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2025 年高考数学二轮复习小题基础练01
一、单选题(本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·湖北武汉·二模）若复数
是纯虚数，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二上·安徽合肥·期末）已知
为等差数列
的前n 项和，
，
则
（ ）
A．60
B．120
C．180
D．240
4．（2024·贵州贵阳·一模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合
道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响
较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而
改变，1898 年Peukert 提出铅酸电池的容量
、放电时间和放电电流
之间关系的经验公
式：
，其中
为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变
的条件下，当放电电流为
时，放电时间为
；当放电电流为
时，放电时间为
，则该蓄电池的Peukert 常数
约为（参考数据：
，
）（ ）
A．1.12
B．1.13
C．1.14
D．1.15
5．（2024·重庆·一模）英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook）以微积分学中将函数展
1
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开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连
加式来表示一个函数，如：
，其中
．根据该展
开式可知，与
的值最接近的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高二上·江西萍乡·期末）加斯帕尔·蒙日是18～19 世纪法国著名的几何学家，他
在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的
中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）．已知椭圆
：
，
是直线：
上一点，过
作
的两条切线，切点分别为
、
，连接
（
是坐标
原点），当
为直角时，直线
的斜率
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数
，若关于x 的
方程
有四个不同的根
（
），则
的最大值
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2
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8．（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥
中，
，
，则三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题(本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分)
9．（23-24 高三上·浙江温州·期末）已知函数
，则（ ）
A．不等式
的解集是
B．
，都有
C．
是R 上的递减函数
D．
的值域为
10．（24-25 高三上·河南焦作·开学考试）已知直线
与圆
有两
个交点，则整数
的可能取值有（ ）
A．0
B．
C．1
D．3
11．（2024·浙江绍兴·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
且
B．
C．
D．
三、填空题(本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分，把答案填在题中的横线
上)
12．（23-24 高三上·广东深圳·期末）已知单位向量
满足
，则
.
13．（2024·山东临沂·二模）若直线
与曲线
相切，则
的取值范围为
.
3
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14．（2024·浙江·模拟预测）应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望
远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计
制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个
反射镜
弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜
弧所在的曲线为双曲线一个分
支．已知
是双曲线的两个焦点，其中
同时又是抛物线的焦点，且，
的面积为10，
，则抛物线方程为 ．
4
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参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
D
C
D
A
C
AD
AC
题号
11
答案
ABD
1．B
【分析】由一元二次不等式的解法，对数函数的值域，集合的交集运算得到结果即可.
【详解】集合
，
因为
，所以
，所以集合
，
所以
，
故选：B.
2．A
【分析】利用除法运算化简复数，根据纯虚数的特征，即可判断.
【详解】
，则
，有
.
故选：A
3．B
【分析】根据等差数列的性质和前n 项和公式运算.
【详解】因为数列
为等差数列，所以
，
所以
，所以
．
故选：B.
4．D
【分析】根据题意可得
，再结合对数式与指数式的互化及对数的运
算性质即可求解．
【详解】由题意知
，
所以
，两边取以10 为底的对数，得
，
5
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所以
，
故选：D.
5．C
【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断
即可.
【详解】原式
，
故选：C.
6．D
【分析】利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，进而可求得直线
：
为圆的切线，由
，即可得出结果.
【详解】由椭圆
：
可知：
，
当如图长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为
和
，
其对角线长为
，因此蒙日圆半径为4，圆方程为
，
当
为直角时，可知点当
在圆
，
因为
到直线
的距离为
，
所以直线：
为圆的切线，
因为直线
，
，所以
.
故选：D.
6
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7．A
【分析】数形结合，把四个不同的根
用
表示，借助导数讨论函数的最值解决
问题.
【详解】图，
由图可知当且仅当
时，方程
有四个不同的根，
且
，由题：
，
，
设
则
，令
，
故
在
递增，在
递减，
.
故选：A.
8．C
【分析】根据正三棱锥的结构特征可求解高的长度，进而根据勾股定理即可求解半径，即
可由表面积公式求解，或者利用空间直角坐标系求解半径.
【详解】方法一：如图，取正三角形
的中心为
，连接
，
则三棱锥
的外接球球心
在
上，连接
.
在正三角形
中，
，所以
.
在
中，
，所以
.
7
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设外接球的半径为
，
由
，
，解得
，
所以三棱锥
的外接球表面积
.
故选:C.
方法二：在正三棱锥
中，过点
作
底面
于点
，
则
为底面正三角形
的中心，
因为正三角形
的边长为2，所以
.
因为
，所以
.
如图，以
为坐标原点建立空间直角坐标系，
则
，
.
设三棱锥
的外接球球心为
，半径为
.
8
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由
，得
，解得
，
所以
，
则三棱锥
的外接球表面积
.
故选：C.
9．AD
【分析】由题意可得
，利用绝对值不等式、指数不等式的解法计算即可判
断A；利用奇偶函数的定义计算即可判断B；举例说明即可判断C；根据指数型函数的的值
域的求法计算即可判断D.
【详解】A：
，由
，得
，即
，
得
，解得
，即原不等式的解集为
，故A 正确；
B：
，故B 错误；
C：
，所以
在R 上单调递减不成立，故C 错误；
D：由
知
，即函数
的值域为
，故D 正确.
故选：AD
10．AC
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可求参数的范围，从而可得正确的选项.
【详解】圆
即为：
，
故圆心
，半径为
，
因为直线
与圆
有两个不同的交点，故
，
故
，结合选项可知AC 符合题意.
9
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故选：AC.
11．ABD
【分析】由
，可得
，即可判断
，同理判断
，判断A；利用基
本不等式可判断B，C，D；
【详解】对于A，
，
，
，则
，故
，同理可得
，A
正确；
对于B，
，
，
，
当且仅当
时取等号，B 正确；
对于C，
，
，
，则
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，C 错误；
对于D，由于
，故
，
当且仅当
时取等号，而
，故
，D 正确，
故选：ABD
12．
【分析】利用向量数量积的运算律及已知可得
，再由运算律求
即可.
【详解】因为
，所以
，所以
，
则
，故
.
故答案为：
13．
10
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【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得
，则
，构造
并研究单调性，进而求值域即可.
【详解】函数
的导数为
，
设切点为
，所以
，则
，即
又因为
在
上，所以
，
所以
，即
，所以
，
所以
，
令
，
，
令
，可得
，令
，可得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
.
当
趋近正无穷时，
趋近正无穷.
所以
的取值范围为：
.
故答案为：
.
14．
【分析】设
，由
11
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，解出得
点坐标，结合
得抛物线方程.
【详解】以
的中点
为原点，
为
轴，建立平面直角坐标系，
不妨设
．
由
，则有
，解得
，
又
，解得
，
，则有
，
故抛物线方程为
．
故答案为：
12
