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2025二轮复习大题规范练（二）
一、基础保分练
1．（2024·全国·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、
乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车
间
乙车
间
能否有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 的把握认为甲，
乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 ，设 为升级改造后抽取的n件产品的优
级品率.如果 ，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150
件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（
）
附：
0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828
2．（2024·广东·二模）已知双曲线 的焦点与椭圆 的焦
点重合，其渐近线方程为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若 为双曲线 上的两点且不关于原点对称，直线 过 的中点，求直线
的斜率.
3．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）如图，在直三棱柱 中，
分别为 的中点．
(1)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
4．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知 是公差不为零的等差数列， ，且
成等比数列．(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求 的前1012项和 ．
5．（2024·天津·高考真题）在 中，角 所对的边分别为a,b,c，已知
．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)求 的值．
6．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)已知 时，直线 为曲线 的切线，求实数 的值．
二、能力增分练
7．（2024·河南·模拟预测）如图，平行六面体 中，底面 是边长为2
的正方形， 为 与 的交点， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
8．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线 ，点 在抛物线 上，且 在 轴上方， 和 在 轴下方（ 在 左侧）， 关于 轴对称，直线 交 轴于点 ，延
长线段 交 轴于点 ，连接 .
(1)证明： 为定值（ 为坐标原点）；
(2)若点 的横坐标为 ，且 ，求 的内切圆的方程.
9．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同
险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索
赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记 为一份保单的毛利润，估计 的数学期望 ；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少 ，有索赔的保单的保费增加 ，试比较这种情
况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中 估计值的大小．（结论不要求证
明）
10．（2024·四川自贡·一模）已知数列 的前 顶和为 .且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 中， ，求数列 的前 项和 .
11．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ， ，
， .(1)求 ；
(2)求四边形 的面积.
12．（2024·江西·一模）已知函数 ．
(1)若 在R上单调递减，求a的取值范围；
(2)若 ，判断 是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，请说明理由．
三、拓展培优练
13．（2024·河南新乡·模拟预测）已知函数 ，其中
不全为0，并约定 ，设 ，称
为 的“伴生函数”．
(1)若 ，求 ；
(2)若 恒成立，且曲线 上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：
当 时， ；
(3)若 ，证明：对于任意的 ，均存在 ，使得 ．
14．（2024·河南濮阳·模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求B；(2)已知 ，D为边AB上的一点，若 ， ，求AB的长．
15．（2024·云南·模拟预测）如图，已知点列 与 满足 ，
且 ，其中 ， ．
(1)求 ；
(2)求 与 的关系式；
(3)证明： ．
16．（2024·新疆·二模）在圆柱 中， 是圆 的一条直径， 是圆柱 的母线，
其中点 与 ， 不重合， ， 是线段 的两个三等分点， ， ，
．
(1)若平面 和平面 的交线为 ，证明： 平面 ；
(2)设平面 、平面 和底面圆 所成的锐二面角分别为 和 ，平面 和底面圆
所成的锐二面角为 ，若 ，求 的值．17．（2024·江西·模拟预测）已知抛物线 ，圆 ， 是抛物线
上一点（异于原点）．
(1)若 为圆 上一动点，求 的最小值；
(2)过点 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于A，B两点，切点分别为E，F，若四边形
ABFE为梯形，求点 的坐标．
18．（2024·河南·模拟预测）某种植物感染病毒 极易死亡，当地生物研究所为此研发出了
一种抗病毒 的制剂.现对20株感染了病毒 的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结
果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计，并对植株吸收制剂的量（单位：毫
克）进行统计.规定植株吸收在6毫克及以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株
植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存
活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
吸收量（毫
6 8 3 8 9 5 6 6 2 7
克）
编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
吸收量（毫
7 5 10 6 7 8 8 4 6 9
克）
(1)补全列联表中的空缺部分，依据 的独立性检验，能否认为“植株的存活”与
“制剂吸收足量”有关？
吸收足
吸收不足量 合计
量
植株存活
植株死亡
合计
(2)现假设该植物感染病毒 后的存活日数为随机变量 （ 可取任意正整数）.研究人员
统计大量数据后发现：对于任意的 ，存活日数为 的样本在存活日数超过 的样
本里的数量占比与存活日数为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.试推导 的表达式，并求该植物感染病
毒 后存活日数的期望 的值.
附： ，其中 ；当 足够大时， .
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
