是 ．
3．（2023·上海普陀·模拟预测）不等式 的解集是 ．
4．（2024·上海·三模）已知集合 ， ，则 ．
5．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数 的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正
确的序号）
① ；② ；③ ；④ ．
6．（2024·上海徐汇·二模）若正数 满足 ，则 的最小值为 .
7．（23-24高一上·四川成都·期末）已知 ，且 ，则 的最小值为 .
8．（22-23高三上·上海黄浦·期中）设 ， 且 ，则 的最小值是 .
9．（23-24高三上·上海·期中）已知 ， ，且 ，则 的取值范围为 .
10．（2023·上海嘉定·一模）已知实数a、b满足 ，则 的最小值为 ．
11．（23-24高三上·上海·期中）已知正实数a，b满足 ，则 的最小值为 ．12．（2023·上海嘉定·一模）函数 在 上的最大值和最小值的乘积为
13．（2024高三·上海·专题练习）已知实数 ， 满足 ， 且 ，那么 的最小
值是 .
14．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取
值范围是 ．
15．（23-24高三上·上海·期中）若存在 ，使得 ，则实数a的取值范围 ．
16．（23-24高三下·上海·阶段练习）设 ，若关于 的不等式 的解集是区间 的真子集，
则 的取值范围是 ．
17．（23-24高三上·上海浦东新·期中）关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围
是 .
18．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知关于x的一元二次函数 ．若 的解集为
，则实数 的值分别是
19．（2023·上海黄浦·三模）关于x的不等式 的解集是 ，则实数a的取值范围为
．
20．（22-23高三上·上海虹口·阶段练习）设 ，若存在唯一的m使得关于x的不等式组
有解，则a的取值范围是 .
21．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知函数 ，若对任意实数 ，关于x的不等
式 在区间 上恒成立，则实数m的取值范围为 .22．（23-24高二下·上海·期末）方程 的解集为 .
23．（2023·上海宝山·一模）设 ，则方程 的解集为
24．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）对任意实数 ，若不等式 恒成立，则实数 的取
值范围是 ．
25．（23-24高一上·上海·期中）已知关于 的不等式 恰有3个整数解，则实数 的取值范
围是 .
26．（21-22高三上·上海黄浦·期中）当且仅当 （其中 ）时，函数
的图像在函数 图像的下方，则 的取值范围为 .
二、单选题
27．（23-24高三上·上海浦东新·期末）如果 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
28．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
29．（23-24高一上·上海·期中）已知：一元二次不等式 的解集为 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
30．（23-24高三上·上海黄浦·期中）若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
31．（22-23高三上·上海浦东新·期中）设 ， ，若 是 的充分条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知 都是实数，实数 满足 ，实数 满足 ，
判断以下哪个选项正确（ ）
A．对任意的实数 、 ，恒有 成立 B．若 ，则
C．若 ，则 ， D．不存在实数 、 ，使得
33．（23-24高三上·上海黄浦·期中）若实数 满足 ，则必有（ ）
A． B． C． D．
34．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对任意给定的实数a，b，有 ，且等号当且仅当（ ）
成立．
A． B． C． D．
35．（2021·高三下·七宝中学·第一次模拟）关于 的方程 有三个不同的实根，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
三、解答题
36．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）（1）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数
的值；
（2）若 ，解关于 的不等式 .
37．（2021·上海闵行·模拟预测）已知 ， ， .
(1)当 时，解关于 的不等式 ；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
38．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）小明今年1月1日用24万购进一辆汽车，每天下午跑滴滴出租车，
经估计，每年可有16万元的总收入，已知使用x年（x∈N）所需的各种费用（维修、保险、耗油等）总计
为 万元（今年为第一年）
(1)该出租车第几年开始盈利（总收入超出总支出）?
(2)该车若干年后有两种处理方案；
①当盈利总额达到最大值时，以1万元价格卖出；
②当年平均盈利达到最大值时，以8万元卖出.试问哪一种方案较为合算?请说明理由.
39．（2022·上海静安·一模）某学校对面有一块空地要围建成一个面积为 的矩形场地，要求矩形场
地的一面利用旧墙（旧墙需要整修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 的
进出口，如图所示．已知旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建 宽的进出口需2360
元的单独费用，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），设修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费
用）为y（单位：元）．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）最少，并求出最少总费用．
40．（21-22高三上·上海嘉定·期中）已知关于 的不等式 的解集为 ，不等式 的解集
为 .
(1)若 ，求实数 的值和解集 .
(2)若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
41．（19-20高二下·上海浦东新·期末）若实数 、 、 满足 ，则称 比 远离 ．
（1）若 比 远离1且 ，求实数 的取值范围；
（2）设 ，其中 ，求证： 比 更远离 ；
（3）若 ，试问： 与 哪一个更远离 ，并说明理由．
一、填空题
1．（2021·上海金山·二模）不等式 ≥0的解集为 ．2．（2024·上海奉贤·三模）若 ，则 有最大值为 ．
3．（2023·上海浦东新·模拟预测）设关于 的不等式 的解集为 ，则 .
4．（2024·上海奉贤·二模）某商品的成本 与产量 之间满足关系式 ，定义平均成本 ，
其中 ，假设 ，当产量等于 时，平均成本最少.
5．（2023·上海徐汇·一模）若实数 满足 ，则 的最小值为 ．
6．（2023·上海嘉定·一模）已知 ，若关于 的方程 解集为 ，
则 的值为 .
7．（2021·上海青浦·三模）若正实数 满足 ，则 的最小值为 .
8．（2023·上海虹口·三模）若关于x的不等式 的解集 ，则实数 的取值范围
是 ．
9．（2023·上海长宁·二模）若对任意 ，均有 ，则实数a的取值范围为
．
10．（2022·上海普陀·一模）设二次函数 ，若函数 的值域为 ，且
，则 的取值范围为 .
二、单选题
11．（2024·上海杨浦·二模）已知实数 ， ， ， 满足： ，则下列不等式一定正确的是
（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·上海闵行·一模）下列不等式中，解集为 的是（ ）
A． B．C． D．
13．（2023·上海静安·一模）若实数x,y满足 ，则（ ）成立．
A． B．
C． D． .
14．（2021·上海松江·二模）已知实数 ､ 满足 ，有结论：①若 ， ，则 有最
大值；②若 ， ，则 有最小值；正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立
C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立
三、解答题
15．（2019·上海杨浦·二模）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发
车时间间隔 （单位：分钟）满足： ，经测算，地铁载客量 与发车时间间隔 满足
其中 ．
（1）请求出 的值，并说明 的实际意义；
（2）若该线路每分钟的净收益为 （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分
钟的净收益最大？并求最大净收益．
16．（2019·上海松江·二模）国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企
业原有100名技术人员，年人均投入 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中
技术人员 名（ 且 ），调整后研发人员的年人均投入增加 %，技术人员的年人均投入调
整为 万元.（1）要使这 名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技
术人员的人数；
（2）是否存在这样的实数 ，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投
入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出 的范围，若不存在，说明理由.
